>> >> >> Metodat e integrimit

Metodat bazë të integrimit

Përkufizimi i integralit, i caktuar dhe i pacaktuar, tabela e integraleve, formula Njuton-Leibniz, integrimi sipas pjesëve, shembuj të llogaritjes së integraleve.

Integrali i pacaktuar

Le të jenë u = f(x) dhe v = g(x) funksione që kanë të vazhdueshme . Më pas, sipas punës,

d(uv))= udv + vdu ose udv = d(uv) - vdu.

Për shprehjen d(uv), antiderivati ​​do të jetë padyshim uv, kështu që formula vlen:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Kjo formulë shpreh rregullin integrimi sipas pjesëve. E çon integrimin e shprehjes udv=uv"dx në integrimin e shprehjes vdu=vu"dx.

Le të, për shembull, dëshironi të gjeni ∫xcosx dx. Le të vendosim u = x, dv = cosxdx, pra du=dx, v=sinx. Pastaj

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Rregulli i integrimit sipas pjesëve ka një shtrirje më të kufizuar sesa zëvendësimi i variablave. Por ka klasa të tëra integralesh, për shembull, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dhe të tjera, të cilat llogariten saktësisht duke përdorur integrimin sipas pjesëve.

Integral i caktuar

Metodat e integrimit, koncepti i një integrali të caktuar paraqitet si më poshtë. Le të përcaktohet një funksion f(x) në një interval. Segmentin [a,b] e ndajmë në n pjesë me pika a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Një shumë e formës f(ξ i)Δ x i quhet shumë integrale dhe kufiri i saj në λ = maxΔx i → 0, nëse ekziston dhe është i fundëm, quhet integral i caktuar funksionon f(x) nga a në b dhe shënohet:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funksioni f(x) në këtë rast thirret i integrueshëm në interval, quhen numrat a dhe b kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integralit.

Metodat e integrimit kanë vetitë e mëposhtme:

Vetia e fundit quhet teorema e vlerës mesatare.

Le të jetë f(x) e vazhdueshme në . Pastaj në këtë segment ka një integral të pacaktuar

∫f(x)dx = F(x) + C

dhe zhvillohet Formula Njuton-Leibniz, duke lidhur integralin e caktuar me integralin e pacaktuar:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretimi gjeometrik: përfaqëson sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga lart me kurbë y=f(x), drejtëza x = a dhe x = b dhe një segment të boshtit Ox.

Integrale të pahijshme

Integralet me kufij të pafundëm dhe integralet e funksioneve të ndërprera (të pakufizuara) quhen të parregullta. Integrale të pahijshme të llojit të parë - Këto janë integrale në një interval të pafund, të përcaktuar si më poshtë:

(8.7)

Nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm, atëherë quhet integral i parregullt konvergjent i f(x) në intervalin [a,+ ∞), dhe funksioni f(x) quhet i integrueshëm në intervalin e pafundëm [a,+ ∞ ). Përndryshe, integrali thuhet se nuk ekziston ose se ndryshon.

Integralet e pahijshme në intervalet (-∞,b] dhe (-∞, + ∞) përcaktohen në mënyrë të ngjashme:

Le të përcaktojmë konceptin e një integrali të një funksioni të pakufizuar. Nëse f(x) është e vazhdueshme për të gjitha vlerat x të segmentit përveç pikës c, në të cilën f(x) ka një ndërprerje të pafundme, atëherë integral i pahijshëm i llojit të dytë të f(x) duke filluar nga a në b shuma quhet:

nëse këto kufij ekzistojnë dhe janë të fundme. Përcaktimi:

Shembuj të llogaritjeve integrale

Shembulli 3.30. Njehsoni ∫dx/(x+2).

Zgjidhje. Le të shënojmë t = x+2, pastaj dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Shembulli 3.31. Gjeni ∫ tgxdx.

Zgjidhje: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Le të jetë t=cosx, atëherë ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Shembull3.32 . Gjeni ∫dx/sinx

Shembull3.33. Gjeni.

Zgjidhje. =

.

Shembull3.34 . Gjeni ∫arctgxdx.

Zgjidhje. Le të integrohemi sipas pjesëve. Le të shënojmë u=arctgx, dv=dx. Atëherë du = dx/(x 2 +1), v=x, prej nga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; sepse
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Shembull3.35 . Llogarit ∫lnxdx.

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atëherë ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Shembull3.36 . Njehsoni ∫e x sinxdx.

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulën e integrimit sipas pjesëve. Le të shënojmë u = e x, dv = sinxdx, pastaj du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx.
∫e x cosxdx integrohen edhe sipas pjesëve: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ne kemi:

Shembull 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Përftuam relacionin ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, nga e cila 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Llogaritni J = ∫cos(lnx)dx/x.

Shembull 3.38 Zgjidhje: Meqenëse dx/x = dlnx, atëherë J= ∫cos(lnx)d(lnx). Duke zëvendësuar lnx përmes t, arrijmë në tabelën integrale J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

. Llogaritni J = . .

Shembull 3.39 Zgjidhje. Duke marrë parasysh se = d(lnx), ne zëvendësojmë lnx = t. Atëherë J = .

. Llogaritni J = Zgjidhje. Ne kemi: =

. Kjo është arsyeja pse

Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh

Për të mësuar se si të zgjidhni integrale të caktuara, ju duhet:

1) Të jetë në gjendje gjeni integrale të pacaktuara.

2) Të jetë në gjendje llogarit integral i caktuar.

Siç mund ta shihni, për të zotëruar një integral të caktuar, duhet të keni një kuptim mjaft të mirë të integraleve të pacaktuar "të zakonshëm". Prandaj, nëse sapo keni filluar të zhyteni në llogaritjen integrale, dhe kazani ende nuk ka zier fare, atëherë është më mirë të filloni me mësimin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh. Përveç kësaj, ka kurse pdf për përgatitje ultra e shpejtë- nëse keni fjalë për fjalë një ditë, ka mbetur edhe një gjysmë dite.

Në formë të përgjithshme, integrali i caktuar shkruhet si më poshtë:

Çfarë shtohet në krahasim me integralin e pacaktuar? Më shumë kufijtë e integrimit.

Kufiri i ulët i integrimit
Kufiri i sipërm i integrimit standardisht shënohet me shkronjën .
Segmenti quhet segmenti i integrimit.

Përpara se të kalojmë te shembujt praktikë, një pyetje e shpejtë mbi integralin e caktuar.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një integral të caktuar? Zgjidhja e një integrali të caktuar do të thotë të gjesh një numër.

Si të zgjidhim një integral të caktuar? Duke përdorur formulën Newton-Leibniz të njohur nga shkolla:

Është më mirë të rishkruani formulën në një copë letre të veçantë, ajo duhet të jetë para syve tuaj gjatë gjithë mësimit.

Hapat për zgjidhjen e një integrali të caktuar janë si më poshtë:

1) Së pari gjejmë funksionin antiderivativ (integral i pacaktuar). Vini re se konstanta në integralin e caktuar nuk shtohet. Emërtimi është thjesht teknik, dhe shkopi vertikal nuk ka ndonjë kuptim matematikor, në fakt është vetëm një shënim. Pse nevojitet vetë regjistrimi? Përgatitja për zbatimin e formulës Njuton-Leibniz.

2) Zëvendësoni vlerën e kufirit të sipërm në funksionin antiderivativ: .

3) Zëvendësoni vlerën e kufirit të poshtëm në funksionin antiderivativ: .

4) Ne llogarisim (pa gabime!) diferencën, domethënë gjejmë numrin.

A ekziston gjithmonë një integral i caktuar? Jo, jo gjithmonë.

Për shembull, integrali nuk ekziston sepse segmenti i integrimit nuk përfshihet në domenin e integrandit (vlerat nën rrënjën katrore nuk mund të jenë negative). Ja një shembull më pak i dukshëm: . Këtu në intervalin e integrimit tangjente duron pushime pa fund në pikat , , dhe për këtë arsye një integral i tillë i caktuar gjithashtu nuk ekziston. Meqë ra fjala, kush nuk e ka lexuar ende materialin mësimor? Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare– koha për ta bërë është tani. Do të ishte mirë të ndihmoni gjatë gjithë kursit të matematikës së lartë.

Për këtë që një integral i caktuar të ekzistojë fare, mjafton që integrani të jetë i vazhdueshëm në intervalin e integrimit..

Nga sa më sipër, vijon rekomandimi i parë i rëndësishëm: përpara se të filloni të zgjidhni NDONJË integral të caktuar, duhet të siguroheni që funksioni integrand është e vazhdueshme në intervalin e integrimit. Kur isha student, kam pasur vazhdimisht një incident kur kam luftuar për një kohë të gjatë me gjetjen e një antiderivati ​​të vështirë, dhe kur më në fund e gjeta, ia ktheva mendjen për një pyetje tjetër: “Çfarë marrëzie doli të ishte? ?” Në një version të thjeshtuar, situata duket diçka si kjo:

???! Ju nuk mund të zëvendësoni numrat negativë nën rrënjë! Çfarë dreqin është kjo?! Pavëmendje fillestare.

Nëse për një zgjidhje (në një test, test, provim) ju ofrohet një pëlqim integral ose , atëherë duhet të jepni një përgjigje se ky integral i caktuar nuk ekziston dhe të arsyetoni pse.

! Shënim : në rastin e fundit fjala “e caktuar” nuk mund të hiqet, sepse një integral me ndërprerje pikash ndahet në disa, në këtë rast në 3 integrale jo të duhura, dhe formulimi "ky integral nuk ekziston" bëhet i pasaktë.

A mund të jetë një integral i caktuar i barabartë me një numër negativ? Ndoshta. Dhe një numër negativ. Dhe zero. Madje mund të rezultojë të jetë pafundësi, por tashmë do të jetë integral jo i duhur, të cilave u jepet një leksion i veçantë.

A mund të jetë kufiri i poshtëm i integrimit më i madh se kufiri i sipërm i integrimit? Ndoshta kjo situatë ndodh realisht në praktikë.

– integrali mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

Çfarë është e domosdoshme matematika e lartë? Sigurisht, pa të gjitha llojet e pronave. Prandaj, le të shqyrtojmë disa veti të integralit të caktuar.

Në një integral të caktuar, ju mund të riorganizoni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, duke ndryshuar shenjën:

Për shembull, në një integral të caktuar, para integrimit, këshillohet të ndryshoni kufijtë e integrimit në rendin "i zakonshëm":

– në këtë formë është shumë më i përshtatshëm për t'u integruar.

- kjo është e vërtetë jo vetëm për dy, por edhe për çdo numër funksionesh.

Në një integral të caktuar mund të kryhet zëvendësimi i variablit të integrimit, megjithatë, në krahasim me integralin e pacaktuar, kjo ka specifikat e veta, për të cilat do të flasim më vonë.

Për një integral të caktuar vlen sa vijon: integrimi sipas formulave të pjesëve:

Shembulli 1

Zgjidhja:

(1) E nxjerrim konstanten nga shenja integrale.

(2) Integroni mbi tabelë duke përdorur formulën më të njohur . Këshillohet që konstantja në dalje të ndahet dhe të vendoset jashtë kllapës. Nuk është e nevojshme ta bëni këtë, por këshillohet - pse llogaritjet shtesë?

. Fillimisht zëvendësojmë kufirin e sipërm, pastaj kufirin e poshtëm. Ne kryejmë llogaritjet e mëtejshme dhe marrim përgjigjen përfundimtare.

Shembulli 2

Njehsoni integralin e caktuar

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Le ta komplikojmë pak detyrën:

Shembulli 3

Njehsoni integralin e caktuar

Zgjidhja:

(1) Ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të caktuar.

(2) Ne integrojmë sipas tabelës, duke hequr të gjitha konstantat - ato nuk do të marrin pjesë në zëvendësimin e kufijve të sipërm dhe të poshtëm.

(3) Për secilin nga tre termat ne zbatojmë formulën Newton-Leibniz:

LIDHJA E DOBËT në integralin e caktuar janë gabimet në llogaritje dhe KONFUSIONI I zakonshëm NË SHENJA. Kini kujdes! I kushtoj vëmendje të veçantë termit të tretë: – vendi i parë në hit paradën e gabimeve për shkak të pavëmendjes, shumë shpesh shkruajnë automatikisht (sidomos kur zëvendësimi i kufirit të sipërm dhe të poshtëm bëhet me gojë dhe nuk shkruhet me kaq hollësi). Edhe një herë, studioni me kujdes shembullin e mësipërm.

Duhet të theksohet se metoda e shqyrtuar për zgjidhjen e një integrali të caktuar nuk është e vetmja. Me një përvojë, zgjidhja mund të reduktohet ndjeshëm. Për shembull, unë vetë jam mësuar të zgjidh integrale të tilla si kjo:

Këtu kam përdorur verbalisht rregullat e linearitetit dhe jam integruar verbalisht duke përdorur tabelën. Përfundova me vetëm një kllapa me kufijtë e shënuar: (ndryshe nga tre kllapa në metodën e parë). Dhe në funksionin antiderivativ "të tërë", së pari zëvendësova 4, pastaj -2, duke kryer përsëri të gjitha veprimet në mendjen time.

Cilat janë disavantazhet e zgjidhjes së shkurtër? Gjithçka këtu nuk është shumë e mirë nga pikëpamja e racionalitetit të llogaritjeve, por personalisht nuk më intereson - unë llogarit fraksionet e zakonshme në një kalkulator.
Përveç kësaj, ekziston një rrezik në rritje për të bërë një gabim në llogaritjet, kështu që është më mirë që një student i çajit të përdorë metodën e parë me metodën "ime" të zgjidhjes, shenja do të humbasë diku;

Sidoqoftë, avantazhet e padyshimta të metodës së dytë janë shpejtësia e zgjidhjes, kompaktësia e shënimit dhe fakti që antiderivati ​​është në një kllapë.

Këshillë: përpara se të përdorni formulën Newton-Leibniz, është e dobishme të kontrolloni: a u gjet saktë vetë antiderivati?

Pra, në lidhje me shembullin në shqyrtim: përpara se të zëvendësoni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm në funksionin antiderivativ, këshillohet të kontrolloni në draft nëse integrali i pacaktuar është gjetur saktë? Le të dallojmë:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali i pacaktuar është gjetur saktë. Tani mund të aplikojmë formulën Njuton-Leibniz.

Një kontroll i tillë nuk do të jetë i tepërt kur llogaritet ndonjë integral i caktuar.

Shembulli 4

Njehsoni integralin e caktuar

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë. Mundohuni ta zgjidhni atë në një mënyrë të shkurtër dhe të detajuar.

Ndryshimi i një ndryshoreje në një integral të caktuar

Për një integral të caktuar, të gjitha llojet e zëvendësimeve janë të vlefshme si për integralin e pacaktuar. Kështu, nëse nuk jeni shumë mirë me zëvendësimet, duhet ta lexoni me kujdes mësimin Metoda e zëvendësimit në integral të pacaktuar.

Nuk ka asgjë të frikshme apo të vështirë në këtë paragraf. Risia qëndron tek pyetja si të ndryshohen kufijtë e integrimit gjatë zëvendësimit.

Në shembuj, do të përpiqem të jap lloje të zëvendësimeve që nuk janë gjetur ende askund në sit.

Shembulli 5

Njehsoni integralin e caktuar

Pyetja kryesore këtu nuk ka të bëjë fare me integralin e caktuar, por se si të kryhet saktë zëvendësimi. Le të shohim tabela e integraleve dhe kuptoni se si duket më së shumti funksioni ynë integrues? Natyrisht, për logaritmin e gjatë: . Por ka një mospërputhje, në tabelën integrale nën rrënjë, dhe në tonën - "x" në fuqinë e katërt. Ideja e zëvendësimit rrjedh gjithashtu nga arsyetimi - do të ishte mirë që disi ta kthenim shkallën tonë të katërt në një katror. Kjo është e vërtetë.

Së pari, ne përgatisim integralin tonë për zëvendësim:

Nga konsideratat e mësipërme, lind natyrshëm një zëvendësim:
Kështu, gjithçka do të jetë mirë në emëruesin: .
Zbulojmë se në çfarë do të shndërrohet pjesa e mbetur e integrandit, për këtë gjejmë diferencialin:

Krahasuar me zëvendësimin në integralin e pacaktuar, shtojmë një hap shtesë.

Gjetja e kufijve të rinj të integrimit.

Është mjaft e thjeshtë. Le të shohim zëvendësimin tonë dhe kufijtë e vjetër të integrimit, .

Së pari, ne zëvendësojmë kufirin e poshtëm të integrimit, domethënë zero, në shprehjen zëvendësuese:

Pastaj ne zëvendësojmë kufirin e sipërm të integrimit në shprehjen zëvendësuese, domethënë rrënjën e tre:

Gati. Dhe thjesht...

Le të vazhdojmë me zgjidhjen.

(1) Sipas zëvendësimit shkruani një integral të ri me kufij të rinj integrimi.

(2) Ky është integrali më i thjeshtë i tabelës, ne integrojmë mbi tabelë. Është më mirë të lini konstanten jashtë kllapave (nuk duhet ta bëni këtë) në mënyrë që të mos ndërhyjë në llogaritjet e mëtejshme. Në të djathtë vizatojmë një vijë që tregon kufijtë e rinj të integrimit - kjo është përgatitja për aplikimin e formulës Newton-Leibniz.

(3) Ne përdorim formulën Newton-Leibniz .

Ne përpiqemi të shkruajmë përgjigjen në formën më kompakte të mundshme këtu kam përdorur vetitë e logaritmeve.

Një tjetër ndryshim nga integrali i pacaktuar është se pasi kemi bërë zëvendësimin, nuk ka nevojë të kryeni ndonjë zëvendësim të kundërt.

Dhe tani disa shembuj që ju të vendosni vetë. Çfarë zëvendësimesh të bëni - përpiquni të merrni me mend vetë.

Shembulli 6

Njehsoni integralin e caktuar

Shembulli 7

Njehsoni integralin e caktuar

Këto janë shembuj që ju të vendosni vetë. Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Dhe në fund të paragrafit, disa pika të rëndësishme, analiza e të cilave u shfaq falë vizitorëve të faqes. E para ka të bëjë ligjshmëria e zëvendësimit. Në disa raste nuk mund të bëhet! Kështu, Shembulli 6, me sa duket, mund të zgjidhet duke përdorur zëvendësimi universal trigonometrik, megjithatë, kufiri i sipërm i integrimit ("pi") nuk përfshihen në fusha e përkufizimit kjo tangjente dhe për rrjedhojë ky zëvendësim është i paligjshëm! Kështu, funksioni “zëvendësues” duhet të jetë i vazhdueshëm në të gjitha pikat e segmentit të integrimit.

Në një email tjetër, u mor pyetja e mëposhtme: "A duhet të ndryshojmë kufijtë e integrimit kur nënkuptojmë një funksion nën shenjën diferenciale?" Në fillim doja të "hiqja marrëzitë" dhe automatikisht të përgjigjesha "sigurisht jo", por më pas mendova për arsyen e një pyetjeje të tillë dhe papritmas zbulova se nuk kishte asnjë informacion jo mjaftueshëm. Por, megjithëse e qartë, është shumë e rëndësishme:

Nëse e përfshijmë funksionin nën shenjën diferenciale, atëherë nuk ka nevojë të ndryshohen kufijtë e integrimit! Pse? Sepse në këtë rast asnjë tranzicion aktual në ndryshore të re. Për shembull:

Dhe këtu përmbledhja është shumë më e përshtatshme se zëvendësimi akademik me "pikturimin" e mëvonshëm të kufijve të rinj të integrimit. Kështu, nëse integrali i caktuar nuk është shumë i ndërlikuar, atëherë gjithmonë përpiquni ta vendosni funksionin nën shenjën diferenciale! Është më i shpejtë, është më kompakt dhe është i zakonshëm - siç do ta shihni dhjetëra herë!

Faleminderit shumë për letrat tuaja!

Mënyra e integrimit me pjesë në një integral të caktuar

Këtu ka edhe më pak risi. Të gjitha llogaritjet e artikullit Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar janë plotësisht të vlefshme për integralin e caktuar.
Ka vetëm një detaj që është një plus në formulën e integrimit sipas pjesëve, janë shtuar kufijtë e integrimit:

Këtu duhet aplikuar dy herë formula Njuton-Leibniz: për produktin dhe pasi marrim integralin.

Për shembull, unë përsëri zgjodha llojin e integralit që nuk është gjetur ende askund në sit. Shembulli nuk është më i thjeshti, por shumë, shumë informues.

Shembulli 8

Njehsoni integralin e caktuar

Le të vendosim.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Kushdo që ka vështirësi me integralin, le të shikojë mësimin Integrale të funksioneve trigonometrike, aty flitet në detaje.

(1) Zgjidhjen e shkruajmë në përputhje me formulën e integrimit sipas pjesëve.

(2) Për produktin aplikojmë formulën Newton-Leibniz. Për integralin e mbetur përdorim vetitë e linearitetit, duke e ndarë atë në dy integrale. Mos u ngatërroni nga shenjat!

(4) Zbatojmë formulën Newton-Leibniz për dy antiderivativët e gjetur.

Të them të drejtën nuk më pëlqen formula. dhe, nëse është e mundur, ... Unë bëj pa të fare! Le të shqyrtojmë zgjidhjen e dytë nga këndvështrimi im, është më racionale.

Njehsoni integralin e caktuar

Në fazën e parë gjej integralin e pacaktuar:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Është gjetur funksioni antiderivativ. Nuk ka kuptim të shtoni një konstante në këtë rast.

Cili është avantazhi i një rritjeje të tillë? Nuk ka nevojë të "përmbahen" kufijtë e integrimit, në të vërtetë mund të jetë rraskapitëse të shkruajmë simbolet e vogla të kufijve të integrimit një duzinë herë;

Në fazën e dytë kontrolloj(zakonisht në draft).

Gjithashtu logjike. Nëse e kam gjetur gabim funksionin antiderivativ, atëherë do ta zgjidh gabimisht integralin e caktuar. Është më mirë ta zbulojmë menjëherë, le të dallojmë përgjigjen:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se funksioni antiderivativ është gjetur saktë.

Faza e tretë është aplikimi i formulës Njuton-Leibniz:

Dhe këtu ka një përfitim të rëndësishëm! Në metodën e zgjidhjes "ime" ekziston një rrezik shumë më i ulët për t'u ngatërruar në zëvendësimet dhe llogaritjet - formula Newton-Leibniz zbatohet vetëm një herë. Nëse çajniku zgjidh një integral të ngjashëm duke përdorur formulën (në mënyrën e parë), atëherë ai patjetër do të gabojë diku.

Algoritmi i konsideruar i zgjidhjes mund të zbatohet për çdo integral të caktuar.

I dashur student, printo dhe ruaj:

Çfarë duhet të bëni nëse ju jepet një integral i caktuar që duket i ndërlikuar ose nuk është menjëherë e qartë se si ta zgjidhni atë?

1) Së pari gjejmë integralin e pacaktuar (funksioni antiderivativ). Nëse në fazën e parë ka pasur një përplasje, nuk ka kuptim të lëkundet më tej varkën me Njutonin dhe Leibnizin. Ekziston vetëm një mënyrë - të rrisni nivelin tuaj të njohurive dhe aftësive në zgjidhje integrale të pacaktuara.

2) Kontrollojmë funksionin antiderivativ të gjetur me diferencim. Nëse gjendet gabimisht, hapi i tretë do të jetë humbje kohe.

3) Ne përdorim formulën Newton-Leibniz. Ne i kryejmë të gjitha llogaritjet ME KUJDES SHUMË - kjo është lidhja më e dobët e detyrës.

Dhe, për një meze të lehtë, një zgjidhje integrale për të pavarur.

Shembulli 9

Njehsoni integralin e caktuar

Zgjidhja dhe përgjigja janë diku afër.

Mësimi tjetër i rekomanduar mbi këtë temë është Si të llogarisni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar?
Le të integrojmë sipas pjesëve:

Jeni i sigurt që i keni zgjidhur dhe keni marrë të njëjtat përgjigje? ;-) Dhe ka pornografi për një grua të moshuar.

Nëse përkufizimet nga libri shkollor janë shumë komplekse dhe të paqarta, lexoni artikullin tonë. Ne do të përpiqemi të shpjegojmë sa më thjesht të jetë e mundur, "në gishta", pikat kryesore të një dege të tillë të matematikës si integrale të përcaktuara. Si të llogarisni integralin, lexoni në këtë manual.

Nga pikëpamja gjeometrike, integrali i një funksioni është zona e figurës së formuar nga grafiku i një funksioni të caktuar dhe boshti brenda kufijve të integrimit. Shkruani integralin, analizoni funksionin nën integral: nëse integrani mund të thjeshtohet (reduktohet, faktorizohet në shenjën integrale, ndahet në dy integrale të thjeshta), bëjeni këtë.

Hapni tabelën e integraleve për të përcaktuar se cili derivat i funksionit është nën integral. E gjetët përgjigjen? Shkruani faktorin e shtuar në integral (nëse kjo ka ndodhur), shkruani funksionin e gjetur nga tabela dhe zëvendësoni kufijtë e integralit.

Për të llogaritur vlerën e një integrali, llogaritni vlerën e tij në kufirin e sipërm dhe zbritni vlerën e tij në kufirin e poshtëm. Dallimi është vlera e dëshiruar.

Për të provuar veten ose të paktën për të kuptuar procesin e zgjidhjes së një problemi integral, është i përshtatshëm të përdorni shërbimin në internet për gjetjen e integraleve, por para se të filloni zgjidhjen, lexoni rregullat për futjen e funksioneve. Avantazhi i tij më i madh është se e gjithë zgjidhja e problemit me një integral përshkruhet këtu hap pas hapi.

Natyrisht, këtu merren parasysh vetëm versionet më të thjeshta të integraleve - në fakt, ka shumë lloje të integraleve, ato studiohen në kursin e matematikës së lartë, analizave matematikore dhe ekuacioneve diferenciale në universitete; .

Për çfarë janë integralet? Përpiquni t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje vetë.

• Kur shpjegojnë temën e integraleve, mësuesit rendisin fushat e zbatimit që janë pak të dobishme për mendjet e shkollës. Midis tyre:
• llogaritja e sipërfaqes së një figure.
• Llogaritja e masës trupore me dendësi të pabarabartë.
• përcaktimi i distancës së përshkuar kur lëvizni me shpejtësi të ndryshueshme.

etj.

Nuk është gjithmonë e mundur të lidhen të gjitha këto procese, kështu që shumë studentë ngatërrohen, edhe nëse kanë të gjitha njohuritë bazë për të kuptuar integralin. Arsyeja kryesore e injorancës

– mungesa e të kuptuarit të rëndësisë praktike të integraleve.

Integrale - çfarë është ajo?. Nevoja për integrim lindi në Greqinë e Lashtë. Në atë kohë, Arkimedi filloi të përdorë metoda që në thelb ishin të ngjashme me llogaritjet integrale moderne për të gjetur sipërfaqen e një rrethi. Qasja kryesore për përcaktimin e zonës së shifrave të pabarabarta atëherë ishte "Metoda e shterimit", e cila është mjaft e lehtë për t'u kuptuar.

Thelbi i metodës. Një sekuencë monotonike e figurave të tjera përshtatet në këtë figurë, dhe më pas llogaritet kufiri i sekuencës së zonave të tyre. Ky kufi u mor si zona e kësaj figure.

Kjo metodë gjurmon lehtësisht idenë e llogaritjes integrale, e cila është gjetja e kufirit të një shume të pafundme. Kjo ide u përdor më vonë nga shkencëtarët për të zgjidhur problemet e aplikuara astronautika, ekonomia, mekanika etj.

Integral modern. Teoria klasike e integrimit u formulua në formë të përgjithshme nga Njutoni dhe Leibniz. Ai mbështetej në ligjet e atëhershme ekzistuese të llogaritjes diferenciale. Për ta kuptuar atë, ju duhet të keni disa njohuri bazë që do t'ju ndihmojnë të përdorni gjuhën matematikore për të përshkruar ide vizuale dhe intuitive rreth integraleve.

Ne shpjegojmë konceptin e "Integral"

Procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencimi, dhe gjetja e antiderivativit - integrimin.

Integrale gjuha matematikore– ky është antiderivati ​​i funksionit (ajo që ishte para derivatit) + konstanta “C”.

Integrale me fjalë të thjeshtaështë zona e një figure lakor. Integrali i pacaktuar është e gjithë zona. Integrali i caktuar është zona në një zonë të caktuar.

Integrali është shkruar kështu:

Çdo integrand shumëzohet me komponentin "dx". Ai tregon se mbi cilën variabël po kryhet integrimi. "dx" është rritja e argumentit. Në vend të X mund të ketë ndonjë argument tjetër, për shembull t (koha).

Integrali i pacaktuar

Një integral i pacaktuar nuk ka kufij integrimi.

Për të zgjidhur integrale të pacaktuar, mjafton të gjejmë antiderivativin e integrandit dhe t'i shtojmë "C".

Integral i caktuar

Në një integral të caktuar, kufizimet "a" dhe "b" shkruhen në shenjën e integrimit. Këto janë treguar në boshtin X në grafikun e mëposhtëm.

Për të llogaritur një integral të caktuar, duhet të gjeni antiderivativin, të zëvendësoni vlerat "a" dhe "b" në të dhe të gjeni ndryshimin. Në matematikë kjo quhet Formula Njuton-Leibniz:

Tabela e integraleve për studentët (formula bazë)

Shkarkoni formulat integrale, ato do të jenë të dobishme për ju

Si të llogaritet saktë integrali

Ekzistojnë disa operacione të thjeshta për transformimin e integraleve. Këtu janë ato kryesore:

Heqja e një konstante nga nën shenjën integrale

Zbërthimi i integralit të një shume në shumën e integraleve

Nëse ndërroni a dhe b, shenja do të ndryshojë

Ju mund ta ndani integralin në intervale si më poshtë

Këto janë vetitë më të thjeshta, në bazë të të cilave më vonë do të formulohen teorema dhe metoda më komplekse të llogaritjes.

Shembuj të llogaritjeve integrale

Zgjidhja e integralit të pacaktuar

Zgjidhja e integralit të caktuar

Konceptet bazë për të kuptuar temën

Në mënyrë që të kuptoni thelbin e integrimit dhe të mos e mbyllni faqen nga keqkuptimi, ne do të shpjegojmë një sërë konceptesh themelore. Çfarë është një funksion, derivat, kufi dhe antiderivativ.

Funksioni– një rregull sipas të cilit të gjithë elementët nga një grup ndërlidhen me të gjithë elementët e një grupi tjetër.

Derivat– një funksion që përshkruan shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni tjetër në çdo pikë specifike. Në gjuhën strikte, ky është kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit. Ai llogaritet me dorë, por është më e lehtë të përdoret një tabelë derivative, e cila përmban shumicën e funksioneve standarde.

Rritje– një ndryshim sasior në funksion me një ndryshim në argument.

Kufiri– vlera drejt së cilës priret vlera e funksionit kur argumenti tenton në një vlerë të caktuar.

Një shembull i një kufiri: le të themi nëse X është e barabartë me 1, Y do të jetë e barabartë me 2. Po sikur X nuk është e barabartë me 1, por tenton në 1, domethënë nuk e arrin kurrë atë? Në këtë rast, y nuk do të arrijë kurrë 2, por do të priret vetëm në këtë vlerë. Në gjuhën matematikore kjo shkruhet si më poshtë: limY(X), si X –> 1 = 2. Lexohet: kufiri i funksionit Y(X), pasi x tenton në 1, është i barabartë me 2.

Siç u përmend tashmë, një derivat është një funksion që përshkruan një funksion tjetër. Funksioni origjinal mund të jetë një derivat i ndonjë funksioni tjetër. Ky funksion tjetër quhet antiderivativ.

konkluzioni

Gjetja e integraleve nuk është e vështirë. Nëse nuk e kuptoni se si ta bëni këtë, . Herën e dytë bëhet më e qartë. Mbani mend! Zgjidhja e integraleve zbret në transformime të thjeshta të integrandit dhe kërkimi i tij në .

Nëse shpjegimi i tekstit nuk ju përshtatet, shikoni videon në lidhje me kuptimin e integralit dhe derivatit:

Integralet - cilat janë ato, si të zgjidhen, shembuj zgjidhjesh dhe shpjegime për bedelet përditësuar: 22 nëntor 2019 nga: Artikuj shkencorë.Ru