Formulirajte osnovne lastnosti integralov. Najenostavnejše lastnosti integralov

angleščina: Wikipedia naredi spletno stran bolj varno. Uporabljate star spletni brskalnik, ki se v prihodnje ne bo mogel povezati z Wikipedijo. Posodobite svojo napravo ali se obrnite na skrbnika IT.

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

španščina: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ???するか情報は以下に英語で提供しています。

nemščina: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italijansko: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Ostani pri uporabi spletnega brskalnika, saj se ne boš povezal v grado di connettersi z Wikipedijo v prihodnosti. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

madžarščina: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Updatera din enhet ali contacta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Odstranjujemo podporo za nezaščitene različice protokola TLS, zlasti TLSv1.0 in TLSv1.1, ki ju programska oprema vašega brskalnika uporablja za povezavo z našimi spletnimi mesti. To običajno povzročijo zastareli brskalniki ali starejši pametni telefoni Android. Ali pa je to lahko motnja poslovne ali osebne programske opreme "Web Security", ki dejansko zmanjša varnost povezave.

Za dostop do naših spletnih mest morate nadgraditi svoj spletni brskalnik ali drugače odpraviti to težavo. To sporočilo bo ostalo do 1. januarja 2020. Po tem datumu vaš brskalnik ne bo mogel vzpostaviti povezave z našimi strežniki.

V tem članku bomo našteli glavne lastnosti določen integral. Večina teh lastnosti je dokazanih na podlagi konceptov Riemannovega in Darbouxovega določenega integrala.

Izračun določenega integrala se zelo pogosto izvede z uporabo prvih petih lastnosti, zato se bomo po potrebi sklicevali nanje. Preostale lastnosti določenega integrala se uporabljajo predvsem za vrednotenje različnih izrazov.

Preden gremo naprej osnovne lastnosti določenega integrala, se dogovorimo, da a ne presega b.

Za funkcijo y = f(x), definirano pri x = a, enakost velja.

To pomeni, da je vrednost določenega integrala z enakimi mejami integracije enaka nič. Ta lastnost je posledica definicije Riemannovega integrala, saj je v tem primeru vsaka integralna vsota za poljubno razdelitev intervala in poljubno izbiro točk enaka nič, saj je torej limita integralnih vsot nič.

Za funkcijo, ki jo je mogoče integrirati na intervalu, .

Z drugimi besedami, ko zgornja in spodnja meja integracije zamenjata mesti, se vrednost določenega integrala spremeni v nasprotno. Ta lastnost določenega integrala izhaja tudi iz koncepta Riemannovega integrala, le da se mora oštevilčenje razdelka segmenta začeti od točke x = b.

za funkcije, integrabilne na intervalu y = f(x) in y = g(x) .

Dokaz.

Zapišimo integralno vsoto funkcije za dano razdelitev segmenta in dano izbiro točk:

kjer sta in sta integralni vsoti funkcij y = f(x) oziroma y = g(x) za dano particijo segmenta.

Gremo do meje pri dobimo, da je po definiciji Riemannovega integrala enakovredna trditvi dokazane lastnosti.

Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka določenega integrala. To pomeni, da za funkcijo y = f(x), ki je integrabilna na intervalu in poljubnem številu k, velja naslednja enakost: .

Dokaz te lastnosti določenega integrala je popolnoma podoben prejšnjemu:

Naj bo funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu X in in potem .

Ta lastnost velja za oba, in ali.

Dokaz lahko izvedemo na podlagi prejšnjih lastnosti določenega integrala.

Če je funkcija integrabilna na intervalu, potem je integrabilna na katerem koli internem intervalu.

Dokaz temelji na lastnosti Darbouxovih vsot: če se obstoječi particiji segmenta dodajo nove točke, se spodnja Darbouxova vsota ne bo zmanjšala, zgornja pa ne bo povečala.

Če je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu in za poljubno vrednost argumenta, potem .

Ta lastnost je dokazana z definicijo Riemannovega integrala: vsaka integralna vsota za katero koli izbiro razdelitvenih točk segmenta in točk pri bo nenegativna (ne pozitivna).

Posledica.

Za funkciji y = f(x) in y = g(x), ki sta integrabilni na intervalu, veljajo naslednje neenakosti:

Ta izjava pomeni, da je integracija neenakosti dopustna. To posledico bomo uporabili za dokazovanje naslednjih lastnosti.

Naj bo funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu , potem neenakost velja .

Dokaz.

To je očitno . V prejšnji lastnosti smo ugotovili, da je neenakost mogoče integrirati člen za členom, torej drži . To dvojno neenakost lahko zapišemo kot .

Naj sta funkciji y = f(x) in y = g(x) integrabilni na intervalu in za poljubno vrednost argumenta, potem , Kje in .

Dokaz poteka podobno. Ker sta m in M najmanjša in najvišjo vrednost funkcijo y = f(x) na segmentu , potem . Množenje dvojne neenakosti z nenegativno funkcijo y = g(x) nas pripelje do naslednje dvojne neenakosti. Če ga integriramo na interval , pridemo do dokazane izjave.

Te lastnosti se uporabljajo za pretvorbo integrala z namenom redukcije na enega izmed elementarnih integralov in nadaljnje računanje.

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu:

2. Diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu:

3. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti te funkcije in poljubne konstante:

4. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

Poleg tega je a ≠ 0

5. Integral vsote (razlike) je enak vsoti (razliki) integralov:

6. Lastnost je kombinacija lastnosti 4 in 5:

Še več, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Lastnost invariantnosti nedoločenega integrala:

Če, potem

8. Lastnina:

Če, potem

Pravzaprav to lastnino predstavlja poseben primer integracije z uporabo metode spreminjanja spremenljivke, ki je podrobneje obravnavana v naslednjem razdelku.

Poglejmo primer:

Najprej smo uporabili lastnost 5, nato lastnost 4, nato smo uporabili tabelo protiodpeljav in dobili rezultat.

Algoritem našega spletnega integralnega kalkulatorja podpira vse zgoraj navedene lastnosti in bo zlahka našel podrobno rešitev za vaš integral.

Protiodvod in nedoločen integral.

Protiodvod funkcije f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x), taka da enakost velja za vsak x iz danega intervala.

Če upoštevamo dejstvo, da je odvod konstante C enak nič, potem enakost velja . Tako ima funkcija f(x) niz protiodvodov F(x)+C, za poljubno konstanto C, ti protiodvodi pa se med seboj razlikujejo za poljubno konstantno vrednost.

Celotno množico antiodvodov funkcije f(x) imenujemo nedoločen integral te funkcije in ga označimo .

Izraz imenujemo integrand, f(x) pa integrand. Integrand predstavlja diferencial funkcije f(x).

Dejanje iskanja neznane funkcije glede na njen diferencial se imenuje nedoločena integracija, ker rezultat integracije ni ena funkcija F(x), temveč množica njenih protiodvodov F(x)+C.

Integrali tabele

Najenostavnejše lastnosti integralov

1. Odvod rezultata integracije je enak integrandu.

2. Nedoločeni integral diferenciala funkcije je enak vsoti same funkcije in poljubne konstante.

3. Koeficientu je mogoče vzeti predznak nedoločen integral.

4. Nedoločeni integral vsote/razlike funkcij je enak vsoti/razliki nedoločenih integralov funkcij.

Za pojasnilo so podane vmesne enakosti prve in druge lastnosti nedoločenega integrala.

Za dokaz tretje in četrte lastnosti je dovolj, da poiščemo odvode desnih strani enačb:

Ti odvodi so enaki integrandom, kar je dokaz zaradi prve lastnosti. Uporablja se tudi pri zadnjih prehodih.

Tako je integracijski problem nasproten problemu diferenciacije in med tema problemoma obstaja zelo tesna povezava:

Prva lastnost omogoča preverjanje integracije. Za preverjanje pravilnosti izvedene integracije je dovolj, da izračunamo odvod dobljenega rezultata. Če se funkcija, dobljena kot rezultat diferenciacije, izkaže za enako integrandu, bo to pomenilo, da je bila integracija izvedena pravilno;

druga lastnost nedoločenega integrala omogoča, da poiščemo njegov protiodvod iz znanega diferenciala funkcije. Na tej lastnosti temelji neposredni izračun nedoločenih integralov.

1.4. Invariantnost integracijskih oblik.

Invariantna integracija je vrsta integracije za funkcije, katerih argumenti so elementi skupine ali točke homogenega prostora (katera koli točka v takem prostoru se lahko prenese v drugo z danim dejanjem skupine).

funkcija f(x) se zmanjša na izračun integrala diferencialne oblike f.w, kjer

Eksplicitna formula za r(x) je podana spodaj. Pogodbeni pogoj ima obliko .

tukaj Tg pomeni operator premika na X z uporabo gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Naj bo X=G topologija, skupina, ki deluje nase z levimi premiki. I. in. obstaja, če in samo če je G lokalno kompakten (zlasti na neskončnodimenzionalnih skupinah I.I. ne obstaja). Za podmnožico I. in. karakteristična funkcija cA (enaka 1 na A in 0 zunaj A) podaja levo Xaar mero m(A). Odločilna lastnost te mere je njena invariantnost pri levih premikih: m(g-1A)=m(A) za vse gОG. Leva Haarova mera na skupini je enolično definirana do pozitivnega skalarnega faktorja. Če je znana Haarova mera m, potem I. in. funkcija f je podana s formulo . Prava Haarova mera ima podobne lastnosti. Obstaja zvezni homomorfizem (preslikava, ki ohranja lastnost skupine) DG skupine G v položaj skupine (glede na množenje). številke, za katere

kjer sta dmr in dmi desna in leva Haarjeva mera. Pokliče se funkcija DG(g). modul skupine G. Če , potem se imenuje skupina G. unimodularno; v tem primeru desna in leva Haarova mera sovpadata. Kompaktne, polpreproste in nilpotentne (zlasti komutativne) skupine so unimodularne. Če je G n-dimenzionalna Liejeva skupina in je q1,...,qn baza v prostoru levo invariantnih 1-form na G, potem je leva Haarova mera na G podana z n-formo. V lokalnih koordinatah za izračun

oblike qi, lahko uporabite katero koli matrično realizacijo skupine G: matrična 1-oblika g-1dg ostane invariantna in njen koeficient. so levo invariantne skalarne 1-forme, iz katerih je izbrana zahtevana baza. Na primer, popolna matrična skupina GL(n, R) je unimodularna in Haarjeva mera na njej je podana z obliko. Naj X=G/H je homogen prostor, za katerega je lokalno kompaktna skupina G transformacijska skupina, zaprta podskupina H pa stabilizator neke točke. Da na X obstaja i.i., je potrebno in zadostuje, da za vse hОH velja enakost DG(h)=DH(h). Še posebej to velja v primeru, ko je H kompakten ali polpreprost. Popolna teorija I. in. ne obstaja na neskončnodimenzionalnih mnogoterostih.

Zamenjava spremenljivk.

V diferencialnem računu je problem rešen: pod to funkcijo ƒ(x) poiščite njen odvod(ali diferencial). Integralni račun rešuje inverzni problem: poiščite funkcijo F(x), pri čemer poznate njen derivat F "(x)=ƒ(x) (ali diferencial). Iskana funkcija F(x) se imenuje antiderivacija funkcije ƒ(x ).

Pokliče se funkcija F(x). protiizpeljanka funkcijo ƒ(x) na intervalu (a; b), če za vsak x є (a; b) velja enakost

F " (x)=ƒ(x) (ali dF(x)=ƒ(x)dx).

Na primer, antiderivacija funkcije y = x 2, x є R, je funkcija, saj

Očitno bodo vse funkcije tudi antiizpeljave

kjer je C konstanta, saj

Izrek 29. 1. Če je funkcija F(x) protiodvod funkcije ƒ(x) na (a;b), potem je množica vseh protiodvodov za ƒ(x) podana s formulo F(x)+ C, kjer je C konstantno število.

▲ Funkcija F(x)+C je protiodvod ƒ(x).

Dejansko (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Naj bo F(х) nek drug antiizvod funkcije ƒ(x), drugačen od F(x), tj. Ф "(x)=ƒ(х). Potem za vsak x є (а; b) velja

In to pomeni (glej posledico 25.1), da

kjer je C konstantno število. Zato je F(x)=F(x)+С.▼

Imenuje se množica vseh antiizpeljanih funkcij F(x)+С za ƒ(x). nedoločen integral funkcije ƒ(x) in je označena s simbolom ∫ ƒ(x) dx.

Tako po definiciji

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Tu se imenuje ƒ(x). funkcija integranda, ƒ(x)dx — integrand, X - integracijska spremenljivka, ∫ -znak nedoločenega integrala.

Operacija iskanja nedoločenega integrala funkcije se imenuje integracija te funkcije.

Geometrično je nedoločen integral družina "vzporednih" krivulj y=F(x)+C (vsaka numerična vrednost C ustreza določeni krivulji družine) (glej sliko 166). Graf vsake antiizpeljave (krivulje) se imenuje integralna krivulja.

Ali ima vsaka funkcija nedoločen integral?

Obstaja izrek, ki pravi, da ima "vsaka funkcija, ki je zvezna na (a;b), antiizpeljavo na tem intervalu," in posledično nedoločen integral.

Opozorimo na številne lastnosti nedoločenega integrala, ki izhajajo iz njegove definicije.

1. Diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu, odvod nedoločenega integrala pa integrandu:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Dejansko je d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Zahvaljujoč tej lastnosti se pravilnost integracije preverja z diferenciacijo. Na primer enakopravnost

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

res, saj (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti te funkcije in poljubne konstante:

∫dF(x)= F(x)+C.

res,

3. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

α ≠ 0 je konstanta.

res,

(postavite C 1 / a = C.)

4. Nedoločen integral algebraične vsote končnega števila zveznih funkcij je enak algebraični vsoti integralov seštevkov funkcij:

Naj bo F"(x)=ƒ(x) in G"(x)=g(x). Potem

kjer je C 1 ±C 2 =C.

5. (Invariantnost integracijske formule).

če , kjer je u=φ(x) poljubna funkcija z zveznim odvodom.

▲ Naj bo x neodvisna spremenljivka, ƒ(x) zvezna funkcija in F(x) njen antiodvod. Potem

Postavimo sedaj u=φ(x), kjer je φ(x) zvezno diferencibilna funkcija. Upoštevajte kompleksno funkcijo F(u)=F(φ(x)). Zaradi invariantnosti oblike prvega diferenciala funkcije (glej str. 160) imamo

Od tu▼

Tako formula za nedoločen integral ostane veljavna ne glede na to, ali integracijska spremenljivka neodvisna spremenljivka ali katera koli njena funkcija, ki ima zvezni odvod.

Torej, iz formule z zamenjavo x z u (u=φ(x)) dobimo

zlasti

Primer 29.1. Poišči integral

kjer je C=C1+C2 +C3+C4.

Primer 29.2. Poiščite integralno rešitev:

29.3. Tabela osnovnih nedoločenih integralov

Ob izkoriščanju dejstva, da je integracija inverzna akcija diferenciacije, lahko dobimo tabelo osnovnih integralov tako, da obrnemo ustrezne formule diferencialnega računa (tabela diferencialov) in uporabimo lastnosti nedoločenega integrala.

Na primer, ker

d(sin u)=cos u. du

Izpeljava številnih formul v tabeli bo podana ob upoštevanju osnovnih metod integracije.

Integrali v spodnji tabeli se imenujejo tabelarični. Znati jih je treba na pamet. V integralnem računu ni enostavnih in univerzalnih pravil za iskanje protiodvodov elementarnih funkcij, kot v diferencialnem računu. Metode iskanja protiodvodov (tj. integracije funkcije) so reducirane na nakazovanje tehnik, ki dani (iskani) integral pretvorijo v tabelarnega. Zato je potrebno poznati tabelne integrale in jih znati prepoznati.

Upoštevajte, da lahko integracijska spremenljivka v tabeli osnovnih integralov označuje tako neodvisno spremenljivko kot funkcijo neodvisne spremenljivke (v skladu z lastnostjo invariantnosti integracijske formule).

Veljavnost spodnjih formul lahko preverite tako, da vzamete diferencial na desni strani, ki bo enak integrandu na levi strani formule.

Dokažimo na primer veljavnost formule 2. Funkcija 1/u je definirana in zvezna za vse vrednosti in razen nič.

Če je u > 0, potem je ln|u|=lnu, potem zato

če u<0, то ln|u|=ln(-u). НоPomeni

Torej je formula 2 pravilna. Podobno preverimo formulo 15:

Tabela glavnih integralov

prijatelji! Vabimo vas k razpravi. Če imate svoje mnenje, nam pišite v komentarjih.