Poljubne konstante. Metoda variacije poljubne konstante za reševanje linearnih nehomogenih enačb

Predavanje 44. Linearne nehomogene enačbe drugega reda. Metoda variacije poljubnih konstant. Linearne nehomogene enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti. (posebna desna stran).

Družbene transformacije. Država in cerkev.

Socialna politika Boljševike je v veliki meri narekoval njihov razredni pristop. Z odlokom z dne 10. novembra 1917 je bil uničen razredni sistem, odpravljeni so bili predrevolucionarni čini, nazivi in ​​nagrade. Ustanovljena je volitev sodnikov; izvedena je bila sekularizacija civilnih držav. Vzpostavljeno je bilo brezplačno šolstvo in zdravstvo (odlok 31. oktobra 1918). Ženske so bile izenačene z moškimi (odloki z dne 16. in 18. decembra 1917). Poroka je uvedla institut civilne poroke.

Z odlokom Sveta ljudskih komisarjev z dne 20. januarja 1918 je bila cerkev ločena od države in od izobraževalnega sistema. Večina cerkvenega premoženja je bila zaplenjena. Patriarh moskovski in vse Rusije Tihon (izvoljen 5. novembra 1917) je 19. januarja 1918 anatemiziral sovjetsko oblast in pozval k boju proti boljševikom.

Razmislite o linearni nehomogeni enačbi drugega reda

Struktura splošne rešitve takšne enačbe je določena z naslednjim izrekom:

1. izrek. Splošna rešitev ni homogena enačba(1) je predstavljena kot vsota neke posebne rešitve te enačbe in splošne rešitve ustrezne homogene enačbe

Dokaz. Treba dokazati, da znesek

Obstaja splošna rešitev enačba (1). Najprej dokažimo, da je funkcija (3) rešitev enačbe (1).

Zamenjava vsote v enačbo (1) namesto pri, bomo imeli

Ker obstaja rešitev enačbe (2), je izraz v prvih oklepajih identično enak nič. Ker obstaja rešitev enačbe (1), je izraz v drugem oklepaju enak f(x). Zato je enakost (4) identiteta. Tako je prvi del izreka dokazan.

Dokažimo drugo trditev: izraz (3) je splošno rešitev enačbe (1). Dokazati moramo, da lahko poljubne konstante, vključene v ta izraz, izberemo tako, da so izpolnjeni začetni pogoji:

ne glede na številke x 0, y 0 in (če le x 0 je bil vzet z območja, kjer funkcije a 1, a 2 in f(x) neprekinjeno).

Opazimo, da ga je mogoče predstaviti v obliki . Potem bomo glede na pogoje (5) imeli

Rešimo ta sistem in ugotovimo C 1 in C 2. Prepišimo sistem v obliki:

Upoštevajte, da je determinanta tega sistema determinanta Wronskega za funkcije ob 1 in ob 2 na točki x=x 0. Ker so te funkcije linearno neodvisne po pogoju, determinanta Wronskega ni enaka nič; zato ima sistem (6). dokončna rešitev C 1 in C 2, tj. obstajajo takšni pomeni C 1 in C 2, pod katero formula (3) določa rešitev enačbe (1), ki izpolnjuje dane začetne pogoje. Q.E.D.

Preidimo na splošno metodo iskanja delnih rešitev nehomogene enačbe.

Zapišimo splošno rešitev homogene enačbe (2)

Iskali bomo partikularno rešitev nehomogene enačbe (1) v obliki (7), upoštevajoč C 1 in C 2 kot nekatere še neznane funkcije iz X.

Razlikujmo enakost (7):

Izberimo funkcije, ki jih iščete C 1 in C 2 tako da enakost velja

Če upoštevamo ta dodatni pogoj, bo prvi derivat dobil obliko

Če zdaj razlikujemo ta izraz, ugotovimo:

Če nadomestimo v enačbo (1), dobimo

Izrazi v prvih dveh oklepajih postanejo nič, saj y 1 in y 2– rešitve homogene enačbe. Zato ima zadnja enakost obliko

Tako bo funkcija (7) rešitev nehomogene enačbe (1), če so funkcije C 1 in C 2 zadoščati enačbama (8) in (9). Ustvarimo sistem enačb iz enačb (8) in (9).

Ker je determinanta tega sistema determinanta Wronskega za linearno neodvisne rešitve y 1 in y 2 enačba (2), potem ni enaka nič. Zato bomo pri reševanju sistema našli obe določeni funkciji X:

Pri reševanju tega sistema najdemo , od koder kot rezultat integracije dobimo . Nato najdene funkcije nadomestimo v formulo, dobimo splošno rešitev nehomogene enačbe, kjer so poljubne konstante.

Metoda variacije poljubnih konstant

Metoda variacije poljubnih konstant za konstruiranje rešitve linearne nehomogene diferencialne enačbe

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sestoji iz zamenjave poljubnih konstant c k v splošni rešitvi

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

ustrezna homogena enačba

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

za pomožne funkcije c k (t) , katerih odvodi zadoščajo linearnemu algebraičnemu sistemu

Determinanta sistema (1) je Wronskian funkcij z 1 ,z 2 ,...,z n , kar zagotavlja njegovo edinstveno rešljivost glede na .

Če so protiodvodi za , vzeti pri fiksnih vrednostih integracijskih konstant, potem je funkcija

je rešitev izvirne linearne nehomogene diferencialne enačbe. Integracija nehomogene enačbe v prisotnosti splošne rešitve ustrezne homogene enačbe je tako reducirana na kvadrature.

Metoda variacije poljubnih konstant za konstruiranje rešitev sistema linearnih diferencialnih enačb v vektorski normalni obliki

sestoji iz konstruiranja določene rešitve (1) v obliki

kje Z(t) je osnova rešitev ustrezne homogene enačbe, zapisane v obliki matrike, vektorska funkcija , ki je nadomestila vektor poljubnih konstant, pa je definirana z relacijo . Zahtevana posebna rešitev (z ničelnimi začetnimi vrednostmi pri t = t 0 izgleda

Za sistem s konstantnimi koeficienti je zadnji izraz poenostavljen:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) klical Cauchyjeva matrika operater L = A(t) .

Oglejmo si zdaj linearno nehomogeno enačbo
. (2)
Naj bo y 1 ,y 2 ,.., y n temeljni sistem rešitev in naj bo splošna rešitev ustrezne homogene enačbe L(y)=0. Podobno kot v primeru enačb prvega reda bomo iskali rešitev enačbe (2) v obliki
. (3)
Poskrbimo, da rešitev v tej obliki obstaja. Da bi to naredili, nadomestimo funkcijo v enačbo. Če želite to funkcijo nadomestiti v enačbo, poiščemo njene odvode. Prvi odvod je enak
. (4)
Pri izračunu drugega odvoda se bodo na desni strani (4) pojavili štirje členi, pri izračunu tretjega odvoda osem členov itd. Zato je za lažje nadaljnje izračune prvi člen v (4) nastavljen na nič. Ob upoštevanju tega je drugi odvod enak
. (5)
Iz istih razlogov kot prej smo tudi v (5) postavili prvi člen enak nič. Končno je n-ti derivat
. (6)
Če zamenjamo dobljene vrednosti derivatov v prvotno enačbo, imamo
. (7)
Drugi člen v (7) je enak nič, saj so funkcije y j , j=1,2,..,n, rešitve ustrezne homogene enačbe L(y)=0. V kombinaciji s prejšnjim dobimo sistem algebraične enačbe najti funkcije C" j (x)
(8)
Determinanta tega sistema je determinanta Wronskega temeljnega sistema rešitev y 1 ,y 2 ,..,y n ustrezne homogene enačbe L(y)=0 in zato ni enaka nič. Posledično obstaja edinstvena rešitev za sistem (8). Ko ga najdemo, dobimo funkcije C" j (x), j = 1,2,…,n, in posledično C j (x), j = 1,2,…,n Te vrednosti nadomestimo v (3) dobimo rešitev linearne nehomogene enačbe.
Opisana metoda se imenuje metoda variacije poljubne konstante ali Lagrangeova metoda.

Primer št. 1. Poiščimo splošno rešitev enačbe y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmislimo o ustrezni homogeni enačbi y"" + 4y" + 3y = 0. Koreni njene karakteristične enačbe r 2 + 4r + 3 = 0 sta enaka -1 in - 3. Zato je temeljni sistem rešitev homogene enačbe sestavljen iz funkcij y 1 = e - x in y 2 = e -3 x. Rešitev nehomogene enačbe iščemo v obliki y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Za iskanje odvodov C" 1 , C" 2 sestavimo sistem enačb (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
pri reševanju katere najdemo , Integracijo dobljenih funkcij imamo
Končno dobimo

Primer št. 2. Rešite linearne diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti z uporabo metode spreminjanja poljubnih konstant:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

rešitev:
Ta diferencialna enačba se nanaša na linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti.
Rešitev enačbe bomo iskali v obliki y = e rx. Da bi to naredili, sestavimo značilno enačbo linearne homogene diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Koreni karakteristične enačbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Posledično je temeljni sistem rešitev sestavljen iz funkcij: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Splošna rešitev homogene enačbe ima obliko: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Iskanje določene rešitve z metodo spreminjanja poljubne konstante.
Da bi našli odvode C" i, sestavimo sistem enačb:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve enačbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
in ga nadomestite z drugim. Kot rezultat dobimo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integriramo dobljene funkcije C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Ker je y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, dobljene izraze zapišemo v obliki:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Tako ima splošna rešitev diferencialne enačbe obliko:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
oz
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Poiščimo določeno rešitev pod pogojem:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Če zamenjamo x = 0 v najdeno enačbo, dobimo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Najdemo prvi odvod dobljene splošne rešitve:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Če zamenjamo x = 0, dobimo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Dobimo sistem dveh enačb:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
oz
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
oz
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Iz: C 1 = 0, C * 2 = 2
Zasebna rešitev bo zapisana kot:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Metoda variacije poljubne konstante ali Lagrangeova metoda je še en način reševanja linearnih problemov. diferencialne enačbe prvega reda in Bernoullijeve enačbe.

Linearne diferencialne enačbe prvega reda so enačbe oblike y’+p(x)y=q(x). Če je na desni strani ničla: y’+p(x)y=0, potem je to linearna homogena Enačba 1. reda. V skladu s tem je enačba z desno stranjo, ki ni nič, y’+p(x)y=q(x), heterogena Linearna enačba 1. reda.

Metoda variacije poljubne konstante (Lagrangeova metoda) je naslednji:

1) Iščemo splošno rešitev homogene enačbe y’+p(x)y=0: y=y*.

2) V splošni rešitvi menimo, da C ni konstanta, ampak funkcija x: C = C (x). Poiščemo odvod splošne rešitve (y*)’ in dobljeni izraz za y* in (y*)’ nadomestimo v začetni pogoj. Iz dobljene enačbe najdemo funkcijo C(x).

3) V splošni rešitvi homogene enačbe namesto C nadomestimo najdeni izraz C(x).

Oglejmo si primere metode spreminjanja poljubne konstante. Vzemimo enake naloge kot pri, primerjajmo potek rešitve in se prepričajmo, da dobljeni odgovori sovpadajo.

1) y'=3x-y/x

Prepišimo enačbo v standardni obliki (za razliko od Bernoullijeve metode, kjer smo notacijo potrebovali samo zato, da bi videli, da je enačba linearna).

y’+y/x=3x (I). Sedaj nadaljujemo po načrtu.

1) Rešite homogeno enačbo y’+y/x=0. To je enačba z ločljivimi spremenljivkami. Predstavljajte si y’=dy/dx, nadomestite: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strani enačbe pomnožimo z dx in delimo z xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrirajmo:

2) V dobljeni splošni rešitvi homogene enačbe ne bomo obravnavali C kot konstanto, temveč funkcijo x: C=C(x). Od tukaj

Dobljene izraze nadomestimo v pogoj (I):

Integrirajmo obe strani enačbe:

tukaj je C že neka nova konstanta.

3) V splošni rešitvi homogene enačbe y=C/x, kjer smo predpostavili C=C(x), torej y=C(x)/x, namesto C(x) nadomestimo najdeni izraz x³. +C: y=(x³ +C)/x ali y=x²+C/x. Dobili smo enak odgovor kot pri reševanju po Bernoullijevi metodi.

Odgovor: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Tukaj je enačba že zapisana v standardni obliki, ni je treba transformirati.

1) Rešite homogeno linearno enačbo y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrirajmo:

Za bolj priročno obliko zapisa vzamemo eksponent na potenco C kot novi C:

Ta transformacija je bila izvedena, da bi bilo lažje najti izpeljanko.

2) V dobljeni splošni rešitvi linearne homogene enačbe ne obravnavamo C kot konstanto, temveč funkcijo x: C=C(x). Pod tem pogojem

Nastala izraza y in y’ nadomestimo v pogoj:

Pomnožite obe strani enačbe z

Obe strani enačbe integriramo s formulo integracije po delih, dobimo:

Tukaj C ni več funkcija, ampak navadna konstanta.

3) V splošni rešitvi homogene enačbe

nadomesti najdeno funkcijo C(x):

Dobili smo enak odgovor kot pri reševanju po Bernoullijevi metodi.

Za reševanje je uporabna tudi metoda variacije poljubne konstante.

y’x+y=-xy².

Enačbo zmanjšamo na standardni pogled: y’+y/x=-y² (II).

1) Rešite homogeno enačbo y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strani enačbe pomnožimo z dx in delimo z y: dy/y=-dx/x. Zdaj pa integrirajmo:

Dobljene izraze nadomestimo v pogoj (II):

Poenostavimo:

Dobili smo enačbo z ločljivima spremenljivkama za C in x:

Tukaj je C že navadna konstanta. Med procesom integracije smo namesto C(x) zapisali preprosto C, da ne bi preobremenili zapisa. In na koncu smo se vrnili k C(x), da ne bi zamenjali C(x) z novim C.

3) V splošno rešitev homogene enačbe y=C(x)/x nadomestimo najdeno funkcijo C(x):

Dobili smo enak odgovor kot pri reševanju z Bernoullijevo metodo.

Primeri samotestiranja:

1. Prepišimo enačbo v standardni obliki: y’-2y=x.

1) Rešite homogeno enačbo y’-2y=0. y’=dy/dx, torej dy/dx=2y, pomnožite obe strani enačbe z dx, delite z y in integrirajte:

Od tu najdemo y:

Izraza za y in y’ nadomestimo v pogoj (zaradi kratkosti bomo uporabili C namesto C(x) in C’ namesto C"(x)):

Za iskanje integrala na desni strani uporabimo formulo integracije po delih:

Zdaj zamenjamo u, du in v v formulo:

Tukaj C = const.

3) Zdaj v raztopino nadomestimo homogeno

Obravnavana je metoda reševanja linearnih nehomogenih diferencialnih enačb višjih redov s konstantnimi koeficienti z metodo variacije Lagrangeovih konstant. Lagrangeova metoda je uporabna tudi za reševanje vseh linearnih nehomogenih enačb, če je znan temeljni sistem rešitev homogene enačbe.

Vsebina

Glej tudi:

Lagrangeova metoda (variacija konstant)

Razmislite o linearni nehomogeni diferencialni enačbi s konstantnimi koeficienti poljubnega n-tega reda:
(1) .
Metoda variacije konstante, ki smo jo obravnavali za enačbo prvega reda, je uporabna tudi za enačbe višjega reda.

Rešitev poteka v dveh fazah. V prvem koraku zavržemo desno stran in rešimo homogeno enačbo. Kot rezultat dobimo rešitev, ki vsebuje n poljubnih konstant. Na drugi stopnji spreminjamo konstante. To pomeni, da verjamemo, da so te konstante funkcije neodvisne spremenljivke x in najdemo obliko teh funkcij.

Čeprav tukaj obravnavamo enačbe s konstantnimi koeficienti, vendar Lagrangeova metoda je uporabna tudi za reševanje vseh linearnih nehomogenih enačb. Za to pa je treba poznati temeljni sistem rešitev homogene enačbe.

Korak 1. Reševanje homogene enačbe

Kot v primeru enačb prvega reda, najprej poiščemo splošno rešitev homogene enačbe, pri čemer izenačimo desno nehomogeno stran z nič:
(2) .
Splošna rešitev te enačbe je:
(3) .
Tukaj so poljubne konstante; - n linearno neodvisnih rešitev homogene enačbe (2), ki tvorijo temeljni sistem rešitev te enačbe.

Korak 2. Variacija konstant - zamenjava konstant s funkcijami

Na drugi stopnji se bomo ukvarjali z variacijo konstant. Z drugimi besedami, konstante bomo nadomestili s funkcijami neodvisne spremenljivke x:
.
To pomeni, da iščemo rešitev izvirne enačbe (1) v naslednji obliki:
(4) .

Če (4) nadomestimo z (1), dobimo eno diferencialno enačbo za n funkcij. V tem primeru lahko te funkcije povežemo z dodatnimi enačbami. Nato dobite n enačb, iz katerih je mogoče določiti n funkcij. Lahko se zapišejo dodatne enačbe

na različne načine
.
. Toda to bomo storili tako, da bo rešitev imela najpreprostejšo obliko. Če želite to narediti, morate pri diferenciranju na nič enačiti člene, ki vsebujejo izpeljanke funkcij.

.
Pokažimo to.
(5.1) .
Za zamenjavo predlagane rešitve (4) v prvotno enačbo (1) moramo poiskati odvode prvih n redov funkcije, zapisane v obliki (4). Diferenciramo (4) po pravilih diferenciacije vsote in zmnožka:
(6.1) .

Združimo člane v skupine. Najprej zapišemo člene z izpeljankami iz , nato pa še člene z izpeljankami iz :

.
Postavimo prvi pogoj za funkcije:
(5.2) .
Potem bo imel izraz za prvi derivat glede na enostavnejšo obliko:
(6.2) .
Z isto metodo najdemo drugo izpeljanko: dodatni pogoji, enačimo člene, ki vsebujejo odvode funkcij, na nič.

Torej, če izberemo naslednje dodatne enačbe za funkcije:
(5.k) ,
potem bodo prvi derivati ​​glede na imeli najpreprostejšo obliko:
(6.k) .
Tukaj.

Poiščite n-ti odvod:
(6.n)
.

Nadomestite v prvotno enačbo (1):
(1) ;






.
Upoštevajmo, da vse funkcije zadoščajo enačbi (2):
.
Potem vsota členov, ki vsebujejo nič, da nič. Kot rezultat dobimo:
(7) .

Kot rezultat smo prejeli sistem linearnih enačb za derivate:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Pri reševanju tega sistema najdemo izraze za odvode kot funkcijo x.
.
Z integracijo dobimo:

Tukaj so konstante, ki niso več odvisne od x. Če nadomestimo v (4), dobimo splošno rešitev prvotne enačbe. Upoštevajte, da za določitev vrednosti derivatov nikoli nismo uporabili dejstva, da so koeficienti a i konstantni. zato Lagrangeova metoda je uporabna za reševanje vseh linearnih nehomogenih enačb

, če je znan temeljni sistem rešitev homogene enačbe (2).

Primeri


Rešite enačbe z metodo variacije konstant (Lagrange).

Rešitev primerov >>> Glej tudi:
Reševanje enačb prvega reda z metodo variacije konstante (Lagrange)
Reševanje enačb višjega reda z Bernoullijevo metodo