Formulat e thjeshtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit me shembuj

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Studimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shumat dhe dallimet e kubeve të dy shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Për të thjeshtuar shprehjet, faktorizoni polinomet, reduktoni polinomet në pamje standarde përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit duhet të njihen përmendësh.

Le të a, b R. Pastaj:

1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kubi i shumës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kubi i ndryshimit dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Shembulli 1.

Llogaritni

a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Duke përdorur formulën për katrorin e diferencës së dy shprehjeve, marrim

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Shembulli 2.

Llogaritni

Duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve të dy shprehjeve, marrim

Shembulli 3.

Thjeshtoni një shprehje

(x - y) 2 + (x + y) 2

Le të përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës së dy shprehjeve

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kur etj. Më poshtë do të shikojmë formulat më të njohura dhe do të analizojmë se si përftohen ato.

Sheshi i shumës

Le ta vendosim në katror shumën e dy monomëve, si ky: \((a+b)^2\). Katror është shumëzimi i një numri ose shprehjeje në vetvete, pra \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Tani thjesht mund t'i hapim kllapat, duke i shumëzuar ato siç kemi bërë dhe të sjellim terma të ngjashëm. Ne marrim:

Dhe nëse heqim llogaritjet e ndërmjetme dhe shkruajmë vetëm shprehjet fillestare dhe përfundimtare, marrim formulën përfundimtare:

Shuma në katror:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Shumica e studentëve e mësojnë përmendësh. Dhe tani ju e dini se si ta nxirrni këtë formulë, dhe nëse e harroni papritur, gjithmonë mund ta bëni atë.
Mirë, por si ta përdorim dhe pse nevojitet kjo formulë? Katrori i shumës ju lejon të shkruani shpejt rezultatin e katrorit të shumës së dy termave. Le të shohim një shembull.

Shembull . Zgjero kllapat: \((x+5)^2\)
Zgjidhje :

Vini re se sa më shpejt dhe me më pak përpjekje u arrit rezultati në rastin e dytë. Dhe kur ta zotëroni këtë dhe formula të tjera deri në pikën e automatizmit, do të jetë edhe më i shpejtë: thjesht mund ta shkruani përgjigjen menjëherë. Kjo është arsyeja pse ato quhen formula të shumëzimit të REDUCED. Pra, njohja e tyre dhe mësimi i zbatimit të tyre ia vlen patjetër.

Për çdo rast, vërejmë se si \(a\) Dhe \(b\) Mund të ketë çdo shprehje - parimi mbetet i njëjtë. Për shembull:

Nëse papritur nuk i kuptoni disa transformime në dy shembujt e fundit, përsërisni temën.

Shembull . Shndërroni shprehjen \((1+5x)^2-12x-1 \) në formën standarde.

Zgjidhje :

Përgjigje: \(25x^2-2x\).

E rëndësishme! Shtë e nevojshme të mësoni të përdorni formula jo vetëm në drejtimin "përpara", por edhe në drejtimin "e kundërt".

Shembull . Llogaritni vlerën e shprehjes \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) pa një makinë llogaritëse.

Zgjidhje :

Përgjigje: \(250 000\).

Diferenca në katror

Më sipër gjetëm formulën për shumën e monomëve. Le të gjejmë tani formulën për diferencën, domethënë për \((a-b)^2\):

Në një formë më koncize kemi:

Diferenca në katror: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Përdoret në të njëjtën mënyrë si ai i mëparshmi.

Shembull . Thjeshtoni shprehjen \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) dhe gjeni vlerën e saj në \(a=\frac(17)(8)\).

Zgjidhje :

Përgjigje: \(8\).

Dallimi i katrorëve

Pra, kemi trajtuar situatat e prodhimit të dy kllapave me një plus në to dhe dy kllapa me një minus. Rasti i mbetur është produkt i kllapave identike me shenja të ndryshme. Le të shohim se çfarë ndodh:

Ne morëm formulën:

Diferenca e katrorëve \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Kjo formulë është një nga më të përdorurat kur punoni me të.

Shembull . Zvogëloni thyesën \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Zgjidhje :

Përgjigje: \(x+3\).

Shembull .Faktorizoni \(25x^4-m^(10) t^6\).
Zgjidhje :

Këto janë tre formulat bazë që duhet të dini Domosdoshmërisht! Ekzistojnë gjithashtu formula me kube (shih më lart), këshillohet gjithashtu t'i mbani mend ose të jeni në gjendje t'i nxirrni shpejt. Le të theksojmë gjithashtu se në praktikë, disa formula të tilla shpesh hasen në një problem menjëherë - kjo është normale. Thjesht mësoni të vini re formulat dhe t'i zbatoni ato me kujdes, dhe gjithçka do të jetë mirë.

Shembull (i avancuar!) .Zvogëloni thyesën.
Zgjidhje :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Në pamje të parë, ky është një tmerr i qetë dhe asgjë nuk mund të bëhet për të (ne nuk po e konsiderojmë seriozisht opsionin "shtrihu dhe vdis"). Megjithatë, le të përpiqemi të shkëmbejmë dy termat e fundit të numëruesit dhe të shtojmë kllapa (vetëm për qartësi).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Tani le t'i transformojmë pak termat në kllapa: \(4xy\) ne shkruajmë si \(2 x 2y\), dhe \(4y^2\) si \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Tani le të hedhim një vështrim më të afërt dhe të vërejmë se në kllapa kemi një formulë për diferencën në katror, ​​e cila ka \(a=x\), \(b=2y\). Ne shembet përgjatë tij në formën e kllapave në një katror. Dhe në të njëjtën kohë ne përfaqësojmë nëntë si \(3\) në katror.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Edhe një herë shikojmë me kujdes numëruesin... mendo... mendo... dhe vërejmë formulën për ndryshimin e katrorëve, e cila ka \(a=(x-2y)\), \(b=3\) . E zbërthejmë në produktin e dy kllapave.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		Dhe tani zvogëlojmë kllapin e dytë të numëruesit dhe të gjithë emëruesin.
		Përgjigja është gati.

Përmbajtja e mësimit

Katrori i shumës së dy shprehjeve

Ka një sërë rastesh kur shumëzimi i një polinomi me një polinom mund të thjeshtohet shumë. Për shembull, ky është rasti (2 x+ 3y) 2 .

Shprehja (2 x+ 3y) 2 është shumëzimi i dy polinomeve, secili prej të cilëve është i barabartë me (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Kemi marrë shumëzimin e një polinomi me një polinom. Le ta ekzekutojmë:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Kjo është, shprehja (2 x+ 3y) 2 të barabarta 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Le të zgjidhim një shembull të ngjashëm, i cili është më i thjeshtë:

(a+b) 2

Shprehje ( a+b) 2 është shumëzimi i dy polinomeve, secili prej të cilëve është i barabartë me ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Le të bëjmë këtë shumëzim:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Domethënë shprehja (a+b) 2 të barabarta a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Rezulton se rasti ( a+b) 2 mund të shtrihet në çdo a Dhe b. Shembulli i parë që zgjidhëm, domethënë (2 x+ 3y) 2 mund të zgjidhet duke përdorur identitetin (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni në vend të variablave a Dhe b termat përkatës nga shprehja (2 x+ 3y) 2. Në këtë rast, ndryshorja a korrespondon me anëtarin 2 x, dhe ndryshoren b korrespondon me anëtarin 3 y

a = 2x

b = 3y

Dhe pastaj ne mund të përdorim identitetin (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , por në vend të variablave a Dhe b ju duhet të zëvendësoni shprehjet 2 x dhe 3 y përkatësisht:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Ashtu si herën e kaluar kemi marrë një polinom 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Zgjidhja zakonisht shkruhet shkurtimisht, duke kryer të gjitha transformimet elementare në mendje:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Identiteti (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 quhet formula për katrorin e shumës së dy shprehjeve. Kjo formulë mund të lexohet si kjo:

Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë plus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Merrni parasysh shprehjen (2 + 3) 2. Mund të llogaritet në dy mënyra: kryeni mbledhjen në kllapa dhe vendosni në katror rezultatin që rezulton, ose përdorni formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve.

Mënyra e parë:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Mënyra e dytë:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Shembulli 2. Konvertoni shprehjen (5 a+ 3) 2 në një polinom.

Le të përdorim formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a+ 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 një × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Do të thotë, (5a+ 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë shembull pa përdorur katrorin e formulës së shumës. Duhet të marrim të njëjtin rezultat:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Formula për katrorin e shumës së dy shprehjeve është kuptimi gjeometrik. Kujtojmë se për të llogaritur sipërfaqen e një katrori duhet të ngremë anën e tij në fuqinë e dytë.

Për shembull, sipërfaqja e një katrori me anë a do të jetë i barabartë a 2. Nëse e rritni brinjën e një katrori me b, atëherë sipërfaqja do të jetë e barabartë me ( a+b) 2

Merrni parasysh figurën e mëposhtme:

Le të imagjinojmë se ana e katrorit e paraqitur në këtë figurë është rritur me b. Një katror i ka të gjitha anët të barabarta. Nëse ana e saj është rritur me b, atëherë anët e mbetura gjithashtu do të rriten me b

Rezultati është një katror i ri, i cili është më i madh se ai i mëparshmi. Për ta parë qartë, le të plotësojmë anët që mungojnë:

Për të llogaritur sipërfaqen e këtij katrori, mund të llogaritni veçmas katrorët dhe drejtkëndëshat e përfshirë në të, pastaj shtoni rezultatet.

Së pari mund të llogarisni një katror me anë a- sipërfaqja e saj do të jetë e barabartë a 2. Pastaj mund të llogaritni drejtkëndëshat me brinjë a Dhe b- do të jenë të barabartë ab. Pastaj mund të llogarisni katrorin me anë b

Rezultati është shuma e mëposhtme e zonave:

a 2 + ab+ab + b 2

Shuma e sipërfaqeve të drejtkëndëshave identikë mund të zëvendësohet duke shumëzuar 2 ab, që do të thotë fjalë për fjalë "përsëriteni zonën e drejtkëndëshit ab dy herë" . Nga ana algjebrike, kjo përftohet me derdhje terma të ngjashëm ab Dhe ab. Rezultati është shprehja a 2 + 2ab+ b 2 , e cila është ana e djathtë e formulës për katrorin e shumës së dy shprehjeve:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

Katrori i diferencës së dy shprehjeve

Formula për diferencën në katror të dy shprehjeve është si më poshtë:

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Formula për katrorin e diferencës së dy shprehjeve është nxjerrë në të njëjtën mënyrë si formula për katrorin e shumës së dy shprehjeve. Shprehje ( a − b) 2 është prodhimi i dy polinomeve, secili prej të cilëve është i barabartë me ( a − b)

(a − b) 2 = (a − b)(a − b)

Nëse e kryeni këtë shumëzim, ju merrni një polinom a 2 − 2ab + b 2

(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Shembulli 1. Shprehja e konvertimit (7 x− 5) 2 në një polinom.

Le të përdorim formulën për katrorin e diferencës së dy shprehjeve:

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Do të thotë, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë shembull pa përdorur formulën e diferencës në katror. Duhet të marrim të njëjtin rezultat:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Formula për katrorin e ndryshimit të dy shprehjeve ka gjithashtu një kuptim gjeometrik. Nëse sipërfaqja e një katrori me brinjë a e barabartë me a 2, atëherë sipërfaqja e një katrori, ana e të cilit zvogëlohet me b, do të jetë e barabartë me ( a − b) 2

Merrni parasysh figurën e mëposhtme:

Le të imagjinojmë se ana e katrorit e paraqitur në këtë figurë është zvogëluar për b. Një katror i ka të gjitha anët të barabarta. Nëse njëra anë zvogëlohet me b, atëherë anët e mbetura gjithashtu do të zvogëlohen me b

Rezultati është një katror i ri, i cili është më i vogël se ai i mëparshmi. Në figurë është theksuar me të verdhë. Ana e saj është e barabartë a− b sepse ana e vjetër a ulur me b. Për të llogaritur sipërfaqen e këtij katrori, mundeni nga sipërfaqja origjinale e sheshit a 2 zbresin sipërfaqet e drejtkëndëshave që janë marrë në procesin e zvogëlimit të brinjëve të katrorit të vjetër. Le të tregojmë këto drejtkëndësha:

Më pas mund të shkruani shprehjen e mëposhtme: katror i vjetër a 2 minus zonë ab zona minus ( a − b)b

a 2 − ab − (a − b)b

Le të zgjerojmë kllapat në shprehjen ( a − b)b

a 2 − ab−ab + b 2

Le të shohim terma të ngjashëm:

a 2 − 2ab + b 2

Rezultati është shprehja a 2 − 2ab + b 2 , e cila është ana e djathtë e formulës për katrorin e diferencës së dy shprehjeve:

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Formulat e shumës në katror dhe diferencës në katror quhen përgjithësisht formulat e shkurtuara të shumëzimit. Këto formula mund të thjeshtojnë dhe shpejtojnë ndjeshëm procesin e shumëzimit të polinomeve.

Më herët thamë se kur shqyrtohet një anëtar i një polinomi veçmas, ai duhet të merret parasysh së bashku me shenjën që ndodhet përballë tij.

Por kur përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit, shenja e polinomit origjinal nuk duhet të konsiderohet si shenjë e vetë këtij termi.

Për shembull, nëse jepet shprehja (5 x − 2y) 2 dhe duam të përdorim formulën (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , pastaj në vend të kësaj b duhet të zëvendësohet 2 y, jo −2 y. Kjo është një veçori e punës me formula që nuk duhet harruar.

(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Nëse zëvendësojmë −2 y, atëherë kjo do të thotë se ndryshimi në kllapat e shprehjes origjinale është zëvendësuar nga shuma:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

dhe në këtë rast, nuk duhet të përdorni formulën e diferencës në katror, ​​por formulën e shumës në katror:

(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Një përjashtim mund të jenë shprehjet e formës (x− (−y)) 2 . Në këtë rast, duke përdorur formulën (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 në vend të b duhet të zëvendësohet (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Por shprehjet katrore të formës x − (−y), do të jetë më i përshtatshëm për të zëvendësuar zbritjen me mbledhje x+y. Atëherë shprehja origjinale do të marrë formën ( x+y) 2 dhe do të jetë e mundur të përdoret formula për katrorin e shumës, në vend të ndryshimit:

(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Kubi i shumës dhe kubi i diferencës

Formulat për kubin e shumës së dy shprehjeve dhe kubin e diferencës së dy shprehjeve janë si më poshtë:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Formula për kubin e shumës së dy shprehjeve mund të lexohet si më poshtë:

Kubi i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehje e dytë.

Dhe formula për kubin e ndryshimit midis dy shprehjeve mund të lexohet si më poshtë:

Kubi i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehje e dytë.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, këshillohet që këto formula të njihen përmendësh. Nëse nuk ju kujtohet, nuk ka problem! Ju mund t'i hiqni ato vetë. Ne tashmë e dimë se si ta bëjmë këtë.

Le të nxjerrim vetë formulën për kubin e shumës:

(a+b) 3

Shprehje ( a+b) 3 është prodhimi i tre polinomeve, secili prej të cilëve është i barabartë me ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

Por shprehja ( a+b) 3 mund të shkruhet edhe si (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

Në këtë rast, faktori ( a+ b) 2 është katrori i shumës së dy shprehjeve. Ky katror i shumës është i barabartë me shprehjen a 2 + 2ab + b 2 .

Pastaj ( a+b) 3 mund të shkruhet si (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

Dhe kjo është shumëzimi i një polinomi me një polinom. Le ta ekzekutojmë:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Në mënyrë të ngjashme, mund të nxirrni formulën për kubin e diferencës së dy shprehjeve:

(a − b) 3 = (a − b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

Shembulli 1. Transformoni shprehjen ( x+ 1) 3 në një polinom.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë shembull pa përdorur formulën për kubin e shumës së dy shprehjeve

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Shembulli 2. Konvertoni shprehjen (6a 2 + 3b 3) 3 në një polinom.

Le të përdorim formulën për kubin e shumës së dy shprehjeve:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3 + 3 × 6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36 a 4×3 b 3 + 3 × 6 a 2×9 b 6 + 27b 9

Shembulli 3. Konverto shprehjen ( n 2 − 3) 3 në një polinom.

(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Shembulli 4. Konvertoni shprehjen (2x 2 − x 3) 3 në një polinom.

Le të përdorim formulën për kubin e diferencës së dy shprehjeve:

(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Shumëzimi i ndryshimit të dy shprehjeve me shumën e tyre

Ka probleme në të cilat ju duhet të shumëzoni ndryshimin e dy shprehjeve me shumën e tyre. Për shembull:

(a − b)(a+b)

Në këtë shprehje, dallimi i dy shprehjeve a Dhe b shumëzuar me shumën e dy shprehjeve të njëjta. Le të bëjmë këtë shumëzim:

(a − b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

Domethënë shprehja (a − b)(a+b) barazohet a 2 − b 2

(a − b)(a+b) = a 2 − b 2

Shohim se kur shumëzojmë ndryshimin e dy shprehjeve me shumën e tyre, marrim ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Prodhimi i ndryshimit të dy shprehjeve dhe shuma e tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Po ndodh (a − b)(a+b) mund t'i shpërndahet kujtdo a Dhe b. E thënë thjesht, nëse gjatë zgjidhjes së një problemi duhet të shumëzoni ndryshimin e dy shprehjeve me shumën e tyre, atëherë ky shumëzim mund të zëvendësohet me ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Shembulli 1. Kryeni shumëzimin (2x − 5)(2x + 5)

Në këtë shembull, ndryshimi i shprehjeve është 2 x dhe 5 shumëzuar me shumën e të njëjtave shprehje. Pastaj sipas formulës (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 ne kemi:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Le të llogarisim anën e duhur, marrim 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë shembull pa përdorur formulën (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 . Do të marrim të njëjtin rezultat 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Shembulli 2. Kryeni shumëzimin (4x − 5y)(4x + 5y)

(a − b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

Shembulli 3. Kryeni shumëzimin (2a+ 3b)(2a− 3b)

Le të përdorim formulën për shumëzimin e diferencës së dy shprehjeve me shumën e tyre:

(a − b)(a+b) = a 2 − b 2

(2a+ 3b)(2a − 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

Në këtë shembull, shuma e termave është 2 a dhe 3 b ishte vendosur më herët se ndryshimi i këtyre termave. Dhe në formulë (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 dallimi gjendet më herët.

Nuk ka dallim se si janë renditur faktorët ( a − b) V ( a+b) në formulë. Ato mund të shkruhen si (a − b)(a+b) , pra (a+b)(a − b) . Rezultati do të jetë akoma i barabartë a 2 − b 2, pasi produkti nuk ndryshon nga rirregullimi i faktorëve.

Pra, në këtë shembull, faktorët (2 a+ 3b) dhe (2 a − 3b) mund të shkruhet si (2a+ 3b)(2a − 3b) , pra (2a − 3b)(2a+ 3b) . Rezultati do të jetë ende 4 a 2 − 9b 2 .

Shembulli 3. Kryeni shumëzimin (7 + 3x)(3x − 7)

Le të përdorim formulën për shumëzimin e diferencës së dy shprehjeve me shumën e tyre:

(a − b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Shembulli 4. Kryeni shumëzimin (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a − b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

Shembulli 5. Kryeni shumëzimin (−5x− 3y)(5x− 3y)

Në shprehjen (-5 x− 3y) vendosim −1 jashtë kllapave, atëherë shprehja origjinale do të marrë formën e mëposhtme:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Puna (5x + 3y)(5x − 3y) zëvendësojeni atë me diferencën e katrorëve:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

Diferenca e katrorëve u vendos në kllapa. Nëse kjo nuk është bërë, atëherë rezulton se -1 shumëzohet vetëm me (5 x) 2. Dhe kjo do të çojë në një gabim dhe një ndryshim në vlerën e shprehjes origjinale.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Tani shumëzojeni −1 me shprehjen në kllapa dhe merrni rezultatin përfundimtar:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Shumëzimi i ndryshimit të dy shprehjeve me katrorin e pjesshëm të shumës së tyre

Ka probleme në të cilat ju duhet të shumëzoni ndryshimin e dy shprehjeve me katrorin e pjesshëm të shumës së tyre. Kjo pjesë duket si kjo:

(a − b)(a 2 + ab + b 2)

polinomi i parë ( a − b) është ndryshimi i dy shprehjeve, dhe i dyti është një polinom (a 2 + ab + b 2) është katrori i pjesshëm i shumës së këtyre dy shprehjeve.

Katrori i pjesshëm i shumës është një polinom i formës a 2 + ab + b 2 . Është e ngjashme me katrorin e zakonshëm të shumës a 2 + 2ab + b 2

Për shembull, shprehja 4x 2 + 6xy + 9y 2 është katrori jo i plotë i shumës së shprehjeve 2 x dhe 3 y .

Në të vërtetë, termi i parë i shprehjes 4x 2 + 6xy + 9y 2 , përkatësisht 4 x 2 është katrori i shprehjes 2 x, që nga (2 x) 2 = 4x 2. Termi i tretë i shprehjes 4x 2 + 6xy + 9y 2 , përkatësisht 9 y 2 është katrori i shprehjes 3 y, që nga (3 y) 2 = 9y 2. Anëtar në mes 6 xy, është prodhim i shprehjeve 2 x dhe 3 y.

Pra, le të shumëzojmë ndryshimin ( a − b) me katrorin e pjesshëm të shumës a 2 + ab + b 2

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

Domethënë shprehja (a − b)(a 2 + ab + b 2) barazohet a 3 − b 3

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Ky identitet quhet formula për shumëzimin e diferencës së dy shprehjeve me katrorin e pjesshëm të shumës së tyre. Kjo formulë mund të lexohet si kjo:

Prodhimi i ndryshimit të dy shprehjeve dhe katrorit të pjesshëm të shumës së tyre është i barabartë me ndryshimin e kubeve të këtyre shprehjeve.

Shembulli 1. Kryeni shumëzimin (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Polinomi i parë (2 x − 3y) është ndryshimi i dy shprehjeve 2 x dhe 3 y. Polinom i dytë 4x 2 + 6xy + 9y 2 ky është katrori i pjesshëm i shumës së dy shprehjeve 2 x dhe 3 y. Kjo ju lejon të përdorni formulën pa bërë llogaritje të gjata (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Në rastin tonë, shumëzimi (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) mund të zëvendësohet me diferencën e kubeve 2 x dhe 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a − b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Do të marrim të njëjtin rezultat, por zgjidhja do të jetë më e gjatë:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

Shembulli 2. Kryeni shumëzimin (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Polinomi i parë (3 − x) është ndryshimi i dy shprehjeve, dhe polinomi i dytë është katrori i pjesshëm i shumës së këtyre dy shprehjeve. Kjo na lejon të përdorim formulën (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Shumëzimi i shumës së dy shprehjeve me katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre

Ka probleme në të cilat duhet të shumëzoni shumën e dy shprehjeve me katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre. Kjo pjesë duket si kjo:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

polinomi i parë ( a+b (a 2 − ab + b 2) është katrori jo i plotë i diferencës së këtyre dy shprehjeve.

Katrori i pjesshëm i diferencës është një polinom i formës a 2 − ab + b 2 . Duket si një katror i rregullt i ndryshimit a 2 − 2ab + b 2 përveç se në të prodhimi i shprehjes së parë dhe të dytë nuk dyfishohet.

Për shembull, shprehja 4x 2 − 6xy + 9y 2 është katrori jo i plotë i diferencës së shprehjeve 2 x dhe 3 y.

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Le të kthehemi te shembulli origjinal. Le të shumëzojmë shumën a+b nga katrori i pjesshëm i diferencës a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

Domethënë shprehja (a+b)(a 2 − ab + b 2) barazohet a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Ky identitet quhet formula për shumëzimin e shumës së dy shprehjeve me katrorin jo të plotë të ndryshimit të tyre. Kjo formulë mund të lexohet si kjo:

Prodhimi i shumës së dy shprehjeve dhe katrorit të pjesshëm të ndryshimit të tyre është i barabartë me shumën e kubeve të këtyre shprehjeve.

Shembulli 1. Kryeni shumëzimin (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Polinomi i parë (2 x + 3y) është shuma e dy shprehjeve 2 x dhe 3 y, dhe polinomi i dytë 4x 2 − 6xy + 9y 2 ky është katrori jo i plotë i diferencës së këtyre shprehjeve. Kjo ju lejon të përdorni formulën pa bërë llogaritje të gjata (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Në rastin tonë, shumëzimi (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) mund të zëvendësohet nga shuma e kubeve 2 x dhe 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

Le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin shembull pa përdorur formulën (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Do të marrim të njëjtin rezultat, por zgjidhja do të jetë më e gjatë:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

Shembulli 2. Kryeni shumëzimin (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Polinomi i parë (2 x+ y) është shuma e dy shprehjeve dhe e polinomit të dytë (4x 2 − 2xy + y 2) është katrori jo i plotë i diferencës së këtyre shprehjeve. Kjo na lejon të përdorim formulën (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin shembull pa përdorur formulën (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Do të marrim të njëjtin rezultat, por zgjidhja do të jetë më e gjatë:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Detyrat për zgjidhje të pavarur

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Formulat e shkurtuara të shumëzimit (FMF) përdoren për të shprehur dhe shumëzuar numra dhe shprehje. Shpesh këto formula ju lejojnë të bëni llogaritjet më kompakte dhe shpejt.

Në këtë artikull do të rendisim formulat bazë për shumëzimin e shkurtuar, do t'i grupojmë ato në një tabelë, do të shqyrtojmë shembuj të përdorimit të këtyre formulave dhe gjithashtu do të ndalemi në parimet e vërtetimit të formulave për shumëzimin e shkurtuar.

Për herë të parë, tema e FSU është konsideruar në kuadër të lëndës Algjebër për klasën e 7-të. Më poshtë janë 7 formula themelore.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

1. formula për katrorin e shumës: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula e diferencës katrore: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula e kubit të shumës: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula e kubit të diferencës: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula e diferencës katrore: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula për shumën e kubeve: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula për ndryshimin e kubeve: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Shkronjat a, b, c në këto shprehje mund të jenë çdo numër, ndryshore ose shprehje. Për lehtësinë e përdorimit, është më mirë të mësoni përmendësh shtatë formulat bazë. Le t'i vendosim në një tabelë dhe t'i paraqesim më poshtë, duke i rrethuar me një kornizë.

Katër formulat e para ju lejojnë të llogaritni, përkatësisht, katrorin ose kubin e shumës ose diferencës së dy shprehjeve.

Formula e pestë llogarit ndryshimin midis katrorëve të shprehjeve duke shumëzuar shumën dhe ndryshimin e tyre.

Formula e gjashtë dhe e shtatë, respektivisht, shumëzojnë shumën dhe ndryshimin e shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës dhe katrorin jo të plotë të shumës.

Formula e shkurtuar e shumëzimit nganjëherë quhet edhe identitete të shkurtuara të shumëzimit. Kjo nuk është për t'u habitur, pasi çdo barazi është një identitet.

Gjatë zgjidhjes së shembujve praktikë, shpesh përdoren formula të shkurtuara të shumëzimit me anën e majtë dhe të djathtë të këmbyer. Kjo është veçanërisht e përshtatshme kur faktorizoni një polinom.

Formula shtesë të shkurtuara të shumëzimit

Le të mos kufizohemi në kursin e algjebrës së klasës së 7-të dhe të shtojmë disa formula të tjera në tabelën tonë të FSU.

Së pari, le të shohim formulën binomiale të Njutonit.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Këtu C n k janë koeficientët binomialë që shfaqen në rreshtin numër n në trekëndëshin e Paskalit. Koeficientët binomial llogariten duke përdorur formulën:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Siç mund ta shohim, FSF për katrorin dhe kubin e diferencës dhe shumës është një rast i veçantë i formulës binomiale të Njutonit për përkatësisht n=2 dhe n=3.

Por, çka nëse ka më shumë se dy terma në shumën që duhet të rritet në një fuqi? Formula për katrorin e shumës së tre, katër ose më shumë termave do të jetë e dobishme.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Një formulë tjetër që mund të jetë e dobishme është formula për ndryshimin midis fuqive të n-të të dy termave.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Kjo formulë zakonisht ndahet në dy formula - për fuqitë çift dhe tek, përkatësisht.

Edhe për tregues 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Për eksponentët tek 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Diferenca e formulave të katrorëve dhe diferencës së formulave të kubeve, siç e keni marrë me mend, janë raste të veçanta të kësaj formule për n = 2 dhe n = 3, përkatësisht. Për dallimin e kubeve, b zëvendësohet gjithashtu me - b.

Si të lexoni formulat e shkurtuara të shumëzimit?

Do të japim formulimet e duhura për secilën formulë, por fillimisht do të kuptojmë parimin e leximit të formulave. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me një shembull. Le të marrim formulën e parë për katrorin e shumës së dy numrave.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Thonë: katrori i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorit të shprehjes së parë, dyfishi i prodhimit të shprehjeve dhe katrori i shprehjes së dytë.

Të gjitha formulat e tjera lexohen në mënyrë të ngjashme. Për katrorin e diferencës a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 shkruajmë:

katrori i ndryshimit midis dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorëve të këtyre shprehjeve minus dyfishin e produktit të shprehjeve të parë dhe të dytë.

Le të lexojmë formulën a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kubi i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e kubeve të këtyre shprehjeve, trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së parë me të dytën dhe trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së dytë me shprehja e parë.

Le të kalojmë në leximin e formulës për ndryshimin e kubeve a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kubi i diferencës ndërmjet dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytë, plus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së dytë dhe të shprehjes së parë , minus kubin e shprehjes së dytë.

Formula e pestë a 2 - b 2 = a - b a + b (diferenca e katrorëve) lexohet kështu: ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit dhe shumën e dy shprehjeve.

Për lehtësi, shprehjet si a 2 + a b + b 2 dhe a 2 - a b + b 2 quhen, përkatësisht, katrori jo i plotë i shumës dhe katrori jo i plotë i diferencës.

Duke marrë parasysh këtë, formulat për shumën dhe ndryshimin e kubeve mund të lexohen si më poshtë:

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me produktin e shumës së këtyre shprehjeve dhe katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre.

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e diferencës midis këtyre shprehjeve dhe katrorit të pjesshëm të shumës së tyre.

Dëshmi e FSU

Provimi i FSU është mjaft i thjeshtë. Në bazë të vetive të shumëzimit, ne do të shumëzojmë pjesët e formulave në kllapa.

Për shembull, merrni parasysh formulën për diferencën në katror.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Për të ngritur një shprehje në fuqinë e dytë, duhet ta shumëzoni këtë shprehje në vetvete.

a - b 2 = a - b a - b .

Le të zgjerojmë kllapat:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula është e vërtetuar. FSU-të e mbetura janë vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Shembuj të aplikimit të FSU

Qëllimi i përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit është që të shumëzohen shpejt dhe në mënyrë koncize dhe të ngrihen shprehjet në fuqi. Sidoqoftë, kjo nuk është e gjithë fusha e zbatimit të FSU. Ato përdoren gjerësisht në reduktimin e shprehjeve, reduktimin e thyesave dhe faktorizimin e polinomeve. Le të japim shembuj.

Shembull 1. FSU

Le të thjeshtojmë shprehjen 9 y - (1 + 3 y) 2.

Le të zbatojmë formulën e shumës së katrorëve dhe të marrim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Shembulli 2. FSU

Le të zvogëlojmë thyesën 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vëmë re se shprehja në numërues është ndryshimi i kubeve, dhe në emërues është ndryshimi i katrorëve.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Ne zvogëlojmë dhe marrim:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-të gjithashtu ndihmojnë në llogaritjen e vlerave të shprehjeve. Gjëja kryesore është të jeni në gjendje të vini re se ku të aplikoni formulën. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Le të vendosim në katror numrin 79. Në vend të llogaritjeve të rënda, le të shkruajmë:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Do të duket llogaritje komplekse kryhet shpejt vetëm duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe tabelat e shumëzimit.

Një tjetër pikë e rëndësishme- identifikimi i katrorit të binomit. Shprehja 4 x 2 + 4 x - 3 mund të shndërrohet në 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Transformime të tilla përdoren gjerësisht në integrim.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Shumëzimi i një polinomi me një polinom

! te shumëzojmë një polinom me një polinom, ju duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të polinomit tjetër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Kini kujdes! Çdo term ka shenjën e vet.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit Polinomet janë përgjithësisht 7 (shtatë) raste të zakonshme të shumëzimit të polinomeve.

Përkufizimet dheFormulat e shkurtuara të shumëzimit. Tabela

Tabela 2. Përkufizime të formulave të shkurtuara të shumëzimit (kliko për ta zmadhuar)

Tre formula të shkurtuara shumëzimi për katrorët

1. Formula për shumën në katror.

Sheshi i shumës dy shprehje është e barabartë me katrorin e shprehjes së parë plus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Për të kuptuar më mirë formulën, së pari le të thjeshtojmë shprehjen (të zgjerojmë formulën për katrorin e shumës)

Tani le të faktorizojmë (palos formulën)

Sekuenca e veprimeve gjatë faktorizimit:

1. përcaktoni se cilët monomë janë katrorë ( 5 Dhe 3 m);
2. kontrolloni nëse produkti i tyre i dyfishtë është në mes të formulës (2 5 3m = 30 m);
3. shkruani përgjigjen (5 + 3 m) 2.

2. Formula e diferencës katrore

Diferenca në katror dy shprehje është e barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Së pari, le të thjeshtojmë shprehjen (zgjerojmë formulën):

Dhe pastaj anasjelltas, le ta faktorizojmë atë (palos formulën):

3. Formula e diferencës katrore

Prodhimi i shumës së dy shprehjeve dhe ndryshimi i tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Le të rrëzojmë formulën (kryejmë shumëzim)

Tani le të zgjerojmë formulën (faktoroni atë)

Katër formula të shkurtuara të shumëzimit për kube

4. Formula për kubin e shumës së dy numrave

Kubi i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehje e dytë.

Sekuenca e veprimeve kur "kolapsoni" formulën:

1. gjeni monomë që janë prerë në kubikë (këtu 4x Dhe 1 );
2. kontrolloni kushtet mesatare për pajtueshmërinë me formulën;
3. shkruani përgjigjen.

5. Formula për kubin e diferencës së dy numrave

Kubi i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehje e dytë.

6. Formula për shumën e kubeve

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me produktin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

Dhe mbrapa:

7. Dallimi i formulës së kubeve

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit midis shprehjeve të para dhe të dyta dhe katrorin e pjesshëm të shumës së këtyre shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Tabela

Një shembull i përdorimit të formulave në praktikë (llogaritje gojore).

Detyra: Gjeni sipërfaqen e një katrori me brinjë a = 71 cm.

Zgjidhja: S = a 2 . Duke përdorur formulën e shumës në katror, ​​kemi

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Përgjigje: 5041 cm 2