Llogaritjet e përafërta duke përdorur seri. Zgjerimi i serisë Taylor Zgjidhja e përafërt e problemit Cauchy për të zakonshmen

Nëse funksioni f(x) ka derivate të të gjitha rendeve në një interval të caktuar që përmban pikën a, atëherë formula e Taylor mund të zbatohet për të:
,
Ku r n- i ashtuquajturi termi i mbetur ose pjesa e mbetur e serisë, mund të vlerësohet duke përdorur formulën e Lagranzhit:
, ku numri x është midis x dhe a.

Rregullat për futjen e funksioneve:

Nëse për ndonjë vlerë X r n→ 0 në n→∞, atëherë në kufi formula e Taylor-it bëhet konvergjente për këtë vlerë Seriali Taylor:
,
Kështu, funksioni f(x) mund të zgjerohet në një seri Taylor në pikën x në shqyrtim nëse:
1) ka derivate të të gjitha porosive;
2) seria e ndërtuar konvergon në këtë pikë.

Kur a = 0 marrim një seri të quajtur pranë Maclaurin:
,
Zgjerimi i funksioneve më të thjeshta (elementare) në serinë Maclaurin:
Funksionet eksponenciale
, R=∞
Funksionet trigonometrike
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funksioni actgx nuk zgjerohet në fuqitë e x, sepse ctg0=∞
Funksionet hiperbolike


Funksionet logaritmike
, -1
Seri binomiale
.

Shembulli nr. 1. Zgjero funksionin në një seri fuqie f(x)= 2x.
Zgjidhje. Le të gjejmë vlerat e funksionit dhe derivatet e tij në X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x në 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Duke zëvendësuar vlerat e marra të derivateve në formulën e serisë Taylor, marrim:

Rrezja e konvergjencës së kësaj serie është e barabartë me pafundësinë, prandaj ky zgjerim është i vlefshëm për -∞<x<+∞.

Shembulli nr. 2. Shkruani serinë Taylor në fuqi ( X+4) për funksionin f(x)= e x.
Zgjidhje. Gjetja e derivateve të funksionit e x dhe vlerat e tyre në pikë X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Prandaj, seria e kërkuar Taylor e funksionit ka formën:

Ky zgjerim është gjithashtu i vlefshëm për -∞<x<+∞.

Shembulli nr. 3. Zgjeroni një funksion f(x)=n x në një seri në fuqi ( X- 1),
(d.m.th. në serinë Taylor në afërsi të pikës X=1).
Zgjidhje. Gjeni derivatet e këtij funksioni.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Duke zëvendësuar këto vlera në formulë, marrim serinë e dëshiruar të Taylor:

Duke përdorur testin e d'Alembert, mund të verifikoni që seria konvergjon në ½x-1½<1 . Действительно,

Seria konvergon nëse ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 marrim një seri alternative që plotëson kushtet e kriterit të Leibniz-it. Kur x=0 funksioni nuk është i përcaktuar. Kështu, rajoni i konvergjencës së serisë Taylor është intervali gjysmë i hapur (0; 2].

Shembulli nr. 4. Zgjero funksionin në një seri fuqie.
Zgjidhje. Në zgjerimin (1) ne zëvendësojmë x me -x 2, marrim:
, -∞

Shembulli nr. 5. Zgjero funksionin në një seri Maclaurin .
Zgjidhje. Ne kemi
Duke përdorur formulën (4), mund të shkruajmë:

duke zëvendësuar –x në vend të x në formulë, marrim:

Nga këtu gjejmë: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Duke hapur kllapat, duke riorganizuar kushtet e serisë dhe duke sjellë terma të ngjashëm, marrim
. Kjo seri konvergjon në intervalin (-1;1), pasi përftohet nga dy seri, secila prej të cilave konvergjon në këtë interval.

Komentoni .
Formulat (1)-(5) mund të përdoren gjithashtu për të zgjeruar funksionet përkatëse në një seri Taylor, d.m.th. për zgjerimin e funksioneve në fuqitë e plota pozitive ( Ha). Për ta bërë këtë, është e nevojshme të kryhen transformime të tilla identike në një funksion të caktuar në mënyrë që të merret një nga funksionet (1)-(5), në të cilin në vend të X kushton k( Ha) m, ku k është një numër konstant, m është një numër i plotë pozitiv. Shpesh është e përshtatshme për të bërë një ndryshim të ndryshores t=Ha dhe zgjeroni funksionin që rezulton në lidhje me t në serinë Maclaurin.

Kjo metodë bazohet në teoremën mbi veçantinë e zgjerimit të një funksioni në një seri fuqie. Thelbi i kësaj teoreme është se në afërsi të së njëjtës pikë nuk mund të fitohen dy seri të ndryshme fuqie që do të konvergojnë në të njëjtin funksion, pavarësisht se si kryhet zgjerimi i saj.

Shembulli nr. 5a. Zgjeroni funksionin në një seri Maclaurin dhe tregoni rajonin e konvergjencës.
Zgjidhje. Së pari gjejmë 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
në fillore:

Thyesa 3/(1-3x) mund të konsiderohet si shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me një emërues 3x, nëse |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

me rajon konvergjence |x|< 1/3.

Shembulli nr. 6. Zgjero funksionin në një seri Taylor në afërsi të pikës x = 3.
Zgjidhje. Ky problem mund të zgjidhet, si më parë, duke përdorur përkufizimin e serisë Taylor, për të cilën duhet të gjejmë derivatet e funksionit dhe vlerat e tyre në X=3. Sidoqoftë, do të jetë më e lehtë të përdoret zgjerimi ekzistues (5):
=
Seria që rezulton konvergon në ose –3

Shembulli nr. 7. Shkruani serinë Taylor në fuqi (x -1) të funksionit ln(x+2) .
Zgjidhje.


Seria konvergon në , ose -2< x < 5.

Shembulli nr. 8. Zgjero funksionin f(x)=sin(πx/4) në një seri Taylor në afërsi të pikës x =2.
Zgjidhje. Le të bëjmë zëvendësimin t=x-2:

Duke përdorur zgjerimin (3), në të cilin zëvendësojmë π / 4 t në vend të x, marrim:

Seria që rezulton konvergon në funksionin e dhënë në -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Kështu,
, (-∞

Llogaritjet e përafërta duke përdorur seritë e fuqisë

Seritë e fuqisë përdoren gjerësisht në llogaritjet e përafërta. Me ndihmën e tyre, ju mund të llogaritni vlerat e rrënjëve, funksionet trigonometrike, logaritmet e numrave dhe integralet e përcaktuara me një saktësi të caktuar. Seritë përdoren gjithashtu kur integrohen ekuacionet diferenciale.
Merrni parasysh zgjerimin e një funksioni në një seri fuqie:

Për të llogaritur vlerën e përafërt të një funksioni në një pikë të caktuar X, që i përkasin rajonit të konvergjencës së serisë së treguar, të parat janë lënë në zgjerimin e saj n anëtarët ( n- një numër i kufizuar), dhe termat e mbetur hidhen poshtë:

Për të vlerësuar gabimin e vlerës së përafërt të marrë, është e nevojshme të vlerësohet pjesa e mbetur e hedhur rn (x) . Për ta bërë këtë, përdorni teknikat e mëposhtme:

• nëse seria që rezulton është e alternuar, atëherë përdoret vetia e mëposhtme: për një seri alternative që plotëson kushtet e Leibniz-it, pjesa e mbetur e serisë në vlerë absolute nuk e kalon termin e parë të hedhur poshtë.
• nëse një seri e caktuar është me shenjë konstante, atëherë seria e përbërë nga termat e hedhur poshtë krahasohet me një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
• në rastin e përgjithshëm, për të vlerësuar pjesën e mbetur të serisë Taylor, mund të përdorni formulën e Lagranzhit: a x ).

Shembulli nr. 1. Llogaritni ln(3) me 0,01 më të afërt.
Zgjidhje. Le të përdorim zgjerimin ku x=1/2 (shih shembullin 5 në temën e mëparshme):

Le të kontrollojmë nëse mund ta heqim pjesën e mbetur pas tre termave të parë të zgjerimit; për ta bërë këtë, do ta vlerësojmë duke përdorur shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie:

Kështu që ne mund ta hedhim këtë mbetje dhe të marrim

Shembulli nr. 2. Llogaritni me 0,0001 më të afërt.
Zgjidhje. Le të përdorim serinë binomiale. Meqenëse 5 3 është kubi i një numri të plotë më të afërt me 130, këshillohet që numri 130 të përfaqësohet si 130 = 5 3 +5.



pasi që tashmë termi i katërt i serisë alternative që rezulton që plotëson kriterin e Leibniz është më pak se saktësia e kërkuar:
, kështu që ai dhe kushtet pas tij mund të hidhen poshtë.
Shumë integrale të përcaktuara ose të pahijshme praktikisht të nevojshme nuk mund të llogariten duke përdorur formulën Newton-Leibniz, sepse zbatimi i saj shoqërohet me gjetjen e antiderivativit, i cili shpesh nuk ka një shprehje në funksionet elementare. Ndodh gjithashtu që gjetja e një antiderivati ​​është e mundur, por është e panevojshme që kërkon punë intensive. Sidoqoftë, nëse funksioni integrand zgjerohet në një seri fuqie dhe kufijtë e integrimit i përkasin intervalit të konvergjencës së kësaj serie, atëherë është e mundur një llogaritje e përafërt e integralit me një saktësi të paracaktuar.

Shembulli nr. 3. Njehsoni integralin ∫ 0 1 4 sin (x) x brenda 10 -5 .
Zgjidhje. Integrali i pacaktuar përkatës nuk mund të shprehet në funksione elementare, d.m.th. përfaqëson një “integral jo të përhershëm”. Këtu nuk mund të zbatohet formula Newton-Leibniz. Le të llogarisim përafërsisht integralin.
Ndarja term për term i serisë për mëkat x në x, marrim:

Duke integruar këtë seri term pas termi (kjo është e mundur, pasi kufijtë e integrimit i përkasin intervalit të konvergjencës së kësaj serie), marrim:

Meqenëse seria që rezulton plotëson kushtet e Leibniz-it dhe mjafton të merret shuma e dy termave të parë për të marrë vlerën e dëshiruar me një saktësi të caktuar.
Kështu, ne gjejmë
.

Shembulli nr. 4. Njehsoni integralin ∫ 0 1 4 e x 2 me saktësi 0,001.
Zgjidhje.
. Le të kontrollojmë nëse mund ta heqim pjesën e mbetur pas termit të dytë të serisë që rezulton.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Le të kërkohet të gjendet Y 2.35104 me një saktësi prej (me një disavantazh). Le t'i rregullojmë llogaritjet si kjo:

Ne fillimisht gjejmë rrënjën e përafërt me një saktësi prej 1 vetëm nga numri i plotë 2. Marrim 1 (dhe pjesa e mbetur është 1). Ne shkruajmë numrin 1 në rrënjë dhe vendosim presje pas tij. Tani gjejmë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, ne i shtojmë pjesës së mbetur 1 numrat 3 dhe 5, të vendosur në të djathtë të pikës dhjetore dhe vazhdojmë nxjerrjen sikur të nxjerrim rrënjën e numrit të plotë 235. Numrin që rezulton 5 e shkruajmë në rrënjë në vendin e të dhjetave. Nuk na duhen shifrat e mbetura të numrit radikal (104). Që numri që rezulton 1.5 do të jetë vërtet një rrënjë e përafërt, me një saktësi deri në pasardhësin; nëse

gjetëm rrënjën më të madhe të numrit të plotë të 235 me një saktësi prej 1, atëherë do të merrnim 15, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 100, marrim;

në fund

Supozoni se doni të gjeni një të përafërt me një disavantazh, deri në një saktësi. Le të gjejmë numrin e plotë, pastaj shifrën e të dhjetës, pastaj shifrën e qindëshes. Rrënja e një numri të plotë është 15 numra të plotë. Për të marrë shifrën e dhjetës, duhet, siç e pamë, t'i shtojmë edhe dy shifra të mbetura 23, në të djathtë të pikës dhjetore:

Në shembullin tonë, këta numra nuk janë fare të pranishëm; vendos zero në vend të tyre. Duke i shtuar ato në pjesën e mbetur dhe duke vazhduar sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 24,800, do të gjejmë të dhjetat figurën 7. Mbetet të gjejmë shifrën e qindësheve. Për ta bërë këtë, ne shtojmë dy zero të tjera në pjesën e mbetur 151 dhe vazhdojmë nxjerrjen, sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 2 480000. Marrim 15.74. Që ky numër është me të vërtetë një rrënjë e përafërt e 248 me një saktësi deri në një disavantazh, mund të shihet nga sa vijon. Nëse do të gjenim rrënjën katrore më të madhe të numrit të plotë të numrit të plotë 2,480,000, do të merrnim 1574, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 10,000 (100^2), marrim:

Kjo do të thotë se 15,74 është ajo thyesë dhjetore që ne e quajtëm një rrënjë të përafërt me një disavantazh të saktë brenda 248.

Rregulli. Për të nxjerrë nga një numër i plotë i dhënë ose nga një thyesë dhjetore e dhënë një rrënjë të përafërt me një mungesë të saktë deri në, etj., së pari gjeni një rrënjë të përafërt me mungesë të saktë në 1 duke nxjerrë rrënjën nga numri i plotë (nëse nuk është atje, shkruani në rrënjë 0 numra të plotë).

Pastaj ata gjejnë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, shtoni dy shifra të numrit radikal në të djathtë të pikës dhjetore në pjesën e mbetur (nëse nuk janë aty, shtoni dy zero në pjesën e mbetur) dhe vazhdoni nxjerrjen siç bëhet kur nxjerrni një rrënjë nga një numër i plotë. Numri që rezulton shkruhet në rrënjë në vendin e të dhjetave.

Pastaj gjeni numrin e qindtave. Për ta bërë këtë, dy numra në të djathtë të atyre që sapo u hoqën i shtohen pjesës së mbetur, etj.

Kështu, kur nxjerrni rrënjën e një numri të plotë me një thyesë dhjetore, numri duhet të ndahet në skajet me dy shifra secila, duke filluar nga pika dhjetore, si në të majtë (në pjesën e plotë të numrit) dhe në të djathtë ( në pjesën thyesore).

1. Ekstraktoni saktësisht deri në rrënjë:

2. Ekstrakt me saktësi

Në shembullin e fundit, ne e konvertuam thyesën y në një dhjetore duke llogaritur tetë shifra dhjetore për të formuar katër faqet e nevojshme për të gjetur katër shifrat dhjetore të rrënjës.

Walter A. Aue / flickr.com

Fizikanët amerikanë sqaruan dimensionin e hapësirë-kohës duke krahasuar distancën me burimin, të llogaritur nga dobësimi i valëve gravitacionale dhe nga zhvendosja e kuqe e rrezatimit elektromagnetik. Shkencëtarët kryen llogaritje të tilla për ngjarjen GW170817 dhe zbuluan se dimensioni i hapësirë-kohës sonë është afërsisht i barabartë me D≈ 4,0 ± 0,1. Përveç kësaj, ata vendosën një kufi më të ulët në jetëgjatësinë e gravitonit, i cili ishte rreth 450 milionë vjet. Një preprint i artikullit është postuar në arXiv.org.

Përditësuar: në korrik 2018, artikulli ishtebotuar në Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.

Relativiteti i përgjithshëm dhe Modeli Standard janë ndërtuar mbi supozimin se ne jetojmë në hapësirë-kohë katërdimensionale. Më saktësisht, në një dimension (3+1): 3 dimensione hapësinore dhe një dimension kohor. Nga ana tjetër, shkencëtarët priren të dyshojnë në deklaratat më themelore. Ndoshta dimensioni i hapësirës sonë-kohë nuk është saktësisht i barabartë me katër, por thjesht shumë afër kësaj vlere? Në fakt, ekzistojnë teori në të cilat hapësirë-koha jonë është e ngulitur në hapësira me dimensione më të larta. Prandaj, në përgjithësi, katërdimensionaliteti i botës sonë duhet të vërtetohet dhe të mos merret si i mirëqenë.

Një ekip fizikantësh i udhëhequr nga David Spergel ka vendosur kufizime të sakta në dimensionin e hapësirës sonë-kohë duke analizuar valët gravitacionale dhe elektromagnetike që vijnë pothuajse njëkohësisht në Tokë, të emetuara gjatë bashkimit të dy yjeve neutron. Nga njëra anë, distanca nga burimi i valës mund të përcaktohet nga komponenti elektromagnetik. Nga ana tjetër, mund të llogaritet nga dobësimi i valëve gravitacionale. Natyrisht, të dyja këto distanca duhet të përkojnë, gjë që imponon kufizime në diferencën midis shkallës së zbërthimit dhe shkallës së parashikuar nga relativiteti i përgjithshëm. Vlen të përmendet se një gabim shtesë në distancën e përcaktuar nga zhvendosja e kuqe paraqitet nga fakti se vlerat e konstantës së Hubble, të matura nga shpejtësia e tërheqjes së galaktikave dhe nga luhatjet e rrezatimit të sfondit të mikrovalës kozmike, janë me njëri tjetrin. Në këtë artikull, për çdo rast, shkencëtarët kryen llogaritjet për të dyja vlerat, por gabimi në të dhënat eksperimentale gjithsesi e tejkalonte këtë ndryshim.

Në Teorinë e Përgjithshme të Relativitetit, intensiteti i valëve gravitacionale zvogëlohet në përpjesëtim të zhdrejtë me fuqinë e parë të distancës nga burimi: h ~ 1/r. Sidoqoftë, në teoritë me më shumë dimensione ky ligj modifikohet dhe prishja ndodh më shpejt: h ~ 1/rγ, ku γ = ( D− 2)/2, dhe D- numri i matjeve. Rezulton se energjia e valës duket se "rrjedh" në dimensione shtesë. Duke llogaritur distancën "elektromagnetike" dhe "gravitacionale" me yjet neutron, fizikanët përcaktuan se shkalla e varësisë γ ≈ 1.00 ± 0.03, domethënë dimensioni i hapësirës sonë D≈ 4,0 ± 0,1.

Shpërndarja e probabilitetit në të cilën jetojmë D-hapësirë ​​dimensionale. Linjat me ngjyra të ndryshme korrespondojnë me vlera të ndryshme të konstantës Hubble të përdorura në llogaritjet

Nga ana tjetër, në një lloj tjetër të teorive alternative, graviteti ekzaminohet - në distanca të vogla ai sillet në të njëjtën mënyrë si në teorinë katërdimensionale, dhe në distanca të mëdha i ngjan D-dimensionale. Duke marrë parasysh kufizimet e ngjarjes GW170817, fizikanët përcaktuan rrezen minimale të shqyrtimit të teorive të tilla - ishte rreth njëzet megaparseks. Në këtë rast, burimi i valëve ndodhet në galaktikën NGC 4993 në një distancë prej rreth dyzet megaparseks.

Së fundi, mund të lindë zbutje shtesë e valëve gravitacionale sepse gravitonët janë grimca të paqëndrueshme dhe prishen gjatë udhëtimit të tyre nga burimi në detektor. Bazuar në këtë supozim, fizikanët kanë llogaritur një kufi më të ulët në jetëgjatësinë e gravitonit. Doli se nuk mund të jetë më pak se 4.5 × 10 8 vjet.

Zbulimi i njëkohshëm i komponentëve gravitacional dhe elektromagnetik pati një ndikim të madh në teoritë alternative të gravitetit. Për shembull, në fund të dhjetorit të vitit të kaluar në Letrat e rishikimit fizik Në të njëjtën kohë, u botuan katër artikuj kushtuar ngjarjes GW170817 dhe kufizimeve në teori të ndryshme kuantike të gravitetit. Për më tepër, kjo ngjarje imponon kufizime shumë të rrepta në shpejtësinë e gravitetit - tani raporti i shpejtësisë së gravitetit me shpejtësinë e dritës mund të ndryshojë nga uniteti jo më shumë se 3 × 10 -15.

Dmitry Trunin

Le të kërkohet të gjendet me saktësi deri në (me disavantazh). Le t'i rregullojmë llogaritjet si kjo:

Së pari gjejmë rrënjën e përafërt, të saktë në 1, vetëm nga numri i plotë 2. Marrim 1 (dhe pjesa e mbetur është 1). Ne shkruajmë numrin 1 në rrënjë dhe vendosim presje pas tij. Tani gjejmë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, ne i shtojmë pjesës së mbetur 1 numrat 3 dhe 5, të vendosur në të djathtë të pikës dhjetore dhe vazhdojmë nxjerrjen sikur të nxjerrim rrënjën e numrit të plotë 235. Numrin që rezulton 5 e shkruajmë në rrënjë në vendin e të dhjetave. Nuk na duhen shifrat e mbetura të numrit radikal (104). Që numri që rezulton 1.5 do të jetë në të vërtetë një rrënjë e përafërt brenda , mund të shihet nga sa vijon; nëse do të gjenim rrënjën më të madhe të numrit të plotë të 235 me një saktësi prej 1, do të merrnim 15, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 100, marrim:

(Duke shtuar numrin 0.00104, shenja e dyfishtë ≤ duhet të ndryshojë qartë në shenjë<, а знак >mbetet (që nga 0.00104< 0,01).)

Supozoni se duam të gjejmë një të përafërt me një disavantazh, deri në një saktësi. Le të gjejmë numrin e plotë, pastaj shifrën e të dhjetës, pastaj shifrën e qindëshes. Rrënja e një numri të plotë është 15 numra të plotë. Për të marrë shifrën e dhjetës, duhet, siç e pamë, t'i shtojmë edhe dy shifra të mbetura 23, në të djathtë të pikës dhjetore:

Në shembullin tonë, këta numra nuk janë fare të pranishëm; vendos zero në vend të tyre. Duke i shtuar ato në pjesën e mbetur dhe duke vazhduar sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 24800, do të gjejmë të dhjetat figurën 7. Mbetet të gjejmë shifrën e qindësheve. Për ta bërë këtë, ne shtojmë dy zero të tjera në pjesën e mbetur 151 dhe vazhdojmë nxjerrjen, sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 2480000. Marrim 15.74. Që ky numër është me të vërtetë një rrënjë e përafërt e 248 me një saktësi deri në një disavantazh, mund të shihet nga sa vijon. Nëse do të gjenim rrënjën katrore më të madhe të numrit të plotë të numrit të plotë 2480000, do të merrnim 1574, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 10000 (1002), marrim:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Kjo do të thotë se 15.74 është ajo thyesë dhjetore që ne e quajtëm një rrënjë të përafërt me një disavantazh me një saktësi deri në 248.

Rregulli. Për të nxjerrë nga një numër i plotë i dhënë ose nga një thyesë dhjetore e dhënë një rrënjë e përafërt me një mangësi me një saktësi të rrënjës ka 0 numra të plotë).

Pastaj ata gjejnë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, shtoni dy shifra të numrit të pushtuar në të djathtë të pikës dhjetore në pjesën e mbetur (nëse nuk janë aty, shtoni dy zero në pjesën e mbetur) dhe vazhdoni nxjerrjen siç bëhet kur nxjerrni rrënjën e një numri të plotë. Numri që rezulton shkruhet në rrënjë në vendin e të dhjetave.

Pastaj gjeni numrin e qindtave. Për ta bërë këtë, dy numra në të djathtë të atyre që sapo u hoqën i shtohen pjesës së mbetur, etj.

Kështu, kur nxjerrim rrënjën e një numri të plotë me një thyesë dhjetore numri duhet të ndahet në skaje me dy shifra secila, duke filluar nga pika dhjetore, si majtas (në pjesën e plotë të numrit) ashtu edhe djathtas (në pjesën thyesore).

Shembuj.

Në shembullin e fundit, ne konvertuam një fraksion në një dhjetore duke llogaritur tetë shifra dhjetore për të krijuar katër faqet e nevojshme për të gjetur katër shifrat dhjetore të rrënjës.

Më 9 shtator 2007, shoferi Logan Gomez fitoi Chicagoland 100 të Serisë IRL Indy Pro. Ai mundi fituesin e vendit të dytë me 0.0005 sekonda, duke vendosur një rekord për përfundimin e ngushtë në motorsport botëror. Çfarë pajisje ju lejon të matni kohën me një saktësi të tillë?

Në valën e farit Në garat moderne, koha është plotësisht automatike. Çdo makinë është e pajisur me një fener radio që lëshon valë radio në një frekuencë unike. Antenat e vendosura në vende të përcaktuara rreptësisht në pistë marrin sinjalin e saj dhe përcaktojnë sipas frekuencës se cila makinë ka kaluar. Antenat janë të vendosura dy krah për krah: duke matur kohën që duhet për të kaluar distancën nga një antenë në tjetrën, kompjuteri përcakton shpejtësinë e automjetit. Deri në 20 antena mund të vendosen në itinerar. Antena speciale përdoren për të kontrolluar shpejtësinë në korsinë e gropës. Informacioni nga marrësit e radios shkon në qendrën e kohës, ku më shumë se 20 inxhinierë monitorojnë vazhdimisht funksionimin e kompjuterëve. Për çdo rast, sistemi i kohës dyfishohet nga një palë fotoqelizash infra të kuqe të instaluara në vijën e finishit

Tim Skorenko

Është në serinë Indycar që kërkesat e kohës janë më të rrepta. Asnjë kampionat tjetër nuk mund të mburret me matjen e kohës me një saktësi prej dhjetë të mijëtave të sekondës. Numri dërrmues i serive është i kufizuar në 0,001 s, dhe kjo është më së shpeshti e mjaftueshme me një rezervë, por ka edhe incidente: për shembull, në kualifikimin e Çmimit të Madh Evropian 1997 në klasën e Formula 1, deri në tre pilotë. arriti të tregojë një kohë që përkonte me një të mijtën e sekondës, - 1.21.072. Pozicioni në Pol përfundimisht shkoi te Jacques Villeneuve, i cili përfundoi xhiron e tij më të shpejtë para të tjerëve.

Në Formula 1, saktësia e kohës ka ndryshuar dukshëm me kalimin e kohës. Në kampionatin e parë të vitit 1950, mjaftuan 0.1 s për të regjistruar përfundimin e plotë të pilotëve. Nuk u përfshi asnjë garë e vetme në renditjen e kampionatit ku diferenca mes drejtuesve ishte më pak se një sekondë. Saktësia në 0.1 daton që në Grand Prix-in e parë në historinë e garave motorike - Çmimi i Madh i Francës i vitit 1906, ku koha e fituesit, Ferenc Schisz në një Renault, ishte 12 orë 14 minuta dhe 7.4 sekonda (e pakrahasueshme me garat e sotme të shkurtra dhe të lehta, apo jo?). Në shumicën e garave të zhvilluara para Luftës së Parë Botërore, saktësia nuk i kalonte 1 sekondë.

Në garat moderne, koha është plotësisht automatike. Çdo makinë është e pajisur me një fener radio që lëshon valë radio në një frekuencë unike. Antenat e vendosura në vende të përcaktuara rreptësisht në pistë marrin sinjalin e saj dhe përcaktojnë sipas frekuencës se cila makinë ka kaluar. Antenat janë të vendosura dy krah për krah: duke matur kohën që duhet për të kaluar distancën nga një antenë në tjetrën, kompjuteri përcakton shpejtësinë e automjetit. Deri në 20 antena mund të vendosen në itinerar. Antena speciale përdoren për të kontrolluar shpejtësinë në korsinë e gropës. Informacioni nga marrësit e radios shkon në qendrën e kohës, ku më shumë se 20 inxhinierë monitorojnë vazhdimisht funksionimin e kompjuterëve. Për çdo rast, sistemi i kohës dyfishohet nga një palë fotoqelizash infra të kuqe të instaluara në vijën e finishit.

Në Amerikë, kohëmatësit ishin shumë më përparimtarë. Garat AAA të pasluftës (më vonë CART) më shpesh kërkonin saktësi matëse deri në 0.01. Kjo ishte kryesisht për shkak të konfigurimit të pistave dhe bollëkut të ovaleve, ku boshllëqet midis drejtuesve janë jashtëzakonisht të vogla. Saktësia e jashtëzakonshme e kohës së IRL moderne është për shkak të të njëjtit faktor: nga shtatëmbëdhjetë raundet e kampionatit 2010, tetë mbahen në ovale.

Incidente dhe dështime

Koha e garave automobilistike është e lidhur pazgjidhshmërisht me prodhuesit kryesorë në botë të orëve dhe pajisjeve elektronike: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Pothuajse të gjithë përfaqësohen në sporte të ndryshme si matësit zyrtarë të kohës. Gabimet dhe pasaktësitë në matjen e kohës janë praktikisht të përjashtuara sot. Nga viti 1992 e deri më sot, Çmimi i Madh i Evropës '97 i lartpërmendur është bërë kurioziteti i vetëm kronometrik i Formula 1, dhe në IRL edhe incidente të tilla janë krejtësisht të pamundura.

Sot, sistemet e kohës Indycar dhe NASCAR konsiderohen ndër më të mirat në botë. Çdo pistë është e pajisur në atë mënyrë që organizatorët evropianë mund ta kenë vetëm zili. Numërimi shkon me 0,0001 sekonda (për Indycar) dhe shikuesit e drejtpërdrejtë në çdo kohë mund të marrin informacion për shpejtësinë e çdo makine në pistë, kohën e xhiros dhe cilindo nga sektorët e xhiros, boshllëqet në pelaton me një saktësi të sektorit d. - në përgjithësi, informacion maksimal. Në një garë ku gjysma e sezonit zhvillohet në ovale, koha e saktë luan një rol të madh. Fituesi shpesh përcaktohet nga një përfundim fotografik.

Mjaft e çuditshme, koncepti i "matësit zyrtar të kohës" është shfaqur vetëm kohët e fundit. Është sot që Tissot "udhëheq" kampionatin botëror të garave me motor dhe asnjë kompani tjetër nuk ka të drejtë të ndërhyjë. Vetëm 30 vjet më parë, çdo garë individuale kishte kohëmatësit e vet, të "armatosur" me pajisjet që organizatorët mund të blinin.

Para Luftës së Dytë Botërore, pothuajse në të gjitha seritë dhe klasat e garave, koha kryhej me dorë: njerëz të trajnuar posaçërisht me kronometër qëndronin në pistë. Ata regjistruan kohën e xhiros së makinës së radhës dhe regjistruan të dhënat. Sidoqoftë, pati edhe "përparime". Në vitin 1911, në Indianapolis 500 të parë, inxhinieri Charlie Warner projektoi dhe zbatoi sistemin e parë gjysmë automatik të kohës në histori. Një tel i hollë shtrihej lirshëm përgjatë vijës së fillimit-mbarimit dhe u ngrit pak mbi sipërfaqen e tullave. Çdo makinë e shtypte telin në tokë, duke rritur tensionin e tij. Një çekiç stampimi ishte ngjitur në tela, i cili, kur tërhiqej, vendosi një shenjë boje në një shirit të shkallëzuar që zvarritet ngadalë. Saktësia e matjes arriti në 0.01 s! Kohëmatësi vendosi manualisht numrat e makinës përballë çdo pike. Sistemi nuk zuri rrënjë për një arsye qesharake: në mes të garës, makina e shoferit Herb Little theu një tel. Ndërkohë që tërhoqën të renë (duke vrapuar përpara makinave me shpejtësi), kaluan të paktën 20 xhiro, gjatë të cilave u mbajt afërsisht koha. Fitorja e garës iu dha Ray Harrown në Marmon, por një tjetër shofer i famshëm, Ralph Mulford, ishte i bindur deri në vdekjen e tij se ai kishte fituar Indy 500-n e parë ndonjëherë.

Përdorimi i suksesshëm i sistemeve gjysmë automatike lulëzoi në vitet 1930. Në atë kohë, Indy 500 përdorte Stewart-Warner ose kronografë të mëdhenj Loughborough-Hayes.

Në vitet e para të serisë NASCAR, koha ishte absolutisht e tmerrshme. Në disa gara, një person u ul në vijën e finishit me një letër dhe laps dhe regjistroi: filani është i pari, filani është i dyti. Vërtetë, kjo vlen vetëm për gjurmët e zhavorrit dhe baltës. Gjërat ishin më të mira në pistë. Në veçanti, ishte në garën e Elkhart Lake në vitin 1951 që u përdor kronografi Streeter-Amet. Pajisja printoi në mënyrë sekuenciale (në të dhjetat e sekondës) në një shirit letre kohën e çdo makine që kalonte; detyra e personit ishte të shkruante makinën. numra përballë çdo numri.

Sistemi i kohës plotësisht automatike u përdor për herë të parë në garën e kampionatit të USAC në Ontario Speedway në 1970. Çdo makinë ishte e pajisur me një transmetues që lëshonte valë në frekuencën e vet unike. Një antenë u instalua në vijën e fillimit-mbarimit që kapte frekuencën e lëkundjes së secilit transmetues; pjesa tjetër e punës u krye nga kompjuteri.

Kohëmatësi profesionist David McKinney, i cili ka punuar në gara të ndryshme në Australi dhe Zelandën e Re në vitet 1960, na dha një informacion interesant: “Nëse kohëmatësi më i aftë me kronometrin më të mirë mund ta 'kapë' saktësisht një të dhjetën e sekondës, ai është thjesht me fat. Të gjitha matjet manuale të marra ndonjëherë në gara mund të konsiderohen të përafërta.

"Formula 1"

Në Evropë, sistemet automatike u shfaqën shumë më vonë se në Amerikë. Në seritë ndërkombëtare si Formula 1, mbretëroi konfuzioni dhe lëkundjet. Deri në fund të viteve 1970, koha në ngjarje të ndryshme Grand Prix trajtohej nga njerëz krejtësisht të ndryshëm, duke përdorur pajisje dhe metoda të ndryshme. Në garat e lira, rolin e matësit më së shpeshti e kryenin gratë e vrapuesve. Për shembull, Norma Hill, gruaja e dy herë kampionit botëror Graham Hill, shkoi me burrin e saj në çdo Grand Prix dhe personalisht caktoi kohën e xhirove të tij, duke kontrolluar dy herë punën e marshalëve.

Në mesin e viteve 1970, i lodhur nga konfuzioni dhe gabimet e vazhdueshme, skuadra e Ferrarit filloi të sillte pajisjet e veta me precizion të lartë të blerë në Amerikë në Grand Prix. Një nga mekanikët e rivalit të Ferrarit, Lotus, e pyeti shefin e tij Colin Chapman: "Pse të mos bëjmë të njëjtën gjë?" "A mendoni vërtet se kjo do t'i bëjë makinat tona të ecin më shpejt?" - u përgjigj Chapman. Kjo përgjigje karakterizon me shumë saktësi qëndrimin evropian ndaj saktësisë së matjes së kohës në ato vite. Sidoqoftë, nga fundi i viteve 1970, pothuajse të gjitha ekipet kryesore lidhën kontrata me prodhuesit e orëve dhe mbanin me vete sistemet e tyre të kohës. Pas një prej garave, revista Autosport shkroi: "Ekipet publikojnë oraret e një saktësie të tillë në raportet zyrtare saqë shifrat zyrtare të organizatorëve të Grand Prix duken sikur janë bërë duke përdorur një orë Mickey Mouse!"

Incidente të jashtëzakonshme ndodhën rregullisht për shkak të gabimeve të kohës. Për shembull, gjatë Çmimit të Madh të Kanadasë me shi të vitit 1973, një makinë sigurie u soll në pistë për herë të parë. Kohëmatësit u hutuan, u ngatërruan me kohët e xhirove dhe i shtuan gabimisht herët para dhe pas makinës me shpejtësi. Si rezultat, fitorja u festua me radhë nga Emerson Fittipaldi nga Lotus, Jackie Oliver nga Shadow dhe Peter Revson nga McLaren. Fitorja i shkoi këtij të fundit - pas disa orësh grindjeje.

Një histori po aq interesante ndodhi në Çmimin e Madh të Suedisë në vitin 1975. Kalorësi i marsit Vittorio Brambilla ishte larg nga më i shpejti në pelaton, por ishte ai që fitoi pole position në atë garë. Kjo ndodhi sepse projektuesi i marsit, Robin Heard, kishte kaluar në heshtje drejtpërdrejt para fotocelës së instrumentit të regjistrimit gjysmë sekonde para se Brambilla të kalonte vijën e finishit. Për ndonjë mrekulli, askush nuk e pa këtë, dhe pajisja regjistroi kohën e Heard në këmbë, dhe jo fare vrapuesin.

Një triumf i teknologjisë

Gara e sotme është një festë e teknologjisë së lartë. Për shembull, seria NASCAR ishte pothuajse e fundit që kaloi në metodat moderne të kohës, duke iu përmbajtur sa më shumë traditave. Por sot sistemet e kohës së NASCAR-it konsiderohen disa nga më të mirat në botë. Tissot, kohëmatësi zyrtar i serive jashtë shtetit për katër vitet e fundit, ka pajisur çdo pistë në një mënyrë që organizatorët evropianë vetëm mund ta kenë zili. Në një garë ku 34 nga 36 raundet e sezonit zhvillohen në ovale, koha e saktë luan një rol të madh.

Jo sisteme më pak serioze përdoren në kampionatin botëror të garave të motoçikletave (Tissot është gjithashtu kohëmatës i tij). Ndryshe nga NASCAR, nuk ka nevojë për sisteme komplekse monitorimi për të përcaktuar se kush është përpara: motoçiklistët nuk janë në një fushë kaq të dendur. Por duke qenë se pistat MotoGP janë të një konfigurimi tradicional evropian dhe jo ovale, ka edhe shumë vështirësi. Vendosja e ndërprerjeve kohore në vende të caktuara në itinerar kërkon një mendim të kujdesshëm (ovalet thjesht ndahen gjeometrikisht në 4-8 pjesë).

Teknologjia e sotme kompjuterike praktikisht eliminon mundësinë e gabimeve të kohës në garat e makinave ose motoçikletave. Organizatorët e Grand Prix kanë gjetur prej kohësh probleme krejtësisht të ndryshme në mendjet e tyre - sigurinë, ekologjinë, etj. Dhe fiksuesit e kohës punojnë për veten e tyre dhe punojnë. Mund të thuash si një orë.