Formula e shkurtuar e shumëzimit A4 b4. Formulat e shkurtuara të shumëzimit – Hipermarketi i njohurive

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Studimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shumat dhe dallimet e kubeve të dy shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Për të thjeshtuar shprehjet, polinomet e faktorëve dhe për të reduktuar polinomet në formë standarde, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit që duhet të dini përmendësh.

Le të a, b R. Pastaj:

1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kubi i shumës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kubi i ndryshimit dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Shembulli 1.

Llogaritni

a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Duke përdorur formulën për katrorin e diferencës së dy shprehjeve, marrim

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Shembulli 2.

Llogaritni

Duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve të dy shprehjeve, marrim

Shembulli 3.

Thjeshtoni një shprehje

(x - y) 2 + (x + y) 2

Le të përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës së dy shprehjeve

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Për të thjeshtuar polinomet algjebrike, ekzistojnë formulat e shkurtuara të shumëzimit. Nuk ka aq shumë prej tyre dhe ato janë të lehta për t'u mbajtur mend, por ju duhet t'i mbani mend ato. Shënimi i përdorur në formula mund të marrë çdo formë (numër ose polinom).

Formula e parë e shkurtuar e shumëzimit quhet dallimi i katrorëve. Ai konsiston në zbritjen e katrorit të një numri nga katrori i numrit të dytë, i cili është i barabartë me diferencën midis këtyre numrave, si dhe produktin e tyre.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Le ta shohim për qartësi:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Formula e dytë ka të bëjë me shuma e katrorëve. Tingëllon sikur shuma e dy sasive në katror është e barabartë me katrorin e sasisë së parë, produkti i dyfishtë i sasisë së parë shumëzuar me të dytën i shtohet asaj, atyre u shtohet katrori i sasisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Falë kësaj formule, bëhet shumë më e lehtë për të llogaritur katrorin e një numri të madh, pa përdorimin e teknologjisë kompjuterike.

Kështu për shembull: katrori 112 do të jetë i barabartë me
1) Së pari, le të zbërthejmë 112 në numra, katrorët e të cilëve janë të njohur për ne
112 = 100 + 12
2) E fusim rezultatin në kllapa katrore
112 2 = (100+12) 2
3) Duke aplikuar formulën, marrim:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Formula e tretë është dallimi në katror. Që thotë se dy sasi të zbritura nga njëra-tjetra në një katror janë të barabarta, sepse nga madhësia e parë në katror zbresim produktin e dyfishtë të sasisë së parë shumëzuar me të dytën, duke u shtuar atyre katrorin e madhësisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ku (a - b) 2 është e barabartë (b - a) 2. Për ta vërtetuar këtë, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Formula e katërt për shumëzimin e shkurtuar quhet kub i shumës. Që tingëllon si: dy sasi përmbledhëse në një kub janë të barabarta me kubin e 1 sasisë, shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë në katror shumëzuar me sasinë e dytë, këtyre u shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë shumëzuar me katrorin 2. sasitë, plus sasinë e dytë në kubikë.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

E pesta, siç e keni kuptuar tashmë, quhet kubi i diferencës. Që gjen ndryshimet midis sasive, pasi nga shënimi i parë në kub zbresim produktin e trefishtë të shënimit të parë në katror shumëzuar me të dytin, atyre u shtohet prodhimi i trefishtë i shënimit të parë shumëzuar me katrorin e të dytit. shënim, minus shënimin e dytë në kub.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

E gjashta quhet - shuma e kubeve. Shuma e kubeve është e barabartë me produktin e dy termave të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të diferencës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Një mënyrë tjetër për të thënë shumën e kubeve është ta quani produktin në dy kllapa.

Quhet i shtati dhe i fundit dallimi i kubeve(mund të ngatërrohet lehtësisht me formulën e kubit të ndryshimit, por këto janë gjëra të ndryshme). Diferenca e kubeve është e barabartë me produktin e diferencës së dy sasive të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të shumës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Dhe kështu ka vetëm 7 formula për shumëzim të shkurtuar, ato janë të ngjashme me njëra-tjetrën dhe janë të lehta për t'u mbajtur mend, e vetmja gjë e rëndësishme është të mos ngatërroheni në shenja. Ato janë krijuar gjithashtu për t'u përdorur në mënyrë të kundërt, dhe tekstet shkollore përmbajnë mjaft detyra të tilla. Jini të kujdesshëm dhe gjithçka do të funksionojë për ju.

Nëse keni pyetje në lidhje me formulat, sigurohuni që t'i shkruani ato në komente. Ne do të jemi të lumtur t'ju përgjigjemi!

Nëse jeni në pushim të lehonisë, por dëshironi të fitoni para. Thjesht ndiqni lidhjen e biznesit në internet me Oriflame. Gjithçka është shkruar dhe treguar atje me shumë detaje. Do të jetë interesante!

Shumëzimi i një polinomi me një polinom

! te shumëzojmë një polinom me një polinom, ju duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të polinomit tjetër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Kini kujdes! Çdo term ka shenjën e vet.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit Polinomet janë përgjithësisht 7 (shtatë) raste të zakonshme të shumëzimit të polinomeve.

Përkufizimet dheFormulat e shkurtuara të shumëzimit. Tabela

Tabela 2. Përkufizime të formulave të shkurtuara të shumëzimit (kliko për ta zmadhuar)

Tre formula të shkurtuara të shumëzimit për katrorët

1. Formula për shumën në katror.

Sheshi i shumës dy shprehje është e barabartë me katrorin e shprehjes së parë plus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Për të kuptuar më mirë formulën, së pari le të thjeshtojmë shprehjen (të zgjerojmë formulën për katrorin e shumës)

Tani le të faktorizojmë (palos formulën)

Sekuenca e veprimeve gjatë faktorizimit:

1. përcaktoni se cilët monomë janë katrorë ( 5 Dhe 3 m);
2. kontrolloni nëse produkti i tyre i dyfishtë është në mes të formulës (2 5 3m = 30 m);
3. shkruani përgjigjen (5 + 3 m) 2.

2. Formula e diferencës katrore

Diferenca në katror dy shprehje është e barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

Së pari, le të thjeshtojmë shprehjen (zgjerojmë formulën):

Dhe pastaj anasjelltas, le ta faktorizojmë atë (palos formulën):

3. Formula e diferencës katrore

Prodhimi i shumës së dy shprehjeve dhe ndryshimi i tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Le të rrëzojmë formulën (kryejmë shumëzim)

Tani le të zgjerojmë formulën (faktoroni atë)

Katër formula të shkurtuara shumëzimi për kube

4. Formula për kubin e shumës së dy numrave

Kubi i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehje e dytë.

Sekuenca e veprimeve kur "kolapsoni" formulën:

1. gjeni monomë që janë prerë në kubikë (këtu 4x Dhe 1 );
2. kontrolloni kushtet mesatare për pajtueshmërinë me formulën;
3. shkruani përgjigjen.

5. Formula për kubin e diferencës së dy numrave

Kubi i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehje e dytë.

6. Formula për shumën e kubeve

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

Dhe mbrapa:

7. Dallimi i formulës së kubeve

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit midis shprehjeve të para dhe të dyta dhe katrorin e pjesshëm të shumës së këtyre shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Tabela

Një shembull i përdorimit të formulave në praktikë (llogaritje gojore).

Detyra: Gjeni sipërfaqen e një katrori me brinjë a = 71 cm.

Zgjidhja: S = a 2 . Duke përdorur formulën e shumës në katror, ​​kemi

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Përgjigje: 5041 cm 2

Shprehje ( a + b) 2 është katrori i shumës numrat a Dhe b. Sipas përcaktimit të shkallës, shprehja ( a + ba + b)(a + b). Prandaj, nga katrori i shumës mund të konkludojmë se

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

domethënë, katrori i shumës së dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë, plus dyfishin e prodhimit të numrit të parë dhe të dytit, plus katrorin e numrit të dytë.

formula e shumës katrore

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Polinom a 2 + 2ab + b 2 quhet zgjerimi i shumës në katror.

Sepse a Dhe b shënojmë ndonjë numër ose shprehje, atëherë rregulli na jep mundësinë, në një shkurtore, të vendosim në katror çdo shprehje që mund të konsiderohet si shuma e dy termave.

Shembull. Shprehja katrore 3 x 2 + 2xy.

Zgjidhja: Për të mos bërë transformime shtesë, do të përdorim formulën për katrorin e shumës. Duhet të marrim shumën e katrorit të numrit të parë, dyfishin e produktit të numrit të parë dhe të dytë dhe katrorit të numrit të dytë:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Tani, duke përdorur rregullat e shumëzimit dhe fuqizimit të monomëve, ne thjeshtojmë shprehjen që rezulton:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Diferenca në katror

Shprehje ( a - b) 2 është dallimi në katror numrat a Dhe b. Shprehje ( a - b) 2 është prodhim i dy polinomeve ( a - b)(a - b). Prandaj, nga katrori i diferencës mund të konkludojmë se

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

domethënë, katrori i ndryshimit të dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë, minus dyfishin e produktit të numrit të parë dhe të dytë, plus katrorin e numrit të dytë.

Nga rregulli del se totali formula e diferencës në katror, pa transformime të ndërmjetme, do të duket kështu:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Polinom a 2 - 2ab + b 2 quhet zgjerimi i diferencës në katror.

Ky rregull zbatohet për katrorin e shkurtuar të shprehjeve që mund të shprehen si diferencë e dy numrave.

Shembull. Paraqisni katrorin e diferencës si një trinom:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Zgjidhja: Duke përdorur formulën e diferencës në katror, ​​gjejmë:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Tani le ta transformojmë shprehjen në një polinom standard:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Dallimi i katrorëve

Shprehje a 2 - b 2 eshte dallimi i katrorëve numrat a Dhe b. Shprehje a 2 - b 2 është një mënyrë stenografike për të shumëzuar shumën e dy numrave me ndryshimin e tyre:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

domethënë prodhimi i shumës së dy numrave dhe ndryshimi i tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre numrave.

Nga rregulli del se totali formula e diferencës katrore duket si kjo:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Ky rregull zbatohet për shumëzimin e shkurtuar të shprehjeve që mund të përfaqësohen: njëra si shuma e dy numrave dhe tjetra si diferencë e të njëjtëve numra.

Shembull. Shndërroni produktin në një binom:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Zgjidhja:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

Në shembull, ne aplikuam formulën për ndryshimin e katrorëve nga e djathta në të majtë, domethënë, na u dha ana e djathtë e formulës dhe e shndërruam atë në të majtë:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Në praktikë, të tre formulat e diskutuara zbatohen nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë, në varësi të situatës.

Një nga temat e para të studiuara në një kurs algjebër janë formulat e shkurtuara të shumëzimit. Në klasën 7, ato përdoren në situatat më të thjeshta, ku duhet të njohësh një nga formulat në një shprehje dhe të faktorizosh një polinom ose, anasjelltas, shpejt katror ose kub një shumë ose ndryshim. Në të ardhmen, FSU përdoret për të zgjidhur shpejt pabarazitë dhe ekuacionet dhe madje edhe për të llogaritur disa shprehje numerike pa një kalkulator.

Si duket një listë formulash?

Ekzistojnë 7 formula themelore që ju lejojnë të shumëzoni shpejt polinomet në kllapa.

Ndonjëherë kjo listë përfshin edhe një zgjerim për shkallën e katërt, i cili rrjedh nga identitetet e paraqitura dhe ka formën:

a⁴ — b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Të gjitha barazitë kanë një çift (shumë - diferencë), përveç diferencës së katrorëve. Formula për shumën e katrorëve nuk është dhënë.

Barazitë e mbetura janë të lehta për t'u mbajtur mend:

Duhet mbajtur mend se FSU-të funksionojnë në çdo rast dhe për çdo vlerë a Dhe b: këto mund të jenë ose numra arbitrarë ose shprehje me numra të plotë.

Në një situatë kur papritur nuk mund të mbani mend se cila shenjë është përpara një termi të caktuar në formulë, mund të hapni kllapat dhe të merrni të njëjtin rezultat si pas përdorimit të formulës. Për shembull, nëse lind një problem gjatë aplikimit të kubit të diferencës FSU, duhet të shkruani shprehjen origjinale dhe kryejnë shumëzimin një nga një:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Si rezultat, pas sjelljes së të gjithë termave të ngjashëm, u përftua i njëjti polinom si në tabelë. Të njëjtat manipulime mund të kryhen me të gjitha FSU-të e tjera.

Zbatimi i FSU për zgjidhjen e ekuacioneve

Për shembull, ju duhet të zgjidhni një ekuacion që përmban polinomi i shkallës 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

NË kurrikula shkollore teknikat universale për zgjidhjen e ekuacioneve kubike nuk merren parasysh, dhe detyra të tilla më së shpeshti zgjidhen në më shumë metoda të thjeshta(për shembull, nga faktorizimi). Nëse vëmë re se ana e majtë e identitetit i ngjan kubit të një shume, atëherë ekuacioni mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë:

(x + 1)³ = 0.

Rrënja e një ekuacioni të tillë llogaritet gojarisht: x = -1.

Pabarazitë zgjidhen në mënyrë të ngjashme. Për shembull, ju mund të zgjidhni pabarazinë x³ – 6x² + 9x > 0.

Para së gjithash, ju duhet të faktorizoni shprehjen. Së pari ju duhet ta vendosni atë jashtë kllapave x. Pas kësaj, vini re se shprehja në kllapa mund të konvertohet në katrorin e diferencës.

Pastaj ju duhet të gjeni pikat në të cilat shprehja merr vlera zero dhe t'i shënoni ato në vijën numerike. Në një rast të veçantë, këto do të jenë 0 dhe 3. Më pas, duke përdorur metodën e intervalit, përcaktoni se në cilat intervale x do t'i përgjigjet kushtit të pabarazisë.

FSU-të mund të jenë të dobishme gjatë kryerjes disa llogaritje pa ndihmën e një kalkulatori:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Për më tepër, duke faktorizuar shprehjet, ju lehtë mund të reduktoni thyesat dhe të thjeshtoni shprehje të ndryshme algjebrike.

Shembuj problemash për klasat 7-8

Si përfundim, do të analizojmë dhe zgjidhim dy detyra për përdorimin e formulave të shkurtuara të shumëzimit në algjebër.

Detyra 1. Thjeshtoni shprehjen:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Zgjidhje. Kushtet e detyrës kërkojnë thjeshtimin e shprehjes, d.m.th. hapjen e kllapave, kryerjen e operacioneve të shumëzimit dhe fuqizimit, si dhe sjelljen e të gjitha terma të ngjashëm. Le ta ndajmë shprehjen me kusht në tre pjesë (sipas numrit të termave) dhe hapim kllapat një nga një, duke përdorur FSU ku është e mundur.

• (m + 3)² = m² + 6 m + 9(katror shuma);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(ndryshimi i katrorëve);
• Në termin e fundit ju duhet të shumëzoni: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Le të zëvendësojmë rezultatet e marra në shprehjen origjinale:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Duke marrë parasysh shenjat, do të hapim kllapat dhe do të paraqesim terma të ngjashëm:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Problemi 2. Zgjidh një ekuacion që përmban të panjohurën k në fuqinë e 5-të:

k5 + 4k4 + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Zgjidhje. Në këtë rast, është e nevojshme të përdoret FSU dhe metoda e grupimit. Është e nevojshme që termat e fundit dhe të parafundit të zhvendosen në anën e djathtë të identitetit.

k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Faktori i përbashkët rrjedh nga anët e djathta dhe të majta (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Gjithçka transferohet në anën e majtë të ekuacionit në mënyrë që 0 të mbetet në të djathtë:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Përsëri është e nevojshme të hiqet faktori i përbashkët:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Nga faktori i parë i marrë mund të nxjerrim k. Sipas formulës së shkurtër të shumëzimit, faktori i dytë do të jetë identikisht i barabartë me (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Meqenëse një produkt është i barabartë me 0 nëse të paktën një nga faktorët e tij është zero, gjetja e të gjitha rrënjëve të ekuacionit nuk është e vështirë:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Bazuar në shembuj ilustrues, mund të kuptoni se si të mbani mend formulat, ndryshimet e tyre dhe gjithashtu të zgjidhni disa probleme praktike duke përdorur FSU. Detyrat janë të thjeshta dhe nuk duhet të ketë vështirësi në kryerjen e tyre.