V pravokotnem paralelogramu. Izračunajte vsoto kotov in ploščino paralelograma: lastnosti in značilnosti

Sestavljena beseda "paralelogram"? In za tem se skriva zelo preprosta figura.

No, to je, vzeli smo dve vzporedni črti:

Prečkata še dva:

In notri je paralelogram!

Katere lastnosti ima paralelogram?

Lastnosti paralelograma.

Se pravi, kaj lahko uporabiš, če je problemu podan paralelogram?

Naslednji izrek odgovarja na to vprašanje:

Narišimo vse podrobno.

Kaj to pomeni prva točka izreka? In dejstvo je, da če IMEŠ paralelogram, potem ga zagotovo boš

Druga točka pomeni, da če obstaja paralelogram, potem zagotovo:

No, in končno, tretja točka pomeni, da če IMATE paralelogram, se prepričajte, da:

Ali vidite, kakšna bogastvo izbire je na voljo? Kaj uporabiti pri težavi? Poskusite se osredotočiti na vprašanje naloge ali samo poskusite vse enega za drugim - nekaj "ključa" bo zadostovalo.

Sedaj pa si zastavimo še eno vprašanje: kako prepoznamo paralelogram »na pogled«? Kaj se mora zgoditi s štirikotnikom, da mu lahko damo »naziv« paralelogram?

Na to vprašanje odgovarja več znakov paralelograma.

Znaki paralelograma.

Pozor! Začeti.

Paralelogram.

Upoštevajte: če ste v svoji težavi našli vsaj en znak, potem zagotovo imate paralelogram in lahko uporabite vse lastnosti paralelograma.

2. Pravokotnik

Mislim, da to za vas sploh ne bo novica

Prvo vprašanje: ali je pravokotnik paralelogram?

Seveda je! Navsezadnje ima - se spomnite, naš znak 3?

In od tod seveda sledi, da sta v pravokotniku, tako kot v vsakem paralelogramu, diagonali razdeljeni na pol s točko presečišča.

Toda pravokotnik ima tudi eno posebno lastnost.

Lastnost pravokotnika

Zakaj je ta lastnost značilna? Ker noben drug paralelogram nima enakih diagonal. Formulirajmo bolj jasno.

Prosimo, upoštevajte: če želite, da štirikotnik postane pravokotnik, mora najprej postati paralelogram, nato pa dokazati enakost diagonal.

3. Diamant

In spet vprašanje: ali je romb paralelogram ali ne?

S polno pravico - paralelogram, ker ima in (zapomnite si našo lastnost 2).

In še enkrat, ker je romb paralelogram, potem mora imeti vse lastnosti paralelograma. To pomeni, da so v rombu nasprotni koti enaki, nasprotni strani sta vzporedni, diagonali pa se v presečišču razpolovita.

Lastnosti romba

Poglej sliko:

Tako kot v primeru pravokotnika so te lastnosti posebne, to pomeni, da za vsako od teh lastnosti lahko sklepamo, da to ni samo paralelogram, ampak romb.

Znaki diamanta

In še enkrat, bodite pozorni: ne sme obstajati samo štirikotnik, katerega diagonale so pravokotne, ampak paralelogram. Poskrbi:

Ne, seveda, čeprav so njegove diagonale pravokotne, diagonala pa je simetrala kotov in. Toda ... diagonale niso razdeljene na pol s presečiščem, torej - NI paralelogram in zato NI romb.

To pomeni, da je kvadrat pravokotnik in romb hkrati. Poglejmo, kaj se zgodi.

Je jasno zakaj? - romb je simetrala kota A, ki je enak. To pomeni, da se deli (in tudi) na dva kota.

No, saj je povsem jasno: diagonali pravokotnika sta enaki; Diagonale romba so pravokotne in na splošno je paralelogram diagonal razdeljen na pol s točko presečišča.

POVPREČNA STOPNJA

Lastnosti štirikotnikov. Paralelogram

Lastnosti paralelograma

Pozor! besede " lastnosti paralelograma"pomeni, da če je v vaši nalogi Tukaj je paralelogram, potem lahko uporabite vse naslednje.

Izrek o lastnostih paralelograma.

V poljubnem paralelogramu:

Razumejmo, zakaj je vse to res, z drugimi besedami DOKAZALI BOMO izrek.

Zakaj je torej 1) res?

Če je paralelogram, potem:

• leži navzkriž
• ležijo kot križi.

To pomeni (v skladu z merilom II: in - splošno.)

No, to je to, to je to! - dokazano.

Ampak mimogrede! Dokazali smo tudi 2)!

Zakaj? Ampak (poglejte sliko), torej ravno zato.

Samo še 3).

Če želite to narediti, morate še vedno narisati drugo diagonalo.

In zdaj to vidimo - glede na II karakteristiko (koti in stranica "med" njimi).

Lastnosti dokazane! Pojdimo k znakom.

Znaki paralelograma

Spomnimo se, da znak paralelograma odgovarja na vprašanje "kako veš?", da je figura paralelogram.

Pri ikonah je takole:

Zakaj? Lepo bi bilo razumeti zakaj – to je dovolj. Ampak poglej:

No, ugotovili smo, zakaj je znak 1 resničen.

No, še lažje je! Ponovno narišimo diagonalo.

Kar pomeni:

IN Prav tako je enostavno. Ampak...drugačen!

Pomeni,. Vau! Pa tudi - notranja enostranska s sekanto!

Zato dejstvo, ki pomeni, da.

In če pogledate z druge strani, potem - notranja enostranska s sekantom! In zato.

Ali vidite, kako super je?!

In spet preprosto:

Popolnoma enako in.

Bodite pozorni:če ste našli vsaj en znak paralelograma v vaši težavi, potem imate točno paralelogram in ga lahko uporabite vsi lastnosti paralelograma.

Za popolno jasnost si oglejte diagram:

Lastnosti štirikotnikov. Pravokotnik.

Lastnosti pravokotnika:

Točka 1) je povsem očitna - navsezadnje je znak 3 () preprosto izpolnjen

In točka 2) - zelo pomembno. Torej, dokažimo to

To pomeni na dveh straneh (in – splošno).

No, ker sta trikotnika enaka, sta enaki tudi njuni hipotenuzi.

To dokazal!

In predstavljajte si, enakost diagonal je značilna lastnost pravokotnika med vsemi paralelogrami. To pomeni, da je ta izjava resnična^

Razumejmo zakaj?

To pomeni (kar pomeni kote paralelograma). Toda spomnimo se še enkrat, da je paralelogram in zato.

Pomeni,. No, iz tega seveda sledi, da vsak od njih! Konec koncev morajo dati v celoti!

Tako so dokazali, da če paralelogram nenadoma (!) se izkaže, da sta diagonali enaki, potem to točno pravokotnik.

Ampak! Pozor! Gre za paralelogrami! Ne kar kdoštirikotnik z enakima diagonalama je pravokotnik in samo paralelogram!

Lastnosti štirikotnikov. Romb

In spet vprašanje: ali je romb paralelogram ali ne?

S polno desno - paralelogram, ker ima (Zapomni si našo lastnost 2).

In spet, ker je romb paralelogram, mora imeti vse lastnosti paralelograma. To pomeni, da so v rombu nasprotni koti enaki, nasprotni strani sta vzporedni, diagonali pa se v presečišču razpolovita.

Obstajajo pa tudi posebne lastnosti. Oblikujmo ga.

Lastnosti romba

Zakaj? No, ker je romb paralelogram, so njegove diagonale razdeljene na pol.

Zakaj? Ja, zato!

Z drugimi besedami, izkazalo se je, da so diagonale simetrale vogalov romba.

Tako kot v primeru pravokotnika so te lastnosti značilen, vsak od njih je tudi znak romba.

Znaki diamanta.

zakaj je to In poglej,

To pomeni oboje Ti trikotniki so enakokraki.

Da bi bil štirikotnik romb, mora najprej »postati« paralelogram in nato pokazati lastnost 1 ali lastnost 2.

Lastnosti štirikotnikov. kvadrat

To pomeni, da je kvadrat pravokotnik in romb hkrati. Poglejmo, kaj se zgodi.

Je jasno zakaj? Kvadrat - romb - je simetrala kota, ki je enak. To pomeni, da se deli (in tudi) na dva kota.

No, saj je povsem jasno: diagonali pravokotnika sta enaki; Diagonale romba so pravokotne in na splošno je paralelogram diagonal razdeljen na pol s točko presečišča.

Zakaj? No, uporabimo Pitagorov izrek za...

POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Lastnosti paralelograma:

1. Nasprotni stranici sta enaki: , .
2. Nasprotna kota sta enaka: , .
3. Koti na eni strani seštejejo: , .
4. Diagonali sta razdeljeni na pol s presečiščem: .

Lastnosti pravokotnika:

1. Diagonali pravokotnika sta enaki: .
2. Pravokotnik je paralelogram (za pravokotnik so izpolnjene vse lastnosti paralelograma).

Lastnosti romba:

1. Diagonali romba sta pravokotni: .
2. Diagonale romba so simetrale njegovih kotov: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (za romb so izpolnjene vse lastnosti paralelograma).

Lastnosti kvadrata:

Kvadrat je romb in pravokotnik hkrati, zato so za kvadrat izpolnjene vse lastnosti pravokotnika in romba. in:

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 899 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni (slika 233).

Za poljuben paralelogram veljajo naslednje lastnosti:

1. Nasprotni stranici paralelograma sta enaki.

Dokaz. V paralelogramu ABCD narišemo diagonalo AC. Trikotnika ACD in AC B sta enaka, saj imata skupno stranico AC in dva para enakih kotov ob njej:

(kot navzkrižni koti z vzporednima premicama AD in BC). To pomeni in tako kot stranice enakih trikotnikov ležijo nasproti enakih kotov, kar je bilo treba dokazati.

2. Nasprotna kota paralelograma sta enaka:

3. Sosednji koti paralelograma, tj. koti, ki mejijo na eno stran, seštejejo itd.

Dokaz lastnosti 2 in 3 dobimo takoj iz lastnosti kotov za vzporedne premice.

4. Diagonali paralelograma se razpolavljata v presečišču. Z drugimi besedami,

Dokaz. Trikotnika AOD in BOC sta skladna, saj sta njuni stranici AD in BC enaki (lastnost 1) in jima priležni koti (kot navzkrižni koti pri vzporednicah). Od tod sledi, da sta pripadajoči stranici teh trikotnikov enaki: AO, kar je bilo treba dokazati.

Vsaka od teh štirih lastnosti označuje paralelogram ali, kot pravijo, je njegova značilna lastnost, tj. vsak štirikotnik, ki ima vsaj eno od teh lastnosti, je paralelogram (in torej vse ostale tri lastnosti).

Dokaz opravimo za vsako nepremičnino posebej.

1". Če sta nasprotni strani štirikotnika v parih enaki, je štirikotnik paralelogram.

Dokaz. Naj ima štirikotnik ABCD stranice AD ​​in BC, AB in CD enake (slika 233). Narišimo diagonalo AC. Trikotnika ABC in CDA bosta skladna, če imata tri pare enakih stranic.

Toda potem sta kota BAC in DCA enaka in . Vzporednost stranic BC in AD izhaja iz enakosti kotov CAD in ACB.

2. Če ima štirikotnik dva para nasprotnih kotov enaka, potem je to paralelogram.

Dokaz. Pustiti . Od takrat sta obe strani AD in BC vzporedni (glede na vzporednost premic).

3. Formulacijo in dokaz prepuščamo bralcu.

4. Če se diagonali štirikotnika v presečišču razpolovita, je štirikotnik paralelogram.

Dokaz. Če je AO = OS, BO = OD (slika 233), sta trikotnika AOD in BOC enaka, saj imata enake kote (navpične!) pri oglišči O, zaprtem med pari enakih stranic AO in CO, BO in DO. Iz enakosti trikotnikov sklepamo, da sta stranici AD in BC enaki. Stranici AB in CD sta prav tako enaki in štirikotnik se glede na značilno lastnost G izkaže za paralelogram.

Torej, da bi dokazali, da je dani štirikotnik paralelogram, je dovolj, da preverimo veljavnost katere koli od štirih lastnosti. Bralec je povabljen, da samostojno dokaže še eno značilno lastnost paralelograma.

5. Če ima štirikotnik par enakih, vzporednih stranic, potem je to paralelogram.

Včasih katerikoli par vzporednih stranic paralelograma imenujemo njegove osnove, drugi dve pa stranski stranici. Odsek ravne črte, ki je pravokoten na dve stranici paralelograma in je zaprt med njima, se imenuje višina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima višino h, narisano na straneh AD in BC, drugo višino predstavlja segment .

Povzetek lekcije.

Algebra 8. razred

Učitelj Sysoy A.K.

Šola 1828

Tema lekcije: "Paralelogram in njegove lastnosti"

Vrsta lekcije: kombinirana

Cilji lekcije:

1) Zagotovite asimilacijo novega koncepta - paralelograma in njegovih lastnosti

2) Še naprej razvijati spretnosti in sposobnosti za reševanje geometrijskih problemov;

3) Razvoj kulture matematičnega govora

Učni načrt:

1. Organizacijski trenutek

(1. diapozitiv)

Diapozitiv prikazuje izjavo Lewisa Carrolla. Učenci so seznanjeni z namenom pouka. Preverja se pripravljenost učencev na pouk.

2. Posodabljanje znanja

(2. diapozitiv)

Na tabli so naloge za ustno delo. Učitelj povabi učence, da razmislijo o teh problemih in dvignejo roke tistim, ki razumejo, kako rešiti problem. Po rešitvi dveh nalog je za dokazovanje izreka o vsoti kotov pred tablo povabljen učenec, ki samostojno dodatno gradi na risbi in izrek ustno dokaže.

Učenci uporabijo formulo za vsoto kotov mnogokotnika:

3. Glavni del

(3. diapozitiv)

Definicija paralelograma na tabli. Učitelj govori o novi figuri in oblikuje definicijo, pri čemer naredi potrebna pojasnila z uporabo risbe. Nato na karirastem delu predstavitve s pomočjo markerja in ravnila pokaže, kako narišemo paralelogram (možnih je več primerov)

(diapozitiv 4)

Učitelj formulira prvo lastnost paralelograma. Povabi učence, da iz risbe povedo, kaj je dano in kaj je treba dokazati. Po tem se dana naloga pojavi na tabli. Učenci ugibajo (lahko tudi s pomočjo učitelja), da morajo zahtevane enakosti dokazati z enakostmi trikotnikov, ki jih dobimo z narisanjem diagonale (diagonala se pojavi na tabli). Nato učenci ugibajo, zakaj so trikotniki enaki, in poimenujejo znak, da so trikotniki enaki (prikaže se ustrezna oblika). Besedno sporočajo dejstva, ki so potrebna za enakost trikotnikov (kot jih poimenujejo, se pojavi ustrezna vizualizacija). Nato dijaki formulirajo lastnost skladnih trikotnikov, nastopa kot 3. točka dokaza, nato pa samostojno ustno dokončajo dokaz izreka.

(diapozitiv 5)

Učitelj oblikuje drugo lastnost paralelograma. Na tabli se pojavi risba paralelograma. Učitelj predlaga, da s sliko poveš, kaj je dano in kaj je treba dokazati. Ko učenci pravilno poročajo, kaj je dano in kaj je treba dokazati, se pojavi pogoj izreka. Učenci ugibajo, da lahko enakost delov diagonal dokažemo z enakostjo trikotnikov.AOB in C.O.D.. Z uporabo prejšnje lastnosti paralelograma ugibamo, da sta stranici enakiAB in CD. Nato razumejo, da morajo poiskati enake kote in z lastnostmi vzporednih premic dokazati enakost kotov, ki mejijo na enake stranice. Te stopnje so prikazane na prosojnici. Resničnost izreka izhaja iz enakosti trikotnikov – učenci jo povedo in na prosojnici se pojavi ustrezna vizualizacija.

(diapozitiv 6)

Učitelj oblikuje tretjo lastnost paralelograma. Glede na preostali čas do konca pouka lahko učitelj učencem omogoči, da to lastnost dokažejo sami, ali pa se omejijo na njeno formulacijo, samo dokazovanje pa prepusti učencem kot domačo nalogo. Dokaz lahko temelji na vsoti kotov včrtanega mnogokotnika, ki smo jo ponovili na začetku učne ure, ali na vsoti notranjih enostraničnih kotov dveh vzporednih premic.AD in B.C., in sekans, na primerAB.

4. Pritrjevanje materiala

Na tej stopnji učenci uporabljajo predhodno naučene izreke za reševanje problemov. Učenci samostojno izberejo ideje za rešitev problema. Ker je možnih možnosti zasnove veliko in so vse odvisne od tega, kako bodo učenci iskali rešitev problema, ni vizualizacije rešitve problemov, ampak učenci samostojno narišejo vsako stopnjo rešitve na ločeni tabli. z zapisom rešitve v zvezek.

(Slide 7)

Prikaže se pogoj naloge. Učitelj predlaga formulacijo "Dano" glede na pogoj. Ko učenci pravilno zapišejo kratko izjavo pogoja, se na tabli pojavi »Dano«. Postopek za rešitev težave je lahko videti takole:

Narišimo višino BH (vizualizirano)

Trikotnik AHB je pravokoten trikotnik. Kot A je enak kotu C in je enak 30 0 (glede na lastnost nasprotnih kotov v paralelogramu). 2BH =AB (po lastnosti kraka, ki leži nasproti kota 30 0 v pravokotnem trikotniku). Torej je AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (glede na lastnost nasprotnih stranic v paralelogramu) Torej AB = CD = 13 cm. Ker je obseg paralelograma 50 cm, potem je BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

odgovor: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(diapozitiv 8)

Prikaže se pogoj naloge. Učitelj predlaga formulacijo "Dano" glede na pogoj. Nato se na zaslonu prikaže »Given«. Z rdečimi črtami je označen štirikotnik, za katerega morate dokazati, da je paralelogram. Postopek za rešitev težave je lahko videti takole:

Ker BK in MD sta pravokotni na eno premico, potem sta premici BK in MD vzporedni.

Preko sosednjih kotov lahko pokažemo, da je vsota notranjih enostranskih kotov pri premicah BM in KD ter sekante MD enaka 180 0. Zato sta ti premici vzporedni.

Ker ima štirikotnik BMDK nasprotni stranici vzporedni v parih, je ta štirikotnik paralelogram.

5. Konec lekcije. Vedenje rezultatov.

(diapozitiv 8)

Na prosojnici se pojavijo vprašanja o novi temi, na katera učenci odgovarjajo.

Dokaz

Najprej narišimo diagonalo AC. Dobimo dva trikotnika: ABC in ADC.

Ker je ABCD paralelogram, velja naslednje:

AD || BC \Desna puščica \kot 1 = \kot 2 kot bi ležal navzkriž.

AB || CD\desna puščica\kot3 =\kot 4 kot bi ležal navzkriž.

Zato je \trikotnik ABC = \trikotnik ADC (po drugem kriteriju: in AC je skupen).

In torej \trikotnik ABC = \trikotnik ADC, potem je AB = CD in AD = BC.

Dokazano!

2. Nasprotna kota sta enaka.

Dokaz

Glede na dokaz lastnosti 1 To vemo \kot 1 = \kot 2, \kot 3 = \kot 4. Tako je vsota nasprotnih kotov: \kot 1 + \kot 3 = \kot 2 + \kot 4. Ob upoštevanju, da \trikotnik ABC = \trikotnik ADC dobimo \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D .

Dokazano!

3. Diagonali sta razdeljeni na pol s presečiščem.

Dokaz

Narišimo še eno diagonalo.

Avtor: lastnina 1 vemo, da sta nasprotni stranici enaki: AB = CD. Še enkrat bodite pozorni na navzkrižno ležeče enake kote.

Tako je jasno, da je \trikotnik AOB = \trikotnik COD po drugem kriteriju enakosti trikotnikov (dva kota in stranica med njima). To pomeni, da je BO = OD (nasproti kotov \kota 2 in \kota 1) in AO = OC (nasproti vogalov \kota 3 oziroma \kota 4).

Dokazano!

Znaki paralelograma

Če je v vašem problemu prisotna samo ena značilnost, potem je slika paralelogram in lahko uporabite vse lastnosti te figure.

Za boljše pomnjenje upoštevajte, da bo znak paralelograma odgovoril na naslednje vprašanje - "kako ugotoviti?". To je, kako ugotoviti, da je določena figura paralelogram.

1. Paralelogram je štirikotnik, katerega strani sta enaki in vzporedni.

AB = CD; AB || CD\desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Pa poglejmo pobliže. Zakaj AD || pr.n.št.?

\trikotnik ABC = \trikotnik ADC s lastnina 1: AB = CD, AC - skupni in \kotnik 1 = \kotnik 2, ki leži navzkrižno z vzporednikoma AB in CD ter sekanto AC.

Če pa \trikotnik ABC = \trikotnik ADC , potem je \kotnik 3 = \kotnik 4 (leži nasproti AB oziroma CD). In torej AD || BC (\kota 3 in \kota 4 - enaka sta tudi navzkrižno ležeča).

Prvi znak je pravilen.

2. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta enaki.

AB = CD, AD = BC \desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmislimo o tem znaku. Ponovno narišimo diagonalo AC.

Avtor: lastnina 1\trikotnik ABC = \trikotnik ACD .

Sledi, da: \kot 1 = \kot 2 \desna puščica AD || B.C. in \kot 3 = \kot 4 \Desna puščica AB || CD, to pomeni, da je ABCD paralelogram.

Drugi znak je pravilen.

3. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotna kota sta enaka.

\kot A = \kot C , \kot B = \kot D \desna puščica ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ker je ABCD štirikotnik in \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D po pogoju).

Izkazalo se je, da je \alpha + \beta = 180^(\circ) . Toda \alpha in \beta sta notranja enostranska na sekanti AB.

In dejstvo, da \alpha + \beta = 180^(\circ), pomeni tudi, da AD || B.C.

Poleg tega sta \alpha in \beta notranja enostranska na sekanti AD. In to pomeni AB || CD.

Tretji znak je pravilen.

4. Paralelogram je štirikotnik, katerega diagonale deli presečišče na pol.

AO = OC ; BO = OD\desna puščica paralelogram.

Dokaz

BO = OD; AO = OC , \kot 1 = \kot 2 kot navpičnica \Desna puščica \trikotnik AOB = \trikotnik COD, \Desna puščica \kot 3 = \kot 4, in \Rightarrow AB || CD.

Podobno BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 in \Rightarrow AD || B.C.

Četrti znak je pravilen.