Grafiku i funksionit y është i barabartë me rrënjën e x. Funksionet e formës y = √x, vetitë dhe grafikët e tyre - Hipermarketi i njohurive

Shkalla e N-të nga një numër real, ata vunë re se nga çdo numër jo negativ mund të nxirrni rrënjën e çdo shkalle (të dytë, të tretë, të katërt, etj.), dhe nga një numër negativ mund të nxirrni rrënjën e çdo shkalle tek. Por atëherë duhet të mendoni për një funksion të formës, për grafikun e tij, për vetitë e tij. Kjo është ajo që ne do të bëjmë në këtë paragraf. Së pari le të flasim për funksionin në rastin e vlerave jo negative argument.

Le të fillojmë me rastin që ju e dini, kur n = 2, d.m.th. nga funksioni në Fig. 166 tregon grafikun e funksionit dhe grafikun e funksionit y = x 2, x>0. Të dy grafikët përfaqësojnë të njëjtën kurbë - një degë e një parabole, e vendosur vetëm ndryshe në planin koordinativ. Le të sqarojmë: këta grafikë janë simetrik në lidhje me drejtëzën y ​​= x, pasi ato përbëhen nga pika që janë simetrike me njëra-tjetrën në raport me drejtëzën e specifikuar. Shikoni: në degën e konsideruar të parabolës y = x 2 ka pika (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), dhe në funksion grafiku ka pika (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Pikat (2; 4) dhe (4; 2), (3; 9) dhe (9; 3), (4; 16) dhe (16; 4) janë simetrike rreth drejtëzës y = x, (dhe pikave (0 0 ) dhe (1; 1) shtrihen në këtë linjë). Dhe në përgjithësi, për çdo pikë (a; a 2) në grafiku i funksionit y = x 2 është një pikë (a 2 ; a) simetrike me të në lidhje me drejtëzën y ​​= x në grafikun e funksionit dhe anasjelltas. Teorema e mëposhtme është e vërtetë.

Dëshmi. Për definicion, supozojmë se a dhe b janë numra pozitivë. Merrni parasysh trekëndëshat OAM dhe OVR (Fig. 167). Ato janë të barabarta, që do të thotë OP = OM dhe . Por pastaj meqë drejtëza y = x është përgjysmues i këndit AOB. Pra, trekëndëshi ROM është dykëndësh, OH është përgjysmues i tij dhe për rrjedhojë boshti i simetrisë. Pikat M dhe P janë simetrike në lidhje me vijën e drejtë OH, e cila është ajo që duhet të vërtetohet.
Pra, grafiku i funksionit mund të merret nga grafiku i funksionit y = x 2, x>0 duke përdorur një transformim simetrie rreth drejtëzës y = x. Në mënyrë të ngjashme, grafiku i një funksioni mund të merret nga grafiku i funksionit y = x 3, x> 0 duke përdorur një transformim simetrie rreth drejtëzës y = x; grafiku i një funksioni mund të merret nga grafiku i një funksioni duke përdorur një transformim simetrie rreth drejtëzës y = x, etj. Le të kujtojmë se grafiku i një funksioni i ngjan në dukje degës së një parabole, sa më e madhe n, aq më e pjerrët kjo degë nxiton lart në interval dhe sa më afër i afrohet boshtit x në afërsi të pikës x = 0 (Fig. 168).

Le të formulojmë një përfundim të përgjithshëm: grafiku i funksionit është simetrik me grafikun e funksionit në lidhje me drejtëzën y ​​= x (Fig. 169).

Karakteristikat e funksionit

1)
2) funksioni nuk është as çift as tek;
3) rritet me
4) jo i kufizuar nga lart, i kufizuar nga poshtë;
5) nuk ka rëndësinë më të madhe;
6) e vazhdueshme;
7)

Kushtojini vëmendje një rrethane kurioze. Le të shqyrtojmë dy funksione, grafikët e të cilëve janë paraqitur në Fig. 169: Sapo kemi renditur shtatë veti për funksionin e parë, por funksioni i dytë ka absolutisht të njëjtat veti. “Portretet” verbale të dy funksioneve të ndryshme janë të njëjta. Por, le të sqarojmë, ato janë ende të njëjta.

Matematikanët nuk mund të duronin një padrejtësi të tillë kur funksione të ndryshme me grafikë të ndryshëm përshkruhen verbalisht në të njëjtën mënyrë, dhe prezantuan konceptet e konveksitetit lart dhe konveksitetit në rënie. Grafiku i funksionit është konveks lart, ndërsa grafiku i funksionit y = x n është konveks poshtë.

Zakonisht thuhet se një funksion i vazhdueshëm është konveks poshtë nëse, duke lidhur dy pika të grafikut të tij me një segment të drejtë, zbulohet se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet poshtë segmentit të vizatuar (Fig. 170); një funksion i vazhdueshëm është konveks lart nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij me një segment të drejtë, zbulohet se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet mbi segmentin e vizatuar (Fig. 171).

Më tej do të përfshijmë vetinë e konveksitetit në procedurën e leximit të grafikut. Le ta shënojmë" (duke vazhduar numërimin e vetive të përshkruara më parë) për funksionin në shqyrtim:

8) funksioni është konveks lart në rreze
Në kapitullin e mëparshëm, u njohëm me një veçori tjetër të një funksioni - diferencibilitetin, pamë se funksioni y = x n është i diferencueshëm në çdo pikë, derivati ​​i tij është i barabartë me nx n-1. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se në çdo pikë të grafikut të funksionit y = x n mund të vizatohet një tangjente ndaj tij. Grafiku i një funksioni gjithashtu ka të njëjtën veti: në çdo pikë është e mundur të vizatoni një tangjente me grafikun. Kështu, ne mund të vërejmë një veçori më shumë të funksionit
9) funksioni është i diferencueshëm në çdo pikë x > 0.
Ju lutemi vini re: nuk po flasim për diferencueshmërinë e funksionit në pikën x = 0 - në këtë pikë tangjentja me grafikun e funksionit përkon me boshtin y, d.m.th. pingul me boshtin x.
Shembull 1. Paraqitni grafikun e një funksioni
Zgjidhje. 1) Le të kalojmë në një sistem koordinativ ndihmës me origjinë në pikën (-1; -4) - vijat me pika x = -1 dhe y = -4 në Fig. 172.
2) “Lidh” funksionin me sistemin e ri të koordinatave. Ky do të jetë orari i kërkuar.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje. Mënyra e parë. 1) Le të prezantojmë dy funksione
2) Le të vizatojmë funksionin

3) Le të ndërtojmë një grafik të funksionit linear y=2-x (shih Fig. 173).

4) Grafikët e ndërtuar kryqëzohen në një pikë A, dhe nga grafiku mund të supozojmë se koordinatat e pikës A janë si më poshtë: (1; 1). Kontrolli tregon se në fakt pika (1; 1) i përket edhe grafikut të funksionit edhe grafikut të funksionit y=2-x. Kjo do të thotë që ekuacioni ynë ka një rrënjë: x = 1 - abshisa e pikës A.

Mënyra e dytë.
Modeli gjeometrik i paraqitur në Fig. 173, ilustrohet qartë nga pohimi i mëposhtëm, i cili ndonjëherë ju lejon të zgjidhni ekuacionin në mënyrë shumë elegante (dhe që ne e kemi përdorur tashmë në § 35 kur zgjidhim Shembullin 2):

Nëse funksioni y=f(x) rritet, dhe funksioni y=g(x) zvogëlohet, dhe nëse ekuacioni f(x)=g(x) ka rrënjë, atëherë ka vetëm një.

Ja se si, bazuar në këtë deklaratë, ne mund të zgjidhim ekuacionin e dhënë:

1) vini re se për x = 1 vlen barazia, që do të thotë x = 1 është rrënja e ekuacionit (ne e morëm me mend këtë rrënjë);
2) funksioni y=2-x zvogëlohet, dhe funksioni rritet; Kjo do të thotë se ekuacioni i dhënë ka vetëm një rrënjë, dhe kjo rrënjë është vlera x = 1 e gjetur më sipër.

Përgjigju: x = 1.

Deri më tani kemi folur për funksionin vetëm për vlerat e argumenteve jo negative. Por nëse n është një numër tek, shprehja gjithashtu ka kuptim për x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Në fakt, vetëm një pronë do t'i shtohet atyre të listuara:

nëse n është një numër tek (n = 3.5, 7,...), atëherë ai është një funksion tek.

Në fakt, le të jenë të vërteta transformime të tilla për një eksponent tek n. Pra, f(-x) = -f(x), dhe kjo do të thotë se funksioni është tek.

Si duket grafiku i një funksioni në rastin e një eksponenti tek n? Kur siç tregohet në Fig. 169, është një degë e grafikut të dëshiruar. Duke i shtuar asaj një degë që është simetrike me të në lidhje me origjinën e koordinatave (e cila, të kujtojmë, është tipike për çdo funksion tek), marrim një grafik të funksionit (Fig. 174). Vini re se boshti y është tangjent me grafikun në x = 0.
Pra, le ta përsërisim përsëri:
nëse n është një numër çift, atëherë grafiku i funksionit ka formën e treguar në Fig. 169;
nëse n është një numër tek, atëherë grafiku i funksionit ka formën e treguar në Fig. 174.

Shembulli 3. Ndërtoni dhe lexoni një grafik të funksionit y = f(x), ku
Zgjidhje. Së pari, le të ndërtojmë një grafik të funksionit dhe të theksojmë një pjesë të tij në rreze (Fig. 175).
Më pas do të ndërtojmë një grafik të funksionit dhe do të zgjedhim pjesën e tij në rreze të hapur (Fig. 176). Së fundi, ne do t'i përshkruajmë të dy "pjesët" në të njëjtin sistem koordinativ - ky do të jetë grafiku i funksionit y = f(x) (Fig. 177).
Le të rendisim (bazuar në grafikun e vizatuar) vetitë e funksionit y = f(x):

1)
2) as çift e as tek;
3) zvogëlohet në rreze, rritet në rreze
4) jo i kufizuar nga poshtë, i kufizuar nga lart;
5) nuk ka vlerë minimale, a (e arritur në pikën x = 1);
6) e vazhdueshme;
7)
8) konveks poshtë në , konveks lart në segment, konveks poshtë në
9) funksioni është i diferencueshëm kudo, përveç pikave x = 0 dhe x = 1.
10) grafiku i funksionit ka një asimptotë horizontale, që do të thotë, kujtoni atë

Shembulli 4. Gjeni domenin e një funksioni:

Zgjidhje, a) Nën shenjën e rrënjës së shkallës çift duhet të ketë një numër jo negativ, që do të thotë se problemi zbret në zgjidhjen e pabarazisë
b) Çdo numër mund të jetë nën shenjën e një rrënjë tek, që do të thotë se këtu nuk vendosen kufizime për x, d.m.th. D(f) = R.
c) Shprehja ka kuptim me kusht që një shprehje të thotë që dy pabarazi duhet të plotësohen njëkohësisht: ato. problemi zbret në zgjidhjen e sistemit të pabarazive:

Zgjidhja e pabarazive
Të zgjidhim pabarazinë Të faktorizojmë anën e majtë të mosbarazimit: Ana e majtë e mosbarazimit kthehet në 0 në pikat -4 dhe 4. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike (Fig. 178). Vija numerike ndahet nga pikat e treguara në tre intervale, dhe në çdo interval shprehja p(x) = (4-x)(4 + x) ruan një shenjë konstante (shenjat tregohen në figurën 178). Intervali mbi të cilin qëndron pabarazia p(x)>0 është i hijezuar në Fig. 178. Sipas kushteve të problemës na interesojnë edhe ato pika x në të cilat vlen barazia p(x) = 0 Janë dy pika të tilla: x = -4, x = 4 - janë shënuar në Fig . 178 rrathë të errët. Kështu, në Fig. 178 paraqet një model gjeometrik për zgjidhjen e pabarazisë së dytë të sistemit.

Le të shënojmë zgjidhjet e gjetura të pabarazive të para dhe të dyta të sistemit në të njëjtën vijë koordinative, duke përdorur çelësin e sipërm për të parën dhe çelësin e poshtëm për të dytën (Fig. 179). Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jetë kryqëzimi i zgjidhjeve të pabarazive të sistemit, d.m.th. intervali ku përputhen të dyja çeljet. Një hendek i tillë është segmenti [-1, 4].

Përgjigju. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të

Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë

Qëllimet kryesore:

1) formoni një ide për realizueshmërinë e një studimi të përgjithësuar të varësive të sasive reale duke përdorur shembullin e sasive të lidhura me relacionin y=

2) të zhvillojë aftësinë për të ndërtuar një grafik y= dhe vetitë e tij;

3) përsëritni dhe konsolidoni teknikat e llogaritjeve me gojë dhe me shkrim, katrorin, nxjerrjen e rrënjëve katrore.

Pajisjet, materiali demonstrues: fletëpalosje.

1. Algoritmi:

2. Shembull për plotësimin e detyrës në grupe:

3. Shembull për vetëtestim të punës së pavarur:

4. Karta për fazën e reflektimit:

1) Kuptova se si të grafikoj funksionin y=.

2) Mund të rendis vetitë e tij duke përdorur një grafik.

3) Nuk kam bërë gabime në punën e pavarur.

4) Kam bërë gabime në punën time të pavarur (rendisni këto gabime dhe tregoni arsyen e tyre).

Përparimi i mësimit

1. Vetëvendosje për veprimtari edukative

Qëllimi i skenës:

1) përfshirja e studentëve në aktivitete edukative;

2) përcaktoni përmbajtjen e mësimit: vazhdojmë të punojmë me numra realë.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 1:

– Çfarë kemi studiuar në mësimin e fundit? (Studiuam grupin e numrave realë, veprimet me ta, ndërtuam një algoritëm për të përshkruar vetitë e një funksioni, funksione të përsëritura të studiuara në klasën e 7-të).

– Sot do të vazhdojmë të punojmë me një grup numrash realë, një funksion.

2. Përditësimi i njohurive dhe evidentimi i vështirësive në aktivitete

Qëllimi i skenës:

1) përditësoni përmbajtjen edukative që është e nevojshme dhe e mjaftueshme për perceptimin e materialit të ri: funksioni, ndryshorja e pavarur, ndryshorja e varur, grafikët

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) përditësoni operacionet mendore të nevojshme dhe të mjaftueshme për perceptimin e materialit të ri: krahasimi, analiza, përgjithësimi;

3) regjistroni të gjitha konceptet dhe algoritmet e përsëritura në formën e diagrameve dhe simboleve;

4) regjistroni një vështirësi individuale në aktivitet, duke demonstruar në një nivel personalisht domethënës pamjaftueshmërinë e njohurive ekzistuese.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 2:

1. Le të kujtojmë se si mund të vendosni varësi midis sasive? (duke përdorur tekstin, formulën, tabelën, grafikun)

2. Si quhet funksioni? (Një marrëdhënie midis dy madhësive, ku secila vlerë e një ndryshoreje korrespondon me një vlerë të vetme të një ndryshoreje tjetër y = f(x)).

Cili është emri i x? (Ndryshore e pavarur - argument)

Cili është emri i y? (Ndryshore e varur).

3. Në klasën e 7-të kemi studiuar funksione? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

Detyrë individuale:

Cili është grafiku i funksioneve y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Identifikimi i shkaqeve të vështirësive dhe përcaktimi i qëllimeve për aktivitetet

Qëllimi i skenës:

1) organizoni ndërveprim komunikues, gjatë të cilit identifikohet dhe regjistrohet vetia dalluese e detyrës që shkaktoi vështirësi në aktivitetet mësimore;

2) dakord për qëllimin dhe temën e mësimit.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 3:

-Çfarë të veçantë ka kjo detyrë? (Varësia jepet me formulën y = të cilën nuk e kemi hasur ende.)

– Cili është qëllimi i mësimit? (Njihuni me funksionin y =, vetitë dhe grafikun e tij. Përdorni funksionin në tabelë për të përcaktuar llojin e varësisë, ndërtoni një formulë dhe grafik.)

– A mund të formuloni temën e mësimit? (Funksioni y=, vetitë dhe grafiku i tij).

– Shkruani temën në fletore.

4. Ndërtimi i një projekti për të dalë nga një vështirësi

Qëllimi i skenës:

1) organizoni ndërveprim komunikues për të ndërtuar një metodë të re veprimi që eliminon shkakun e vështirësisë së identifikuar;

2) rregulloni një metodë të re veprimi në një formë simbolike, verbale dhe me ndihmën e një standardi.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 4:

Puna në këtë fazë mund të organizohet në grupe, duke u kërkuar grupeve të ndërtojnë një grafik y =, pastaj të analizojnë rezultatet. Grupeve gjithashtu mund t'u kërkohet të përshkruajnë vetitë e një funksioni të caktuar duke përdorur një algoritëm.

5. Konsolidimi parësor në të folurit e jashtëm

Qëllimi i fazës: regjistrimi i përmbajtjes arsimore të studiuar në fjalimin e jashtëm.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 5:

Ndërtoni një grafik me y= - dhe përshkruani vetitë e tij.

Vetitë y= - .

1.Domeni i përkufizimit të një funksioni.

2. Gama e vlerave të funksionit.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 nëse x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Funksionet rritëse, zvogëluese.

Funksioni zvogëlohet me x.

Le të ndërtojmë një grafik të y=.

Le të zgjedhim pjesën e tij në segment. Vini re se ne kemi = 1 për x = 1, dhe y max. =3 në x = 9.

Përgjigje: në emrin tonë. = 1, y maksimum. =3

6. Punë e pavarur me autotest sipas standardit

Qëllimi i fazës: të testoni aftësinë tuaj për të aplikuar përmbajtje të reja arsimore në kushte standarde bazuar në krahasimin e zgjidhjes suaj me një standard për vetë-testim.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 6:

Nxënësit përfundojnë detyrën në mënyrë të pavarur, kryejnë një vetë-test kundrejt standardit, analizojnë dhe korrigjojnë gabimet.

Le të ndërtojmë një grafik të y=.

Duke përdorur një grafik, gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit në segment.

7. Përfshirja në sistemin e njohurive dhe përsëritja

Qëllimi i fazës: të aftësojë aftësitë e përdorimit të përmbajtjeve të reja së bashku me të studiuara më parë: 2) përsërit përmbajtjen edukative që do të kërkohet në mësimet e mëposhtme.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 7:

Zgjidheni ekuacionin grafikisht: = x – 6.

Një student është në dërrasën e zezë, pjesa tjetër janë në fletore.

8. Reflektimi i veprimtarisë

Qëllimi i skenës:

1) regjistro përmbajtjen e re të mësuar në mësim;

2) vlerësoni aktivitetet tuaja në mësim;

3) falënderoni shokët e klasës që ndihmuan në marrjen e rezultatit të mësimit;

4) të regjistrojë vështirësitë e pazgjidhura si udhëzime për aktivitetet e ardhshme arsimore;

5) diskutoni dhe shkruani detyrat tuaja të shtëpisë.

Organizimi i procesit arsimor në fazën 8:

- Djema, cili ishte qëllimi ynë sot? (Studioni funksionin y=, vetitë dhe grafikun e tij).

– Cilat njohuri na ndihmuan të arrijmë qëllimin tonë? (Aftësia për të kërkuar modele, aftësi për të lexuar grafikët.)

– Analizoni aktivitetet tuaja në klasë. (Karta me reflektim)

Detyrë shtëpie

paragrafi 13 (përpara shembullit 2) № 13.3, 13.4

Zgjidheni ekuacionin grafikisht.

Janë dhënë vetitë themelore të funksionit të fuqisë, duke përfshirë formulat dhe vetitë e rrënjëve. Prezantohet derivati, integrali, zgjerimi i serisë së fuqisë dhe paraqitja e numrit kompleks të një funksioni fuqie.

përmbajtja

Një funksion fuqie, y = x p, me eksponent p ka këto veti:
(1.1) të përcaktuara dhe të vazhdueshme në set
në,
në ;
(1.2) ka shumë kuptime
në,
në ;
(1.3) rritet rreptësisht me,
zvogëlohet rreptësisht në ;
(1.4) në ;
në ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Vërtetimi i vetive jepet në faqen "Funksioni i energjisë (prova e vazhdimësisë dhe vetive)"

Rrënjët - përkufizimi, formula, veti

Një rrënjë e një numri x me fuqi n është një numër që kur ngrihet në fuqinë n jep x:
.
Këtu n = 2, 3, 4, ... - një numër natyror më i madh se një.

Mund të thuash gjithashtu se rrënja e një numri x të shkallës n është rrënja (d.m.th. zgjidhja) e ekuacionit
.
Vini re se funksioni është inversi i funksionit.

Rrënja katrore e x është rrënjë 2: .
Rrënja kubike e x është rrënja e tretë: .

Edhe diplomë

Për fuqitë çift n = 2 m, rrënja është përcaktuar për x ≥ 0 .
.
Një formulë që përdoret shpesh është e vlefshme për x pozitive dhe negative:
.

Rendi në të cilin kryhen veprimet është i rëndësishëm këtu - domethënë, së pari kryhet katrori, duke rezultuar në një numër jo negativ, dhe më pas rrënja merret prej tij (rrënja katrore mund të merret nga një numër jo negativ ). Nëse e ndryshonim rendin: , atëherë për x negativ rrënja do të ishte e padefinuar, dhe bashkë me të e gjithë shprehja do të ishte e padefinuar.

Shkallë e çuditshme

Për fuqitë tek, rrënja përcaktohet për të gjitha x:
;
.

Vetitë dhe formulat e rrënjëve

Rrënja e x është një funksion fuqie:
.
Kur x ≥ 0 zbatohen formulat e mëposhtme:
;
;
, ;
.

Këto formula mund të aplikohen edhe për vlerat negative të variablave.

Thjesht duhet të siguroheni që shprehja radikale edhe e pushteteve të mos jetë negative.

Vlerat private
Rrënja e 0 është 0:.
Rrënja 1 është e barabartë me 1: .
Rrënja katrore e 0 është 0: .

Rrënja katrore e 1 është 1: .

Shembull. Rrënja e rrënjëve
.
Le të shohim një shembull të rrënjës katrore të rrënjëve:
.
Le të transformojmë rrënjën e brendshme katrore duke përdorur formulat e mësipërme:
.
Tani le të transformojmë rrënjën origjinale:
.

Pra,

y = x p për vlera të ndryshme të eksponentit p.

Këtu janë grafikët e funksionit për vlerat jo negative të argumentit x.

Grafikët e një funksioni fuqie të përcaktuar për vlerat negative të x jepen në faqen "Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafikët e tij"

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një funksioni fuqie me eksponent p është një funksion fuqie me eksponent 1/p.

Nëse, atëherë.
;

Derivat i një funksioni fuqie

Derivat i rendit të n-të:

Nxjerrja e formulave > > > 1 ;
.

Integral i një funksioni fuqie

P ≠ - 1 < x < 1 Zgjerimi i serisë së energjisë

në -

ndodh dekompozimi i mëposhtëm:
Shprehje duke përdorur numra kompleks Merrni parasysh funksionin e ndryshores komplekse z:.
f
(z) = z t
Le të shprehim ndryshoren komplekse z në terma të modulit r dhe argumentit φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Ne paraqesim numrin kompleks t në formën e pjesëve reale dhe imagjinare:

t = p + i q .
,

Ne kemi: 0 Më pas, marrim parasysh që argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike:
.

Shqyrtoni rastin kur q =
.
, domethënë, eksponenti është një numër real, t = p.

Pastaj Nëse p është një numër i plotë, atëherë kp është një numër i plotë. Pastaj, për shkak të periodicitetit të funksioneve trigonometrike:, atëherë funksioni z p ka pafundësisht shumë vlera. Sa herë që argumenti z shtohet 2π(një kthesë), kalojmë në një degë të re të funksionit.

Nëse p është racionale, atëherë mund të përfaqësohet si:
, Ku m, n- numra të plotë që nuk përmbajnë pjesëtues të përbashkët. Pastaj
.
Vlerat e para n, me k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, jepni n vlera të ndryshme të kp:
.
Sidoqoftë, vlerat pasuese japin vlera që ndryshojnë nga ato të mëparshme me një numër të plotë. Për shembull, kur k = k 0+n ne kemi:
.
Funksionet trigonometrike argumentet e të cilëve ndryshojnë me shumëfisha të 2π, kanë vlera të barabarta. Prandaj, me një rritje të mëtejshme në k, marrim të njëjtat vlera të z p si për k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Kështu, një funksion eksponencial me një eksponent racional është me shumë vlera dhe ka n vlera (degë). Sa herë që argumenti z shtohet 2π(një kthesë), kalojmë në një degë të re të funksionit. Pas n revolucioneve të tilla kthehemi në degën e parë nga e cila filloi numërimi mbrapsht.

Në veçanti, një rrënjë e shkallës n ka n vlera. Si shembull, merrni parasysh rrënjën e n-të të një numri real pozitiv z = x. Në këtë rast φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Pra, për një rrënjë katrore, n = Edhe për k,(- 1 ) k = 1 ..
Për k tek,

(- 1 ) k = - 1
Kjo do të thotë, rrënja katrore ka dy kuptime: + dhe -.

Literatura e përdorur: