V tem članku bomo govorili o tem, kako izraziti površino mnogokotnika, v katerega je mogoče vpisati krog, skozi polmer tega kroga. Takoj je treba omeniti, da se vsak mnogokotnik ne prilega krogu. Če pa je to mogoče, postane formula, po kateri se izračuna površina takšnega poligona, zelo preprosta. Preberi ta članek do konca ali si oglej priloženo video vadnico in naučil se boš, kako ploščino mnogokotnika izraziti s polmerom vanj včrtanega kroga.

Formula za območje mnogokotnika glede na polmer včrtanega kroga

Narišimo poligon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, ki ni nujno pravilna, vendar taka, v katero je mogoče vpisati krog. Naj vas spomnim, da je včrtana krožnica tista krožnica, ki se dotika vseh strani mnogokotnika. Na sliki je to zelen krog s središčem na točki O:

Za primer smo vzeli 5-kotnik. Toda v resnici to ni bistvenega pomena, saj nadaljnji dokaz velja tako za 6-kotnik kot za 8-kotnik in na splošno za vsak poljuben "kotnik".

Če povežete središče včrtanega kroga z vsemi oglišči mnogokotnika, bo ta razdeljen na toliko trikotnikov, kolikor oglišč je v danem mnogokotniku. V našem primeru: za 5 trikotnikov. Če povežemo piko O z vsemi točkami dotika včrtanega kroga s stranicami mnogokotnika, potem dobite 5 segmentov (na spodnji sliki so to segmenti OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 in OH 5), ki so enake polmeru kroga in pravokotne na stranice mnogokotnika, na katerega so narisane. Slednje drži, saj je polmer, narisan na stično točko, pravokoten na tangento:

Kako najti območje našega opisanega mnogokotnika? Odgovor je preprost. Sešteti morate površine vseh nastalih trikotnikov:

Razmislimo, kakšna je površina trikotnika. Na spodnji sliki je označeno z rumeno:

Enak je polovici produkta osnove A 1 A 2 do višine OH 1 narisan na to bazo. Toda, kot smo že ugotovili, je ta višina enaka polmeru včrtanega kroga. To pomeni, da ima formula za območje trikotnika obliko: , Kje r— polmer včrtanega kroga. Ploščine vseh preostalih trikotnikov najdemo podobno. Posledično je zahtevana površina poligona enaka:

Vidimo lahko, da v vseh členih te vsote obstaja skupni faktor, ki ga je mogoče vzeti iz oklepaja. Rezultat bo naslednji izraz:

To pomeni, da ostane v oklepajih preprosto vsota vseh strani mnogokotnika, to je njegov obseg p. Najpogosteje se v tej formuli izraz preprosto nadomesti z str in to črko imenujejo "polobod". Posledično ima končna formula naslednjo obliko:

To pomeni, da je površina poligona, v katerega je vpisan krog z znanim polmerom, enaka zmnožku tega polmera in polovice oboda poligona. To je rezultat, na katerega smo ciljali.

Na koncu bo ugotovil, da lahko krog vedno vpišemo v trikotnik, ki je poseben primer mnogokotnika. Zato lahko to formulo vedno uporabimo za trikotnik. Pri drugih poligonih z več kot tremi stranicami se morate najprej prepričati, da je vanje mogoče vpisati krog. Če je tako, lahko to varno uporabljate preprosta formula in ga uporabite za iskanje območja tega poligona.

Gradivo je pripravil Sergey Valerievich

Kdor se je v šoli učil matematiko in geometrijo, te vede vsaj površno pozna. A sčasoma, če jih ne vadite, je znanje pozabljeno. Mnogi celo verjamejo, da so samo zapravljali čas s preučevanjem geometrijskih izračunov. Vendar se motijo. Tehnični delavci opravljajo vsakodnevno delo, povezano z geometrijskimi izračuni. Kar zadeva izračun površine poligona, to znanje najde svojo uporabo tudi v življenju. Potrebovali jih bomo vsaj za izračun površine zemljišča. Naučimo se torej najti območje mnogokotnika.

Definicija poligona

Najprej definirajmo, kaj je poligon. Ravno je geometrijski lik, ki je nastala kot posledica presečišča treh ali več ravnih črt. Še ena preprosta definicija: mnogokotnik je sklenjena poličnija. Seveda, ko se črte sekajo, nastanejo presečišča; njihovo število je enako številu črt, ki tvorijo poligon. Presečišča se imenujejo oglišča, odseki, ki jih sestavljajo ravne črte, pa se imenujejo stranice mnogokotnika. Sosednji segmenti mnogokotnika niso na isti premici. Odseki črte, ki niso sosednji, so tisti, ki ne potekajo skozi skupne točke.

Vsota ploščin trikotnikov

Kako najti območje poligona? Območje poligona je notranjost ravnine, ki jo tvori presečišče segmentov ali stranic mnogokotnika. Ker je poligon kombinacija figur, kot so trikotnik, romb, kvadrat, trapez, preprosto ni univerzalne formule za izračun njegove površine. V praksi je najbolj univerzalna metoda razdelitve poligona na enostavnejše figure, katerih območje ni težko najti. Z dodajanjem vsot ploščin teh preprostih figur dobimo površino mnogokotnika.

Skozi območje kroga

V večini primerov ima mnogokotnik pravilno obliko in tvori lik z enakimi stranicami in koti med njimi. V tem primeru je izračun ploščine zelo preprost z uporabo včrtanega ali opisanega kroga. Če je območje kroga znano, ga je treba pomnožiti z obsegom poligona in nato dobljeni produkt deliti z 2. Rezultat je formula za izračun površine takšnega mnogokotnika: S = ½∙P∙r., kjer je P ploščina kroga, r pa obseg mnogokotnika.

Metoda razdelitve poligona na "priročne" oblike je najbolj priljubljena v geometriji, omogoča hitro in pravilno iskanje območja poligona. Takšne metode se običajno uči v 4. razredu srednje šole.

Geometrijske težave pogosto zahtevajo izračun površine poligona. Poleg tega ima lahko precej raznoliko obliko - od znanega trikotnika do nekega n-kotnika z nepredstavljivim številom oglišč. Poleg tega so ti poligoni lahko konveksni ali konkavni. V vsakem specifično situacijo naj bi začel od videz figure. Tako lahko izberete optimalen način za rešitev težave. Številka se lahko izkaže za pravilno, kar bo močno poenostavilo rešitev problema.

Malo teorije o poligonih

Če narišete tri ali več sekajočih se črt, tvorijo določeno figuro. Ona je tista, ki je poligon. Glede na število presečišč postane jasno, koliko oglišč bo imel. Nastali figuri dajo ime. Lahko bi bilo:

Za takšno figuro bosta zagotovo značilna dva položaja:

1. Sosednji stranici ne pripadata isti premici.
2. Nesosednja nimajo skupnih točk, torej se ne sekajo.

Da bi razumeli, katera vozlišča so sosednja, boste morali videti, ali pripadajo isti strani. Če ja, potem sosednje. V nasprotnem primeru jih lahko povežemo z odsekom, ki ga moramo imenovati diagonala. Izvajajo se lahko samo v poligonih, ki imajo več kot tri oglišča.

Katere vrste jih obstajajo?

Mnogokotnik z več kot štirimi vogali je lahko konveksen ali konkaven. Razlika med slednjim je v tem, da nekatera njegova oglišča lahko ležijo na nasprotnih straneh premice, narisane skozi poljubno stran mnogokotnika. V konveksnem primeru ležijo vsa oglišča vedno na isti strani take premice.

V šolskem tečaju geometrije je večina časa namenjena konveksnim figuram. Zato težave zahtevajo iskanje območja konveksnega poligona. Potem je tu še formula v smislu polmera opisanega kroga, ki vam omogoča, da najdete želeno vrednost za katero koli figuro. V drugih primerih ni jasne rešitve. Za trikotnik je formula ena, za kvadrat ali trapez pa popolnoma drugačna. V primerih, ko je figura nepravilna ali je veliko vrhov, jih je običajno razdeliti na preproste in znane.

Kaj storiti, če ima lik tri ali štiri vrhove?

V prvem primeru se bo izkazalo, da je trikotnik in lahko uporabite eno od formul:

• S = 1/2 * a * n, kjer je a stranica, n je višina do nje;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), kjer sta a, b stranice trikotnika, A je kot med znanimi stranicami;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), kjer je c stranica trikotnika, na že navedena dva, p je polobod, tj. vsota vseh treh strani deljena z dva.

Slika s štirimi oglišči se lahko izkaže za paralelogram:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), kjer sta d 1 in d 2 diagonali, α je kot med njima;
• S = a * in * sin(α).

Formula za površino trapeza: S = n * (a + b) / 2, kjer sta a in b dolžini baz.

Kaj narediti s pravilnim mnogokotnikom, ki ima več kot štiri oglišča?

Za začetek je za takšno figuro značilno, da so vse strani enake. Poleg tega ima mnogokotnik enake kote.

Če okoli takšne figure narišete krog, bo njegov polmer sovpadal z odsekom od središča mnogokotnika do ene od oglišč. Zato, da bi izračunali površino pravilni mnogokotnik s poljubnim številom vozlišč boste potrebovali naslednjo formulo:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), kjer je n število oglišč mnogokotnika.

Iz njega je enostavno dobiti tisto, ki je uporabna za posebne primere:

1. trikotnik: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. kvadrat: S = 2 * R 2 ;
3. šesterokotnik: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija z napačno sliko

Rešitev, kako ugotoviti območje poligona, če ni pravilen in ga ni mogoče pripisati nobeni od prej znanih številk, je algoritem:

• razdelite ga na preproste oblike, na primer trikotnike, tako da se ne sekajo;
• izračunajo njihove površine s poljubno formulo;
• seštejte vse rezultate.

Kaj storiti, če so v nalogi podane koordinate oglišč mnogokotnika?

To pomeni, da je za vsako točko znan niz parov števil, ki omejujejo stranice figure. Običajno so zapisani kot (x 1 ; y 1) za prvo, (x 2 ; y 2) za drugo, n-to oglišče pa ima naslednje vrednosti (x n ; y n). Nato je površina mnogokotnika določena kot vsota n členov. Vsak od njih izgleda takole: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). V tem izrazu se i spreminja od ena do n.

Omeniti velja, da bo predznak rezultata odvisen od prečkanja figure. Pri uporabi navedene formule in premikanju v smeri urinega kazalca bo odgovor negativen.

Vzorčna naloga

Pogoj. Koordinate oglišč so določene z naslednjimi vrednostmi (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Izračunati morate površino poligona.

rešitev. V skladu z zgornjo formulo bo prvi člen enak (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Tukaj morate samo vzeti vrednosti za Y in X iz druge in prve točke. Preprost izračun bo pripeljal do rezultata 1,8.

Drugi člen dobimo podobno: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Pri reševanju takšnih problemov se ne bojte negativnih količin. Vse poteka kot mora. To je načrtovano.

Vrednosti za tretji (0,29), četrti (-6,365) in peti člen (2,96) so pridobljene na podoben način. Potem je končna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Nasvet za rešitev naloge, kjer je mnogokotnik narisan na karirast papir

Kar je največkrat begajoče, je, da podatki vsebujejo samo velikost celice. Toda izkazalo se je, da več informacij ni potrebno. Priporočilo za rešitev tega problema je razdelitev figure na več trikotnikov in pravokotnikov. Njihove ploščine je precej enostavno izračunati z dolžinami stranic, ki jih nato enostavno seštejemo.

Toda pogosto obstaja enostavnejši pristop. Sestavljen je iz risanja figure v pravokotnik in izračunavanja njegove ploščine. Nato izračunajte površine tistih elementov, ki so se izkazali za odveč. Odštejte jih od skupne vrednosti. Ta možnost včasih vključuje nekoliko manjše število dejanj.

\[(\Large(\text(Osnovna dejstva o območju)))\]

Lahko rečemo, da je površina poligona vrednost, ki označuje del ravnine, ki ga dani mnogokotnik zaseda. Enota za merjenje površine je površina kvadrata s stranico \(1\) cm, \(1\) mm itd. (enotski kvadrat). Potem bo površina izmerjena v cm\(^2\), mm\(^2\).

Z drugimi besedami, lahko rečemo, da je površina figure količina, katere številčna vrednost kaže, kolikokrat se enota kvadrata prilega dani sliki.

Lastnosti območja

1. Območje katerega koli mnogokotnika je pozitivna količina.

2. Enaki mnogokotniki imajo enake ploščine.

3. Če je mnogokotnik sestavljen iz več mnogokotnikov, potem je njegova ploščina enaka vsoti ploščin teh mnogokotnikov.

4. Ploščina kvadrata s stranico \(a\) je enaka \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Površina pravokotnika in paralelograma)))\]

Izrek: Ploščina pravokotnika

Ploščina pravokotnika s stranicama \(a\) in \(b\) je enaka \(S=ab\) .

Dokaz

Zgradimo pravokotnik \(ABCD\) v kvadrat s stranico \(a+b\), kot je prikazano na sliki:

Ta kvadrat je sestavljen iz pravokotnika \(ABCD\), drugega enakega pravokotnika in dveh kvadratov s stranicama \(a\) in \(b\). torej

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Levodesna puščica\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Desna puščica S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Opredelitev

Nadmorska višina paralelograma je navpičnica, potegnjena iz oglišča paralelograma na stranico (ali na podaljšek stranice), ki ne vsebuje tega oglišča.
Na primer, višina \(BK\) pade na stran \(AD\) , višina \(BH\) pa na nadaljevanje stranice \(CD\) :

Izrek: Ploščina paralelograma

Površina paralelograma je enaka zmnožku višine in strani, na katero je ta višina narisana.

Dokaz

Narišimo navpičnici \(AB"\) in \(DC"\), kot je prikazano na sliki. Upoštevajte, da so te navpičnice enake višini paralelograma \(ABCD\) .

Potem je \(AB"C"D\) pravokotnik, torej \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Upoštevajte, da sta pravokotna trikotnika \(ABB"\) in \(DCC"\) skladna. torej

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Površina trikotnika)))\]

Opredelitev

Stranico, na katero je narisana višina v trikotniku, bomo imenovali osnova trikotnika.

Izrek

Površina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove osnove in nadmorske višine, narisane na to osnovo.

Dokaz

Naj bo \(S\) ploščina trikotnika \(ABC\). Vzemimo stranico \(AB\) za osnovo trikotnika in narišimo višino \(CH\) . Dokažimo to \ Sestavimo trikotnik \(ABC\) na paralelogram \(ABDC\), kot je prikazano na sliki:

Trikotnika \(ABC\) in \(DCB\) sta enaka na treh stranicah (\(BC\) je njuna skupna stranica, \(AB = CD\) in \(AC = BD\) kot nasprotni stranici paralelograma \ (ABDC\ )), zato sta njuni ploščini enaki. Zato je ploščina \(S\) trikotnika \(ABC\) enaka polovici ploščine paralelograma \(ABDC\), tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Izrek

Če imata trikotnika \(\trikotnik ABC\) in \(\trikotnik A_1B_1C_1\) enake višine, potem so njihova območja povezana z osnovami, na katere so te višine narisane.

Posledica

Srednja stran trikotnika ga deli na dva enakoploskovna trikotnika.

Izrek

Če imata dva trikotnika \(\trikotnik ABC\) in \(\trikotnik A_2B_2C_2\) enak kot, potem sta njuni površini povezani kot produkt stranic, ki tvorita ta kot.

Dokaz

Naj \(\kot A=\kot A_2\) . Združimo te kote, kot je prikazano na sliki (točka \(A\) poravnana s točko \(A_2\)):

Poiščimo višini \(BH\) in \(C_2K\) .

Trikotnika \(AB_2C_2\) in \(ABC_2\) imata enako višino \(C_2K\), torej: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trikotnika \(ABC_2\) in \(ABC\) imata enako višino \(BH\), torej: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Če pomnožimo zadnji dve enakosti, dobimo: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( ali ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pitagorov izrek

V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet:

Velja tudi obratno: če je v trikotniku kvadrat dolžine ene stranice enak vsoti kvadratov dolžin drugih dveh stranic, potem je tak trikotnik pravokoten.

Izrek

kvadrat pravokotni trikotnik enaka polovici produkta nog.

Izrek: Heronova formula

Naj bo \(p\) polobseg trikotnika, \(a\) , \(b\) , \(c\) dolžine njegovih stranic, potem je njegova ploščina \

\[(\Large(\text(Površina romba in trapeza)))\]

Komentiraj

Ker Romb je paralelogram, potem zanj velja ista formula, tj. Površina romba je enaka zmnožku višine in strani, na katero je ta višina narisana.

Izrek

Površina konveksnega štirikotnika, katerega diagonale so pravokotne, je enaka polovici produkta diagonal.

Dokaz

Razmislite o štirikotniku \(ABCD\) . Označimo \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Upoštevajte, da je ta štirikotnik sestavljen iz štirih pravokotnih trikotnikov, zato je njegova ploščina enaka vsoti ploščin teh trikotnikov:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Posledica: površina romba

Površina romba je enaka polovici produkta njegovih diagonal: \

Opredelitev

Višina trapeza je navpičnica, ki poteka iz vrha ene osnove na drugo osnovo.

Izrek: Ploščina trapeza

Ploščina trapeza je enaka zmnožku polovice vsote osnov in višine.

Dokaz

Razmislite o trapezu \(ABCD\) z osnovama \(BC\) in \(AD\) . Narišimo \(CD"\vzporednik AB\), kot je prikazano na sliki:

Potem je \(ABCD"\) paralelogram.

Izvedemo še \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) so višine trapeza).

Potem \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Ker trapez je sestavljen iz paralelograma \(ABCD"\) in trikotnika \(CDD"\), potem je njegova ploščina enaka vsoti ploščin paralelograma in trikotnika, to je:

\ \[=\dfrac12 CH\levo(BC+AD"+D"D\desno)=\dfrac12 CH\levo(BC+AD\desno)\]

1.1 Izračun površin v antiki

1.2 Različni pristopi k preučevanju pojmov "območje", "poligon", "območje poligona"

1.2.1 Pojem območja. Lastnosti območja

1.2.2 Pojem poligona

1.2.3 Koncept območja poligona. Opisna definicija

1.3 Različne formule za ploščine mnogokotnikov

1.4 Izpeljava formul za ploščine mnogokotnikov

1.4.1 Območje trikotnika. Heronova formula

1.4.2 Območje pravokotnika

1.4.3 Območje trapeza

1.4.4 Območje štirikotnika

1.4.5 Univerzalna formula

1.4.6 Območje n-kotnika

1.4.7 Izračun površine mnogokotnika iz koordinat njegovih oglišč

1.4.8 Pickova formula

1.5 Pitagorov izrek o vsoti ploščin kvadratov, zgrajenih na krakih pravokotnega trikotnika

1.6 Enaka razporeditev trikotnikov. Bolyay-Gerwinov izrek

1,7 Površinsko razmerje podobni trikotniki

1.8 Slike z največjo površino

1.8.1 Trapez ali pravokotnik

1.8.2 Izjemna lastnost kvadrata

1.8.3 Prerezi drugih oblik

1.8.4 Trikotnik z največjo površino

Poglavje 2. Metodološke značilnosti preučevanja območij poligonov pri pouku matematike

2.1 Tematsko načrtovanje in značilnosti poučevanja v razredih s poglobljenim študijem matematike

2.2 Metodologija izvajanja pouka

2.3 Rezultati eksperimentalnega dela

Zaključek

Literatura

Uvod

Tema "Območje poligonov" je sestavni del šolskega tečaja matematike, kar je povsem naravno. Navsezadnje je zgodovinsko gledano sam nastanek geometrije povezan s potrebo po primerjavi zemljišč takšne ali drugačne oblike. Vendar je treba opozoriti, da so izobraževalne možnosti za obravnavanje te teme v srednja šolaše zdaleč niso v celoti izkoriščeni.

Glavna naloga pouka matematike v šoli je zagotoviti, da učenci močno in zavestno obvladajo sistem matematičnih znanj in spretnosti, ki jih zahteva vsakdanjem življenju in delovna aktivnost za vsakega člana moderna družba dovolj za študij sorodnih disciplin in nadaljnje izobraževanje.

Poleg reševanja glavnega problema poglobljeni študij matematike vključuje oblikovanje trajnega zanimanja študentov za predmet, prepoznavanje in razvoj njihovih matematične sposobnosti, usmerjenost v poklice, ki so bistveno povezani z matematiko, priprava na študij na univerzi.

Kvalifikacijsko delo vključuje vsebino tečaja matematike srednja šola in številna dodatna vprašanja, ki so neposredno ob tem predmetu in ga poglabljajo po glavnih ideoloških linijah.

Vključitev dodatnih vprašanj ima dva med seboj povezana namena. Po eni strani je to ustvarjanje, v povezavi z glavnimi deli tečaja, osnove za zadovoljevanje interesov in razvoj sposobnosti učencev z nagnjenjem do matematike, po drugi strani pa je izpolnjevanje vsebinske vrzeli glavne jedi, kar daje vsebini poglobljenega študija potrebno celovitost.

Kvalifikacijsko delo je sestavljeno iz uvoda, dveh poglavij, zaključka in citirane literature. V prvem poglavju so obravnavane teoretične osnove preučevanja območij mnogokotnikov, drugo poglavje pa obravnava neposredno metodološke značilnosti preučevanja območij.

Poglavje 1. Teoretične osnove za preučevanje območij mnogokotnikov

1.1 Izračun površin v starih časih

Začetki geometričnih znanj, povezanih z merjenjem površin, se izgubijo v globinah tisočletij.

Že pred 4-5 tisoč leti so Babilonci lahko določili površino pravokotnika in trapeza v kvadratnih enotah. Kvadrat je dolgo služil kot standard za merjenje površin zaradi svojih številnih izjemnih lastnosti: enakih stranic, enakih in pravih kotov, simetrije in splošne popolnosti oblike. Kvadrate je enostavno sestaviti ali pa ravnino zapolnite brez vrzeli.

IN starodavna Kitajska Merilo za površino je bil pravokotnik. Ko so zidarji določili površino pravokotne stene hiše, so pomnožili višino in širino stene. To je definicija, sprejeta v geometriji: površina pravokotnika je enaka produktu njegovih sosednjih strani. Obe strani morata biti izraženi v istih linearnih enotah. Njihov produkt bo površina pravokotnika, izražena v ustreznih kvadratnih enotah. Recimo, če se višina in širina stene merita v decimetrih, bo produkt obeh meritev izražen v kvadratnih decimetrih. In če je površina vsakega obrnjenega splava kvadratni decimeter, bo dobljeni izdelek pokazal število ploščic, potrebnih za oblogo. To izhaja iz izjave, na kateri temelji merjenje površin: površina figure, sestavljene iz figur, ki se ne sekajo, je enaka vsoti njihovih površin.

Stari Egipčani pred 4000 leti so uporabljali skoraj enake tehnike kot mi za merjenje ploščine pravokotnika, trikotnika in trapeza: osnovo trikotnika so razdelili na pol in pomnožili z višino; pri trapezu je bila vsota vzporednih stranic razdeljena na pol in pomnožena z višino itd. Za izračun površine

štirikotnik s stranicami (slika 1.1), uporabljena je bila formula (1.1).

tiste. Polovične vsote nasprotnih strani smo pomnožili.

Ta formula je očitno nepravilna za kateri koli štirikotnik; zlasti iz tega izhaja, da so ploščine vseh rombov enake. Medtem je očitno, da so površine takšnih rombov odvisne od velikosti kotov na vrhovih. Ta formula velja le za pravokotnik. Z njegovo pomočjo lahko približno izračunate površino štirikotnikov, katerih koti so blizu pravim kotom.

Za določitev območja

enakokraki trikotnik (slika 1.2), v katerem so Egipčani uporabili približno formulo:
(1.2) Sl. 1.2 Napaka v tem primeru je manjša, čim manjša je razlika med stranico in višino trikotnika, z drugimi besedami, čim bližje je oglišče (in ) osnovici višine od . Zato je približna formula (1.2) uporabna samo za trikotnike z relativno majhnim kotom pri vrhu.

Toda že stari Grki so znali pravilno poiskati ploščine mnogokotnikov. Evklid v svojih Elementih ne uporablja besede "področje", saj pod samo besedo "figura" razume del ravnine, ki ga omejuje ena ali druga zaprta črta. Evklid rezultata merjenja ploščine ne izrazi s številom, ampak primerja ploščine različnih likov med seboj.

Tako kot drugi antični znanstveniki se Evklid ukvarja z vprašanji preoblikovanja nekaterih figur v druge enake velikosti. Območje sestavljene figure se ne bo spremenilo, če so njeni deli razporejeni drugače, vendar brez sekanja. Zato je na primer mogoče na podlagi formul za območje pravokotnika najti formule za območja drugih figur. Tako je trikotnik razdeljen na dele, iz katerih je nato mogoče sestaviti enako velik pravokotnik. Iz te konstrukcije sledi, da je površina trikotnika enaka polovici produkta njegove osnove in višine. S takšnim prerezom ugotovijo, da je ploščina paralelograma enaka zmnožku osnove in višine, ploščina trapeza pa je produkt polovične vsote baz in višine. .

Ko morajo zidarji obložiti steno kompleksna konfiguracija, lahko določijo površino stene s štetjem števila ploščic, uporabljenih za oblogo. Nekatere ploščice bo seveda treba odkrušiti, tako da bodo robovi obloge sovpadali z robom stene. Število vseh ploščic, uporabljenih pri delu, ocenjuje površino stene s presežkom, število nepolomljenih ploščic - s pomanjkljivostjo. Z manjšanjem velikosti celic se zmanjšuje količina odpadkov, površina stene, določena s številom ploščic, pa se vedno bolj natančno izračunava.

Eden kasnejših grških matematikov in enciklopedistov, katerih dela so bila predvsem uporabne narave, je bil Heron iz Aleksandrije, ki je živel v 1. stoletju. n. e. Ker je bil izjemen inženir, so ga imenovali tudi "Mehanik Heron". Heron v svojem delu "Dioptrics" opisuje različne stroje in praktične merilne instrumente.

Ena od Heronovih knjig se je imenovala "Geometrija" in je nekakšna zbirka formul in ustreznih problemov. Vsebuje primere računanja ploščin kvadratov, pravokotnikov in trikotnikov. O iskanju ploščine trikotnika na podlagi njegovih strani Heron piše: »Naj ima na primer ena stran trikotnika dolžino 13 merilnih vrvic, druga 14 in tretja 15. Če želite ugotoviti ploščino, nadaljujte kot sledi. Dodajte 13, 14 in 15; to bo 42. Polovica tega bo 21. Od tega odštejte tri strani eno za drugo; najprej odštejte 13 - ostane vam 8, nato 14 - ostane vam 7 in na koncu 15 - ostane vam 6. Zdaj jih pomnožite: 21 krat 8 da 168, vzemite to 7-krat - dobite 1176 in vzemite to še 6-krat - dobite 7056. Od tod bo kvadratni koren 84. Toliko bo merilnih vrvic v območju trikotnika.«