Vprašanja za pregled za poglavje 8. Vprašanja za pregled za poglavje VI.

Pripravljena domača naloga za učbenik geometrije za učence od 7. do 9. razreda, avtorji: L.S. Atanasjan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, E.G. Poznjak, I.I. Yudina, založba Prosveshchenie za študijsko leto 2015-2016.

Fantje, v 7.-9. razredu se boste učili tako zanimivega predmeta, kot je geometrija. Da bi se izognili težavam z razumevanjem te lekcije v prihodnosti, morate trdo delati že od samega začetka.

V prejšnjih razredih ste se že seznanili z nekaterimi geometrijskimi liki. V tem buzzu boste razširili to minimalno znanje. Celoten tečaj je razdeljen na dva dela: planimetrijo in stereometrijo. V 7. in 8. razredu si boste ogledali figure na ravnini - to je razdelek o planimetriji. V 9. razredu lastnosti likov v prostoru – stereometrija.

Pogosto se pojavi situacija, ko glede na pogoje ni mogoče narediti pravilne risbe, narisati vseh podrobnosti v prostoru in takrat se vam geometrija zdi nemogoča tema. Če začnete imeti takšne težave, vam priporočamo uporabo našega testa geometrije za 7.–9. razred L.S. Atanasyan, ki je objavljen spodaj.

GDZ Geometrija 7. razred delovni zvezek Atanasyan lahko prenesete.

GDZ Geometrija 8. razred delovni zvezek Atanasyan lahko prenesete.

GDZ Geometrija 9. razred delovni zvezek Atanasyan lahko prenesete.

GDZ za didaktična gradiva o geometriji za 7. razred Ziv B.G. lahko prenesete.

GDZ za didaktična gradiva o geometriji za 8. razred Ziv B.G. lahko prenesete.

GDZ za didaktična gradiva o geometriji za 9. razred Ziv B.G. lahko prenesete.

GDZ za samostojno in preizkusno delo iz geometrije za 7.-9. razred Ichenskaya M.A. lahko prenesete.

GDZ za zbirko geometrijskih nalog za 7. razred Ershova A.P. lahko prenesete.

GDZ za zbirko geometrijskih nalog za 8. razred Ershova A.P. lahko prenesete.

GDZ za delovni zvezek o geometriji za 9. razred Miščenko T.M. lahko prenesete.

GDZ za tematske teste iz geometrije za 7. razred Miščenko T.M. lahko prenesete.

GDZ za tematske teste iz geometrije za 8. razred Miščenko T.M. lahko prenesete

1. Koliko premic lahko narišemo skozi dve točki?

2. Koliko skupnih točk imata lahko dve premici?

3. Pojasnite, kaj je odsek.

4. Pojasnite, kaj je žarek. Kako so označeni žarki?

5. Kateri lik se imenuje kot? Pojasni, kaj so oglišče in stranice kota.

6. Kateri kot imenujemo razvit?

7. Katere številke imenujemo enake?

8. Pojasnite, kako primerjati dva odseka.

9. Katero točko imenujemo razpolovišče odseka?

10. Razloži, kako primerjamo dva kota.

11. Kateri žarek imenujemo simetrala kota?

12. Točka C deli odsek AB na dva odseka. Kako najti dolžino segmenta AB, če sta znani dolžini segmentov AC in CB?

13. Katera orodja se uporabljajo za merjenje razdalj?

14. Kaj je stopinjska mera kota?

15. Žarek OS deli kot AOB na dva kota. Kako najti stopinjsko mero kota AOB, če sta znani stopinjski meri kota AOC in COB?

16. Kateri kot se imenuje oster? naravnost? neumen?

17. Katere kote imenujemo sosednji? Kolikšna je vsota sosednjih kotov?

18. Kateri koti se imenujejo navpični? Kakšne lastnosti imajo navpični koti?

19. Katere premice imenujemo pravokotne?

20. Pojasni, zakaj se dve premici, pravokotni na tretjo, ne sekata.

21. Katere naprave se uporabljajo za sestavljanje pravih kotov na podlagi?

Dodatne naloge za I. poglavje

71. Označi štiri točke tako, da nobene tri ne ležijo na isti premici. Skozi vsak par točk narišite ravno črto. Koliko ravnih črt ste dobili?

72. Dane so štiri premice, od katerih se vsaki dve sekata. Koliko presečišč imata premici, če skozi vsako presečišče potekata samo dve premici?

73. Koliko nerazvitih kotov nastane, ko se sekajo tri premice, ki potekajo skozi eno točko?

74. Točka N leži na odseku MP. Razdalja med točkama M in P je 24 cm, razdalja med točkama N in M pa je dvakrat večja od razdalje med točkama N in P. Poišči razdaljo:

a) med točkama N in P;
b) med točkama N in M.

75. Tri točke K, L, M ležijo na isti premici, KL = 6 cm, LM = 10 cm. Kolikšna je lahko razdalja KM? Za vsakega od možnih primerov naredite risbo.

76. Odsek AB z dolžino a je s točkama P in Q razdeljen na tri odseke AP, PQ in QB tako, da je AP - 2PQ = 2QB. Poišči razdaljo med:

a) točka A in sredina segmenta QB;
b) razpolovišči odsekov AP in QB.

77. Odsek dolžine m je razdeljen:

a) na tri enake dele;
b) na pet enakih delov.

Poiščite razdaljo med sredinama skrajnih delov.

78. Odsek 36 cm je razdeljen na štiri neenake dele. Razdalja med središči skrajnih delov je 30 cm. Poiščite razdaljo med središči srednjih delov.

79. Točke A, B in C ležijo na isti premici, točki M in N sta razpolovišči odsekov AB in AC. Dokaži, da je BC = 2MN.

80. Vemo, da je ZAOB = 35°, ZBOC = 50°. Poiščite kot AOC. Za vsak možen primer naredite risbo z ravnilom in kotomerom.

81. Kot hk je enak 120°, kot hm pa 150°. Poiščite kot km. Za vsakega od možnih primerov naredite risbo.

82. Poiščite sosednje kote, če:

a) eden od njiju je za 45° večji od drugega;
b) njuna razlika je 35°.

83. Poiščite kot, ki ga tvorita simetrali dveh sosednjih kotov.

84. Dokaži, da simetrale navpičnih kotov ležijo na isti premici.

85. Dokaži, da če so simetrale kotov ABC in CBD pravokotne, potem točke A, B in D ležijo na isti premici.

86. Dani sta dve sekajoči se premici a in b ter točka A, ki ne leži na teh premicah. Skozi točko A narišemo premici m in n tako, da veljata m⊥a, n⊥b. Dokaži, da premici m in n nista enaki.

1 Navedite primere vektorskih veličin, ki jih poznate iz tečaja fizike.

2 Definirajte vektor. Pojasni, kateri vektor se imenuje nič.

3 Kakšna je dolžina vektorja, ki ni nič? Kolikšna je dolžina ničelnega vektorja?

4 Katere vektorje imenujemo kolinearni? Na sliki nariši sosmerne vektorje in in nasprotno usmerjene vektorje.

5 Določite enake vektorje.

6 Pojasnite pomen izraza: "Vektor zamuja od točke A." Dokaži, da lahko iz katere koli točke narišeš vektor, ki je enak danemu in samo enemu.

7 Pojasni, kateri vektor imenujemo vsota dveh vektorjev. Kakšno je pravilo trikotnika za seštevanje dveh vektorjev?

8 Dokaži, da za vsak vektor velja enakost

9 Oblikujte in dokažite izrek o zakonitosti vektorskega dodajanja.

10 Kakšno je pravilo paralelograma za seštevanje dveh nekolinearnih vektorjev?

11 Kakšno je pravilo poligona za seštevanje več vektorjev?

12 Kateri vektor imenujemo razlika dveh vektorjev? Sestavi razliko dveh danih vektorjev.

13 Kateri vektor se imenuje nasprotni od tega? Formulirajte in dokažite izrek o vektorski razliki.

14 Kateri vektor imenujemo produkt danega vektorja in danega števila?

15 Čemu je enak produkt

16 Ali so lahko vektorji nekolinearni?

17 Formulirajte osnovne lastnosti množenja vektorja s številom.

18 Navedite primer uporabe vektorjev za reševanje geometrijskih problemov.

19 Kateri odsek se imenuje srednjica trapeza?

20 Povej in dokaži izrek o premici trapeza.

Dodatne naloge za poglavje IX

800. Dokažite, da če sta vektorja sosmerna, potem in če sta nasprotno usmerjena, in potem

801. Dokaži, da neenakosti veljajo za poljubne vektorje

802. Na stranici BC trikotnika ABC je označena točka N, tako da je BN = 2NC. Ekspresni vektor v smislu vektorjev

803. Na stranicah MN in NP trikotnika MNP sta označeni točki X in Y tako, da velja

804. Osnovica AD trapeza ABCD je trikrat večja od osnovke BC. Na strani AD je označena točka K tako, da Izrazi vektorje v vektorjih

805. Tri točke A, B in C se nahajajo tako, da Dokaži, da za katero koli točko O velja enakost

806. Točka C deli odsek AB v razmerju m : n, šteto od točke A. Dokaži, da za poljubno točko O velja enakost

1. Pojasnite, kako se merijo ploščine mnogokotnikov.

2. Formulirajte osnovne lastnosti ploščin mnogokotnikov.

3. Kateri mnogokotniki se imenujejo enako veliki in kateri sosednji?

4. Oblikujte in dokažite izrek o izračunu površine pravokotnika.

5. Oblikujte in dokažite izrek o izračunu površine paralelograma.

6. Oblikujte in dokažite izrek o izračunu površine trikotnika. Kako izračunati površino pravokotnega trikotnika iz njegovih nog?

7. Oblikujte in dokažite izrek o razmerju ploščin dveh trikotnikov z enakimi koti.

8. Oblikujte in dokažite izrek o izračunu površine trapeza.

9. Oblikujte in dokažite Pitagorov izrek.

10. Formulirajte in dokažite izrek, nasproten Pitagorovemu izreku.

11. Kateri trikotniki se imenujejo pitagorejski? Navedite primere pitagorejskih trikotnikov.

12. Kakšna formula za površino trikotnika se imenuje Heronova formula? Izpelji to formulo.

Dodatne naloge

500. Dokažite, da je ploščina kvadrata, zgrajenega na strani enakokrakega pravokotnega trikotnika, dvakrat večja od ploščine kvadrata, zgrajenega na nadmorski višini, narisani na hipotenuzo.

501. Območje zemljišča je 27 hektarjev. Izrazite površino iste parcele: a) v kvadratnih metrih; b) v kvadratnih kilometrih.

502. Višini paralelograma sta 5 cm in 4 cm, obseg pa 42 cm.

503. Poišči obseg paralelograma, če je njegova ploščina 24 cm 2 in je presečišče diagonal oddaljeno od stranic 2 cm in 3 cm.

504. Manjša stranica paralelograma je 29 cm, navpičnica, ki poteka iz presečišča diagonal na večjo stran, jo deli na segmente, enake 33 cm in 12 cm.

505. Dokaži, da ima izmed vseh trikotnikov, pri katerih je ena stranica enaka a, druga pa b, največjo ploščino tisti, katerega stranice so pravokotne.

506. Kako narisati dve ravni črti skozi oglišče kvadrata, da ga razdelimo na tri like, katerih ploščine so enake?

507.* Vsaka stranica enega trikotnika je večja od katere koli stranice drugega trikotnika. Ali iz tega sledi, da je ploščina prvega trikotnika večja od ploščine drugega trikotnika?

508.* Dokaži, da vsota razdalj od točke na vznožju enakokrakega trikotnika do stranskih stranic ni odvisna od lege te točke.

509. Dokaži, da vsota razdalj od točke, ki leži znotraj enakostraničnega trikotnika, do njegovih stranic ni odvisna od lege te točke.

510.* Skozi točko D, ki leži na stranici BC trikotnika ABC, sta narisani premici, ki sta vzporedni z drugima stranicama in sekata stranici AB oziroma AC v točkah E in F. Dokaži, da sta trikotnika CDE in BDF enako velika.

511. V trapezu ABCD s stranicama AB in CD se diagonali sekata v točki O.

a) Primerjaj ploščini trikotnikov ABD in ACD.
b) Primerjaj ploščini trikotnikov ABO in CDO.
c) Dokaži, da velja enakost OA OB = OS OD.

512.* Osnovici trapeza sta enaki a in b. Odsek s konci na stranicah trapeza, vzporeden z osnovami, deli trapez na dva enaka trapeza. Poiščite dolžino tega segmenta.

513. Diagonali romba sta 18 m in 24 m. Poišči obseg romba in razdaljo med vzporednima stranicama.

514. Ploščina romba je 540 cm 2, ena od njegovih diagonal pa 4,5 dm. Poiščite razdaljo od presečišča diagonal do stranice romba.

515. Poiščite ploščino enakokrakega trikotnika, če: a) je stranica 20 cm in kot pri dnu 30°; b) stranica narisana višina je 6 cm in tvori z osnovo kot 45°.

516. V trikotniku BC = 34 cm, pravokotnik MN na premico AC deli stranico AN = 25 cm in NC = 15 cm.

517. Poišči ploščino štirikotnika ABCD, v katerem je AB = 5 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm, DA = 15 cm, AC = 12 cm.

518. Poiščite ploščino enakokrakega trapeza, če: a) je njegova manjša osnova 18 cm, višina 9 cm in ostri kot 45°; b) njegovi osnovnici sta 16 cm in 30 cm, njegovi diagonali pa sta medsebojno pravokotni.

519. Poiščite ploščino enakokrakega trapeza, katerega višina je enaka h in katerega diagonale so medsebojno pravokotne.

520. Diagonali enakokrakega trapeza sta medsebojno pravokotni, vsota osnovic pa je 2a. Poiščite območje trapeza.

521. Dokaži, da če sta diagonali štirikotnika ABCD medsebojno pravokotni, velja AD 2 + BC 2 = AB 2 + CD 2.

522. V enakokrakem trapezu ABCD z osnovcami AD = 17 cm, BC = 5 cm in stranico AB = 10 cm je skozi oglišče B narisana premica, ki razpolavlja diagonalo AC in seka osnovo AD v točki M. Poiščite ploščino trikotnik BDM.

523. Dva kvadrata s stranico a imata eno skupno oglišče, stranica enega od njiju pa leži na diagonali drugega. Poiščite površino skupnega dela teh kvadratov.

524. Stranice trikotnika so 13 cm, 5 cm in 12 cm.

525. Razdalja od točke M, ki leži znotraj trikotnika ABC, do premice AB je 6 cm, do premice AC pa 2 cm. Poišči razdaljo od točke M do premice BC, če je AB = 13 cm, BC = 14 cm. AC = 15 cm.

526. V rombu je višina cm enaka 2/3 večje diagonale. Poiščite območje romba.

527. V enakokrakem trapezu je diagonala 10 cm, višina pa 6 cm.

528. V trapezu ABCD se diagonali sekata v točki O. Poiščite ploščino trikotnika AOB, če je stranska stranica CD trapeza 12 cm, razdalja od točke O do premice CD pa 5 cm.

529. Diagonali štirikotnika sta 16 cm in 20 cm in se sekata pod kotom 30°. Poiščite površino tega štirikotnika.

530. V enakokrakem trikotniku ABC z osnovo BC je višina AD 8 cm. Poiščite ploščino trikotnika ABC, če je mediana DM trikotnika ADC 8 cm.

531. Stranici AB in BC pravokotnika ABCD sta enaki 6 cm oziroma 8 cm. Premica, ki poteka skozi oglišče C in je pravokotna na premico BD, seka stranico AD v točki M, diagonalo BD pa v točki K. Poiščite ploščino . štirikotnik ABKM.

532. V trikotniku ABC je narisana višina BH. Dokažite, da če:

a) kot A je oster, potem je BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AC AN;
b) kot A je top, potem je BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AN.

Odgovori na težave

1. Kako se imenuje razmerje dveh segmentov?

2. V katerem primeru pravimo, da sta odseka AB in CD sorazmerna z odsekoma A 1 B 1 in C 1 D 1?

3. Določi podobne trikotnike.

4. Oblikujte in dokažite izrek o razmerju ploščin podobnih trikotnikov.

5. Oblikujte in dokažite izrek, ki izraža prvi znak podobnosti trikotnikov.

6. Oblikujte in dokažite izrek, ki izraža drugi kriterij podobnosti trikotnikov.

7. Oblikujte in dokažite izrek, ki izraža tretji kriterij podobnosti trikotnikov.

8. Kateri odsek se imenuje srednja črta trikotnika? Povej in dokaži izrek o srednji črti trikotnika.

9. Dokaži, da se mediani trikotnika sekata v eni točki, ki deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od oglišča.

10. Formulirajte in dokažite trditev, da višina pravokotnega trikotnika, izvlečena iz oglišča pravega kota, deli trikotnik na enake trikotnike.

11. Navedi in dokaži trditve o sorazmernih odsekih v pravokotnem trikotniku.

12. Navedite primer reševanja konstrukcijskega problema z metodo podobnosti.

13. Povejte nam, kako določiti višino predmeta na tleh in razdaljo do nedostopne točke.

14. Pojasnite, kateri dve sliki se imenujeta podobni. Kakšen je koeficient podobnosti figur?

15. Kaj imenujemo sinus, kosinus, tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika?

16. Dokaži, da če je ostri kot enega pravokotnega trikotnika enak ostremu kotu drugega pravokotnega trikotnika, potem sta sinusa teh kotov enaka, kosinusa teh kotov enaka in tangente teh kotov enake.

17. Katero enakost imenujemo osnovna trigonometrična istovetnost?

18. Kakšne so vrednosti sinusa, kosinusa in tangensa za kote 30°, 45°, 60°? Svoj odgovor utemelji.

Dodatne naloge

604. Trikotnika A 1 B 1 C 1 sta podobna, AB = 6 cm, C A = 10 cm, največja stranica trikotnika A 1 B 1 C 1 je enaka 7,5 cm trikotnik A 1 B 1 C 1 .

605. Diagonala AC trapeza ABCD deli na dva podobna trikotnika. Dokaži, da je AC 2 = a b, kjer sta a in b osnovici trapeza.

606. Simetrali MD in NK trikotnika MNP se sekata v točki O. Poišči relacijo OK: ON, če je MN = 5 cm, NP = 3 cm, MP = 7 cm.

607. Osnovica enakokrakega trikotnika se nanaša na stranico v razmerju 4 : 3, na osnovo narisana višina pa je 30 cm. Poišči odseke, na katere deli simetrala osnovnega kota.

608. Na nadaljevanju stranske stranice OB enakokrakega trikotnika AO B z osnovo AB je vzeta točka C tako, da leži točka B med točkama O in C. Odsek AC seka simetralo kota AOB v točki M. Dokaži, da je AM< МС.

609. Točka D je vzeta na stranico BC trikotnika ABC tako, da Dokaži, da je AD simetrala trikotnika ABC.

610. Premica, vzporedna s stranico AB trikotnika ABC, deli stranico AC v razmerju 2:7, šteto od oglišča A. Poišči stranice razrezanega trikotnika, če je AB = 10 cm, BC = 18 cm, CA = 21,6 cm.

611. Dokaži, da mediana AM trikotnika ABC razpolovi poljuben dolg, vzporeden s stranico BC, katerega konca ležita na stranicah AB in AC.

612. Dva pola AB in CD različnih dolžin a in b sta nameščena navpično na določeni razdalji drug od drugega, kot je prikazano na sliki 210. Konca A in D, B in C sta povezana z vrvmi, ki se sekata v točki O. Z uporabo podatkov na sliki dokažite, da Kaj:

Poiščite x in dokažite, da x ni odvisen od razdalje d med poli AB in CD.

riž. 210

613. Dokaži, da sta si trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 podobna, če:

A) , kjer sta VM in B 1 M 1 mediani trikotnikov;

b) ∠A = ∠A 1, , kjer sta VН in В 1 Н 1 višini trikotnikov АВС in A 1 B 1 C 1.

614. Diagonali pravokotnega trapeza ABCD s pravim kotom A sta medsebojno pravokotni. Osnovica AB je 6 cm, stranica AD pa 4 cm. Poiščite DC, DB in CB.

615.* Odsek s konci na stranicah trapeza je vzporeden z njegovimi osnovami in poteka skozi presečišče diagonal. Poiščite dolžino tega segmenta, če sta osnovici trapeza enaki a in b.

616. Dokaži, da sta oglišči trikotnika enako oddaljeni od premice, ki vsebuje njegovo srednjico.

617. Dokaži, da sta razpolovišči stranic romba oglišči pravokotnika.

618. Točki M in N sta razpolovišči stranic CD in BC paralelograma ABCD. Dokaži, da premici AM in AN delita diagonalo BD na tri enake dele.

619. Simetrala zunanjega kota pri oglišču A trikotnika ABC seka premico BC v točki D. Dokaži, da .

620. V trikotniku ABC (AB≠ AC) je skozi sredino stranice BC narisana premica, vzporedna s simetralo kota A, ki seka premici AB oziroma AC v točkah D in E. Dokaži, da je BD = CE .

621. V trapezu ABCD z osnovama AD in BC je vsota osnov b, diagonala AC je a, ∠ACB = α. Poiščite območje trapeza.

622. Na strani AD paralelograma ABCD je označena točka K tako, da je AK = 1/4 KD. Diagonala AC in odsek B K se sekata v točki P. Poiščite ploščino paralelograma ABCD, če je ploščina trikotnika ARK 1 cm 2.

623. V pravokotnem trapezu ABCD z osnovama AD in BC je ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 cm, AD = 16 cm. Poiščite kota C in D trapeza.

624. Dokaži, da mediane trikotnika delijo na šest trikotnikov, katerih ploščine so po parih enake.

625. Osnovica AD enakokrakega trapeza ABCD je 5-krat večja od osnovke BC. Višina BH seka diagonalo AC v točki M, ploščina trikotnika AMN je 4 cm 2. Poiščite ploščino trapeza ABCD.

626. Dokaži, da sta si trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 podobna, če kjer sta AD in A 1 D 1 simetrali trikotnikov.

Konstrukcijska opravila

627. Dan je trikotnik ABC. Konstruirajte trikotnik A1B1C1, podoben trikotniku ABC, katerega ploščina je dvakrat večja od ploščine trikotnika ABC.

628. Dani so trije odseki, katerih dolžine so enake a, b in c. Zgradite odsek, katerega dolžina je enaka .

629. Sestavi trikotnik, če sta podani razpolovišči njegovih stranic.

630. Sestavi trikotnik s stranico in srednjicami, ki sta narisani na drugi strani.