Kur një sistem ka vetëm një zgjidhje. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare

Siç është e qartë nga Teorema e Kramerit, gjatë zgjidhjes së sistemit ekuacionet lineare Mund të ndodhin tre raste:

Rasti i parë: një sistem ekuacionesh lineare ka një zgjidhje unike

(sistemi është konsistent dhe i përcaktuar)

Rasti i dytë: një sistem ekuacionesh lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh

(sistemi është konsistent dhe i pasigurt)

** ,

ato. koeficientët e të panjohurave dhe të termave të lirë janë proporcionalë.

Rasti i tretë: sistemi i ekuacioneve lineare nuk ka zgjidhje

(sistemi është i paqëndrueshëm)

Pra sistemi m ekuacionet lineare me n të quajtura variabla jo të përbashkët, nëse ajo nuk ka një zgjidhje të vetme, dhe të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje. Një sistem i njëkohshëm ekuacionesh që ka vetëm një zgjidhje quhet të caktuara, dhe më shumë se një - i pasigurt.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer

Le të jepet sistemi

Bazuar në teoremën e Kramerit

………….
,

Ku
-

përcaktues i sistemit. Ne marrim përcaktuesit e mbetur duke zëvendësuar kolonën me koeficientët e ndryshores përkatëse (të panjohur) me terma të lirë:

Shembulli 2.

Prandaj, sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, (1; 0; -1) është e vetmja zgjidhje për sistemin.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Nëse në një sistem ekuacionesh lineare nuk ka ndryshore në një ose më shumë ekuacione, atëherë në përcaktor elementët përkatës janë të barabartë me zero! Ky është shembulli tjetër.

Shembulli 3. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Shikoni me kujdes sistemin e ekuacioneve dhe përcaktorin e sistemit dhe përsëritni përgjigjen e pyetjes në cilat raste një ose më shumë elementë të përcaktorit janë të barabartë me zero. Pra, përcaktorja nuk është e barabartë me zero, prandaj sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, zgjidhja e sistemit është (2; -1; 1).

6. Sistemi i përgjithshëm i ekuacioneve algjebrike lineare. Metoda e Gausit.

Siç kujtojmë, rregulli i Cramer-it dhe metoda e matricës janë të papërshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është i paqëndrueshëm. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe më i gjithanshëm për gjetjen e zgjidhjeve për çdo sistem ekuacionesh lineare, e cila në çdo rast do të na çojë te përgjigjja! Vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri për përcaktuesit, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojitet vetëm njohuri për veprimet aritmetike, gjë që e bën atë të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollës. klasat fillore.

Së pari, le të sistemojmë pak njohuri rreth sistemeve të ekuacioneve lineare. Një sistem ekuacionesh lineare mund të:

1) Keni një zgjidhje unike.
2) Keni pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).

Metoda e Gausit është mjeti më i fuqishëm dhe universal për gjetjen e një zgjidhjeje ndonjë sistemet e ekuacioneve lineare. Siç kujtojmë, Rregulla e Cramer-it dhe metoda e matricës janë të papërshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent. Dhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave Gjithsesi do të na çojë në përgjigje! Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë përsëri metodën Gauss për rastin Nr. 1 (zgjidhja e vetme për sistemin), artikulli i kushtohet situatave të pikave Nr. 2-3. Unë vërej se vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet.

Le të kthehemi në sistemi më i thjeshtë nga klasa Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare?
dhe zgjidhni atë duke përdorur metodën Gaussian.

Hapi i parë është të shkruani matrica e zgjeruar e sistemit:
. Unë mendoj se të gjithë mund të shohin se me çfarë parimi janë shkruar koeficientët. Linja vertikale brenda matricës nuk ka ndonjë kuptim matematikor - është thjesht një hapje për lehtësinë e projektimit.

Referenca:Unë ju rekomandoj të mbani mend kushtet algjebër lineare. Matrica e Sistemitështë një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët për të panjohurat, në këtë shembull matrica e sistemit: . Matrica e Zgjeruar e Sistemit– kjo është e njëjta matricë e sistemit plus një kolonë me terma të lirë, në këtë rast: . Për shkurtësi, çdo matricë mund të quhet thjesht një matricë.

Pasi të jetë shkruar matrica e zgjeruar e sistemit, është e nevojshme të kryhen disa veprime me të, të cilat quhen gjithashtu transformimet elementare.

Ekzistojnë transformimet e mëposhtme elementare:

1) Vargjet matricat mund të riorganizohet në disa vende. Për shembull, në matricën në shqyrtim, mund të riorganizoni pa dhimbje rreshtat e parë dhe të dytë:

2) Nëse ka (ose janë shfaqur) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike) në matricë, atëherë duhet të fshij nga matrica të gjitha këto rreshta përveç njërit. Konsideroni, për shembull, matricën . Në këtë matricë, tre rreshtat e fundit janë proporcionalë, kështu që mjafton të lihet vetëm një prej tyre: .

3) Nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij. Nuk do të vizatoj, sigurisht, vija zero është vija në të cilën të gjitha zero.

4) Rreshti i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër jo zero. Konsideroni, për shembull, matricën . Këtu këshillohet të ndani rreshtin e parë me -3 dhe të shumëzoni rreshtin e dytë me 2: . Ky veprim është shumë i dobishëm sepse thjeshton transformimet e mëtejshme të matricës.

5) Ky transformim shkakton më së shumti vështirësi, por në fakt nuk ka as asgjë të komplikuar. Në një rresht të një matrice mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero. Le të shohim matricën tonë nga një shembull praktik: . Së pari unë do të përshkruaj transformimin në detaje të mëdha. Shumëzojeni rreshtin e parë me –2: , Dhe në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –2: . Tani rreshti i parë mund të ndahet "prapa" me –2: . Siç mund ta shihni, linja që ADD LI – nuk ka ndryshuar. Gjithmonë ndryshon rreshti QË ËSHTË SHTUAR UT.

Në praktikë, natyrisht, ata nuk e shkruajnë atë në mënyrë kaq të detajuar, por e shkruajnë shkurtimisht:

Edhe një herë: në rreshtin e dytë shtoi rreshtin e parë shumëzuar me –2. Një rresht zakonisht shumëzohet me gojë ose në një draft, me procesin e llogaritjes mendore që shkon diçka si kjo:

"Unë rishkruaj matricën dhe rishkruaj rreshtin e parë: »

“Kollona e parë. Në fund më duhet të marr zero. Prandaj, unë e shumëzoj atë në krye me –2: , dhe i shtoj të parën rreshtit të dytë: 2 + (–2) = 0. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Tani kolona e dytë. Në krye, unë shumëzoj -1 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: 1 + 2 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Dhe kolona e tretë. Në krye shumëzoj -5 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: –7 + 10 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

Ju lutemi kuptoni me kujdes këtë shembull dhe kuptoni algoritmin e llogaritjes sekuenciale, nëse e kuptoni këtë, atëherë metoda Gaussian është praktikisht në xhepin tuaj. Por, sigurisht, ne do të punojmë ende për këtë transformim.

Shndërrimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve

! KUJDES: konsiderohen manipulime nuk mund të përdoret, nëse ju ofrohet një detyrë ku matricat jepen "vetë". Për shembull, me "klasike" veprimet me matrica Në asnjë rrethanë nuk duhet të riorganizoni asgjë brenda matricave!

Le të kthehemi në sistemin tonë. Praktikisht bëhet copë-copë.

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta zvogëlojmë atë në pamje me shkallë:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Dhe përsëri: pse e shumëzojmë rreshtin e parë me –2? Për të marrë zero në fund, që do të thotë të heqësh qafe një ndryshore në rreshtin e dytë.

(2) Ndani rreshtin e dytë me 3.

Qëllimi i transformimeve elementare – zvogëlojeni matricën në formë hap pas hapi: . Në hartimin e detyrës, ata thjesht shënojnë "shkallët" me një laps të thjeshtë, dhe gjithashtu rrethojnë numrat që ndodhen në "hapat". Vetë termi "pamje e shkallëzuar" nuk është tërësisht teorik, në shkencë dhe literaturë edukative shpesh quhet pamje trapezoidale ose pamje trekëndore.

Si rezultat i transformimeve elementare, kemi marrë ekuivalente sistemi origjinal i ekuacioneve:

Tani sistemi duhet të "zhbëhet" në drejtim të kundërt - nga poshtë lart, quhet ky proces e kundërta e metodës Gaussian.

Në ekuacionin e poshtëm tashmë kemi një rezultat të gatshëm: .

Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësojmë vlerën e njohur tashmë të "y" në të:

Le të shqyrtojmë situatën më të zakonshme, kur metoda Gaussian kërkon zgjidhjen e një sistemi prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura.

Shembulli 1

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Tani do të nxjerr menjëherë rezultatin që do të arrijmë gjatë zgjidhjes:

Dhe e përsëris, qëllimi ynë është ta sjellim matricën në një formë hap pas hapi duke përdorur transformime elementare. Ku të fillojë?

Së pari, shikoni numrin lart majtas:

Duhet të jetë pothuajse gjithmonë këtu njësi. Në përgjithësi, –1 (dhe nganjëherë numra të tjerë) do të bëjnë, por disi ka ndodhur tradicionalisht që një të tillë zakonisht vendoset atje. Si të organizoni një njësi? Ne shikojmë kolonën e parë - kemi një njësi të përfunduar! Transformimi i parë: ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë:

Tani rreshti i parë do të mbetet i pandryshuar deri në fund të zgjidhjes. Tani mirë.

Njësia në këndin e sipërm majtas është e organizuar. Tani ju duhet të merrni zero në këto vende:

Ne marrim zero duke përdorur një transformim "të vështirë". Së pari merremi me rreshtin e dytë (2, –1, 3, 13). Çfarë duhet bërë për të marrë zero në pozicionin e parë? Duhet të në rreshtin e dytë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –2. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –2: (–2, –4, 2, –18). Dhe ne vazhdimisht kryejmë (përsëri mendërisht ose në një draft) shtesë, në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë, tashmë të shumëzuar me –2:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e dytë:

Ne trajtojmë rreshtin e tretë në të njëjtën mënyrë (3, 2, -5, -1). Për të marrë një zero në pozicionin e parë, ju duhet në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –3: (–3, –6, 3, –27). DHE në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –3:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e tretë:

Në praktikë, këto veprime zakonisht kryhen me gojë dhe shkruhen në një hap:

Nuk ka nevojë të numëroni gjithçka menjëherë dhe në të njëjtën kohë. Rendi i llogaritjeve dhe "shkrimi" i rezultateve konsistente dhe zakonisht është kështu: së pari ne rishkruajmë rreshtin e parë, dhe ngadalë fryjmë veten - në mënyrë të vazhdueshme dhe ME KUJDES:

Dhe unë kam diskutuar tashmë procesin mendor të vetë llogaritjeve më lart.

Në këtë shembull, kjo është e lehtë për t'u bërë, ne e ndajmë rreshtin e dytë me –5 (pasi të gjithë numrat janë të pjesëtueshëm me 5 pa mbetje). Në të njëjtën kohë, ne e ndajmë rreshtin e tretë me –2, sepse sa më i vogël të jetë numri, aq zgjidhje më e thjeshtë:

Aktiv fazën përfundimtare transformimet elementare ju duhet të merrni një zero tjetër këtu:

Për këtë në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e dytë të shumëzuar me –2:

Mundohuni ta kuptoni vetë këtë veprim - shumëzoni mendërisht rreshtin e dytë me –2 dhe kryeni mbledhjen.

Veprimi i fundit i kryer është modeli i flokëve të rezultatit, ndajeni vijën e tretë me 3.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent ekuacionesh lineare:

I ftohtë.

Tani e kundërta e metodës Gaussian hyn në lojë. Ekuacionet "zgjidhen" nga poshtë lart.

Në ekuacionin e tretë tashmë kemi një rezultat të gatshëm:

Le të shohim barazimin e dytë: . Kuptimi i "zet" tashmë dihet, kështu:

Dhe së fundi, ekuacioni i parë: . "Igrek" dhe "zet" janë të njohura, është vetëm një çështje e gjërave të vogla:

Përgjigju:

Siç është vërejtur tashmë disa herë, për çdo sistem ekuacionesh është e mundur dhe e nevojshme të kontrollohet zgjidhja e gjetur, për fat të mirë, kjo është e lehtë dhe e shpejtë.

Shembulli 2

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, një mostër e modelit përfundimtar dhe një përgjigje në fund të mësimit.

Duhet të theksohet se juaj progresin e vendimit mund të mos përkojë me procesin tim të vendimit, dhe kjo është një veçori e metodës së Gausit. Por përgjigjet duhet të jenë të njëjta!

Shembulli 3

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Unë bëra këtë:
(1) Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një lëvizje shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

(2) Rreshti i parë i shumëzuar me 5 iu shtua rreshtit të dytë.

(3) Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

(4) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 2.

(5) Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë e keqe që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse marrim diçka si , më poshtë dhe, në përputhje me rrethanat, , atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë transformimeve elementare.

Ne ngarkojmë të kundërtën, në hartimin e shembujve ata shpesh nuk e rishkruajnë vetë sistemin, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Goditja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Po, këtu është një dhuratë:

Përgjigju: .

Shembulli 4

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, është disi më i ndërlikuar. Është në rregull nëse dikush ngatërrohet. Zgjidhja e plotë dhe modeli i mostrës në fund të mësimit. Zgjidhja juaj mund të jetë e ndryshme nga zgjidhja ime.

Në pjesën e fundit do të shikojmë disa veçori të algoritmit Gaussian.
Karakteristika e parë është se ndonjëherë disa variabla mungojnë në ekuacionet e sistemit, për shembull:

Si të shkruani saktë matricën e zgjeruar të sistemit? Unë kam folur tashmë për këtë pikë në klasë. Rregulli i Kramerit. Metoda e matricës. Në matricën e zgjeruar të sistemit, ne vendosim zero në vend të variablave që mungojnë:

Nga rruga, ky është një shembull mjaft i lehtë, pasi kolona e parë tashmë ka një zero, dhe ka më pak transformime elementare për të kryer.

Karakteristika e dytë është kjo. Në të gjithë shembujt e shqyrtuar, ne vendosëm ose –1 ose +1 në "hapat". A mund të ketë numra të tjerë atje? Në disa raste munden. Konsideroni sistemin: .

Këtu në "hapin" e sipërm të majtë kemi një dy. Por vërejmë faktin se të gjithë numrat në kolonën e parë janë të pjesëtueshëm me 2 pa mbetje - dhe tjetri është dy dhe gjashtë. Dhe të dy lart majtas do të na përshtaten! Në hapin e parë, duhet të kryeni transformimet e mëposhtme: shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –1 në rreshtin e dytë; në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Në këtë mënyrë do të marrim zerat e kërkuara në kolonën e parë.

Ose një shembull tjetër konvencional: . Këtu na përshtaten edhe treja në "hapin" e dytë, pasi 12 (vendi ku duhet të marrim zero) ndahet me 3 pa mbetje. Është e nevojshme të kryhet transformimi i mëposhtëm: shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, shumëzuar me -4, si rezultat i së cilës do të merret zeroja që na nevojitet.

Metoda e Gausit është universale, por ka një veçori. Ju mund të mësoni me besim të zgjidhni sisteme duke përdorur metoda të tjera (metoda e Cramer, metoda e matricës) fjalë për fjalë herën e parë - ata kanë një algoritëm shumë të rreptë. Por, në mënyrë që të ndiheni të sigurt në metodën Gaussian, duhet të arrini mirë në të dhe të zgjidhni të paktën 5-10 sisteme. Prandaj, në fillim mund të ketë konfuzion dhe gabime në llogaritjet, dhe nuk ka asgjë të pazakontë ose tragjike për këtë.

Moti me shi vjeshte jashtë dritares.... Prandaj, për të gjithë ata që duan më shumë shembull kompleks për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 5

Zgjidh një sistem prej katër ekuacionesh lineare me katër të panjohura duke përdorur metodën e Gausit.

Një detyrë e tillë nuk është aq e rrallë në praktikë. Unë mendoj se edhe një çajnik që e ka studiuar plotësisht këtë faqe do të kuptojë algoritmin për zgjidhjen e një sistemi të tillë në mënyrë intuitive. Në thelb, gjithçka është e njëjtë - ka vetëm më shumë veprime.

Në mësim diskutohen rastet kur sistemi nuk ka zgjidhje (jokonsistente) ose ka pafundësisht shumë zgjidhje. Sisteme dhe sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët. Aty mund të rregulloni algoritmin e konsideruar të metodës Gaussian.

Ju uroj suksese!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhje: Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi.

Transformimet elementare të kryera:
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –1. Kujdes! Këtu mund të tundoheni të zbrisni të parën nga rreshti i tretë, unë rekomandoj shumë të mos e zbritni atë - rreziku i gabimit rritet shumë. Thjesht paloseni!
(2) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Linjat e dyta dhe të treta janë ndërruar. shënim, që në “hapa” nuk mjaftohemi vetëm me një, por edhe me –1, që është edhe më i përshtatshëm.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 5.
(4) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Rreshti i tretë u nda me 14.

E kundërta:

Përgjigju: .

Shembulli 4: Zgjidhje: Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Konvertimet e kryera:
(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i dytë. Kështu, njësia e dëshiruar organizohet në "hapin" e sipërm majtas.
(2) Rreshtit të dytë i shtohet rreshti i parë i shumëzuar me 7. Rreshtit të tretë i është shtuar rreshti i parë i shumëzuar me 6.

Me "hapin" e dytë gjithçka përkeqësohet, "kandidatët" për të janë numrat 17 dhe 23, dhe na duhet ose një ose –1. Transformimet (3) dhe (4) do të synojnë marrjen e njësisë së dëshiruar

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.
(4) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –3.
Artikulli i kërkuar në hapin e dytë është marrë. .
(5) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 6.

Si pjesë e mësimeve Metoda Gaussian Dhe Sisteme/sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët kemi konsideruar sistemet johomogjene të ekuacioneve lineare, Ku anëtar i lirë(që zakonisht është në të djathtë) të paktën një nga ekuacionet ishte ndryshe nga zero.
Dhe tani, pas një ngrohjeje të mirë me renditja e matricës, ne do të vazhdojmë të lustrojmë teknikën transformimet elementare në sistemi homogjen i ekuacioneve lineare.
Bazuar në paragrafët e parë, materiali mund të duket i mërzitshëm dhe mediokër, por kjo përshtypje është mashtruese. Përveç zhvillimit të mëtejshëm të teknikave teknike, do të ketë shumë informacione të reja, ndaj ju lutemi përpiquni të mos lini pas dore shembujt në këtë artikull.

Zgjidhje. A= . Le të gjejmë r(A). Sepse matricë Dhe ka porosi 3x4, atëherë rendit më të lartë të miturit është e barabartë me 3. Për më tepër, të gjithë të miturit e rendit të tretë janë të barabartë me zero (kontrollojeni vetë). Do të thotë, r(A)< 3. Возьмем главный bazë e vogël = -5-4 = -9 ≠ 0. Prandaj r(A) =2.

Le të shqyrtojmë matricë ME = .

E treta e vogël urdhëroj ≠ 0. Pra r(C) = 3.

Që nga r(A) ≠ r(C), atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

Shembulli 2. Përcaktoni përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh

Zgjidheni këtë sistem nëse rezulton të jetë konsistent.

Zgjidhje.

A = , C = . Është e qartë se r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Meqenëse detC = 0, atëherë r(C)< 4. Le të shqyrtojmë e mitur e treta urdhëroj, e vendosur në këndin e sipërm të majtë të matricës A dhe C: = -23 ≠ 0. Pra r(A) = r(C) = 3.

Numri i panjohur në sistemin n=3. Kjo do të thotë që sistemi ka një zgjidhje unike. Në këtë rast, ekuacioni i katërt përfaqëson shumën e tre të parëve dhe mund të injorohet.

Sipas formulave të Cramer-it marrim x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda e matricës. Metoda Gaussian

sistemi n ekuacionet lineare Me n të panjohurat mund të zgjidhen metoda e matricës sipas formulës X = A -1 B (në Δ ≠ 0), e cila fitohet nga (2) duke shumëzuar të dyja pjesët me A -1.

Shembull 1. Zgjidh një sistem ekuacionesh

metoda e matricës (në seksionin 2.2 ky sistem u zgjidh duke përdorur formulat e Cramer-it)

Zgjidhje. Δ = 10 ≠ 0 A = - matricë jo e degjeneruar.

= (kontrollojeni vetë këtë duke bërë llogaritjet e nevojshme).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Përgjigju: .

Nga pikëpamja praktike metoda dhe formulat e matricës Kramer janë të lidhura me një sasi të madhe llogaritjesh, ndaj jepet përparësi Metoda Gaussian, e cila konsiston në eliminimin vijues të të panjohurave. Për ta bërë këtë, sistemi i ekuacioneve reduktohet në një sistem ekuivalent me një matricë të zgjatur trekëndore (të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero). Këto veprime quhen lëvizje përpara. Nga sistemi trekëndor që rezulton, variablat gjenden duke përdorur zëvendësime të njëpasnjëshme (e kundërta).

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e Gausit

(Më sipër, ky sistem u zgjidh duke përdorur formulën e Cramer dhe metodën e matricës).

Zgjidhje.

Lëvizje e drejtpërdrejtë. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta zvogëlojmë atë në formë trekëndore:

~ ~ ~ ~ .

marrim sistemi

Lëvizja e kundërt. Nga ekuacioni i fundit gjejmë X 3 = -6 dhe zëvendësojeni këtë vlerë në ekuacionin e dytë:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Përgjigju: .

2.5. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi ekuacionesh lineare

Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare = b i(i=). Le të jetë r(A) = r(C) = r, d.m.th. sistemi është bashkëpunues. Çdo minor i rendit r përveç zeros është bazë e vogël. Pa humbur përgjithësinë, do të supozojmë se baza e vogël ndodhet në r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rreshtat dhe kolonat e para të matricës A. Hedhja e fundit ekuacionet m-r sisteme, ne shkruajmë një sistem të shkurtuar:

që është ekuivalente me origjinalin. Le të emërtojmë të panjohurat x 1,….x r bazë, dhe x r +1 ,…, x r lironi dhe zhvendosni termat që përmbajnë të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit të cunguar. Ne marrim një sistem në lidhje me të panjohurat themelore:

të cilat për çdo grup vlerash të panjohurash të lira x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r ka vetëm një zgjidhje x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), gjetur nga rregulli i Cramer-it.

Zgjidhja përkatëse sistemi i shkurtuar dhe për këtë arsye sistemi origjinal ka formën:

X(C 1,…, C n-r) = - zgjidhje e përgjithshme e sistemit.

Nëse në zgjidhjen e përgjithshme japim disa të panjohura të lira vlerat numerike, atëherë marrim një zgjidhje të sistemit linear, të quajtur parcial.

Shembull. Vendosni përputhshmërinë dhe gjeni një zgjidhje të përgjithshme të sistemit

Zgjidhje. A = , C = .

Kështu që Si r(A)= r(C) = 2 (shiko këtë vetë), atëherë sistemi origjinal është konsistent dhe ka një numër të pafund zgjidhjesh (pasi r< 4).

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është një nga problemet kryesore të algjebrës lineare. Kjo detyrë ka një të rëndësishme vlerë e aplikuar kur zgjidh problemet shkencore dhe teknike, përveç kësaj, është ndihmës në zbatimin e shumë algoritmeve në matematikën llogaritëse, fizikën matematikore dhe përpunimin e rezultateve të kërkimit eksperimental.

Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare quhet sistem ekuacionesh të formës: (1)

Ku – i panjohur; - anëtarë të lirë.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh(1) thirrni çdo koleksion numrash që, kur vendosen në sistemin (1) në vend të të panjohurve konverton të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi numerike të sakta.

Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje.

Sistemi i njëkohshëm i ekuacioneve quhet të caktuara, nëse ka një zgjidhje unike, dhe i pasigurt, nëse ka të paktën dy zgjidhje të ndryshme.

Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente ose ekuivalente, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.

Sistemi (1) quhet homogjene, nëse kushtet e lira janë zero:

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent - ai ka një zgjidhje (ndoshta jo i vetmi).

Nëse në sistemin (1), atëherë kemi sistemin n ekuacionet lineare me n i panjohur: Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Një sistem linear mund të ketë një zgjidhje të vetme, pafundësisht shumë zgjidhje ose asnjë zgjidhje fare.

Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura

Nëse atëherë sistemi ka një zgjidhje unike;

Nëse atëherë sistemi nuk ka zgjidhje;

Nëse atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Shembull. Sistemi ka një zgjidhje unike për një çift numrash

Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, zgjidhjet për një sistem të caktuar janë çifte numrash, etj.

Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi ndryshimi i dy numrave nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme.

Përkufizimi. Përcaktues i rendit të dytë quhet një shprehje e formës:

Përcaktori caktohet me simbolin D.

Numrat A 11, …, A 22 quhen elemente të përcaktorit.

Diagonale e formuar nga elementë A 11 ; A 22 quhen kryesore diagonale e formuar nga elementë A 12 ; A 21 − anësor

Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Vini re se përgjigja është një numër.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura: Ku X 1, X 2 – i panjohur; A 11 , …, A 22 - koeficientët për të panjohurat, b 1 , b 2 – anëtarë të lirë.

Nëse një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura ka një zgjidhje unike, atëherë mund të gjendet duke përdorur përcaktorë të rendit të dytë.

Përkufizimi. Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktues i sistemit: D= .

Kolonat e përcaktorit D përmbajnë koeficientët, përkatësisht, për X 1 dhe në , X 2. Le të prezantojmë dy kualifikues shtesë, të cilat fitohen nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar njërën nga kolonat me një kolonë termash të lira: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Kramer, për rastin n=2). Nëse përcaktorja D e sistemit është i ndryshëm nga zero (D¹0), atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat:

Këto formula quhen Formulat e Cramer-it.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer:

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Përgjigju.

Përkufizimi. Përcaktori i rendit të tretë quhet një shprehje e formës:

Elementet A 11; A 22 ; A 33 - formoni diagonalen kryesore.

Numrat A 13; A 22 ; A 31 - formoni një diagonale anësore.

Hyrja me plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e mbetur janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore. Termat minus formohen sipas të njëjtës skemë në lidhje me diagonalen dytësore.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Në rastin e një zgjidhjeje unike, një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura mund të zgjidhet duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë.

Përcaktori i sistemit D ka formën:

Le të prezantojmë tre përcaktues shtesë:

Teorema 15(Kramer, për rastin n=3). Nëse përcaktorja D e sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat e Cramer:

Shembull. Le të zgjidhim sistemin sipas rregullit të Cramer-it.

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Le të përdorim formulat e Cramer dhe të gjejmë zgjidhjen për sistemin origjinal:

Përgjigju.

Vini re se teorema e Cramer-it është e zbatueshme kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe kur përcaktorja e sistemit D është jozero.

Nëse përcaktorja e një sistemi është e barabartë me zero, atëherë në këtë rast sistemi ose mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë një numër të pafund zgjidhjesh. Këto raste studiohen veçmas.

Le të vërejmë vetëm një rast. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero (D=0), dhe të paktën një nga përcaktorët shtesë është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, domethënë është i paqëndrueshëm.

Teorema e Cramer-it mund të përgjithësohet në sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur: Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Nëse përcaktorja e një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura atëherë e vetmja zgjidhje për sistemin gjendet duke përdorur formulat e Cramer:

Kualifikues shtesë fitohet nga përcaktorja D nëse përmban një kolonë koeficientësh për të panjohurën x i zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë.

Vini re se përcaktorët D, D 1 , ... , D n kanë rregull n.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

Një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave. −Metoda e Gausit. Kjo metodë është një përgjithësim i metodës së zëvendësimit dhe konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave derisa të mbetet një ekuacion me një të panjohur.

Metoda bazohet në disa transformime të një sistemi ekuacionesh lineare, që rezulton në një sistem ekuivalent me sistemin origjinal. Algoritmi i metodës përbëhet nga dy faza.

Faza e parë quhet drejt përpara Metoda e Gausit. Ai konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave nga ekuacionet. Për ta bërë këtë, në hapin e parë, ndani ekuacionin e parë të sistemit me (përndryshe, riorganizoni ekuacionet e sistemit). Ata tregojnë koeficientët e ekuacionit të reduktuar që rezulton, e shumëzojnë atë me koeficientin dhe e zbresin atë nga ekuacioni i dytë i sistemit, duke e eliminuar atë nga ekuacioni i dytë (zero koeficientin ).

Bëni të njëjtën gjë me ekuacionet e mbetura dhe merrni një sistem të ri, në të gjitha ekuacionet e të cilit, duke filluar nga i dyti, koeficientët për , përmbajnë vetëm zero. Natyrisht, sistemi i ri që rezulton do të jetë i barabartë me sistemin origjinal.

Nëse koeficientët e rinj, për , nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ata mund të përjashtohen në të njëjtën mënyrë nga ekuacioni i tretë dhe i mëpasshëm. Duke vazhduar këtë operacion për të panjohurat e mëposhtme, sistemi sillet në të ashtuquajturën formë trekëndore:

Këtu simbolet tregojnë koeficientët numerikë dhe termat e lirë që kanë ndryshuar si rezultat i transformimeve.

Nga ekuacioni i fundit, sistemi përcaktohet në mënyrë unike dhe më pas, me zëvendësim vijues, përcaktohen të panjohurat e mbetura.

Koment. Ndonjëherë, si rezultat i transformimeve, në cilindo nga ekuacionet të gjithë koeficientët dhe ana e djathtë kthehen në zero, domethënë ekuacioni kthehet në identitetin 0=0. Duke eleminuar një ekuacion të tillë nga sistemi, numri i ekuacioneve zvogëlohet në krahasim me numrin e të panjohurave. Një sistem i tillë nuk mund të ketë një zgjidhje të vetme.

Nëse, në procesin e aplikimit të metodës Gauss, çdo ekuacion kthehet në një barazi të formës 0 = 1 (koeficientët për të panjohurat kthehen në 0, dhe ana e djathtë merr një vlerë jo zero), atëherë sistemi origjinal nuk ka zgjidhje, pasi një barazi e tillë është e pasaktë për çdo vlerë të panjohur.

Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

(2)

Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në sektorin ekonomik për modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhni problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e ndryshoreve, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metodat grafike dhe matricore, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhja e këtij shembulli është e lehtë dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar veprimet matematikore është një ekuacion me një ndryshore.

Për Aplikimet këtë metodë kërkohet praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat veprim aritmetik një nga koeficientët e ndryshores duhet të jetë i barabartë me 1.
Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në një trinom kuadratik standard. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda konsiston në ndërtimin e grafikëve të çdo ekuacioni të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të kryqëzimit të kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetjen e një zgjidhjeje grafike të një sistemi ekuacionesh lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar në mënyrë koncize një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësie një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë;

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsionet për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të zvogëloni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

Në matematikën e lartë, metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variabla të sistemeve me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet me zëvendësim dhe mbledhje algjebrike, por është më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të reduktojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me anë të shndërrimeve dhe zëvendësimeve algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gauss përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga studentët gjimnaz, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe mësimore të avancuara në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe veprimet e nevojshme algjebrike vazhdojnë derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Gjetja e zgjidhjeve për një sistem linear
Aplikacione portative Windows në Bodrenko.com

§2. Gjetja e zgjidhjeve për një sistem linear

Teorema Kronecker-Capelli vendos një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për pajtueshmërinë e një sistemi linear, por nuk ofron një mënyrë për të gjetur zgjidhje për këtë sistem.
Në këtë pjesë do të gjejmë zgjidhje për sistemin linear (3.1). Së pari, do të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë të një sistemi kuadratik të ekuacioneve lineare me një përcaktues jozero të matricës kryesore, dhe më pas do të kalojmë në gjetjen e grupit të të gjitha zgjidhjeve për sistemin e përgjithshëm linear të formës (3.1).
1. Sistemi kuadratik i ekuacioneve lineare me një përcaktor jozero të matricës kryesore. Le të jepet një sistem kuadratik ekuacionesh lineare

me një përcaktor jozero Δ të matricës kryesore

Le të vërtetojmë se një sistem i tillë ka, dhe, për më tepër, një zgjidhje unike, dhe të gjejmë këtë zgjidhje. Së pari, ne do të vërtetojmë se sistemi (3.10) mund të ketë vetëm një zgjidhje (d.m.th., ne do të vërtetojmë veçantinë e zgjidhjes për sistemin (3.10) nën supozimin e ekzistencës së tij).
Supozoni se ka n numra x 1, x 2,..., x n të tillë që kur zëvendësohen këta numra në sistemin (3.10), të gjitha ekuacionet e këtij sistemi bëhen identitete (d.m.th., ekziston një zgjidhje për sistemin (3.10) x 1, x 2,..., x n). Më pas, duke shumëzuar identitetet (3.10) përkatësisht me plotësuesit algjebrikë A 1j , A 2j ,..., A nj elementet e kolonës j-ro të përcaktorit Δ të matricës (3.11) dhe më pas duke mbledhur identitetet që rezultojnë, ne merrni (për çdo numër j, i barabartë me 1, 2,..., n)

Duke marrë parasysh se shuma e produkteve të elementeve të kolonës së i-të me plotësimet algjebrike përkatëse të elementeve të kolonës j-ro është e barabartë me zero për i ≠ j dhe e barabartë me përcaktorin Δ të matricës (3.11) për i = j (shih vetinë 4° nga paragrafi 4 i §2 të Kapitullit . 1), marrim nga barazia e fundit

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

Le të shënojmë me simbolinΔ j (b i ) (ose, më shkurt, simboliΔ j ) përcaktor i marrë nga përcaktorjaΔ matrica kryesore (3.11) duke zëvendësuar kolonën e saj j-të me një kolonë me terma të lirë b 1 , b 2 ,...,b n (duke mbajtur të pandryshuara të gjitha kolonat e tjera Δ ).
Vini re se në anën e djathtë të (3.12) është pikërisht përcaktori Δ j (b i) (për ta verifikuar këtë, mjafton të shkruhet zgjerimi i përcaktorit Δ j (b i) mbi elementët e kolonës i-të) , dhe kjo barazi merr formën

Δ x j = Δ j (3.13)

Meqenëse përcaktorja Δ e matricës (3.11) është jozero, barazitë (3.13) janë ekuivalente me relacionet

Kështu që ne e kemi vërtetuar këtë nëse zgjidhja x 1 , x 2 ,...,X n sistemi (3.10) me përcaktorΔ Ekziston matrica kryesore (3.11) e ndryshme nga zero, atëherë kjo zgjidhje përcaktohet në mënyrë unike nga formula (3.14).
Formulat (3.14) quhen Formulat e kramerit.
Le të theksojmë edhe një herë se formulat e Cramer-it deri më tani janë marrë nën supozimin e ekzistencës së një zgjidhjeje dhe provojnë veçantinë e saj.
Mbetet për të vërtetuar ekzistencën e një zgjidhjeje për sistemin (3.10). Për ta bërë këtë, në bazë të teoremës Kronecker-Capelli, mjafton të vërtetohet se rangu i matricës kryesore (3.11) është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar (ekziston një mënyrë tjetër për të vërtetuar ekzistencën e një zgjidhjeje për sistemi (3.10), i cili konsiston në kontrollimin se numrat x 1, x 2, .., x n, të përcaktuar nga formula e Cramer (3.14), i kthejnë të gjitha ekuacionet e sistemit (3.10) në identitete.

por kjo është e qartë, sepse për shkak të relacionit Δ ≠ 0, rangu i matricës kryesore është i barabartë me n, dhe rangu i matricës së zgjeruar (3.15) që përmban n rreshta nuk mund të jetë më i madh se numri n dhe për këtë arsye është e barabartë me gradën e matricës kryesore.
Kjo e vërteton plotësisht këtë sistemi kuadratik i ekuacioneve lineare (3.10) me përcaktuesin e matricës kryesore të ndryshme nga zero ka, dhe për më tepër, një zgjidhje unike të përcaktuar nga formulat Cramer (3.14).

Deklarata që kemi vërtetuar mund të vendoset edhe më thjesht duke përdorur metodën e matricës. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë (si në paragrafin 1 të § 1) sistemin (3.10) me ekuacionin e tij të matricës ekuivalente

AX = B, (3.16)

ku A është matrica kryesore e sistemit (3.11), dhe X dhe B janë kolona,

e para nga e cila duhet të përcaktohet dhe e dyta është dhënë.
Meqenëse përcaktorja Δ e matricës A është jo zero, ekziston një matricë e kundërt A -1 (shih paragrafin 7, §2, Kapitulli 1).
Le të supozojmë se ekziston një zgjidhje për sistemin (3.10), d.m.th. ekziston një kolonë X që e kthen ekuacionin e matricës (3.16) në një identitet. Duke shumëzuar identitetin e treguar në të majtë me matricën e kundërt A -1 do të kemi

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

Le të marrim tani parasysh se për shkak të vetive kombinuese të produktit të tre matricave (shih paragrafin 2, § 1, kapitulli 1) dhe për shkak të relacionit A -1 A = E, ku E është matrica e identitetit (shih paragrafin 7, §2, Kapitulli 1 ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, kështu që marrim nga (3.17)

X = A -1 V. (3.18)

Zgjerimi i barazisë (3.18) dhe marrja parasysh e formës së matricës së kundërt (shih formulën A.41) nga paragrafi 7 i §2 të K. 1), marrim formulat e Cramer për elementët e kolonës X.
Pra, ne kemi vërtetuar se nëse ekziston një zgjidhje për ekuacionin e matricës (3.16), atëherë ajo përcaktohet në mënyrë unike nga relacioni (3.18), ekuivalent me formulat e Cramer-it.
Është e lehtë të kontrollohet nëse kolona X e përcaktuar nga relacioni (3.18) është në fakt një zgjidhje e ekuacionit të matricës (3.16),
d.m.th., kur zëvendësohet në këtë ekuacion, ai e kthen atë në një identitet. Në fakt, nëse kolona X përcaktohet nga barazia (3.18), atëherë AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Pra, nëse përcaktori Δ i matricës A është i ndryshëm nga zero (d.m.th., nëse kjo matricë është jo njëjës), atëherë ekziston, dhe për më tepër, një zgjidhje unike për ekuacionin e matricës (3.16), e përcaktuar nga relacioni ( 3.18), ekuivalente me formulat e Cramer.
Shembull. Le të gjejmë zgjidhjen e një sistemi kuadratik të ekuacioneve lineare

me një përcaktor jozero të matricës kryesore

Sepse

atëherë, në bazë të formulave të Cramer-it, e vetmja zgjidhje për sistemin në shqyrtim ka formën x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4.
Rëndësia kryesore e formulave të Cramer është se ato ofrojnë një shprehje eksplicite për zgjidhjen e një sistemi kuadratik të ekuacioneve lineare (me një përcaktues jozero) për sa i përket koeficientëve të ekuacioneve dhe termave të lirë. Përdorimi praktik i formulave të Cramer-it përfshin llogaritje mjaft të rënda (për të zgjidhur një sistem n ekuacionesh me n të panjohura, duhet llogaritur përcaktorja e rendit n-të (n + 1). Kësaj duhet shtuar se nëse koeficientët e ekuacioneve dhe termave të lirë janë vetëm vlera të përafërta të çdo sasie fizike të matur ose janë të rrumbullakosura gjatë procesit të llogaritjes, atëherë përdorimi i formulave të Cramer mund të çojë në gabime të mëdha dhe në disa raste është e papërshtatshme.
Në §4 të Kapitullit 4, do të paraqitet metoda e rregullimit për shkak të A.N. Tikhonov dhe lejon që dikush të gjejë një zgjidhje për një sistem linear me një saktësi që korrespondon me saktësinë e specifikimit të matricës së koeficientëve të ekuacionit dhe kolonës së termave të lirë, dhe në kap. 6 jep një ide të të ashtuquajturave metoda përsëritëse për zgjidhjen e sistemeve lineare, të cilat bëjnë të mundur zgjidhjen e këtyre sistemeve duke përdorur përafrime të njëpasnjëshme të të panjohurave.
Si përfundim, vërejmë se në këtë pjesë kemi përjashtuar nga shqyrtimi rastin kur përcaktori Δ i matricës kryesore të sistemit (3.10) zhduket. Ky rast do të përfshihet në teori e përgjithshme sistemet e m ekuacioneve lineare me n të panjohura, të paraqitura në paragrafin vijues.
2. Gjetja e të gjitha zgjidhjeve të sistemit të përgjithshëm linear. Le të shqyrtojmë tani sistemin e përgjithshëm të m ekuacioneve lineare me n të panjohura (3.1). Le të supozojmë se ky sistem është konsistent dhe se rangu i matricave të tij kryesore dhe të zgjeruara është i barabartë me numrin r. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se baza minore e matricës kryesore (3.2) është në këndin e sipërm të majtë të kësaj matrice (rasti i përgjithshëm reduktohet në këtë rast duke riorganizuar ekuacionet dhe të panjohurat në sistemin (3.1).
Atëherë rreshtat e parë r të të dy matricës kryesore (3.2) dhe matricës së zgjeruar (3.8) janë rreshtat bazë të këtyre matricave (pasi rradhët e matricës kryesore dhe të zgjeruar janë të dyja të barabarta me r, minorja bazë e matricës kryesore do të jetë njëkohësisht minorja bazë e matricës së zgjeruar) dhe, sipas teoremës 1.6 në bazë minore, secila nga rreshtat e matricës së zgjeruar (1.8), duke filluar nga rreshti (r + 1), është një kombinim linear i rreshtat e parë r të kësaj matrice.
Për sa i përket sistemit (3.1), kjo do të thotë se secili prej ekuacioneve të këtij sistemi, duke filluar me ekuacionin (r + 1), është një kombinim linear (d.m.th., pasojë) e ekuacioneve të para të këtij sistemi ( d.m.th., çdo zgjidhje e ekuacioneve të para të sistemit (3.1) i kthen në identitet të gjitha ekuacionet pasuese të këtij sistemi.).
Kështu, mjafton të gjejmë të gjitha zgjidhjet vetëm të ekuacioneve r të para të sistemit (3.1). Le të shqyrtojmë ekuacionet e para r të sistemit (3.1), duke i shkruar ato në formë

Nëse i japim të panjohurave x r+1 ,...,x n vlera krejtësisht arbitrare c r+1 ,...,c n, atëherë sistemi (1.19) do të kthehet në një sistem kuadratik të r ekuacioneve lineare për r të panjohura x 1 , x 2 , ..., x r , dhe përcaktori i matricës kryesore të këtij sistemi është minorja bazë jozero e matricës (3.2). Për shkak të rezultateve të paragrafit të mëparshëm, ky sistem (3.19) ka një zgjidhje unike të përcaktuar nga formula e Cramer-it, d.m.th. për c r+1 ,...,c n të zgjedhur në mënyrë arbitrare ekziston një koleksion unik i numrave r c 1 ,.. .,c r, duke i kthyer të gjitha ekuacionet e sistemit (3.19) në identitete dhe të përcaktuara nga formulat e Cramer-it.
Për të shkruar këtë zgjidhje unike, ne pranojmë të shënojmë me simbolin M j (d i) përcaktuesin e marrë nga minorja bazë M e matricës (3.2) duke zëvendësuar kolonën e saj j-ro me një kolonë me numra d 1, d 2, ...,d i,..., d r (me të gjitha kolonat e tjera të M-së të ruajtura pa ndryshuar). Më pas, duke shkruar zgjidhjen e sistemit (3.19) duke përdorur formulat e Cramer-it dhe duke përdorur vetinë lineare të përcaktorit, marrim

Formulat (3.20) shprehin vlerat e të panjohurave x j = c j (j = 1, 2,......, r) përmes koeficientëve të të panjohurave, termave të lirë dhe parametrave të specifikuar arbitrarisht me r+1,. ..., me n.
Le ta vërtetojmë këtë formulat (3.20) përmbajnë çdo zgjidhje të sistemit (3.1). Në të vërtetë, le të jetë c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n një zgjidhje arbitrare e sistemit të specifikuar . Pastaj është një zgjidhje për sistemin (3.19). Por nga sistemi (3.19) madhësitë c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r përcaktohen në mënyrë unike përmes sasive c (0) r+1 , ...,c (0 ) n dhe pikërisht sipas formulave të Cramer-it (3.20). Kështu, me r+1 =c (0) r+1, ..., Me n =c (0) n formulat (3.20) na japin pikërisht zgjidhjen në shqyrtim c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1, ..., c (0) n .
Koment. Nëse rangu r i matricave kryesore dhe të zgjeruara të sistemit (3.1) është i barabartë me numrin e të panjohurave n, atëherë në këtë rast relacionet (3.20) kthehen në formula

duke përcaktuar zgjidhjen unike të sistemit (3.1). Kështu, sistemi (3.1) ka një zgjidhje unike (d.m.th., është e përcaktuar) me kusht që rangu r i matricave të tij kryesore dhe të zgjeruara të jetë i barabartë me numrin e të panjohurave n (dhe më i vogël ose i barabartë me numrin e ekuacioneve m).
Shembull. Le të gjejmë të gjitha zgjidhjet e sistemit linear

Është e lehtë të verifikohet se rangu i të dy matricave kryesore dhe të zgjeruara të këtij sistemi është i barabartë me dy (d.m.th., ky sistem është i pajtueshëm), dhe mund të supozojmë se minorja bazë M është në këndin e sipërm të majtë të matricës kryesore. , d.m.th. . Por më pas, duke hedhur poshtë dy ekuacionet e fundit dhe duke vendosur në mënyrë arbitrare me 3 dhe me 4, marrim sistemin

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

nga e cila, në bazë të formulave të Cramer-it, marrim vlerat

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

Pra, katër numra

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4,c 3, c 4) (3.23)

për vlerat e dhëna në mënyrë arbitrare të c 3 dhe c 4, ato formojnë një zgjidhje për sistemin (3.21), dhe rreshti (3.23) përmban të gjitha zgjidhjet e këtij sistemi.

3. Vetitë e një grupi zgjidhjesh sistem homogjen. Le të shqyrtojmë tani një sistem homogjen m ekuacionesh lineare me n të panjohura (3.7), duke supozuar, si më sipër, që matrica (3.2) ka renditje të barabartë me r, dhe se baza minore M ndodhet në këndin e sipërm majtas të kësaj matricë. Meqenëse këtë herë të gjitha b i janë të barabarta me zero, në vend të formulave (3.20) marrim formulat e mëposhtme:

duke shprehur vlerat e të panjohurave x j = c j (j = 1, 2,..., r) përmes koeficientëve të të panjohurave dhe vlerave të dhëna arbitrarisht c r+1,...,c n. Për shkak të asaj që u vërtetua në paragrafin e mëparshëm formulat (3.24) përmbajnë çdo zgjidhje të sistemit homogjen (3.7).
Le të sigurohemi tani që grupi nga të gjitha tretësirat e sistemit homogjen (3.7) formon një hapësirë lineare.
Le të X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) dhe X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) janë dy zgjidhje arbitrare të sistemit homogjen (3.7), dhe λ është çdo numër real. Për shkak të faktit se çdo zgjidhje e sistemit homogjen (3.7) është një element i hapësirës lineare A n të të gjitha koleksioneve të renditura të n numrave, mjafton të vërtetohet se secili nga dy koleksionet

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,..., λ x (1) n)

është gjithashtu një zgjidhje për sistemin homogjen (3.7).
Le të shqyrtojmë çdo ekuacion të sistemit (3.7), për shembull ekuacionin e i-të, dhe të zëvendësojmë elementet e grupeve të treguara në këtë ekuacion në vend të të panjohurave. Duke marrë parasysh se X 1 dhe X 2 janë zgjidhje të një sistemi homogjen, do të kemi

dhe kjo do të thotë se bashkësitë X 1 + X 2 dhe λ X 1 janë zgjidhje të sistemit homogjen (3.7).
Pra, bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7) formon një hapësirë lineare, të cilën e shënojmë me simbolin R.
Le të gjejmë dimensionin e kësaj hapësire R dhe të ndërtojmë një bazë në të.
Le të vërtetojmë se nën supozimin se rangu i matricës së sistemit homogjen (3.7) është i barabartë me r, hapësira lineare R e të gjitha zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7) është izomorfe me hapësirën lineare A n-r të gjitha koleksionet e renditura të numrave (n - r).(hapësira A m u prezantua në Shembullin 3, Seksioni 1, Seksioni 1, Kapitulli 2).

Le të lidhim çdo zgjidhje (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) të sistemit homogjen (3.7) me një element (c r+1 ,...,c n) të hapësirë A n-r Meqenëse numrat c r+1 ,...,c n mund të zgjidhen në mënyrë arbitrare dhe me secilën zgjedhje, duke përdorur formulat (3.24), ata përcaktojnë në mënyrë unike zgjidhjen e sistemit (3.7), atëherë korrespondenca që kemi vendosur është nje pas nje. Më pas, vërejmë se nëse elementet c (1) r+1 ,...,c (1) n dhe c (2) r+1 ,...,c (2) n të hapësirës A n-r korrespondojnë me elementet (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) dhe (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) të hapësirës R, atëherë nga formula (3.24) menjëherë del se elementi (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) korrespondon me elementin (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), dhe elementi (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) për çdo λ real korrespondon elementi (λ c (1) 1 ,..., λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ c (1 ) n). Kjo dëshmon se korrespondenca që kemi krijuar është një izomorfizëm.
Kështu, hapësira lineare R e të gjitha zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7) me n të panjohura dhe renditja e matricës kryesore e barabartë me r është izomorfe me hapësirën A n-r dhe, për rrjedhojë, ka dimensionin n - r.
Çdo grup (n - r) zgjidhjesh lineare të pavarura të sistemit homogjen (3.7) formon (në bazë të teoremës 2.5) një bazë në hapësirën R të të gjitha zgjidhjeve dhe quhet bashkësia themelore e zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7). .
Për të ndërtuar një grup themelor zgjidhjesh, mund të filloni nga çdo bazë në hapësirë A n-r. Bashkësia e zgjidhjeve të sistemit (3.7) që i përgjigjet kësaj baze, për shkak të izomorfizmit, do të jetë linearisht e pavarur dhe për rrjedhojë do të jetë një grup themelor zgjidhjesh.
Vëmendje e veçantë i kushtohet grupit themelor të zgjidhjeve të sistemit (3.7), i cili korrespondon me bazën më të thjeshtë e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,). .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) hapësira A n-r dhe quhet bashkësia normale themelore e zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7).
Sipas supozimeve të bëra më lart për renditjen dhe vendndodhjen e bazës minor, në bazë të formulave (3.24), grupi normal themelor i zgjidhjeve të sistemit homogjen (3.7) ka formën:

Sipas përcaktimit të bazës, çdo zgjidhje X e sistemit homogjen (3.7) mund të përfaqësohet në formën

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

ku C 1, C 2, ..., C n-r janë disa konstante. Meqenëse formula (3.26) përmban çdo zgjidhje të sistemit homogjen (3.7), kjo formulë jep zgjidhjen e përgjithshme të sistemit homogjen në shqyrtim.
Shembull. Konsideroni një sistem homogjen ekuacionesh:

që korrespondon me sistemin johomogjen (3.21), të analizuar në shembullin në fund të paragrafit të mëparshëm. Aty zbuluam se rangu r i matricës së këtij sistemi është i barabartë me dy, dhe morëm si bazë minorin në këndin e sipërm të majtë të matricës së specifikuar.
Duke përsëritur arsyetimin e kryer në fund të paragrafit të mëparshëm, marrim në vend të formulave (3.22) marrëdhëniet

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4,

e vlefshme për c 3 dhe c 4 të zgjedhur në mënyrë arbitrare. Duke përdorur këto marrëdhënie (duke supozuar së pari c 3 = 1, c 4 = 0, dhe më pas c 3 = 0, c 4 = 1) marrim një grup normal themelor prej dy zgjidhjesh për sistemin (3.27):

X 1 = (-3/2,-1/2,1,0), X 2 = (-1,-2, 0.1). (3.28)

ku C 1 dhe C 2 janë konstante arbitrare.
Për të përfunduar këtë pjesë, ne do të vendosim një lidhje midis zgjidhjeve të sistemit linear johomogjen (3.1) dhe sistemit homogjen përkatës (3.7) (me të njëjtat koeficientë për të panjohurat). Le të vërtetojmë dy pohimet e mëposhtme.
1°. Shuma e çdo zgjidhjeje të sistemit johomogjen (3.1) me çdo zgjidhje të sistemit homogjen përkatës (3.7) është një zgjidhje e sistemit (3.1).
Në fakt, nëse c 1 ,...,c n është një zgjidhje e sistemit (3.1), a d 1 ,...,d n është një zgjidhje për sistemin homogjen përkatës (3.7), atëherë, duke zëvendësuar në ndonjë (për shembull, në i-të ) ekuacionin e sistemit (3.1) në vend të numrave të panjohur c 1 + d 1 ,...,c n + d n , marrim

Q.E.D.
2°. Dallimi i dy zgjidhjeve arbitrare të sistemit johomogjen (3.1) është zgjidhja e sistemit homogjen përkatës (3.7).
Në fakt, nëse c" 1 ,...,c" n dhe c" 1 ,...,c" n janë dy zgjidhje arbitrare të sistemit (3.1), atëherë, duke zëvendësuar në ndonjë (për shembull, në i- th) ekuacioni i sistemit (3.7) në vend të numrave të panjohur c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n marrim

Q.E.D.
Nga deklaratat e vërtetuara rezulton se, Pasi kemi gjetur një zgjidhje të sistemit johomogjen (3.1) dhe duke e shtuar atë me secilën zgjidhje të sistemit homogjen përkatës (3.7), marrim të gjitha zgjidhjet e sistemit johomogjen (3.1).
Me fjale te tjera, shuma e zgjidhjes së veçantë të sistemit johomogjen (3.1) dhe zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen përkatës (3.7) jep zgjidhjen e përgjithshme të sistemit johomogjen (3.1).
Si një zgjidhje e veçantë për sistemin johomogjen (3.1), është e natyrshme të merret kjo zgjidhje (supozohet, si më sipër, se radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të sistemit (3.1) janë të barabarta me r dhe se baza minor është në këndin e sipërm të majtë të këtyre matricave)

e cila do të fitohet nëse në formulat (3.20) vendosim të gjithë numrat c r+1 ,...,c n të barabartë me zero. Duke i shtuar këtë zgjidhje të veçantë zgjidhjes së përgjithshme (3.26) të sistemit homogjen përkatës, marrim shprehjen e mëposhtme për zgjidhjen e përgjithshme të sistemit johomogjen (3.1):

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

Në këtë shprehje, X 0 tregon një zgjidhje të veçantë (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r janë konstante arbitrare dhe X 1 , X 2 ,... , X n-r janë elementë të grupit normal themelor të tretësirave (3.25) sistemi homogjen përkatës.
Kështu, për sistemin johomogjen (3.21) të konsideruar në fund të paragrafit të mëparshëm, një zgjidhje e veçantë e formës (3.29) është e barabartë me X 0 = (6,2,0, 0).
Duke shtuar këtë zgjidhje të veçantë zgjidhjes së përgjithshme (3.28) të sistemit homogjen përkatës (3.27), marrim zgjidhjen e përgjithshme të mëposhtme për sistemin johomogjen (3.21):

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0,1). (3.31)

Këtu C 1 dhe C 2 janë konstante arbitrare.
4. Vërejtje përmbyllëse për zgjidhjen e sistemeve lineare. Metodat për zgjidhjen e sistemeve lineare të zhvilluara në paragrafët e mëparshëm
mbështetet në nevojën për të llogaritur gradën e matricës dhe për të gjetur bazën e saj minore. Pasi të gjendet baza e vogël, zgjidhja zbret tek teknika e llogaritjes së përcaktuesve dhe përdorimi i formulave të Cramer-it.
Për të llogaritur gradën e një matrice, mund të përdorni rregullin e mëposhtëm: kur llogaritet rangu i një matrice, duhet të kalohet nga të miturit e rendit më të ulët në minorenët e rendit më të lartë; Për më tepër, nëse tashmë është gjetur një minor M jozero i rendit k, atëherë vetëm minoret e rendit (k + 1) kufizohen(d.m.th., ato përmbajnë M minoren brenda vetes) kjo e mitur është M; nëse të gjitha minoret kufitare të rendit (k + 1) janë të barabarta me zero, rangu i matricës është i barabartë me k(në fakt, në rastin e treguar, të gjitha rreshtat (kolonat) e matricës i përkasin trupit linear të k rreshtave (kolonave) të tij, në kryqëzimin e të cilit ka një M të vogël, dhe dimensioni i bykut linear të treguar është e barabartë me k).
Le të tregojmë gjithashtu një rregull tjetër për llogaritjen e renditjes së një matrice. Vini re se me rreshtat (kolonat) e një matrice mund të kryeni tre operacione elementare, të cilat nuk e ndryshojnë rangun e kësaj matrice: 1) ndërrimi i dy rreshtave (ose dy kolonave), 2) shumëzimi i një rreshti (ose kolone) me ndonjë faktor jozero, 3) shtimi në një rresht (kolona) të një kombinim arbitrar linear i rreshtave (kolonave) të tjera (këto tre operacione nuk ndryshojnë renditjen e matricës për faktin se operacionet 1) dhe 2) nuk ndryshojnë numrin maksimal të rreshtave (kolonave) linearisht të pavarur të matricës, dhe operacioni 3) ka vetinë që hapësira lineare e të gjitha rreshtave (kolonave) ekzistuese përpara kryerjes së këtij operacioni përkon me mbështjellësin linear të të gjitha rreshtave (kolonave) të marra pas kryerjes së këtij operacioni.
Ne do të themi se matrica ||a ij ||, që përmban m rreshta dhe n kolona, ka diagonale formë, nëse të gjithë elementët e tij përveç a 11, a 22,.., a rr janë të barabartë me zero, ku r = min(m, n). Rangu i një matrice të tillë është padyshim i barabartë me r.
Le të sigurohemi që duke përdorur tre operacione elementare çdo matricë

mund të reduktohet në formë diagonale(që na lejon të llogarisim gradën e tij).

Në fakt, nëse të gjithë elementët e matricës (3.31) janë të barabartë me zero, atëherë kjo matricë tashmë është reduktuar në formë diagonale. Nëse nëna
brinjët (3.31) kanë elementë jo zero, pastaj duke riorganizuar dy rreshta dhe dy kolona mund të sigurohet që elementi a 11 të jetë jo zero. Pas shumëzimit të rreshtit të parë të matricës me një 11 -1, ne do ta kthejmë elementin a 11 në një. Duke zbritur më tej nga kolona j-ro e matricës (për j = 2, 3,..., n) kolona e parë e shumëzuar me një i1 dhe më pas duke zbritur nga rreshti i-të(për i = 2, 3,..., n) rreshtin e parë të shumëzuar me një i1, marrim në vend të (3.31) një matricë të formës së mëposhtme:

Duke kryer veprimet që kemi përshkruar tashmë me një matricë të marrë në një kornizë, dhe duke vazhduar të veprojmë në mënyrë të ngjashme, pas një numri të kufizuar hapash do të fitojmë një matricë diagonale.
Metodat për zgjidhjen e sistemeve lineare të përshkruara në paragrafët e mëparshëm, të cilat në fund përdorin aparatin e formulave të Cramer, mund të çojnë në gabime të mëdha në rastin kur vlerat e koeficientëve të ekuacioneve dhe termave të lirë jepen afërsisht ose kur këto vlera rrumbullakohen gjatë procesit të llogaritjes.
Para së gjithash, kjo vlen për rastin kur matrica që korrespondon me përcaktuesin kryesor (ose bazë të vogël) është i kushtëzuar keq(d.m.th. kur ndryshimet "të vogla" në elementët e kësaj matrice korrespondojnë me ndryshimet "të mëdha" në elementët e matricës së kundërt). Natyrisht, në këtë rast zgjidhja e sistemit linear do të jetë e paqëndrueshme(d.m.th., ndryshimet "të vogla" në vlerat e koeficientëve të ekuacioneve dhe termave të lirë do të korrespondojnë me ndryshime "të mëdha" në zgjidhje).
Rrethanat e vërejtura çojnë në nevojën për të zhvilluar si algoritme të tjera teorike (të ndryshme nga formula e Cramer) për gjetjen e zgjidhjeve, dhe metoda numerike për zgjidhjen e sistemeve lineare.
Në §4 kapitulli 4 do të njihemi me metoda e rregullimit nga A.N. Tikhonova gjetjen e të ashtuquajturit normale(pra më afër origjinës) zgjidhja e sistemit linear.
Kapitulli 6 do të ofrojë informacion bazë për të ashtuquajturat metodat përsëritëse zgjidhje të sistemeve lineare që lejojnë zgjidhjen e këtyre sistemeve duke përdorur përafrime të njëpasnjëshme të të panjohurave.