Poiščite hitrost točke. Trenutna hitrost gibanja

In zakaj je to potrebno? Vemo že, kaj so referenčni sistem, relativnost gibanja in materialna točka. No, čas je, da gremo naprej! Tukaj si bomo ogledali osnovne koncepte kinematike, sestavili najuporabnejše formule za osnove kinematike in podali praktičen primer reševanja problema.

Rešimo ta problem: točka se giblje v krožnici s polmerom 4 metre. Zakon njegovega gibanja je izražen z enačbo S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. V katerem trenutku je normalni pospešek točke enak 9 m/s^2? Poiščite hitrost, tangencialni in skupni pospešek točke za ta trenutek.

Rešitev: vemo, da moramo za iskanje hitrosti vzeti prvi časovni odvod zakona gibanja, normalni pospešek pa je enak kvocientu kvadrata hitrosti in polmera kroga, po katerem poteka točka. se premika. Oboroženi s tem znanjem bomo našli zahtevane količine.

Potrebujete pomoč pri reševanju težav? Strokovni študentski servis je to pripravljen zagotoviti.

1.2. Premočrtno gibanje

1.2.4. Povprečna hitrost

Materialna točka (telo) obdrži svojo hitrost nespremenjeno le pri enakomernem linearnem gibanju. Če je gibanje neenakomerno (vključno z enakomerno spremenljivim), se hitrost telesa spremeni. Za to gibanje je značilna povprečna hitrost. Razlikujemo med povprečno potovalno hitrostjo in povprečno hitrostjo po tleh.

Povprečna hitrost premikanja je vektorska fizikalna količina, ki jo določa formula

v → r = Δ r → Δ t,

kjer je Δ r → vektor premika; ∆t je časovni interval, v katerem je prišlo do tega gibanja.

Povprečna hitrost po tleh je skalarna fizikalna količina in se izračuna po formuli

v s = S skupno t skupno,

kjer je S skupaj = S 1 + S 1 + ... + S n; ttot = t 1 + t 2 + ... + t N .

Tukaj S 1 = v 1 t 1 - prvi odsek poti; v 1 - hitrost prehoda prvega odseka poti (slika 1.18); t 1 - čas gibanja na prvem odseku poti itd.

riž. 1.18

Primer 7. Eno četrtino poti se avtobus premika s hitrostjo 36 km/h, drugo četrtino poti - 54 km/h, preostalo pot - s hitrostjo 72 km/h. Izračunajte povprečno hitrost avtobusa po tleh.

rešitev. Označimo celotno pot, ki jo prevozi avtobus, kot S:

Skupaj = S.

S 1 = S /4 - pot, ki jo prevozi avtobus na prvem odseku,

S 2 = S /4 - pot, ki jo prevozi avtobus na drugem odseku,

S 3 = S /2 - pot, ki jo prevozi avtobus v tretjem odseku.

Čas potovanja z avtobusom se določi po formulah:

• v prvem delu (S 1 = S /4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1;

• v drugem delu (S 2 = S /4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2;

• v tretjem delu (S 3 = S / 2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .

Skupni čas potovanja avtobusa je:

t skupno = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S skupno t skupno = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 km/h.

Primer 8. Mestni avtobus se petino časa ustavi, preostali čas se giblje s hitrostjo 36 km/h. Določite povprečno hitrost avtobusa po tleh.

rešitev. Skupni potovalni čas avtobusa na progi označimo s t:

ttot = t.

t 1 = t /5 - čas ustavljanja,

t 2 = 4t /5 - čas vožnje avtobusa.

Razdalja, ki jo prevozi avtobus:

• v času t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

ker je hitrost vodila v 1 v danem časovnem intervalu enaka nič (v 1 = 0);

• v času t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,

  kjer je v 2 hitrost avtobusa v danem časovnem intervalu (v 2 = 36 km/h).

Splošna pot avtobusa je:

S skupno = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

Povprečno hitrost avtobusa po tleh bomo izračunali po formuli

v s = S skupaj t skupaj = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Izračun poda vrednost povprečne hitrosti tal:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 km/h.

Primer 9. Enačba gibanja materialne točke ima obliko x (t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) m, kjer je koordinata podana v metrih, čas v sekundah. Določite povprečno hitrost pri tleh in povprečno hitrost gibanja materialne točke v prvih treh sekundah gibanja.

rešitev. Za določitev povprečna hitrost premikanja je treba izračunati gibanje materialne točke. Modul gibanja materialne točke v časovnem intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s bomo izračunali kot razliko koordinat:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,

Zamenjava vrednosti v formulo za izračun modula premika daje:

| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 m.

Tako je premik materialne točke enak nič. Zato je tudi modul povprečne hitrosti gibanja enak nič:

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 m/s.

Za določitev povprečna hitrost po tleh izračunati morate pot, ki jo materialna točka prevozi v časovnem intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Gibanje točke je enakomerno počasno, zato je treba ugotoviti, ali se točka ustavitve nahaja v določenem intervalu.

Za to zapišemo zakon spreminjanja hitrosti materialne točke skozi čas v obliki:

v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,

kjer je v 0 x = −6,0 m/s projekcija začetne hitrosti na os Ox; a x = = 4,0 m/s 2 - projekcija pospeška na navedeno os.

Poiščimo točko ustavitve iz pogoja

v (τ počitek) = 0,

tiste.

τ počitek = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 s.

Točka ustavitve se nahaja v časovnem intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 3,0 s. Tako izračunamo prevoženo razdaljo po formuli

S = S 1 + S 2,

kjer je S 1 = | x (τ počitek) − x (t 1) | - pot, ki jo materialna točka prevozi do postanka, tj. v času od t 1 = 0 s do τ mirovanja = 1,5 s; S 2 = | x (t 2) − x (τ počitek) | - pot, ki jo materialna točka prevozi po ustavitvi, tj. v času od τ mirovanja = 1,5 s do t 1 = 3,0 s.

Izračunajmo vrednosti koordinat v določenih časih:

x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 m;

x (τ mirovanje) = 9,0 − 6,0 τ mirovanje + 2,0 τ mirovanje 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 m ;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 m .

Vrednosti koordinat vam omogočajo izračun poti S 1 in S 2:

S 1 = | x (τ počitek) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 m;

S 2 = | x (t 2) − x (τ počitek) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 m,

kot tudi skupno prevoženo razdaljo:

S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 m.

Posledično je želena vrednost povprečne hitrosti materialne točke enaka

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 m/s.

Primer 10. Graf projekcije hitrosti materialne točke v odvisnosti od časa je ravna črta in poteka skozi točki (0; 8.0) in (12; 0), kjer je hitrost podana v metrih na sekundo, čas v sekund. Kolikokrat povprečna hitrost tal za 16 sekund gibanja presega povprečno hitrost gibanja za isti čas?

rešitev. Graf projekcije hitrosti telesa v odvisnosti od časa je prikazan na sliki.

Za grafični izračun poti, ki jo prepotuje materialna točka, in modula njenega gibanja je treba določiti vrednost projekcije hitrosti v času, ki je enak 16 s.

Obstajata dva načina za določitev vrednosti v x v določenem trenutku: analitično (z enačbo ravne črte) in grafično (s podobnostjo trikotnikov). Za iskanje v x uporabimo prvo metodo in sestavimo enačbo ravne črte z uporabo dveh točk:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,

kjer (t 1 ; v x 1) - koordinate prve točke; (t 2 ; v x 2) - koordinate druge točke. Glede na pogoje problema: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. Ob upoštevanju določenih koordinatnih vrednosti ima ta enačba obliko:

t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,

v x = 8,0 − 2 3 t .

Pri t = 16 s je vrednost projekcije hitrosti

| v x | = 8 3 m/s.

To vrednost lahko dobimo tudi iz podobnosti trikotnikov.

• Izračunajmo pot, ki jo prepotuje materialna točka, kot vsoto vrednosti S 1 in S 2:

  S = S 1 + S 2,

  kjer je S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 m - pot, ki jo materialna točka prepotuje v časovnem intervalu od 0 s do 12 s; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 m - pot, ki jo materialna točka prehodi v časovnem intervalu od 12 s do 16 s.

Skupna prevožena razdalja je

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 m.

Povprečna talna hitrost materialne točke je enaka

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.

• Izračunajmo vrednost gibanja materialne točke kot modul razlike med vrednostma S 1 in S 2:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 m.

Povprečna hitrost gibanja je

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.

Zahtevano razmerje hitrosti je

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.

Povprečna talna hitrost materialne točke je 1,25-krat večja od modula povprečne hitrosti gibanja.

Če se materialna točka giblje, se njene koordinate spremenijo. Ta proces se lahko zgodi hitro ali počasi.

Definicija 1

Količina, ki označuje hitrost spremembe koordinatnega položaja, se imenuje hitrost.

Definicija 2

Povprečna hitrost– to je vektorska količina, številčno enaka pomiku na časovno enoto in sosmerna z vektorjem pomika υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r.

Slika 1. Povprečna hitrost je sosmerna z gibanjem

Velikost povprečne hitrosti na poti je enaka υ = S ∆ t.

Trenutna hitrost označuje gibanje v določenem trenutku. Izraz "telesna hitrost v določenem času" velja za nepravilnega, vendar uporabnega v matematičnih izračunih.

Definicija 3

Trenutna hitrost je meja, h kateri teži povprečna hitrost υ, ko se časovni interval ∆ t nagiba k 0:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙.

Smer vektorja υ je tangentna na krivuljično trajektorijo, ker infinitezimalni premik d r sovpada z infinitezimalnim elementom trajektorije d s.

Slika 2. Vektor trenutne hitrosti υ

Obstoječi izraz υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ v kartezičnih koordinatah je identičen spodnjim predlaganim enačbam:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙.

Modul vektorja υ bo imel obliko:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Za prehod iz kartezičnih pravokotnih koordinat v krivokotne se uporabljajo pravila za razlikovanje kompleksnih funkcij. Če je vektor polmera r funkcija krivuljnih koordinat r = r q 1, q 2, q 3, bo vrednost hitrosti zapisana kot:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Slika 3. Premik in trenutna hitrost v krivočrtnih koordinatnih sistemih

Za sferične koordinate predpostavimo, da je q 1 = r; q 2 = φ; q 3 = θ, potem dobimo υ, predstavljen v tej obliki:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ, kjer je υ r = r ˙; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Definicija 4

Takojšnja hitrost imenujemo vrednost odvoda funkcije premika v času v danem trenutku, povezanega z elementarnim premikom z razmerjem d r = υ (t) d t

Primer 1

Podan je zakon premokotnega gibanja točke x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8. Določite njegovo trenutno hitrost 10 sekund po začetku gibanja.

rešitev

Trenutna hitrost se običajno imenuje prvi odvod vektorja radija glede na čas. Nato bo njegov vnos videti takole:

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t - 2 ; υ (10) = 0 . 3 × 10 - 2 = 1 m/s.

Odgovori hitrost: 1 m/s.

Primer 2

Gibanje materialne točke je podano z enačbo x = 4 t - 0,05 t 2. Izračunajte čas t o с t, ko se točka neha premikati, in njeno povprečno hitrost υ.

rešitev

Izračunajmo enačbo za trenutno hitrost in nadomestimo številske izraze:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0, 1 t.

4 - 0, 1 t = 0; t o s t = 40 s; υ 0 = υ (0) = 4 ; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0,1 m/s.

odgovor: nastavljena točka se bo ustavila po 40 sekundah; povprečna vrednost hitrosti je 0,1 m/s.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Mehansko gibanje se imenuje časovna sprememba položaja točk in teles v prostoru glede na katero koli glavno telo, na katerega je vezan referenčni sistem. Kinematika proučuje mehansko gibanje točk in teles, ne glede na sile, ki ta gibanja povzročajo. Vsako gibanje, tako kot mirovanje, je relativno in odvisno od izbire referenčnega sistema.

Pot točke je zvezna črta, ki jo opisuje premikajoča se točka. Če je trajektorija ravna črta, se gibanje točke imenuje premočrtno, če pa je krivulja, se imenuje krivočrtno. Če je trajektorija ravna, se gibanje točke imenuje ravno.

Gibanje točke ali telesa je dano ali znano, če je za vsak trenutek časa (t) mogoče navesti položaj točke ali telesa glede na izbrani koordinatni sistem.

Položaj točke v prostoru je določen z nalogo:

a) trajektorije točk;

b) začetek O 1 odčitavanja razdalje vzdolž trajektorije (slika 11): s = O 1 M - krivočrtna koordinata točke M;

c) smer pozitivnega števila razdalj s;

d) enačba ali zakon gibanja točke po trajektoriji: S = s(t)

Hitrost točke.Če točka prepotuje enake razdalje v enakih časovnih obdobjih, se njeno gibanje imenuje enakomerno. Hitrost enakomernega gibanja se meri z razmerjem med potjo z, ki jo točka opravi v določenem časovnem obdobju, in vrednostjo tega časovnega obdobja: v = s/1. Če točka v enakih časovnih obdobjih prepotuje neenake poti, se njeno gibanje imenuje neenakomerno. Hitrost je tudi v tem primeru spremenljiva in je funkcija časa: v = v(t). Oglejmo si točko A, ki se giblje po dani trajektoriji po določenem zakonu s = s(t) (slika 12):

V določenem času t t se je premaknil v položaj A 1 vzdolž loka AA. Če je časovno obdobje Δt majhno, lahko lok AA 1 zamenjamo s tetivo in kot prvi približek poiščemo povprečno hitrost točke v cp = Ds/Dt. Povprečna hitrost je usmerjena vzdolž tetive od točke A do točke A 1.

Prava hitrost točke je usmerjena tangencialno na trajektorijo, njena algebraična vrednost pa je določena s prvim odvodom poti glede na čas:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Dimenzija hitrosti točke: (v) = dolžina/čas, na primer m/s. Če se točka premika v smeri naraščajoče krivulje koordinate s, potem je ds > 0 in torej v > 0, drugače je ds< 0 и v < 0.

Točkovni pospešek. Sprememba hitrosti na časovno enoto je določena s pospeškom. Oglejmo si gibanje točke A vzdolž krivulje trajektorije v času Δt iz položaja A v položaj A 1 . V položaju A je imela točka hitrost v, v položaju A 1 pa hitrost v 1 (slika 13). tiste. hitrost točke se je spremenila v velikosti in smeri. Geometrično razliko hitrosti Δv poiščemo tako, da iz točke A sestavimo vektor v 1 .

Pospešek točke je vektor “, ki je enak prvemu odvodu vektorja hitrosti točke glede na čas:

Najdeni vektor pospeška a je mogoče razstaviti na dve med seboj pravokotni komponenti, vendar tangentni in normalni na tirnico gibanja. Tangencialni pospešek a 1 sovpada po smeri s hitrostjo med pospešenim gibanjem ali pa ji je nasproten pri nadomeščenem gibanju. Označuje spremembo hitrosti in je enak odvodu hitrosti glede na čas

Vektor normalnega pospeška a je usmerjen vzdolž normale (pravokotno) na krivuljo proti konkavnosti trajektorije, njegov modul pa je enak razmerju kvadrata hitrosti točke proti polmeru ukrivljenosti trajektorije na zadevna točka.

Normalni pospešek označuje spremembo hitrosti vzdolž
smer.

Skupna vrednost pospeška: , m/s 2

Vrste gibanja točke glede na pospešek.

Enakomerno linearno gibanje(gibanje po vztrajnosti) je značilno, da je hitrost gibanja konstantna, polmer ukrivljenosti trajektorije pa je enak neskončnosti.

To pomeni, da je r = ¥, v = const, potem ; in zato. Torej, ko se točka premika po vztrajnosti, je njen pospešek enak nič.

Premočrtno neenakomerno gibanje. Polmer ukrivljenosti trajektorije je r = ¥ in n = 0, zato je a = a t in a = a t = dv/dt.

Metode za določanje gibanja točke.

Gibanje nastavljene točke - to pomeni označevanje pravila, s katerim lahko v katerem koli trenutku določimo njegov položaj v danem referenčnem okviru.

Matematični izraz za to pravilo se imenuje zakon gibanja , oz enačba gibanja točke.

Gibanje točke lahko določite na tri načine:

vektor;

koordinirati;

naravno.

Za nastavite gibanje na vektorski način, potrebno je:

à izberite fiksno središče;

à določi položaj točke z radij vektorjem, ki se začne v mirujočem središču in konča v gibljivi točki M;

à definirajte ta radijski vektor kot funkcijo časa t: .

Izraz

klical vektorski zakon gibanja pike, oz vektorska enačba gibanja.

!! Vektor polmera – to je razdalja (vektorski modul) + smer od središča O do točke M, ki jo lahko določimo na različne načine, na primer s koti z danimi smermi.

Za nastavitev gibanja koordinatna metoda , potrebno je:

à izberite in določite koordinatni sistem (poljubni: kartezični, polarni, sferični, cilindrični itd.);

à določi položaj točke z ustreznimi koordinatami;

à nastavite te koordinate kot funkcijo časa t.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je torej treba navesti funkcije

V polarnem koordinatnem sistemu je treba polmer in polarni kot definirati kot funkciji časa:

V splošnem velja, da je treba pri koordinatnem načinu podajanja tiste koordinate, s katerimi se določi trenutni položaj točke, podati v odvisnosti od časa.

Da lahko nastavimo gibanje točke na naraven način, to moraš vedeti trajektorija . Zapišimo definicijo trajektorije točke.

Trajektorija točke se imenujejo niz njegovih položajev v katerem koli časovnem obdobju(običajno od 0 do +¥).

V primeru kolesa, ki se kotali po cesti, je trajektorija točke 1 cikloid in 2. točka – ruleta; v referenčnem sistemu, povezanem s središčem kolesa, sta tirnici obeh točk krog.

Za nastavitev gibanja točke na naraven način potrebujete:

à poznati trajektorijo točke;

à na trajektoriji izberite izhodišče in pozitivno smer;

à določi trenutni položaj točke z dolžino loka trajektorije od izhodišča do tega trenutnega položaja;

à navedite to dolžino kot funkcijo časa.

Izraz, ki definira zgornjo funkcijo, je

klical zakon gibanja točke po trajektoriji, oz naravna enačba gibanja točke.

Odvisno od vrste funkcije (4) se lahko točka po trajektoriji giblje na različne načine.

3. Trajektorija točke in njena definicija.

Opredelitev pojma "trajektorija točke" je bila podana prej v vprašanju 2. Razmislimo o vprašanju določanja trajektorije točke za različne metode določanja gibanja.

Naravna pot: Pot mora biti dana, zato je ni treba najti.

Vektorska metoda: morate iti na koordinatno metodo glede na enakosti

Koordinatna metoda: potrebno je iz enačb gibanja (2) ali (3) izločiti čas t.

Koordinatne enačbe gibanja določajo trajektorijo parametrično, skozi parameter t (čas). Da bi dobili eksplicitno enačbo za krivuljo, je treba parameter izključiti iz enačb.

Po izločitvi časa iz enačb (2) dobimo dve enačbi valjastih površin, na primer v obliki

Presek teh površin bo tirnica točke.

Ko se točka premakne vzdolž ravnine, postane problem enostavnejši: po izločitvi časa iz obeh enačb

Enačba trajektorije bo pridobljena v eni od naslednjih oblik:

Ko bo , bo torej tirnica točke desna veja parabole:

Iz enačb gibanja sledi, da

zato bo tirnica točke del parabole, ki se nahaja v desni polravnini:

Potem dobimo

Ker bo celotna elipsa tirnica točke.

pri središče elipse bo v izhodišču O; pri dobimo krog; parameter k ne vpliva na obliko elipse, od njega je odvisna hitrost gibanja točke po elipsi. Če v enačbah zamenjate cos in sin, se tirnica ne bo spremenila (ista elipsa), spremenila pa se bo začetni položaj točke in smer gibanja.

Hitrost točke označuje "hitrost" spremembe njenega položaja. Formalno: hitrost – gibanje točke na časovno enoto.

Natančna definicija.

Potem Odnos