Lokacija ravne črte in ravnine. Relativni položaj premice in ravnine

Premica pripada ravnini, če ima dve skupni točki ali eno skupna točka in vzporedna s katero koli premico, ki leži v ravnini. Naj ravnino na risbi določata dve sekajoči se premici. V tej ravnini je potrebno zgraditi dve ravni črti m in n v skladu s temi pogoji ( G(a b)) (slika 4.5).

Rešitev 1. Poljubno narišemo m 2, ker premica pripada ravnini, s premicami označimo projekcije njenih presečišč. A in b in določite njihove horizontalne projekcije, narišite m 1 skozi 1 1 in 2 1.

2. Skozi točko K ravnine narišemo n 2 ║m 2 in n 1 ║m 1.

Premica je vzporedna z ravnino, če je vzporedna s katero koli premico, ki leži v ravnini.

Presečišče premice in ravnine. Obstajajo trije možni primeri lokacije premice in ravnine glede na projekcijske ravnine. Glede na to se določi presečišče premice in ravnine.

Prvi primer – premica in ravnina – štrleči položaj. V tem primeru je na risbi na voljo točka presečišča (obe njeni projekciji), le označiti jo je treba.

PRIMER Na risbi je ravnina podana s sledmi Σ ( h 0 f 0)– vodoravni štrleči položaj – in naravnost l– čelni štrleči položaj. Določite točko njihovega presečišča (slika 4.6).

Na risbi že obstaja presečišče - K(K 1 K 2).

Drugi primer– premica ali ravnina – štrlečega položaja. V tem primeru na eni od projekcijskih ravnin projekcija presečišča že obstaja, na drugi projekcijski ravnini pa jo je treba najti po pripadanju.

PRIMERI. Na sl. 4.7, ravnina pa je upodobljena s sledovi čelno štrlečega položaja in ravne črte l – splošni položaj. Projekcija presečišča K 2 je že na voljo na risbi, projekcijo K 1 pa moramo najti na podlagi pripadnosti točke K premici l. Vklopljeno
riž. 4.7, b je splošna ravnina in premica m čelno štrli, potem K 2 že obstaja (sovpada z m 2), K 1 pa je treba najti iz pogoja, da točka pripada ravnini. Če želite to narediti, pojdite skozi K
ravno ( h– vodoravno), ki leži v ravnini.

Tretji primer– tako premica kot ravnina – v splošnem položaju. V tem primeru je za določitev presečišča črte in ravnine potrebno uporabiti tako imenovano vmesno - projekcijsko ravnino. Da bi to naredili, pomožno rezalno ravnino narišemo skozi ravno črto. Ta ravnina seka dano letalo vzdolž črte. Če ta premica seka dano premico, potem obstaja točka presečišča premice in ravnine.

PRIMERI. Na sl. 4.8 je ravnina predstavljena s trikotnikom ABC - splošni položaj - in premico l– splošni položaj. Za določitev presečišča K je potrebno skozi l narišemo čelno štrlečo ravnino Σ, zgradimo presečišče Δ in Σ v trikotniku (na risbi je to odsek 1,2), določimo K 1 in po dodatku K 2. Nato se določi vidnost črte l glede na trikotnik s konkurenčnimi točkami. Na P 1 sta točki 3 in 4 vidni kot konkurenčni točki, saj je njena koordinata Z večja od koordinate točke 3, torej projekcija. l 1 od te točke do K 1 bo neviden.

Na P 2 sta konkurenčni točki točka 1, ki pripada AB, in točka 5, ki pripada l. Točka 1 bo vidna, saj je njena koordinata Y večja od koordinate točke 5, zato je projekcija premice l 2 do K 2 neviden.

Stereometrija

Medsebojni položaj ravne črte in ravnine

V vesolju

Vzporednost premic in ravnin

Dve premici v prostoru se imenujeta vzporedno , če ležijo v isti ravnini in se ne sekajo.

Imenujeta se premica in ravnina vzporedno , če se ne sekata.

Dva letala se imenujejo vzporedno , če se ne sekata.

Premice, ki se ne sekajo in ne ležijo v isti ravnini, imenujemo križanje .

Znak vzporednosti med premico in ravnino. Če je premica, ki ne pripada ravnini, vzporedna z neko premico v tej ravnini, potem je vzporedna s samo ravnino.

Znak vzporednih ravnin. Če sta dve sekajoči se premici ene ravnine vzporedni z dvema premicama druge ravnine, sta ti ravnini vzporedni.

Znak za prečkanje črt. Če ena od dveh premic leži v ravnini, druga pa to ravnino seka v točki, ki ne pripada prvi premici, potem se ti premici sekata.

Izreki o vzporednih premicah in vzporednih ravninah.

1. Dve premici, vzporedni s tretjo premico, sta vzporedni.

2. Če ena od dveh vzporednih premic seka ravnino, potem tudi druga premica seka to ravnino.

3. Skozi točko zunaj dane premice lahko narišete premico, ki je vzporedna z dano, in to samo eno.

4. Če je premica vzporedna z vsako od dveh sekajočih se ravnin, potem je vzporedna z njuno presečiščem.

5. Če dve vzporedni ravnini seka tretja ravnina, sta presečni črti vzporedni.

6. Skozi točko, ki ne leži v dani ravnini, lahko narišeš ravnino, vzporedno z dano, in to samo eno.

7. Dve ravnini, vzporedni s tretjo, sta med seboj vzporedni.

8. Odseki vzporednih premic med vzporednima ravninama so enaki.

Koti med premicami in ravninami

Kot med premico in ravnino se imenuje kot med premico in njeno projekcijo na ravnino (kot na sliki 1).

Kot med sekajočima se črtama je kot med sekajočimi se premicami, vzporednimi z danimi sekajočimi se premicami.

Diedrski kot je lik, ki ga tvorita dve polravnini s skupno premico. Polravnine se imenujejo robovi , ravno – rob diedrski kot.

Linearni kot diedrski kot je kot med polpremicama, ki pripadata ploskvam diedrskega kota, ki izhajata iz ene točke na robu in sta pravokotni na rob (kot na sliki 2).

Stopinjska (radianska) mera diedričnega kota je enaka stopinjski (radianski) meri njegovega linearnega kota.

Pravokotnost premic in ravnin

Dve ravni črti se imenujeta pravokotno če se sekata pod pravim kotom.

Premica, ki seka ravnino, se imenuje pravokotno to ravnino, če je pravokotna na katero koli premico v ravnini, ki poteka skozi presečišče te premice in ravnine.

Dva letala se imenujejo pravokotno , če se sekata, tvorita prave diedrske kote.

Znak pravokotnosti premice in ravnine. Če je premica, ki seka ravnino, pravokotna na dve sekajoči se premici v tej ravnini, potem je pravokotna na ravnino.

Znak pravokotnosti dveh ravnin. Če gre ravnina skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni.

Izreki o pravokotnih premicah in ravninah.

1. Če je ravnina pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.

2. Če sta dve premici pravokotni na isto ravnino, potem sta vzporedni.

3. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih ravnin, je pravokotna tudi na drugo.

4. Če sta dve ravnini pravokotni na isto premico, potem sta vzporedni.

Pravokotno in poševno

Izrek. Če so pravokotne in nagnjene črte narisane iz ene točke zunaj ravnine, potem:

1) poševni, ki imajo enake projekcije, so enaki;

2) od obeh nagnjenih je večji tisti, katerega projekcija je večja;

3) enake poševnice imajo enake projekcije;

4) od obeh projekcij je večja tista, ki ustreza večji poševni.

Izrek o treh pravokotnicah. Da je premica, ki leži v ravnini, pravokotna na nagnjeno, je nujno in zadostno, da je ta premica pravokotna na projekcijo nagnjene (sl. 3).

Izrek o območju pravokotne projekcije mnogokotnika na ravnino. Območje pravokotne projekcije mnogokotnika na ravnino je enako produktu površine mnogokotnika in kosinusa kota med ravnino mnogokotnika in ravnino projekcije.

Gradnja.

1. Na letalu a izvajamo direktno A.

3. V letalu b skozi točko A naredimo direktno b, vzporedno s premico A.

4. Zgrajena je ravna črta b vzporedno z ravnino a.

Dokaz. Na podlagi vzporednosti premice in ravnine premica b vzporedno z ravnino a, saj je vzporedna s premico A, ki pripada letalu a.

Študij. Problem ima neskončno število rešitev, od premice naprej A v letalu a je izbran naključno.

Primer 2. Ugotovite, na kateri razdalji od ravnine se nahaja točka A, če naravnost AB seka ravnino pod kotom 45º, kar je razdalja od točke A do točke IN ki pripada ravnini je enaka cm?

rešitev. Naredimo risbo (slika 5):

AC– pravokotno na ravnino a, AB– nagnjen, kot ABC– kot med premico AB in letalo a. Trikotnik ABC– pravokotne, ker AC– pravokotno. Zahtevana razdalja od točke A do letala - to je noga AC pravokotni trikotnik. Če poznamo kot in hipotenuzo cm, bomo našli nogo AC:

odgovor: 3 cm.

Primer 3. Ugotovite, na kolikšni razdalji od ravnine enakokrakega trikotnika je točka, ki leži 13 cm od vsakega od oglišč trikotnika, če sta osnova in višina trikotnika enaki 8 cm?

rešitev. Naredimo risbo (slika 6). Pika S stran od točk A, IN in Z na enaki razdalji. Torej, nagnjen S.A., S.B. in S.C. enak, torej– skupna navpičnica teh nagnjenih. Po izreku poševnic in projekcij AO = VO = CO.

Pika O– središče okrog trikotnika opisanega kroga ABC. Poiščimo njegov polmer:

kje sonce– osnova;

AD– višina danega enakokrakega trikotnika.

Iskanje stranic trikotnika ABC iz pravokotnega trikotnika ABD po pitagorejskem izreku:

Zdaj najdemo OB:

Razmislite o trikotniku SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm. Poišči dolžino navpičnice torej po pitagorejskem izreku:

odgovor: 12 cm.

Primer 4. Dane vzporedne ravnine a in b. Skozi točko M, ki ne pripada nobeni od njih, so narisane ravne črte A in b tisti križ a na točkah A 1 in IN 1 in letalo b– na točkah A 2 in IN 2. Najdi A 1 IN 1, če je znano, da MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 IN 2 = 25 cm.

rešitev. Ker pogoj ne pove, kako se točka nahaja glede na obe ravnini M, potem sta možni dve možnosti: (slika 7, a) in (slika 7, b). Oglejmo si vsakega od njih. Dve sekajoči se črti A in b definirati ravnino. Ta ravnina seka dve vzporedni ravnini a in b po vzporednih črtah A 1 IN 1 in A 2 IN 2 po izreku 5 o vzporednih premicah in vzporednih ravninah.

Trikotniki MA 1 IN 1 in MA 2 IN 2 sta podobna (koti A 2 MV 2 in A 1 MV 1 – navpično, vogali MA 1 IN 1 in MA 2 IN 2 – notranji križno ležeči z vzporednimi črtami A 1 IN 1 in A 2 IN 2 in sekanto A 1 A 2). Iz podobnosti trikotnikov sledi sorazmernost stranic:

Možnost a):

Možnost b):

odgovor: 10 cm in 50 cm.

Primer 5. Skozi točko A letalo g je bila potegnjena direktna črta AB, ki tvori kot z ravnino a. Prek neposrednega AB narisana je ravnina r, ki se tvori z ravnino g kotiček b. Poiščite kot med projekcijo premice AB do letala g in letalo r.

rešitev. Naredimo risbo (slika 8). Iz točke IN spusti navpičnico na ravnino g. Linearni diedrski kot med ravninama g in r- to je pravi kot AD DBC, ki temelji na pravokotnosti premice in ravnine, kot in Na podlagi pravokotnosti ravnin, ravnina r pravokotna na ravnino trikotnika DBC, saj gre skozi črto AD. Želeni kot sestavimo tako, da spustimo navpičnico iz točke Z do letala r, označimo ga. Poiščite sinus tega kota pravokotnega trikotnika SEBE. Predstavimo pomožni segment a = BC. Iz trikotnika ABC: Iz trikotnika Mornarica bomo našli

Nato zahtevani kot

odgovor:

Naloge za neodvisna odločitev

I raven

1.1. Skozi točko nariši premico, pravokotno na dve dani sekajoči se premici.

1.2. Ugotovite, koliko različnih ravnin lahko narišete:

1) skozi tri različne točke;

2) skozi štiri različne točke, od katerih nobene tri ne ležijo na isti ravnini?

1.3. Skozi oglišča trikotnika ABC ki ležijo v eni od dveh vzporednih ravnin, so narisane vzporedne črte, ki sekajo drugo ravnino v točkah A 1 , IN 1 , Z 1. Dokaži enakost trikotnikov ABC in A 1 IN 1 Z 1 .

1.4. Z vrha A pravokotnik ABCD pravokotno obnovljeno zjutraj na svojo ravnino.

1) dokažite, da trikotniki M.B.C. in MDC- pravokotne;

2) navedite med segmenti M.B., M.C., M.D. in M.A. segment največje in najkrajše dolžine.

1.5. Strani enega diedrskega kota sta ustrezno vzporedni s ploskvama drugega. Določite razmerje med vrednostmi teh diedrskih kotov.

1.6. Poiščite vrednost diedričnega kota, če je razdalja od točke na eni ploskvi do roba 2-krat večja od razdalje od točke do ravnine druge ploskve.

1.7. Iz točke, ki je od ravnine ločena z razdaljo, sta narisani dve enaki nagnjeni pobočji, ki tvorita kot 60º. Poševni projekciji sta medsebojno pravokotni. Poišči dolžine nagnjenih.

1.8. Z vrha IN kvadrat ABCD pravokotno obnovljeno BITI na ravnino kvadrata. Kot nagiba ravnine trikotnika ACE ravnini kvadrata enaka j, stranica kvadrata je A ACE.

Stopnja II

2.1. Skozi točko, ki ne pripada eni od dveh sečišč, nariši premico, ki seka obe dani premici.

2.2. Vzporedne črte A, b in z ne ležijo v isti ravnini. Skozi točko A na ravni liniji A narisane so pravokotnice na ravne črte b in z, ki jih sekajo v točkah IN in Z. Dokaži, da je vrstica sonce pravokotno na ravne črte b in z.

2.3. Skozi vrh A pravokotni trikotnik ABC ravnina je narisana vzporedno z sonce. Kraki trikotnika AC= 20 cm, sonce= 15 cm. Projekcija enega od krakov na ravnino je 12 cm.

2.4. V eni od ploskev diedričnega kota, ki je enak 30º, je točka M. Razdalja od nje do roba vogala je 18 cm. Poiščite razdaljo od projekcije točke M na drugo stran na prvo stran.

2.5. Konci segmenta AB pripadajo ploskvam diedričnega kota, ki je enak 90º. Oddaljenost od točk A in IN do roba so enake oz AA 1 = 3 cm, BB 1 = 6 cm, razdalja med točkama na robu Poiščite dolžino odseka AB.

2.6. Od točke, ki je oddaljena od letala A, narisani sta dve nagnjeni, ki tvorita z ravnino kota 45º in 30º, med seboj pa kot 90º. Poiščite razdaljo med osnovama nagnjenih.

2.7. Stranice trikotnika so 15 cm, 21 cm in 24 cm M odmaknjen od ravnine trikotnika za 73 cm in se nahaja na enaki razdalji od njegovih vrhov. Poišči to razdaljo.

2.8. Iz centra O krog, včrtan v trikotnik ABC, je pravokotnica obnovljena na ravnino trikotnika OM. Poiščite razdaljo od točke M stranicama trikotnika, če AB = BC = 10 cm, AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Razdalje od točke M ob straneh in na vrhu pravi kot enako 4 cm, 7 cm in 8 cm. Poiščite razdaljo od točke M na pravokotno ravnino.

2.10. Skozi bazo AB enakokraki trikotnik ABC ravnina je narisana pod kotom b na ravnino trikotnika. Vertex Z oddaljeni od letala za razdaljo A. Poiščite območje trikotnika ABC, če je osnova AB enakokrakega trikotnika je enaka njegovi višini.

Stopnja III

3.1. Pravokotna postavitev ABCD s strankami A in b upognjen diagonalno BD tako da ravnine trikotnikov SLABO in BCD postala medsebojno pravokotna. Poiščite dolžino odseka AC.

3.2. Dva pravokotna trapeza s kotoma 60º ležita v pravokotnih ravninah in imata večjo skupno osnovo. Večji stranici sta 4 cm in 8 cm. Poišči razdaljo med oglišči premic in oglišči topih kotov trapeza, če se oglišča njunih ostrih kotov ujemajo.

3.3.Dana kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Poiščite kot med premico CD 1 in letalo BDC 1 .

3.4. Na robu AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dosežena točka R- sredina tega rebra. Zgradite odsek kocke z ravnino, ki poteka skozi točke C 1 P.D. in poiščite območje tega odseka, če je rob kocke enak A.

3.5. Skozi stran AD pravokotnik ABCD narisana je ravnina a tako da diagonala BD s to ravnino tvori kot 30º. Poiščite kot med ravnino pravokotnika in ravnino a, Če AB = A, AD = b. Ugotovite, v kakšnem razmerju A in b problem ima rešitev.

3.6. Poiščite geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od premic, ki jih določajo stranice trikotnika.

Prizma. Paralelepiped

Prizma je polieder, katerega ploskvi sta enaka n-kotnika (baze) , ki ležijo v vzporednih ravninah, preostalih n ploskev pa so paralelogrami (stranski obrazi) . Bočno rebro Stranico prizme, ki ne pripada osnovici, imenujemo stranica prizme.

Imenuje se prizma, katere stranski robovi so pravokotni na ravnine baz neposredno prizma (slika 1). Če stranski robovi niso pravokotni na ravnine baz, se imenuje prizma nagnjen . Pravilno Prizma je prava prizma, katere osnove so pravilni mnogokotniki.

Višina prizma je razdalja med ravninama baz. Diagonala Prizma je odsek, ki povezuje dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi. Diagonalni odsek imenujemo presek prizme z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi. Pravokotni prerez imenujemo prerez prizme z ravnino, pravokotno na stranski rob prizme.

Bočna površina prizme je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina imenujemo vsota ploščin vseh ploskev prizme (tj. vsota ploščin stranskih ploskev in ploščin baz).

Za poljubno prizmo veljajo naslednje formule::

kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p

Q

S stran

S poln

S osnova– območje baz;

V– prostornina prizme.

Za ravno prizmo so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H- višina.

paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnove, se imenuje neposredno (slika 2). Če stranski robovi niso pravokotni na osnove, se imenuje paralelepiped nagnjen . Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotne. Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka

Imenujemo ploskve paralelepipeda, ki nimajo skupnih oglišč nasprotje . Dolžine robov, ki izhajajo iz enega oglišča, se imenujejo meritve paralelopiped. Ker je paralelepiped prizma, so njegovi glavni elementi definirani na enak način, kot so definirani za prizme.

Izreki.

1. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in ga razpolovita.

2. B pravokotni paralelopiped Kvadrat dolžine diagonale je enak vsoti kvadratov njenih treh dimenzij:

3. Vse štiri diagonale pravokotnega paralelepipeda so med seboj enake.

Za poljuben paralelepiped veljajo naslednje formule:

kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p– obod pravokotnega prereza;

Q– pravokotna površina prečnega prereza;

S stran– bočna površina;

S poln– skupna površina;

S osnova– območje baz;

V– prostornina prizme.

Za pravi paralelepiped so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H– višina pravilnega paralelepipeda.

Za pravokotni paralelepiped so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

H- višina;

d- diagonalno;

a,b,c– meritve paralelepipeda.

Za kocko so pravilne naslednje formule:

kje a- dolžina reber;

d- diagonala kocke.

Primer 1. Diagonala pravokotnega paralelepipeda je 33 dm, njegove mere pa so v razmerju 2 : 6 : 9. Poišči mere paralelepipeda.

rešitev. Za iskanje dimenzij paralelopipeda uporabimo formulo (3), tj. s tem, da je kvadrat hipotenuze kvadra enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij. Označimo z k faktor sorazmernosti. Potem bo dimenzija paralelepipeda enaka 2 k, 6k in 9 k. Zapišimo formulo (3) za podatke problema:

Rešitev te enačbe za k, dobimo:

To pomeni, da so mere paralelepipeda 6 dm, 18 dm in 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primer 2. Poiščite prostornino naklona trikotna prizma, katerega osnova je enakostranični trikotnik s stranico 8 cm, če je stranski rob enak stranici osnove in nagnjen pod kotom 60º na osnovo.

rešitev . Naredimo risbo (slika 3).

Da bi našli prostornino nagnjene prizme, morate poznati površino njene osnove in višino. Ploščina osnove te prizme je ploščina enakostraničnega trikotnika s stranico 8 cm. Izračunajmo jo:

Višina prizme je razdalja med njenima osnovama. Z vrha A 1 zgornje podlage, spustite pravokotno na ravnino spodnje podlage A 1 D. Njegova dolžina bo višina prizme. Razmislite o D A 1 AD: ker je to kot naklona stranskega roba A 1 A na osnovno ravnino, A 1 A= 8 cm Iz tega trikotnika najdemo A 1 D:

Zdaj izračunamo prostornino s formulo (1):

odgovor: 192 cm 3.

Primer 3. Stranski rob pravilne šesterokotne prizme je 14 cm, največja diagonala pa je 168 cm 2. Poiščite celotno površino prizme.

rešitev. Naredimo risbo (slika 4)

Največji diagonalni del je pravokotnik A.A. 1 DD 1 od diagonale AD pravilni šesterokotnik ABCDEF je največji. Za izračun bočne površine prizme je potrebno poznati stran podlage in dolžino stranskega roba.

Če poznamo površino diagonalnega odseka (pravokotnik), najdemo diagonalo baze.

Od takrat

Od takrat AB= 6 cm.

Potem je obseg baze:

Poiščimo površino stranske površine prizme:

Ploščina pravilnega šesterokotnika s stranico 6 cm je:

Poiščite celotno površino prizme:

odgovor:

Primer 4. Osnova pravilnega paralelepipeda je romb. Ploščini diagonalnih prerezov sta 300 cm2 in 875 cm2. Poiščite površino stranske površine paralelopipeda.

rešitev. Naredimo risbo (slika 5).

Stranico romba označimo z A, diagonale romba d 1 in d 2, višina paralelepipeda h. Če želite najti površino stranske površine desnega paralelepipeda, je treba obseg osnove pomnožiti z višino: (formula (2)). Osnovni obod p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, ker ABCD- romb H = AA 1 = h. to. Treba najti A in h.

Razmislimo o diagonalnih odsekih. AA 1 SS 1 – pravokotnik, katerega ena stran je diagonala romba AC = d 1, drugi – stranski rob AA 1 = h, Potem

Podobno za razdelek BB 1 DD 1 dobimo:

Z uporabo lastnosti paralelograma, da je vsota kvadratov diagonal enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic, dobimo enakost. Dobimo naslednje:

Izrazimo iz prvih dveh enakosti in ju nadomestimo s tretjo. Dobimo: potem

1.3. V nagnjeni trikotni prizmi je na stranski rob narisan prerez, ki je enak 12 cm. V dobljenem trikotniku tvorita stranici z dolžino cm in 8 cm kot 45°. Poiščite stransko površino prizme.

1.4. Osnova pravilnega paralelepipeda je romb s stranico 4 cm in ostrim kotom 60°. Poišči diagonale paralelepipeda, če je dolžina stranskega roba 10 cm.

1.5. Osnova pravega paralelepipeda je kvadrat, katerega stranski rob je enak 5 cm.

1.6. Osnova nagnjenega paralelepipeda je pravokotnik s stranicama 3 cm in 4 cm. Stranski rob, ki je enak cm, je nagnjen na ravnino osnove za kot 60°. Poiščite prostornino paralelepipeda.

1.7. Izračunajte površino pravokotnega paralelepipeda, če sta dva roba in diagonala, ki izhaja iz enega oglišča, 11 cm, cm in 13 cm.

1.8. Določite težo kamnitega stebra v obliki pravokotnega paralelepipeda z dimenzijami 0,3 m, 0,3 m in 2,5 m, če je specifična teža materiala 2,2 g/cm 3.

1.9. Poiščite površino diagonalnega prereza kocke, če je diagonala njene ploskve enaka dm.

1.10. Poiščite prostornino kocke, če je razdalja med dvema njenima ogliščema, ki ne ležita na isti ploskvi, enaka cm.

Stopnja II

2.1. Osnovica nagnjene prizme je enakostranični trikotnik s stranskim robom nagnjenim na ravnino osnovke pod kotom 30°. Poiščite površino prečnega prereza prizme, ki poteka skozi stranski rob, in višino prizme, če je znano, da je ena od oglišč zgornje podlage projicirana na sredino stranice spodnje podlage.

2.2. Osnova nagnjene prizme je enakostranični trikotnik ABC s stranico, enako 3 cm, ki je projicirana v središče trikotnika ABC. Rebro AA 1 tvori z osnovno ravnino kot 45°. Poiščite stransko površino prizme.

2.3. Izračunaj prostornino nagnjene trikotne prizme, če so stranice osnovke enake 7 cm, 5 cm in 8 cm, višina prizme pa je enaka manjši višini osnovnega trikotnika.

2.4. Diagonala pravilne štirikotne prizme je nagnjena proti stranski ploskvi pod kotom 30°. Poiščite kot naklona na ravnino baze.

2.5. Osnovica ravne prizme je enakokraki trapez, katerega osnovici sta 4 cm in 14 cm, dve stranski ploskvi prizme pa sta kvadrata. Poiščite celotno površino prizme.

2.6. Diagonali pravilne šesterokotne prizme sta 19 cm in 21 cm.

2.7. Poiščite mere pravokotnega paralelepipeda, katerega diagonala je 8 dm in tvori s stranskimi ploskvami kota 30° in 40°.

2.8. Diagonali osnove pravilnega paralelopipeda sta 34 cm in 38 cm, ploščini stranskih ploskev pa 800 cm 2 in 1200 cm 2. Poiščite prostornino paralelepipeda.

2.9. Določite prostornino pravokotnega paralelepipeda, pri katerem sta diagonali stranskih ploskev, ki izhajata iz ene oglišča, enaki 4 cm in 5 cm ter tvorita kot 60°.

2.10. Poiščite prostornino kocke, če je razdalja od njene diagonale do roba, ki se z njo ne seka, mm.

Stopnja III

3.1. V pravilni trikotni prizmi je prerez narisan skozi stranico podnožja in sredino nasprotnega stranskega roba. Osnovica meri 18 cm 2, diagonala stranske ploskve pa je nagnjena na osnovo pod kotom 60°. Poiščite površino prečnega prereza.

3.2. Na dnu prizme leži kvadrat ABCD, katerega vsa oglišča so enako oddaljena od oglišča A 1 zgornje osnove. Kot med stranskim robom in osnovno ravnino je 60°. Stranica osnovke je 12 cm. Sestavi odsek prizme z ravnino, ki poteka skozi oglišče C, pravokotno na rob AA 1 in poišči njegovo ploščino.

3.3. Osnova ravne prizme je enakokraki trapez. Površina diagonalnega preseka in ploščina vzporednih stranskih ploskev sta 320 cm 2, 176 cm 2 in 336 cm 2. Poiščite stransko površino prizme.

3.4. Površina osnove pravilne trikotne prizme je 9 cm 2, površina stranskih ploskev je 18 cm 2, 20 cm 2 in 34 cm 2. Poiščite prostornino prizme.

3.5. Poiščite diagonale pravokotnega paralelepipeda, pri čemer veste, da so diagonale njegovih ploskev 11 cm, 19 cm in 20 cm.

3.6. Kota, ki ju tvorita diagonala osnove pravokotnega paralelepipeda s stranico osnove in diagonalo paralelepipeda, sta enaka a oziroma b. Poiščite stransko površino paralelopipeda, če je njegova diagonala d.

3.7. Površina odseka kocke, ki je pravilni šesterokotnik, je enaka cm 2. Poiščite površino kocke.

Relativni položaj premice in ravnine v prostoru omogoča tri primere. Premica in ravnina se lahko sekata v eni točki. Lahko so vzporedni. Končno lahko premica leži v ravnini. Ugotavljanje specifično situacijo za premico in ravnino je odvisno od metode njunega opisa.

Predpostavimo, da je ravnina π podana s splošno enačbo π: Ax + By + Cz + D = 0, premica L pa je kanonične enačbe(x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n. Enačbe premice podajajo koordinate točke M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) na premici in koordinate smernega vektorja s = (l; m; n) te premice ter enačbo premice. ravnina daje koordinate svojega normalnega vektorja n = (A; B; C).

Če se premica L in ravnina π sekata, potem smerni vektor s premice ni vzporeden z ravnino π. To pomeni, da normalni vektor n ravnine ni pravokoten na vektor s, tj. njihov skalarni produkt ni enak nič. Preko koeficientov enačb premice in ravnine se ta pogoj zapiše kot neenakost A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Če sta premica in ravnina vzporedni ali leži premica v ravnini, potem je izpolnjen pogoj s ⊥ n, kar se v koordinatah reducira na enakost Al + Bm + Cn = 0. Za ločevanje primerov "vzporedno" in " premica pripada ravnini«, morate preveriti, ali je točka premice v dani ravnini.

Tako so vsi trije primeri relativne lege premice in ravnine ločeni s preverjanjem ustreznih pogojev:

Če je premica L podana s splošnimi enačbami:

potem lahko relativni položaj premice in ravnine π analiziramo na naslednji način. Iz splošnih enačb premice in splošne enačbe ravnine sestavimo sistem treh linearne enačbe s tremi neznankami

Če ta sistem nima rešitev, je premica vzporedna z ravnino. Če ima edina rešitev, potem se premica in ravnina sekata v eni točki. Slednje je enakovredno sistemska determinanta (6.6)

drugačen od nič. Končno, če ima sistem (6.6) neskončno veliko rešitev, potem premica pripada ravnini.

Kot med premico in ravnino. Kot φ med premico L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n in ravnino π: Ax + By + Cz + D = 0 je v območju od 0 ° (v primeru vzporednosti) do 90 ° (v primeru pravokotnosti premice in ravnine). Sinus tega kota je enak |cosψ|, kjer je ψ kot med usmerjevalnim vektorjem premice s in normalnim vektorjem n ravnine (slika 6.4). Ko izračunamo kosinus kota med dvema vektorjema preko njunih koordinat (glej (2.16)), dobimo

Pogoj, da sta premica in ravnina pravokotni, je enak dejstvu, da sta normalni vektor ravnine in smerni vektor premice kolinearna. Preko koordinat vektorjev je ta pogoj zapisan kot dvojna enakost

VSTOPNICA 16.

Lastnosti piramide, katere diedrski koti so enaki.

A) Če stranske ploskve piramide z osnovo tvorijo enake diedrske kote, potem so vse višine stranskih ploskev piramide enake (za pravilno piramido so to apoteme), vrh piramide pa je projiciran v središče kroga, včrtanega v mnogokotnik osnove.

B) Piramida ima lahko enake diedrske kote na dnu, če je v mnogokotnik baze mogoče vpisati krog.

Prizma. Opredelitev. Elementi. Vrste prizem.

prizma- je polieder, katerega dve ploskvi sta enaka poligona, ki se nahajata v vzporednih ravninah, preostale ploskve pa so paralelogrami.

Obrazi, ki so v vzporednih ravninah, se imenujejo razlogov prizme in preostale ploskve - stranski obrazi prizme.

Glede na osnovo prizme obstaja:

1) trikotni

2) štirikotni

3) šesterokotno

Imenuje se prizma s stranskimi robovi, pravokotnimi na njene osnove ravna prizma.

Pravilna prizma se imenuje pravilna, če sta njeni osnovi pravilni mnogokotnik.

VSTOPNICA 17.

Lastnost diagonal pravokotnega paralelepipeda.

Vse štiri diagonale se sekajo v eni točki in tam razpolovijo.

V pravokotnem paralelepipedu so vse diagonale enake.

V pravokotnem paralelepipedu je kvadrat katere koli diagonale enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Če narišemo diagonalo osnove AC, dobimo trikotnika AC 1 C in ACB. Oba sta pravokotna: prvi zato, ker je paralelepiped raven in je zato rob CC 1 pravokoten na osnovo; drugo zato, ker je paralelepiped pravokoten in torej na njegovem dnu leži pravokotnik. Iz teh trikotnikov najdemo:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 in AC 2 = AB 2 + BC 2

Zato je AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Primeri medsebojne razporeditve dveh ravnin.

NEPREMIČNINA 1:

Premice presečišča dveh vzporednih ravnin s tretjo ravnino so vzporedne.

LASTNOST 2:

Odseki vzporednih premic med dvema vzporednima ravninama so enako dolgi.

NEPREMIČNINA 3

Skozi vsako točko v prostoru, ki ne leži v dani ravnini, je mogoče narisati ravnino, ki je vzporedna s to ravnino, poleg tega pa samo eno.

VSTOPNICA 18.

Lastnost nasprotnih ploskev paralelepipeda.

Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

Na primer , ravnini paralelogramov AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C sta vzporedni, saj sta sečni premici AB in AA 1 ravnine AA 1 B 1 vzporedni z dvema sekajočima se premicama DC in DD 1 ravnine DD 1. C 1. Paralelograma AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C sta enaka (to pomeni, da ju je mogoče kombinirati s prekrivanjem), saj so stranice AB in DC, AA 1 in DD 1 enake, kota A 1 AB in D 1 pa sta enaka. DC sta enaka.

Površine prizme, piramide, pravilne piramide.

Pravilna piramida: Polna. =3SASB+Sbas.

Premica lahko pripada ravnini ali ne. Pripada ravnini, če vsaj dve njeni točki ležita na ravnini. Slika 93 prikazuje Sum ravnino (axb). Naravnost l pripada ravnini Sum, saj njeni točki 1 in 2 pripadata tej ravnini.

Če premica ne pripada ravnini, je lahko z njo vzporedna ali pa jo seka.

Premica je vzporedna z ravnino, če je vzporedna z drugo premico, ki leži v tej ravnini. Na sliki 93 je premica m || vsota, saj je vzporedna s premico l ki pripada tej ravnini.

Ravna črta lahko seka ravnino pod različnimi koti in je zlasti pravokotna nanjo. Konstrukcija presečišč premice in ravnine je podana v §61.

Slika 93 - Ravnica, ki pripada ravnini

Točka glede na ravnino se lahko nahaja na naslednji način: ji pripada ali ji ne pripada. Točka pripada ravnini, če leži na premici, ki leži v tej ravnini. Slika 94 prikazuje kompleksno risbo Sum ravnine, ki jo določata dve vzporedni premici l in str. V letalu je črta m. Točka A leži v ravnini vsote, saj leži na premici m. Pika IN ne pripada ravnini, saj njena druga projekcija ne leži na ustreznih projekcijah premice.

Slika 94 - Kompleksna risba ravnine, ki jo določata dve vzporedni premici

Stožčaste in cilindrične površine

Konične površine vključujejo površine, ki nastanejo zaradi gibanja pravokotne generatrise l po ukrivljenem vodilu m. Posebnost tvorbe stožčaste površine je, da je v tem primeru ena točka generatrixa vedno nepremična. Ta točka je vrh stožčaste ploskve (slika 95, A). Determinanta stožčaste ploskve vključuje oglišče S in vodnik m, hkrati l"~S; l"^ m.

Cilindrične površine so tiste, ki jih tvori ravna generatrisa / premikajoča se po ukrivljenem vodilu T vzporedno z dano smerjo S(Slika 95, b). Valjasto ploskev lahko obravnavamo kot poseben primer stožčaste ploskve z vrhom v neskončnosti S.

Determinanta cilindrične ploskve je sestavljena iz vodila T in smeri S, ki tvorijo l, medtem ko l" || S; l"^m.

Če so generatorji cilindrične površine pravokotni na projekcijsko ravnino, se taka površina imenuje projektiranje. Na sliki 95 je V prikazana je vodoravno štrleča cilindrična površina.

Na cilindričnih in koničnih ploskvah so dane točke konstruirane z generatorji, ki potekajo skozi njih. Črte na površinah, kot je črta A na številko 95, V ali vodoravno h na sliki 95, a, b, so zgrajene z uporabo posameznih točk, ki pripadajo tem premicam.

Slika 95 - Stožčaste in cilindrične površine

Površine trupa

Površina trupa je površina, ki jo tvori premočrtna generatrisa l, ki se med svojim gibanjem v vseh svojih položajih dotika neke prostorske krivulje T, klical povratni rob(Slika 96). Povratni rob popolnoma definira trup in je geometrijski del determinante površine. Algoritemski del je navedba tangentnosti generatorjev na ostri rob.

Stožčasta površina je poseben primer trupa, ki ima povratni rob T degenerirala v točko S- vrh stožčaste površine. Valjasta površina je poseben primer trupa, pri katerem je povratni rob neskončna točka.

Slika 96 – Površina trupa

Fasetirane površine

Fasetirane površine vključujejo površine, ki nastanejo zaradi gibanja premočrtne generatrise l po zlomljenem vodniku m.Še več, če ena točka S generatrisa je negibna, nastane piramidna površina (slika 97), če je generatrisa med premikanjem vzporedna z dano smerjo S, potem nastane prizmatična površina (slika 98).

Elementi fasetnih ploskev so: vrh S(v bližini prizmatične površine je v neskončnosti), lice (del ravnine, omejen z enim odsekom vodila m in skrajne lege generatrise glede nanjo l) in rob (linija presečišča sosednjih ploskev).

Determinanta piramidne ploskve vključuje oglišče S, skozi katere gredo generatorji in vodila: jaz" ~ S; l^ T.

Determinanta prizmatične površine, razen vodila T, vsebuje smer S, kateremu so vsi generatorji vzporedni l površine: l||S; l^ t.

Slika 97 - Površina piramide

Slika 98 - Prizmatična površina

Zaprte fasetirane površine, ki jih tvori določeno število (vsaj štiri) ploskev, imenujemo poliedri. Med poliedri ločimo skupino pravilnih poliedrov, pri kateri so vse ploskve pravilni in skladni mnogokotniki, poliedrski koti pri ogliščih pa so konveksni in vsebujejo enako število ploskev. Na primer: heksaeder - kocka (slika 99, A), tetraeder - pravilni štirikotnik (slika 99, 6) oktaeder - polieder (slika 99, V). Kristali imajo obliko različnih poliedrov.

Slika 99 - Poliedri

Piramida- polieder, katerega osnova je poljuben mnogokotnik, stranske ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom S.

Na kompleksni risbi je piramida definirana s projekcijami njenih oglišč in robov ob upoštevanju njihove vidnosti. Vidnost roba se določi s konkurenčnimi točkami (Slika 100).

Slika 100 – Določanje vidnosti robov z uporabo konkurenčnih točk

Prizma- polieder, katerega osnova sta dva enaka in medsebojno vzporedna mnogokotnika, stranski ploskvi pa sta paralelograma. Če so robovi prizme pravokotni na ravnino osnove, se taka prizma imenuje ravna. Če so robovi prizme pravokotni na katero koli projekcijsko ravnino, potem stransko površino imenuje se projektiranje. Slika 101 prikazuje celovito risbo pravilne štirikotne prizme z vodoravno štrlečo ploskev.

Slika 101 - Kompleksna risba pravilne štirikotne prizme z vodoravno štrlečo površino

Ko delate s kompleksno risbo poliedra, morate graditi črte na njegovi površini, in ker je črta zbirka točk, morate znati graditi točke na površini.

Vsako točko na fasetirani ploskvi je mogoče konstruirati z uporabo generatrise, ki poteka skozi to točko. Na sliki je 100 na obrazu ACS točka zgrajena M z uporabo generatrise S-5.

Spiralne površine

Spiralne površine vključujejo površine, ki nastanejo zaradi spiralnega gibanja premočrtne generatrise. Ravnaste vijačne površine se imenujejo helikoidi.

Ravni helikoid nastane z gibanjem premočrtne generatrise i po dveh vodilih: vijačnici T in njegove osi i; med oblikovanjem l seka os vijaka pod pravim kotom (slika 102, a). Ravni helikoid se uporablja za ustvarjanje spiralnih stopnic, polžev in navojev v obdelovalnih strojih.

Nagnjeni helikoid se oblikuje s premikanjem generatrike vzdolž vijačnega vodila T in njegove osi i tako da generator l prečka os i pri konstantnem kotu φ, ki se razlikuje od premice, tj. v katerem koli položaju generatrisa l vzporedno z eno od generatric vodilnega stožca s kotom pri vrhu, ki je enak 2φ (slika 102, b). Nagnjeni helikoidi omejujejo površine niti.

Slika 102 - Helikoidi

Površine revolucije

Vrtilne površine vključujejo površine, ki nastanejo z vrtenjem črte l okrog ravne črte i , ki je os vrtenja. Lahko so linearne, kot je stožec ali vrtilni valj, in nelinearne ali ukrivljene, kot je krogla. Determinanta vrtilne površine vključuje generatriko l in os i . Med vrtenjem vsaka točka generatrise opisuje krog, katerega ravnina je pravokotna na vrtilno os. Takšne krožnice vrtilne površine imenujemo vzporednice. Največja od vzporednic se imenuje ekvator. Ekvator določa vodoravni obris površja, če je i _|_ P 1 . V tem primeru so vzporednice horizontale te ploskve.

Krivulje vrtilne površine, ki izhajajo iz presečišča površine z ravninami, ki potekajo skozi vrtilno os, imenujemo meridiani. Vsi meridiani ene površine so skladni. Čelni meridian se imenuje glavni meridian; določa čelni obris vrtilne površine. Poldnevnik profila določa obris profila rotacijske površine.

Najprimerneje je konstruirati točko na ukrivljenih vrtilnih površinah z uporabo površinskih vzporednic. Na sliki so 103 točke M zgrajen na vzporedniku h4.

Slika 103 – Konstruiranje točke na ukrivljeni površini

Rotacijske površine so našle najširšo uporabo v tehnologiji. Omejujejo površine večine inženirskih delov.

Stožčasta vrtilna površina nastane z vrtenjem ravne črte i okoli ravne črte, ki se seka z njo - os i(Slika 104, A). Pika M na površini, zgrajeni z generatriko l in vzporednice h. To površino imenujemo tudi vrtilni stožec ali pravilen krožni stožec.

Cilindrična vrtilna površina nastane z vrtenjem ravne črte l okoli z njo vzporedne osi i(Slika 104, b). To površino imenujemo tudi valj ali pravilni krožni valj.

Krogla nastane z vrtenjem kroga okoli njegovega premera (slika 104, V). Točka A na površini krogle pripada glavnemu poldnevniku f, pika IN- ekvator h, točka M zgrajena na pomožni vzporednici h".

Slika 104 - Oblikovanje vrtilnih površin

Torus nastane z vrtenjem kroga ali njegovega loka okoli osi, ki leži v ravnini kroga. Če se os nahaja znotraj nastalega kroga, se takšen torus imenuje zaprt (slika 105, a). Če je os vrtenja zunaj kroga, se tak torus imenuje odprt (slika 105, b). Odprt torus se imenuje tudi obroč.

Slika 105 – Nastanek torusa

Vrtilne površine lahko tvorijo tudi druge krivulje drugega reda. Vrtilni elipsoid (slika 106, A) nastane z vrtenjem elipse okoli ene od njenih osi; rotacijski paraboloid (slika 106, b) - vrtenje parabole okoli svoje osi; enolistni hiperboloid revolucije (slika 106, V) nastane z vrtenjem hiperbole okoli namišljene osi in dvolista (slika 106, G) - rotacija hiperbole okoli realne osi.

Slika 106 – Oblikovanje vrtilnih površin s krivuljami drugega reda

V splošnem primeru so površine upodobljene kot neomejene v smeri širjenja nastajajočih linij (glej sliki 97, 98). Za reševanje specifičnih problemov in pridobivanje geometrijske oblike omejeno na rezalne ravnine. Na primer, da bi dobili krožni valj, je treba odsek valjaste površine omejiti na rezalne ravnine (glej sliko 104, b). Kot rezultat dobimo zgornjo in spodnjo podlago. Če so rezalne ravnine pravokotne na os vrtenja, bo valj raven; v nasprotnem primeru bo valj nagnjen.

Da bi dobili krožni stožec (glej sliko 104, A), potrebno je obrezati po vrhu in naprej. Če je rezalna ravnina osnove valja pravokotna na os vrtenja, bo stožec raven, v nasprotnem primeru bo nagnjen. Če obe sečni ravnini ne potekata skozi oglišče, bo stožec prisekan.

Z izrezano ravnino lahko dobite prizmo in piramido. Na primer, šestkotna piramida bo ravna, če imajo vsi njeni robovi enak naklon glede na rezalno ravnino. V drugih primerih bo poševno. Če je dokončana z z uporabo sekalnih ravnin in nobena od njih ne gre skozi oglišče - piramida je prisekana.

Prizmo (glej sliko 101) lahko dobimo tako, da odsek prizmatične površine omejimo na dve rezalni ravnini. Če je rezalna ravnina pravokotna na robove, na primer, osmerokotne prizme, je ravna; če ni pravokotna, je nagnjena.

Z izbiro ustreznega položaja rezalnih ravnin lahko dobite različne oblike geometrijskih likov, odvisno od pogojev rešenega problema.