Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme. Vetitë e pritshmërisë matematikore Gjetja e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme

Karakteristikat themelore numerike të ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme: pritje matematikore, varianca dhe devijimi standard. Karakteristikat dhe shembujt e tyre.

Ligji i shpërndarjes (funksioni i shpërndarjes dhe seria e shpërndarjes ose densiteti i probabilitetit) përshkruan plotësisht sjelljen ndryshore e rastësishme. Por në një sërë problemesh, mjafton të njihen disa karakteristika numerike të vlerës në studim (për shembull, vlera mesatare e saj dhe devijimi i mundshëm prej saj) për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar. Le të shqyrtojmë karakteristikat kryesore numerike të ndryshoreve diskrete të rastit.

Përkufizimi 7.1.Pritshmëria matematikore Një ndryshore e rastësishme diskrete është shuma e produkteve të vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse:

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Nëse numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i pafund, atëherë nëse seria që rezulton konvergon absolutisht.

Shënim 1. Pritshmëria matematikore nganjëherë quhet mesatare e ponderuar, pasi është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme në një numër të madh eksperimentesh.

Shënim 2. Nga përkufizimi i pritjes matematikore rezulton se vlera e tij nuk është më e vogël se vlera më e vogël e mundshme e një ndryshoreje të rastësishme dhe jo më shumë se më e madhja.

Shënim 3. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është jo të rastësishme(konstante. Do të shohim më vonë se e njëjta gjë është e vërtetë për variablat e rastësishme të vazhdueshme.

Shembulli 1. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- numri i pjesëve standarde midis tre të zgjedhurve nga një grup prej 10 pjesësh, duke përfshirë 2 të dëmtuara. Le të krijojmë një seri shpërndarjeje për X. Nga kushtet problemore del se X mund të marrë vlerat 1, 2, 3. Pastaj

Shembulli 2. Përcaktoni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- numri i hedhjeve të monedhave para shfaqjes së parë të stemës. Kjo sasi mund të marrë një numër të pafund vlerash (bashkësia e vlerave të mundshme është grupi i numrave natyrorë). Seria e saj e shpërndarjes ka formën:

X			…	n	…
r	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)n	…

+ (gjatë llogaritjes, formula për shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie është përdorur dy herë: , nga ku ).

Vetitë e pritjes matematikore.

1) Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstantën:

M(ME) = ME.(7.2)

Dëshmi. Nëse kemi parasysh ME si një variabël e rastësishme diskrete duke marrë vetëm një vlerë ME me probabilitet r= 1, atëherë M(ME) = ME?1 = ME.

2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dëshmi. Nëse ndryshorja e rastit X dhënë sipas serive të shpërndarjes

Pastaj M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = ME(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).

Përkufizimi 7.2. Quhen dy ndryshore të rastësishme i pavarur, nëse ligji i shpërndarjes së njërit prej tyre nuk varet nga vlerat që ka marrë tjetri. Përndryshe variablat e rastësishëm i varur.

Përkufizimi 7.3. Le të thërrasim produkt i ndryshoreve të pavarura të rastit X Dhe Y ndryshore e rastësishme XY, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me produktet e të gjitha vlerave të mundshme X për të gjitha vlerat e mundshme Y, dhe probabilitetet përkatëse janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të faktorëve.

3) Pritja matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dëshmi. Për të thjeshtuar llogaritjet, ne kufizohemi në rastin kur X Dhe Y merrni vetëm dy vlera të mundshme:

Prandaj, M(XY) = x 1 y 1 ?fq 1 g 1 + x 2 y 1 ?fq 2 g 1 + x 1 y 2 ?fq 1 g 2 + x 2 y 2 ?fq 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) + + y 2 g 2 (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) = M(X)?M(Y).

Shënim 1. Kjo veti mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme për një numër më të madh të vlerave të mundshme të faktorëve.

Shënim 2. Vetia 3 është e vërtetë për produktin e çdo numri të ndryshoreve të rastësishme të pavarura, e cila vërtetohet me metodën e induksionit matematik.

Përkufizimi 7.4. Le të përcaktojmë shuma e ndryshoreve të rastit X Dhe Y si një ndryshore e rastësishme X+Y, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me shumat e secilës vlerë të mundshme X me çdo vlerë të mundshme Y; probabilitetet e shumave të tilla janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të termave (për variablat e rastësishme të varura - produktet e probabilitetit të një termi nga probabiliteti i kushtëzuar e dyta).

4) Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme (të varura ose të pavarura) është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dëshmi.

Le të shqyrtojmë përsëri variablat e rastësishëm të përcaktuara nga seria e shpërndarjes së dhënë në vërtetimin e vetive 3. Pastaj vlerat e mundshme X+Y janë X 1 + në 1 , X 1 + në 2 , X 2 + në 1 , X 2 + në 2. Le t'i shënojmë probabilitetet e tyre përkatësisht si r 11 , r 12 , r 21 dhe r 22. Ne do të gjejmë M(X+Y) = (x 1 + y 1)fq 11 + (x 1 + y 2)fq 12 + (x 2 + y 1)fq 21 + (x 2 + y 2)fq 22 =

= x 1 (fq 11 + fq 12) + x 2 (fq 21 + fq 22) + y 1 (fq 11 + fq 21) + y 2 (fq 12 + fq 22).

Le ta vërtetojmë këtë r 11 + r 22 = r 1. Në të vërtetë, ngjarja që X+Y do të marrë vlera X 1 + në 1 ose X 1 + në 2 dhe probabiliteti i të cilit është r 11 + r 22 përkon me ngjarjen që X = X 1 (probabiliteti i tij është r 1). Në mënyrë të ngjashme vërtetohet se fq 21 + fq 22 = r 2 , fq 11 + fq 21 = g 1 , fq 12 + fq 22 = g 2. Mjetet,

M(X+Y) = x 1 fq 1 + x 2 fq 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Koment. Nga vetia 4 rezulton se shuma e çdo numri të ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritshmërive matematikore të termave.

Shembull. Gjeni pritshmërinë matematikore të shumës së numrit të pikëve të fituara kur hidhni pesë zare.

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve të hedhura kur hedhim një za:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) I njëjti numër është i barabartë me pritshmërinë matematikore të numrit të pikave të hedhura në çdo zare. Prandaj, sipas pronës 4 M(X)=

Dispersion.

Për të pasur një ide mbi sjelljen e një ndryshoreje të rastësishme, nuk mjafton të dimë vetëm pritshmërinë e saj matematikore. Konsideroni dy ndryshore të rastësishme: X Dhe Y, të specifikuara nga seritë e shpërndarjes së formularit

X
r	0,1	0,8	0,1

Y
fq	0,5	0,5

Ne do të gjejmë M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Siç mund ta shihni, pritshmëritë matematikore të të dy madhësive janë të barabarta, por nëse për HM(X) përshkruan mirë sjelljen e një ndryshoreje të rastësishme, duke qenë vlera më e mundshme e saj (dhe vlerat e mbetura nuk ndryshojnë shumë nga 50), pastaj vlerat Y hequr ndjeshëm nga M(Y). Prandaj, së bashku me pritshmërinë matematikore, është e dëshirueshme të dihet se sa vlerat e ndryshores së rastësishme devijojnë prej saj. Për të karakterizuar këtë tregues, përdoret dispersioni.

Përkufizimi 7.5.Dispersion (shpërndarje) e një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj nga pritshmëria e saj matematikore:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Le të gjejmë variancën e ndryshores së rastësishme X(numri i pjesëve standarde midis atyre të përzgjedhurve) në shembullin 1 të kësaj leksioni. Le të llogarisim devijimin në katror të secilës vlerë të mundshme nga pritshmëria matematikore:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Prandaj,

Shënim 1. Në përcaktimin e dispersionit, nuk vlerësohet devijimi nga vetë mesatarja, por katrori i tij. Kjo bëhet në mënyrë që devijimet e shenjave të ndryshme të mos anulojnë njëra-tjetrën.

Shënim 2. Nga përkufizimi i dispersionit del se kjo sasi merr vetëm vlera jo negative.

Shënim 3. Ekziston një formulë për llogaritjen e variancës që është më e përshtatshme për llogaritjet, vlefshmëria e së cilës vërtetohet në teoremën e mëposhtme:

Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dëshmi.

Duke përdorur çfarë M(X) është një vlerë konstante, dhe vetitë e pritshmërisë matematikore, ne e transformojmë formulën (7.6) në formën:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Shembull. Le të llogarisim variancat e ndryshoreve të rastit X Dhe Y diskutuar në fillim të këtij seksioni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Pra, varianca e ndryshores se dyte te rastit eshte disa mijera here me e madhe se varianca e te pares. Kështu, edhe pa i ditur ligjet e shpërndarjes së këtyre sasive, bazuar në vlerat e njohura të dispersionit mund të themi se X devijon pak nga pritshmëria e saj matematikore, ndërsa për Y ky devijim është mjaft domethënës.

Vetitë e dispersionit.

1) Varianca vlerë konstante ME e barabartë me zero:

D (C) = 0. (7.8)

Dëshmi. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dëshmi. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dëshmi. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Përfundimi 1. Varianca e shumës së disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me shumën e variancave të tyre.

Përfundimi 2. Varianca e shumës së një ndryshoreje konstante dhe të rastit është e barabartë me variancën e ndryshores së rastit.

4) Varianca e diferencës ndërmjet dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dëshmi. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianca jep vlerën mesatare të devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga mesatarja; Për të vlerësuar vetë devijimin, përdoret një vlerë e quajtur devijimi standard.

Përkufizimi 7.6.Devijimi standardσ variabla e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

Shembull. Në shembullin e mëparshëm, devijimet standarde X Dhe Y janë përkatësisht të barabarta

Karakteristikat e DSV-ve dhe vetitë e tyre. Pritshmëria, varianca, devijimi standard

Ligji i shpërndarjes karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm. Sidoqoftë, kur është e pamundur të gjesh ligjin e shpërndarjes, ose kjo nuk kërkohet, mund të kufizosh veten në gjetjen e vlerave të quajtura karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastësishme. Këto vlera përcaktojnë një vlerë mesatare rreth së cilës grupohen vlerat e ndryshores së rastësishme dhe shkallën në të cilën ato shpërndahen rreth kësaj vlere mesatare.

Pritshmëria matematikore Një ndryshore e rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Pritshmëria matematikore ekziston nëse seria në anën e djathtë të barazisë konvergon absolutisht.

Nga pikëpamja e probabilitetit, mund të themi se pritshmëria matematikore është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme.

Shembull. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është i njohur. Gjeni pritshmërinë matematikore.

X
fq	0.2	0.3	0.1	0.4

Zgjidhja:

9.2 Vetitë e pritshmërisë matematikore

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën.

2. Faktori konstant mund të merret si shenjë e pritjes matematikore.

3. Pritshmëria matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Kjo veti është e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastësishme.

4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.

Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastit.

Le të kryhen n prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në të cilën është i barabartë me p.

Teorema. Pritja matematikore M(X) e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes në çdo provë.

Shembull. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Zgjidhja:

9.3 Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Megjithatë, pritshmëria matematikore nuk mund të karakterizohet plotësisht proces i rastësishëm. Përveç pritjes matematikore, është e nevojshme të futet një vlerë që karakterizon devijimin e vlerave të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria matematikore.

Ky devijim është i barabartë me diferencën midis ndryshores së rastësishme dhe pritjes së saj matematikore. Në këtë rast, pritshmëria matematikore e devijimit është zero. Kjo shpjegohet me faktin se disa devijime të mundshme janë pozitive, të tjera janë negative, dhe si rezultat i anulimit të tyre të ndërsjellë, fitohet zero.

Shpërndarja (shpërndarja) i një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.

Në praktikë, kjo metodë e llogaritjes së variancës është e papërshtatshme, sepse çon në sasi të mëdha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme deri në llogaritje të vështira.

Prandaj, përdoret një metodë tjetër.

Teorema. Varianca është e barabartë me diferencën midis pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme X dhe katrorit të pritjes së saj matematikore.

Dëshmi. Duke marrë parasysh faktin se pritshmëria matematikore M(X) dhe katrori i pritjes matematikore M2(X) janë sasi konstante, mund të shkruajmë:

Shembull. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete të dhënë nga ligji i shpërndarjes.

X
X 2
r	0.2	0.3	0.1	0.4

Zgjidhja:.

9.4 Vetitë e dispersionit

1. Varianca e një vlere konstante është zero. .

2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. .

3. Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .

4. Varianca e diferencës ndërmjet dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .

Teorema. Varianca e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes është konstant, është i barabartë me produktin e numrit të provave sipas probabiliteteve të ndodhjes dhe jo- ndodhja e ngjarjes në çdo gjykim.

9.5 Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Devijimi standard ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës.

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të fundëm të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave.

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën M(S)=C .
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X)
3. Pritja matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. Pritshmëria matematikore M(x) e numrit të ndodhive të ngjarjeve A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e këtyre provave nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve në çdo provë: M(x) = np.

Le X - ndryshore e rastit dhe M(X) – pritshmëria e tij matematikore. Le të konsiderojmë si një ndryshore të re të rastësishme diferencën X - M (X).

Devijimi është ndryshimi midis një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore.

Devijimi ka ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:

Zgjidhja: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror:

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2

X 2
P	0.1	0.6	0.3

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x 2): M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Varianca e kërkuar është D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Karakteristikat e shpërndarjes:

1. Varianca e një vlere konstante ME e barabartë me zero: D(C)=0
2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianca e shumës së variablave të pavarur të rastit është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianca shpërndarja binomiale e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë D(X)=npq

Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin standard.

Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

σ(X) = √D(X) (4)

Shembull. Ndryshorja e rastësishme X përcaktohet nga ligji i shpërndarjes

X
P	0.1	0.4	0.5

Gjeni devijimin standard σ(x)

Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Le të gjejmë variancën: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Devijimi standard i kërkuar σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të kufizuar të ndryshoreve të rastësishme reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave:

Shembull. Në një raft me 6 libra, 3 libra për matematikë dhe 3 për fizikë. Tre libra zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të librave në matematikë midis librave të zgjedhur. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Ndryshore e rastësishme Një variabël quhet një variabël që, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të arsyeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete Dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Me numërueshmëri nënkuptojmë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Këtu janë shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i emblemave të rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërrijnë në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në PBX (bashkësi vlerash e numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, në rreshtin e parë të së cilës tregohen vlerat $x_1,\dots ,\ x_n$, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet $p_1,\dots ,\ p_n$ tregohen që korrespondojnë me këto vlera.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (array)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të rrokullisur kur hidhet një peshore. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (array)$

Koment. Meqenëse në ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$, ngjarjet $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, domethënë $ \sum(p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme specifikon kuptimin e tij “qendror”. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\dots,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th. : $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën në gjuhën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritjes matematikore$M\majtas(X\djathtas)$:

1. $M\left(X\djathtas)$ gjendet midis më të voglës dhe vlerat më të larta ndryshore e rastësishme $X$.
2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6))+6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ shtrihet midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të variablave të rastësishëm me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave të tyre mesatare. Për shembull, në dy grupe studentore GPA për provimin në teorinë e probabilitetit doli të ishte i barabartë me 4, por në një grup të gjithë rezultuan studentë të mirë, dhe në grupin tjetër - vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë numerike të një ndryshoreje të rastësishme që do të tregonte përhapjen e vlerave të ndryshores së rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është e barabartë me:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet duke përdorur formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

1. Varianca është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
2. Varianca e konstantës është zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
5. Varianca e diferencës ndërmjet ndryshoreve të pavarura të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +( (1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X< x\right)$

Vetitë e funksionit të shpërndarjes:

1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në fund të këtij intervali: $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (array)$

Nëse $x\le 1$, atëherë, padyshim, $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë për $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$, atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) +P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ për\ x > 6.
\fund(matricë)\djathtas.$

Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme X e dhënë në një hapësirë ​​diskrete probabiliteti është numri m =M[X]=∑x i p i nëse seria konvergon absolutisht.

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur shërbimin online janë llogaritur pritshmëria matematikore, varianca dhe devijimi standard(shih shembullin). Përveç kësaj, vizatohet grafiku i funksionit të shpërndarjes F(X).

Vetitë e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetveten: M[C]=C, C – konstante;
2. M=C M[X]
3. Pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X]+M[Y]
4. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X] M[Y] , nëse X dhe Y janë të pavarur.

Vetitë e dispersionit

1. Varianca e një vlere konstante është zero: D(c)=0.
2. Faktori konstant mund të hiqet nga nën shenjën e dispersionit duke e kuadruar atë: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të varur: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Formula e mëposhtme llogaritëse është e vlefshme për shpërndarjen:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Shembull. Pritjet dhe variancat matematikore të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura X dhe Y janë të njohura: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme Z=9X-8Y+7.
Zgjidhje. Bazuar në vetitë e pritjes matematikore: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Bazuar në vetitë e dispersionit: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmi për llogaritjen e pritjeve matematikore

Vetitë e ndryshoreve diskrete të rastësishme: të gjitha vlerat e tyre mund të rinumërohen numrat natyrorë; Cakto çdo vlerë një probabilitet jo zero.

1. Dyshet i shumëzojmë një nga një: x i me p i .
2. Shtoni prodhimin e çdo çifti x i p i .
   Për shembull, për n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete hap pas hapi, rritet befas në ato pika, probabilitetet e të cilave janë pozitive.

Shembulli nr. 1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Pritjen matematikore e gjejmë duke përdorur formulën m = ∑x i p i .
Pritshmëria M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Variancën e gjejmë duke përdorur formulën d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianca D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Devijimi standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Shembulli nr. 2. Një ndryshore e rastësishme diskrete ka seritë e mëposhtme të shpërndarjes:

X	-10	-5	0	5	10
r	A	0,32	2a	0,41	0,03

Gjeni vlerën e a-së, pritshmërinë matematikore dhe devijimin standard të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhje. Vlera e a-së gjendet nga relacioni: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ose 0,24 = 3 a , nga ku a = 0,08

Shembulli nr. 3. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete nëse dihet varianca e saj, dhe x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Zgjidhje.
Këtu ju duhet të krijoni një formulë për gjetjen e variancës d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
ku pritja m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Për të dhënat tona
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ose -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Prandaj, ne duhet të gjejmë rrënjët e ekuacionit, dhe do të ketë dy prej tyre.
x 3 =8, x 3 =12
Zgjidhni atë që plotëson kushtin x 1 x 3 = 12

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3