Absolutno trdno glede na odpornost materialov imenujemo telo. Materialna točka

• Gibanje telesa najlažje opišemo tako, da se medsebojni položaji njegovih delov ne spreminjajo. Tako telo imenujemo absolutno trdno.

Pri kinematiki smo rekli, da opisati gibanje telesa pomeni opisati gibanje vseh njegovih točk. Z drugimi besedami, znati morate najti koordinate, hitrost, pospešek, trajektorije vseh točk telesa. Na splošno je to težaven problem in ne bomo ga poskušali rešiti. Še posebej težko je, če se telesa med gibanjem opazno deformirajo.

Pravzaprav takih teles ni. To je fizični model. V primerih, ko so deformacije majhne, ​​lahko realna telesa štejemo za absolutno trdna. Vendar pa gibanje trdna na splošno je težko. Osredotočili se bomo na dve najpreprostejši vrsti gibanja togega telesa: translacijsko in rotacijsko.

Gibanje naprej

Togo telo se giblje translatorno, če se katerikoli odsek premice, togo povezan s telesom, nenehno premika vzporedno s samim seboj.

Pri translacijskem gibanju se vse točke telesa gibljejo enako, opisujejo iste trajektorije, potujejo po enakih poteh in imajo enake hitrosti in pospeške. Pokažimo ga.

Naj se telo premakne naprej. Povežimo dve poljubni točki A in B telesa z ravnim odsekom (slika 7.1). Daljica AB mora ostati vzporedna sama s seboj. Razdalja AB se ne spremeni, saj je telo popolnoma togo.

riž. 7.1

Med translacijskim gibanjem se vektor ne spremeni, to pomeni, da njegova velikost in smer ostaneta konstantni. Posledično sta trajektoriji točk A in B enaki, saj ju je mogoče popolnoma združiti z vzporednim prevajanjem v .

Lahko vidimo, da sta gibanja točk A in B enaka in se zgodita v istem času. Zato imata točki A in B enaki hitrosti. Tudi njuni pospeški so enaki.

Povsem očitno je, da je za opis translacijskega gibanja telesa dovolj, da opišemo gibanje katere koli njegove točke, saj se vse točke gibljejo enako. Samo pri tem gibanju lahko govorimo o hitrosti telesa in pospešku telesa. Pri vsakem drugem gibanju telesa imajo njegove točke različne hitrosti in pospeške, zato izraza "telesna hitrost" ali "telesni pospešek" izgubita pomen.

Predal mize se premika približno progresivno, bati avtomobilskega motorja glede na valje, avtomobili na ravnem odseku železnica, rezalnik stružnice glede na posteljo (slika 7.2) itd.

riž. 7.2

riž. 7.3

Rotacijsko gibanje

Rotacijsko gibanje okoli fiksne osi je druga vrsta gibanja togega telesa.

Vrtenje togega telesa okoli nepremične osi je gibanje, pri katerem vse točke telesa opisujejo kroge, katerih središča ležijo na isti ravnini, pravokotni na ravnine teh krogov. Ta premica je sama os vrtenja (MN na sliki 7.4).

riž. 7.4

V tehniki se tovrstno gibanje pojavlja izjemno pogosto: vrtenje gredi motorjev in generatorjev, koles sodobnih hitrih električnih vlakov in vaških vozov, turbin in letalskih propelerjev itd. Zemlja se vrti okoli svoje osi.

Dolgo časa je veljalo, da v živih organizmih ni naprav, podobnih vrtečemu se kolesu: »narava ni ustvarila kolesa«. Ampak raziskave zadnja leta pokazala, da temu ni tako. Številne bakterije, kot je E. coli, imajo "motor", ki vrti flagele. S pomočjo teh flagel se bakterija premika v okolju (slika 7.5, a). Osnova flagelluma je pritrjena na obročasto kolo (rotor) (slika 7.5, b). Ravnina rotorja je vzporedna z drugim obročem, pritrjenim na celično membrano. Rotor se vrti in naredi do osem vrtljajev na sekundo. Mehanizem, ki povzroči vrtenje rotorja, ostaja večinoma nejasen.

riž. 7.5

Kinematični opis rotacijskega gibanja togega telesa

Ko se telo vrti, se bo polmer r A kroga, ki ga opisuje točka A tega telesa (glej sliko 7.4), zavrtel v časovnem intervalu Δt za določen kot φ. To je enostavno videti zaradi nespremenljivosti relativni položaj točke telesa skozi isti kot φ, se bodo polmeri krogov, ki jih opisujejo katere koli druge točke telesa, zavrteli v istem času (glej sliko 7.4). Posledično se ta kot φ lahko šteje za vrednost, ki označuje gibanje ne le posamezne točke telesa, temveč tudi rotacijsko gibanje celotnega telesa kot celote. Zato je za opis vrtenja togega telesa okoli nepremične osi dovolj le ena količina - spremenljivka φ(t).

Ta posamezna vrednost (koordinata) je lahko kot φ, za katerega se telo vrti okoli osi glede na neko svojo lego, vzeto kot nič. Ta položaj je določen z osjo O 1 X na sliki 7.4 (odseka O 2 B, O 3 C sta vzporedna z O 1 X).

V § 1.28 je bilo obravnavano gibanje točke po krožnici. Uvedena sta bila koncepta kotne hitrosti ω in kotnega pospeška β. Ker se pri vrtenju togega telesa vse njegove točke vrtijo za enake kote v enakih časovnih intervalih, se vse formule, ki opisujejo gibanje točke po krogu, izkažejo za uporabne za opis vrtenja togega telesa. Definiciji kotne hitrosti (1.28.2) in kotnega pospeška (1.28.6) lahko povežemo z vrtenjem togega telesa. Enako veljata formuli (1.28.7) in (1.28.8) za opis gibanja togega telesa s stalnim kotnim pospeškom.

Razmerje med linearno in kotno hitrostjo (glej § 1.28) za vsako točko togega telesa je podano s formulo

kjer je R oddaljenost točke od vrtilne osi, to je polmer kroga, ki ga opisuje točka rotirajočega telesa. Linearna hitrost je usmerjena tangencialno na ta krog. Različne točke toga telesa imajo pri isti kotni hitrosti različne linearne hitrosti.

Različne točke togega telesa imajo normalne in tangencialne pospeške, določene s formulama (1.28.10) in (1.28.11):

Ravnsko vzporedno gibanje

Ravnozporedno (ali preprosto ravninsko) gibanje togega telesa je gibanje, pri katerem se vsaka točka telesa ves čas giblje v isti ravnini. Poleg tega so vse ravnine, v katerih se točke premikajo, med seboj vzporedne. Tipičen primer ravninsko-vzporednega gibanja je kotaljenje valja po ravnini. Ravno vzporedno je tudi gibanje kolesa po ravni tirnici.

Naj vas spomnimo (še enkrat!), da lahko govorimo o naravi gibanja določenega telesa le glede na določen referenčni okvir. Torej je v zgornjih primerih v referenčnem sistemu, povezanem s tirnico (tlemi), gibanje valja ali kolesa ravninsko vzporedno, v referenčnem sistemu, povezanem z osjo kolesa (ali valja), pa je rotacijski. Posledično je hitrost vsake točke kolesa v referenčnem sistemu, povezanem s tlemi (absolutna hitrost), po zakonu seštevanja hitrosti enaka vektorski vsoti linearne hitrosti rotacijskega gibanja (relativna hitrost) in hitrost translacijskega gibanja osi (prenosna hitrost) (slika 7.6):

riž. 7.6

Trenutno središče vrtenja

Tanek disk naj se kotali po ravnini (slika 7.7). Krog lahko obravnavamo kot pravilen mnogokotnik s poljubno velikim številom stranic.

Zato lahko krog, prikazan na sliki 7.7, miselno nadomestimo s mnogokotnikom (slika 7.8). Toda gibanje slednjega je sestavljeno iz serije majhnih vrtenj: najprej okoli točke C, nato okoli točk C 1, C 2 itd. Zato lahko gibanje diska obravnavamo tudi kot zaporedje zelo majhnih (neskončno majhnih) rotacije okoli točk C, C 1 C 2 itd. (2). Tako se disk v vsakem trenutku vrti okoli svoje spodnje točke C. To točko imenujemo trenutno središče vrtenja diska. V primeru, da se disk kotali po ravnini, lahko govorimo o trenutni vrtilni osi. Ta os je linija stika diska z ravnino v danem trenutku.

riž. 7.7 in 7.8

Uvedba koncepta trenutnega središča (trenutne osi) vrtenja poenostavlja rešitev številnih problemov. Če na primer veste, da ima središče diska hitrost in lahko ugotovite hitrost točke A (glejte sliko 7.7). Dejansko, ker se disk vrti okoli trenutnega središča C, je polmer vrtenja točke A enak AC, polmer vrtenja točke O pa je enak OC. Ker pa je AC = 20C, potem

Podobno lahko najdete hitrost katere koli točke na tem disku.

Največ sva se srečala enostavne vrste gibanje togega telesa: translacijsko, rotacijsko, ravninsko vzporedno. V prihodnosti se bomo morali ukvarjati z dinamiko togega telesa.

(1) V nadaljevanju bomo zaradi jedrnatosti govorili le o trdnem telesu.

(2) Seveda je na sliki nemogoče upodobiti mnogokotnik z neskončnim številom stranic.

Absolutno trdno telo (trdno telo) – telo, katerega razdalja med deli se ne spremeni, ko nanj delujejo sile, tj. oblika in mere trdnega telesa se ne spremenijo, če nanj deluje katera koli sila. Takšnih teles v naravi seveda ni. To je fizični model. V primerih, ko so deformacije hude, lahko realna telesa štejemo za absolutno trdna. Gibanje togega telesa je na splošno zelo zapleteno. Upoštevali bomo samo dve vrsti gibanja telesa:

1. Premik naprej:

Gibanje telesa šteje progresivno , če se kateri koli odsek ravne črte, togo povezan s telesom, nenehno premika vzporedno sam s seboj. Pri translacijskem gibanju se vse točke telesa enako gibljejo, potujejo po enakih poteh, imajo enake hitrosti in pospeške ter opisujejo iste trajektorije.

2. Rotacijsko gibanje:

Vrtenje togega telesa okoli nepremične osi je gibanje, pri katerem vse točke telesa opisujejo kroge, katerih središča ležijo na isti premici, pravokotni na ravnine teh krogov. Ta ravna črta sama je os vrtenja.

Ko se telo vrti, se radiks kroga, ki ga opisuje točka tega telesa, zavrti za določen kot v časovnem intervalu.à Zaradi nespremenljivosti relativnega položaja točk telesa se bodo polmeri krogov, ki jih opisujejo katere koli druge točke telesa, v istem času zavrteli za isti kot.

Ta kot je vrednost, ki označuje rotacijsko gibanje celotnega telesa kot celote. Iz tega lahko sklepamo, da morate za opis rotacijskega gibanja absolutno togega telesa okoli fiksne osi poznati samo eno spremenljivko - kot, pod katerim se bo telo vrtelo v določenem času. Razmerje med linearno in kotno hitrostjo za vsako točko togega telesa je podano s formulo

V = ώ R

Tudi točke trdnega telesa imajo normalne in tangencialne pospeške, ki jih je mogoče določiti s formulami:

a n = ώ 2 R a τ = βR

3. Ravninsko vzporedno gibanje:

Ravninsko vzporedno gibanje je gibanje, pri katerem se vsaka točka telesa nenehno giblje v eni ravnini, medtem ko so vse ravnine med seboj vzporedne. Zdaj pa ugotovimo, kaj je trenutno središče vrtenja. Predpostavimo, da se kolo vrti po neki ravnini. .

gibanje tega kolesa lahko obravnavamo kot zaporedje neskončno majhnih vrtenj okoli točk. Iz tega lahko sklepamo, da se kolo v vsakem trenutku vrti okoli svoje najnižje točke. Ta točka se imenuje trenutno središče vrtenja

Trenutna rotacijska os – linija stika diska z ravnino v danem trenutku. Statika je veja mehanike, ki se ukvarja z

splošni nauk

o silah in proučujejo pogoje ravnotežja materialnih teles pod vplivom sil. Z ravnotežjem razumemo stanje mirovanja telesa glede na druga telesa, na primer glede na Zemljo. Ravnotežne razmere telesa so bistveno odvisne od tega, ali je telo trdno, tekoče ali plinasto. Ravnovesje tekočih in plinastih teles preučujemo pri tečajih hidrostatike ali aerostatike. Pri tečaju splošne mehanike se običajno obravnavajo samo problemi ravnotežja togih teles. in velikosti ter od obstoječih obremenitev. Da bi zagotovili trdnost različnih inženirskih konstrukcij in konstrukcij, so material in dimenzije njihovih delov izbrani tako, da so deformacije pod obstoječimi obremenitvami dovolj majhne. Posledično je pri preučevanju ravnotežnih pogojev povsem sprejemljivo zanemariti majhne deformacije ustreznih trdnih teles in jih obravnavati kot nedeformabilne ali popolnoma trdne. Absolutno togo telo je telo, katerega razdalja med vsakima dvema točkama vedno ostane konstantna. V prihodnosti se bodo pri reševanju statičnih problemov vsa telesa obravnavala kot absolutno toga, čeprav jih pogosto za kratkost preprosto imenujemo toga telesa.

Stanje ravnovesja ali gibanja danega telesa je odvisno od narave njegovih mehanskih interakcij z drugimi telesi, to je od pritiskov, privlačnosti ali odbijanja, ki jih telo doživlja kot rezultat teh interakcij. Veličino, ki je glavno merilo mehanskega medsebojnega delovanja materialnih teles, v mehaniki imenujemo sila.

Veličine, ki jih obravnava mehanika, lahko razdelimo na skalarne, tj. tiste, za katere je v celoti značilna njihova številčna vrednost, in vektorske, torej tiste, za katere je poleg numerične vrednosti značilna tudi smer v prostoru.

Sila je vektorska količina. Njeno delovanje na telo je določeno z: 1) številčno vrednostjo ali modulom sile, 2) smerjo sile, 3) točko delovanja sile.

Modul sile najdemo tako, da ga primerjamo s silo, vzeto kot enota. Osnovna enota za silo v mednarodnem sistemu enot (SI), ki jo bomo uporabljali (podrobneje v § 75), je 1 newton (1 N); Uporablja se tudi večja enota 1 kilonewton. Za statično merjenje sile se uporabljajo iz fizike znane naprave, imenovane dinamometri.

Sila bo, tako kot vse druge vektorske količine, označena s črko s črto nad njo (na primer F), modul sile pa s simbolom ali isto črko, vendar brez črte nad njo (F ). Grafično je sila, tako kot drugi vektorji, predstavljena z usmerjenim segmentom (slika 1). Dolžina tega odseka izraža modul sile na izbranem merilu, smer odseka ustreza smeri sile, točka A na sl. 1 je točka delovanja sile (silo lahko upodobimo tudi tako, da je točka delovanja konec sile, kot na sliki A, c). Premico DE, vzdolž katere je sila usmerjena, imenujemo premica delovanja sile. Strinjajmo se tudi glede naslednjih definicij.

1. Sistem sil bomo imenovali množica sil, ki delujejo na obravnavano telo (ali telesa). Če delujejo vse sile v isti ravnini, se sistem sil imenuje ravninski, če pa ne ležijo v isti ravnini, se imenuje prostorski. Poleg tega se sile, katerih premice delovanja sekajo v eni točki, imenujejo konvergentne, sile, katerih premice delovanja so med seboj vzporedne, pa vzporedne.

2. Telo, ki mu je mogoče iz določenega položaja posredovati kakršno koli gibanje v prostoru, se imenuje prosto.

3. Če je mogoče en sistem sil, ki delujejo na prosto togo telo, nadomestiti z drugim sistemom, ne da bi spremenili stanje mirovanja ali gibanja, v katerem se nahaja telo, potem se takšna dva sistema sil imenujeta enakovredna.

4. Sistem sil, pod vplivom katerih lahko prosto togo telo miruje, se imenuje uravnotežen ali enak nič.

5. Če je dani sistem sil enakovreden eni sili, potem se ta sila imenuje rezultanta tega sistema sil.

Sila, ki je po velikosti enaka rezultanti, je neposredno nasprotna v smeri in deluje vzdolž iste premice, se imenuje sila ravnotežja.

6. Sile, ki delujejo na dano telo (ali sistem teles), lahko razdelimo na zunanje in notranje. Zunanje so sile, ki na to telo (ali telesa sistema) delujejo iz drugih teles, notranje pa so sile, s katerimi deli določenega telesa (ali telesa določenega sistema) delujejo drug na drugega.

7. Sila, ki deluje na telo v kateri koli točki, se imenuje koncentrirana. Sile, ki delujejo na vse točke določene prostornine ali določenega dela površine telesa, imenujemo porazdeljene.

Koncept koncentrirane sile je pogojen, saj je praktično nemogoče uporabiti silo na telo v eni točki. Sile, ki jih v mehaniki obravnavamo kot koncentrirane, so v bistvu rezultante določenih sistemov porazdeljenih sil.

Zlasti gravitacijska sila, ki deluje na dano trdno telo, obravnavana v mehaniki, je rezultanta gravitacijskih sil, ki delujejo na njegove delce. Linija delovanja te rezultante poteka skozi točko, ki se imenuje težišče telesa.

Naloge statike so: 1) preoblikovanje sistemov sil, ki delujejo na trdno telo, v sisteme, ki so jim enakovredni, zlasti pripeljevanje danega sistema sil v njegovo najpreprostejšo obliko; 2) določitev pogojev ravnotežja za sisteme sil, ki delujejo na trdno telo.

Probleme statike lahko rešujemo z ustreznimi geometrijskimi konstrukcijami (geometrijske in grafične metode) ali z numeričnimi izračuni (analitična metoda). Predmet bo uporabljal predvsem analitično metodo, vendar se je treba zavedati, da imajo vizualne geometrijske konstrukcije izjemno pomembno vlogo pri reševanju problemov v mehaniki.

V poglavju o vprašanju, kaj je absolutno togo telo, ki ga postavlja avtor evropski najboljši odgovor je Absolutno togo telo je poleg materialne točke drugi nosilni objekt mehanike. Mehanika absolutno togega telesa je povsem zvodljiva na mehaniko materialnih točk (z vsiljenimi omejitvami), vendar ima svojo vsebino (uporabne koncepte in razmerja, ki jih lahko oblikujemo v okviru modela absolutno togega telesa), ki je zelo teoretično in praktično zanimiva.
Obstaja več definicij:
Absolutno togo telo je model koncepta klasične mehanike, ki označuje niz materialnih točk, razdalje med katerimi se ohranjajo med kakršnimi koli gibi, ki jih izvaja to telo. Z drugimi besedami, popolnoma trdno telo ne samo, da ne spremeni svoje oblike, ampak tudi ohrani porazdelitev mase znotraj nespremenjeno.
Popolnoma togo telo - mehanski sistem, ki ima samo translacijske in rotacijske prostostne stopnje. Trdota pomeni, da telesa ni mogoče deformirati, to pomeni, da se na telo ne more prenesti nobena druga energija, razen kinetična energija translacijsko ali rotacijsko gibanje.
Absolutno togo telo je telo (sistem), katerega relativni položaj katere koli točke se ne spremeni, ne glede na to, v katerih procesih sodeluje.
Tako je položaj absolutno togega telesa popolnoma določen, na primer s položajem kartezičnega koordinatnega sistema, ki je togo pritrjen nanj (običajno je njegovo izhodišče narejeno tako, da sovpada s središčem mase togega telesa).
V tridimenzionalnem prostoru in brez (drugih) povezav ima absolutno togo telo 6 prostostnih stopenj: tri translacijske in tri rotacijske. Izjema je dvoatomna molekula ali v jeziku klasične mehanike trdna palica ničelne debeline. Tak sistem ima samo dve rotacijski prostostni stopnji.
Absolutno togih teles v naravi ni, vendar v zelo veliko primerih, ko je deformacija telesa majhna in jo lahko zanemarimo, lahko pravo telo brez poseganja v problem (približno) obravnavamo kot absolutno togo telo.
V okviru relativistične mehanike je koncept absolutno togega telesa notranje protisloven, kar kaže zlasti Ehrenfestov paradoks. Z drugimi besedami, model absolutno togega telesa je na splošno popolnoma neuporaben tako za primer hitrih gibanj (po hitrosti primerljivih s svetlobno hitrostjo), kot tudi za primer zelo močnih gravitacijskih polj.

Absolutno togo telo je telo, katerega deformacije lahko v tem problemu zanemarimo in pod vsemi pogoji ostane razdalja med dvema točkama tega telesa konstantna.

Za vztrajnost teles med rotacijskim gibanjem je značilna količina, imenovana vztrajnostni moment. Vztrajnostni moment sistema (telesa) glede na dano os je fizikalna količina, ki je enaka vsoti zmnožkov mas in materialnih točk sistema s kvadratom njihovih razdalj do zadevne osi:

I=m i r i 2 (3,1)

V primeru zvezne porazdelitve mase se ta vsota zmanjša na integral:

I=∫r 2 dm (3.2), kjer se integracija izvaja po celotni prostornini.

Za homogeni trdni disk (cilinder):

I=0,5 mR 2 (3,3), če poteka vrtilna os skozi težišče (mase).

Vztrajnostni moment okoli poljubne osi je določen s Steinerjevim izrekom:

I=I c +ma 2 (3.4), kjer je a razdalja med osema.

Sposobnost sile, da vrti telo, je označena s fizikalno količino, imenovano moment sile:

O – vrtilna os
l – roka sile
α – kot med vektorjem F in radijskim vektorjem r

Modul momenta sile: M=F r sinα=F l (3.6)

r sinα - najkrajša razdalja med premico delovanja sile in točko O je rama sile.

Moment sile je fizikalna količina, ki jo določa produkt sile in njenega kraka.

Po analogiji s translacijskim gibanjem lahko zapišemo enačbo za dinamiko rotacijskega gibanja:

Analog gibalne količine telesa med rotacijskim gibanjem je gibalna količina glede na os. Vektorska količina.

Momentum modul:

L=r P sinα=m υ r sinα=Pl (3.9)
L z =I ω (3.10)

(3.12)

dL z /dt=M z (3.13)

Ta izraz je druga oblika enačbe za dinamiko rotacijskega gibanja togega telesa glede na fiksno os: odvod vrtilne količine glede na os je enak momentu sile glede na isto os. Lahko se pokaže, da obstaja vektorska enakost:

V zaprtem sistemu je moment zunanjih sil M=0; dL/dt=0, od koder L=const (3.15) predstavlja zakon o ohranitvi vrtilne količine: vrtilna količina zaprtozančnega sistema se ohrani, tj. se s časom ne spremeni. Zakon o ohranitvi gibalne količine je temeljni zakon narave. Povezan je z lastnostjo simetrije prostora - njegovo izotropnostjo, tj. invariantnost fizikalnih zakonov glede na izbiro smeri koordinatnih osi referenčnega sistema (glede na vrtenje zaprtega sistema v prostoru pod katerimkoli kotom).

Rotacijsko delovanje:

dA=M z dφ (3.16)

Kinetična energija:

T=Iω 2 /2 (3,17)

Celotna energija sistema, ki se translacijsko premika in vrti, je enaka:

E=+ (3,18)

Lahko naredite tabelo, podobno dinamiki translacijskega in rotacijskega gibanja.