Izpeljava 2 4. Kako najdemo izpeljanko? Primeri rešitev

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije (x na potenco a). Upoštevani so izpeljanke iz korenin x. Formula za odvod potenčne funkcije višjega reda. Primeri računanja derivatov.

Vsebina

Glej tudi: Potenčna funkcija in koreni, formule in graf
Grafi funkcij moči

Osnovne formule

Odvod x na potenco a je enak a krat x na potenco minus ena:
(1) .

Odvod n-tega korena iz x na m-to potenco je:
(2) .

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije

Primer x > 0

Razmislite o potenčni funkciji spremenljivke x z eksponentom a:
(3) .
Tukaj je a poljubno realno število. Najprej razmislimo o primeru.

Za iskanje odvoda funkcije (3) uporabimo lastnosti potenčne funkcije in jo pretvorimo v naslednjo obliko:
.

Zdaj najdemo izpeljanko z:
;
.
Tukaj.

Formula (1) je dokazana.

Izpeljava formule za odvod korena stopnje n iz x na stopnjo m

Zdaj razmislite o funkciji, ki je koren naslednje oblike:
(4) .

Da bi našli izpeljanko, transformiramo koren v potenčno funkcijo:
.
Če primerjamo s formulo (3), vidimo, da
.
Potem
.

S formulo (1) najdemo odvod:
(1) ;
;
(2) .

V praksi ni treba zapomniti formule (2). Veliko bolj priročno je najprej preoblikovati korene v potenčne funkcije in nato poiskati njihove odvode s formulo (1) (glej primere na koncu strani).

Primer x = 0

Če je , potem je potenčna funkcija definirana za vrednost spremenljivke x = 0 . 0 Poiščimo odvod funkcije (3) pri x =
.

. 0 :
.
Za to uporabimo definicijo derivata:

Zamenjajmo x =
.
V tem primeru z odvodom mislimo na desno mejo, za katero .
Tako smo ugotovili:
Tako smo ugotovili:
Iz tega je jasno, da za , .
(1) .
Ob , . 0 .

Ta rezultat dobimo tudi iz formule (1):< 0

Zato velja formula (1) tudi za x =
(3) .
Primer x Ponovno razmislite o funkciji (3): Za določene vrednosti konstante a je definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x.
,
Namreč, naj bo

racionalno število 3 . Potem ga lahko predstavimo kot nezmanjšani ulomek: 1 kjer sta m in n celi števili, ki nimata skupnega delitelja.
.
Če je n liho, potem je funkcija moči definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x.

Poiščimo odvod potenčne funkcije (3) za in za racionalne vrednosti konstante a, za katero je definirana. Če želite to narediti, si predstavljajte x v naslednji obliki:
.
potem,
.
Odvod najdemo tako, da postavimo konstanto izven predznaka odvoda in uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

.
Tukaj. Ampak
.
Od takrat
.
Potem
.
To pomeni, da formula (1) velja tudi za:
(1) .

Izpeljanke višjega reda

Zdaj pa poiščimo odvode višjega reda potenčne funkcije
(3) .
Izpeljanko prvega reda smo že našli:
.

Če vzamemo konstanto a zunaj predznaka odvoda, najdemo odvod drugega reda:
.
Podobno najdemo izpeljanke tretjega in četrtega reda:
;

.

Iz tega je razvidno, da derivat poljubnega n-tega reda ima naslednjo obliko:
.

Upoštevajte to če a je naravno število , potem je n-ti derivat konstanten:
.
Potem so vsi naslednji derivati ​​enaki nič:
,
ob .

Primeri računanja derivatov

Primer

Poiščite odvod funkcije:
.

Pretvorimo korene v potence:
;
.
Potem ima izvirna funkcija obliko:
.

Iskanje derivatov potenc:
;
.
Odvod konstante je nič:
.

Izpeljanka

Izračun odvoda matematične funkcije (diferenciacija) je zelo pogost problem pri reševanju višje matematike. Za preproste (elementarne) matematične funkcije je to dokaj preprosta zadeva, saj so tabele odvodov za elementarne funkcije že dolgo sestavljene in lahko dostopne. Vendar pa iskanje odvoda kompleksne matematične funkcije ni nepomembna naloga in pogosto zahteva veliko truda in časa.

Poiščite izpeljanko na spletu

Naša spletna storitev vam omogoča, da se znebite nesmiselnih dolgih izračunov in poiščite izpeljanko na spletu v enem trenutku. Poleg tega z uporabo naše storitve, ki se nahaja na spletnem mestu www.stran, lahko izračunate spletna izpeljanka tako iz elementarne funkcije kot iz zelo kompleksne, ki nima analitične rešitve. Glavne prednosti našega spletnega mesta v primerjavi z drugimi so: 1) ni strogih zahtev za način vnosa matematične funkcije za izračun odvoda (npr. pri vnosu funkcije sinus x jo lahko vnesete kot sin x ali sin (x) ali sin[x] itd. d.); 2) spletni izračun izvedenih finančnih instrumentov se izvede takoj v na spletu in absolutno brezplačno; 3) omogočamo iskanje odvoda funkcije poljubno naročilo, spreminjanje vrstnega reda izpeljanke je zelo enostavno in razumljivo; 4) omogočamo vam, da na spletu najdete izpeljanko skoraj katere koli matematične funkcije, tudi zelo zapletene, ki je ni mogoče rešiti z drugimi storitvami. Podan odgovor je vedno točen in ne more vsebovati napak.

Uporaba našega strežnika vam bo omogočila, da 1) izračunate izpeljanko na spletu za vas, s čimer odpravite zamudne in dolgočasne izračune, med katerimi bi lahko naredili napako ali tipkarsko napako; 2) če sami izračunate odvod matematične funkcije, potem vam nudimo možnost, da dobljeni rezultat primerjate z izračuni naše storitve in se prepričate, da je rešitev pravilna ali poiščete napako, ki se je prikradla; 3) uporabite našo storitev namesto uporabe tabel izpeljank enostavnih funkcij, kjer je pogosto potreben čas, da najdete želeno funkcijo.

Vse kar morate storiti je poiščite izpeljanko na spletu- je uporaba naše storitve naprej

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, poglejmo takoj inverzna funkcija. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? seveda

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Razstavljavec in naravni logaritem- funkcije so edinstveno preproste v smislu derivatov. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo pregledali pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov termin, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo to. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (izpeljanka je v vseh točkah enaka, saj to linearna funkcija, se spomniš?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Je uspelo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni več mogoče zapisati v preprosti obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega napisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Odvodi eksponentnih in logaritemske funkcije se skoraj nikoli ne pojavijo na enotnem državnem izpitu, vendar ne bi škodilo, če bi jih poznali.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj se je zgodilo" kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Z lahkoto lahko naredimo iste korake v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Dokaz in izpeljava formul za odvod eksponente (e na x potenco) in eksponentne funkcije (a na x potenco). Primeri izračunavanja odvodov e^2x, e^3x in e^nx. Formule za odvode višjih redov.

Vsebina

Glej tudi: Eksponentna funkcija - lastnosti, formule, graf
Eksponent, e na potenco x - lastnosti, formule, graf

Osnovne formule

Odvod eksponenta je enak eksponentu samemu (odvod e na potenco x je enak e na potenco x):
(1) (e x )′ = e x.

Odvod eksponentne funkcije z osnovo a je enak sami funkciji, pomnoženi z naravnim logaritmom a:
(2) .

Eksponent je eksponentna funkcija, katere osnova je enaka številu e, kar je naslednja meja:
.
Tu je lahko naravno število ali realno število. Nato izpeljemo formulo (1) za odvod eksponente.

Izpeljava formule eksponentnega odvoda

Upoštevajte eksponent, e na potenco x:
y = e x.
Ta funkcija je definirana za vse.
(3) .

Transformirajmo ta izraz, da ga zmanjšamo na znane matematične lastnosti in pravila. Za to potrebujemo naslednja dejstva:
A) Lastnost eksponenta:
(4) ;
B) Lastnost logaritma:
(5) ;
IN) Zveznost logaritma in lastnost limitov za zvezno funkcijo:
(6) .
Tukaj je funkcija, ki ima limit in ta limit je pozitiven.
G) Pomen druge izjemne meje:
(7) .

Uporabimo ta dejstva za našo mejo (3). Uporabljamo lastnost (4):
;
.

Naredimo zamenjavo.
Potem ; .
.
Zaradi kontinuitete eksponente,
.

Torej, ko ,.
.

Kot rezultat dobimo:
Naredimo zamenjavo.
.

Potem. Ob , . In imamo:
.
Uporabimo lastnost logaritma (5): . Potem
.

Uporabimo lastnost (6). Ker obstaja pozitivna meja in je logaritem zvezen, potem:

Tu smo uporabili tudi drugo

izjemna meja
(8)
(7). Potem

Tako smo dobili formulo (1) za odvod eksponente.
;
.
Izpeljava formule za odvod eksponentne funkcije
.

Sedaj izpeljemo formulo (2) za odvod eksponentne funkcije z bazo stopnje a.

Verjamemo, da in.
(14) .
(1) .

Nato eksponentna funkcija
;
.

Določeno za vse.
.

Transformirajmo formulo (8). Za to bomo uporabili lastnosti eksponentne funkcije in logaritma.

Tako smo formulo (8) pretvorili v naslednjo obliko:
.
Odvodi višjega reda e na potenco x
(15) .

Zdaj pa poiščimo derivate višjih stopenj. Najprej poglejmo eksponent:
;
.

Vidimo, da je odvod funkcije (14) enak sami funkciji (14). Z razlikovanjem (1) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
.

To kaže, da je tudi odvod n-tega reda enak izvirni funkciji:

Odvodi višjih redov eksponentne funkcije Zdaj razmislite o eksponentni funkciji z osnovo stopnje a: Našli smo njegovo izpeljanko prvega reda: Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda::

Vidimo, da vsaka diferenciacija vodi do množenja prvotne funkcije z . Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + (2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: Glej tudi: Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: l Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: na prirastek argumenta Δ

Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To so razmeroma preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in tabelarizirane. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.

Izvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati ​​​​elementarnih funkcij:

Ime	funkcija	Izpeljanka
Konstanta	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = C, C ∈ R	0 (ja, nič!)
Potenca z racionalnim eksponentom	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: n	n · Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: n − 1
Sinus	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
Kosinus	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	− greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:(minus sinus)
Tangenta	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = tg Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	1/cos 2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
Kotangens	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = ctg Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	− 1/greh 2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
Naravni logaritem	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = dnevnik Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	1/Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
Poljubni logaritem	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = dnevnik a Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	1/(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: ln a)
Eksponentna funkcija	Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:	Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:(nič se ni spremenilo)

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:)’ = C · Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3)' = 2 · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3)' = 2 3 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 = 6Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 .

Očitno je mogoče elementarne funkcije med seboj dodajati, množiti, deliti - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ne več posebej elementarne, temveč tudi diferencirane po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj bodo funkcije podane Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) In g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

1. (Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: + g)’ = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’ + g ’
2. (Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: − g)’ = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: + g + h)’ = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: − g lahko prepišemo kot vsoto Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:+ (−1) g, in potem ostane samo ena formula - odvod vsote.

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + sin x; g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 4 + 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 − 3.

funkcija Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2)’ + (greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ cos x;

Podobno sklepamo za funkcijo g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 4 + 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 − 3)’ = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 4 + 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + (−3))’ = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 4)’ + (2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2)’ + (−3)’ = 4Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3 + 4Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 0 = 4Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 1).

odgovor:
Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ cos x;
g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = 4Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:

(Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: · g) ’ = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’ · g + Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: · g ’

Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3 cos x; g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: .

funkcija Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3 cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3)' cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3 (cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = 3Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 3 (− greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 (3 cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: − Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)

funkcija g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:

g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = ((Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7)' · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7) ( Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = (2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 7) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:· (2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 7 + Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 7Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: −7) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 9Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 9) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: .

odgovor:
Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 (3 cos Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: − Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:);
g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 9) · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.

Če obstajata dve funkciji Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) In g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:), in g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)/g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In tako! To je ena najbolj zapletenih formul - ne morete je ugotoviti brez steklenice. Zato ga je bolje preučiti s posebnimi primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

V skladu s tradicijo faktorizirajmo števec - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = greh Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: in zamenjajte spremenljivko Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:, recimo, na Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:. Se bo izšlo Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = greh ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kaj naj storim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(t) · t', če Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: se nadomesti z t(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:).

Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato je tudi bolje razložiti s konkretnimi primeri, s podroben opis vsak korak.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 3 ; g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = greh ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)

Upoštevajte, da če je v funkciji Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) namesto izraza 2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 3 bo enostavno Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:, potem dobimo elementarno funkcijo Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 3 = t, Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(t) = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(t) · t ’ = (Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ t)’ · t ’ = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ t · t ’

In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 3. Dobimo:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ t · t ’ = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 3 (2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 3)’ = Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 3 2 = 2 Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:). Očitno ga je treba zamenjati Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: = t. Imamo:

g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:. Nato:

g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = cos ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:)’ = cos ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) · (2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 1/Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:).

To je to! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote derivata.

odgovor:
Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = 2 · Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ 2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 3 ;
g ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (2Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: + 1/Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) ker ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + ln Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:).

Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, udarec vsote je enak vsoti udarcev. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:

(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: n)’ = n · Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: n − 1

Malo ljudi ve, da v vlogi n lahko tudi delno število. Na primer, koren je Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat zapletena funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo testi in izpiti.

Naloga. Poiščite odvod funkcije:

Najprej zapišimo koren kot potenco z racionalnim eksponentom:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = (Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: − 7) 0,5 .

Zdaj naredimo zamenjavo: naj Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: − 7 = t. Izpeljanko najdemo po formuli:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Naredimo obratno zamenjavo: t = Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7. Imamo:

Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko: ’(Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:) = 0,5 · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7) −0,5 · ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:− 7)’ = 0,5 · (2 Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:+ 8) ( Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: 2 + 8Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda: − 7) −0,5 .

Za konec pa nazaj h koreninam: