Polinomi več spremenljivk pri reševanju homogenih enačb. Polinom, njegova standardna oblika, stopnja in koeficienti členov

Po študiju monomov preidemo na polinome. Ta članek vam bo povedal vse potrebne informacije, potrebne za izvajanje dejanj na njih. Definirali bomo polinom s pripadajočimi definicijami polinomskega člena, torej prosti in podobni, obravnavali polinom standardne oblike, predstavili stopnjo in se jo naučili iskati ter delati z njenimi koeficienti.

Polinom in njegovi izrazi - definicije in primeri

Definicija polinoma je bila podana v 7 razreda po študiju monomov. Poglejmo njegovo celotno definicijo.

Definicija 1

Polinom Izračuna se vsota monomov, sam monom pa je poseben primer polinoma.

Iz definicije sledi, da so primeri polinomov lahko različni: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z in tako naprej. Iz definicije imamo to 1+x, a 2 + b 2 in izraz x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sta polinoma.

Poglejmo si še nekaj definicij.

Definicija 2

Člani polinoma njeni sestavni monomi se imenujejo.

Razmislite o primeru, kjer imamo polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, sestavljen iz 4 členov: 3 x 4, − 2 x y, 3 in − y 3. Takšen monom lahko štejemo za polinom, ki je sestavljen iz enega člena.

Definicija 3

Polinomi, ki vsebujejo 2, 3 trinome, imajo ustrezno ime - binom in trinom.

Iz tega sledi, da izraz oblike x+y– je binom, izraz 2 x 3 q − q x x x + 7 b pa je trinom.

Po šolskem učnem načrtu smo delali z linearnim binomom oblike a · x + b, kjer sta a in b nekaj števil, x pa spremenljivka. Oglejmo si primere linearnih binomov oblike: x + 1, x · 7, 2 − 4 s primeri kvadratnih trinomov x 2 + 3 · x − 5 in 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Za preoblikovanje in rešitev je treba najti in prinesti podobne izraze. Na primer, polinom v obliki 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ima podobne člene 1 in - 3, 5 x in 2 x. Razdeljeni so v posebno skupino, imenovano podobni členi polinoma.

Definicija 4

Podobni členi polinoma so podobni izrazi, ki jih najdemo v polinomu.

V zgornjem primeru imamo, da so 1 in - 3, 5 x in 2 x podobni členi polinoma ali podobni členi. Da bi poenostavili izraz, poiščite in zmanjšajte podobne izraze.

Polinom standardne oblike

Vsi monomi in polinomi imajo svoja posebna imena.

Definicija 5

Polinom standardne oblike se imenuje polinom, v katerem ima vsak člen, ki je vanj vključen, monom standardne oblike in ne vsebuje podobnih členov.

Iz definicije je jasno, da je možno reducirati polinome standardne oblike, na primer 3 x 2 − x y + 1 in __formula__, vnos pa je v standardni obliki. Izraza 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z in 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nista polinoma standardne oblike, saj ima prvi od njiju podobne člene v oblika 3 · x 2 in − x 2, drugi pa vsebuje monom oblike x · y 3 · x · z 2, ki se razlikuje od standardnega polinoma.

Če okoliščine to zahtevajo, se včasih polinom reducira na standardno obliko. Koncept prostega člena polinoma velja tudi za polinom standardne oblike.

Opredelitev 6

Prosti člen polinoma je polinom standardne oblike, ki nima dobesednega dela.

Z drugimi besedami, ko ima polinom v standardni obliki število, se imenuje prosti član. Potem je število 5 prosti člen polinoma x 2 z + 5, polinom 7 a + 4 a b + b 3 pa nima prostega člena.

Stopnja polinoma - kako jo najti?

Sama definicija stopnje polinoma temelji na definiciji polinoma standardne oblike in na stopnjah monomov, ki so njegove komponente.

Opredelitev 7

Stopnja polinoma standardne oblike se imenuje največja od stopinj, vključenih v njen zapis.

Poglejmo si primer. Stopnja polinoma 5 x 3 − 4 je enaka 3, ker imajo monomi, vključeni v njegovo sestavo, stopnje 3 in 0, večji med njimi pa 3. Definicija stopnje iz polinoma 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x je enaka največjemu izmed števil, to je 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 in 1, kar pomeni 5 .

Ugotoviti je treba, kako se najde sama diploma.

Opredelitev 8

Stopnja polinoma poljubnega števila je stopnja ustreznega polinoma v standardni obliki.

Ko polinom ni zapisan v standardni obliki, vendar morate najti njegovo stopnjo, ga morate zmanjšati na standardno obliko in nato poiskati zahtevano stopnjo.

Primer 1

Poiščite stopnjo polinoma 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

rešitev

Najprej predstavimo polinom v standardni obliki. Dobimo izraz v obliki:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Ko dobimo polinom standardne oblike, ugotovimo, da jasno izstopata dva - 2 · a 2 · b 2 · c 2 in y 2 · z 2 . Da bi našli stopinje, preštejemo in ugotovimo, da je 2 + 2 + 2 = 6 in 2 + 2 = 4. Vidi se, da je največji med njimi 6. Iz definicije sledi, da je 6 stopnja polinoma − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 in torej prvotna vrednost.

Odgovori: 6 .

Koeficienti polinomskih členov

Opredelitev 9

Če so vsi členi polinoma monomi standardne oblike, potem imajo v tem primeru ime koeficienti polinomskih členov. Z drugimi besedami, lahko jih imenujemo koeficienti polinoma.

Ob upoštevanju primera je jasno, da polinom oblike 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 vsebuje 4 polinome: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x in 7 z ustreznimi koeficienti 2, − 0, 5, 3 in 7. To pomeni, da se 2, − 0, 5, 3 in 7 štejejo za koeficiente členov danega polinoma oblike 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Pri pretvorbi je pomembno, da smo pozorni na koeficiente pred spremenljivkami.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Iz več spremenljivk. Najprej se spomnimo koncepta polinoma in definicij, povezanih s tem pojmom.

Definicija 1

Polinom-- je vsota monomov.

Definicija 2

Polinomski izrazi-- to so vsi monomi, vključeni v polinom.

Definicija 3

Polinom standardne oblike je polinom, sestavljen iz monomov standardne oblike, ki nima podobnih členov.

Definicija 4

Stopnja polinoma standardne oblike-- največja stopnja stopenj monomov, vključenih v to.

Zdaj neposredno uvedemo definicijo polinoma v dveh spremenljivkah.

Definicija 5

Polinom, katerega členi imajo samo dve različni spremenljivki, se imenuje polinom dveh spremenljivk.

Primer: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Na binomih je mogoče izvajati naslednje operacije: binome lahko seštevamo in odštevamo drug od drugega, medsebojno pomnožimo in tudi pomnožimo z monomom ter dvignemo na poljubno potenco.

Vsota polinomov dveh spremenljivk

Oglejmo si vsoto binomov na primeru

Primer 1

Seštejmo binome $(xy)^5+(3x)^5$ in $(3x)^5-(xy)^5$

rešitev.

Prvi korak je, da te polinome zapišemo kot vsoto:

\[\levo((xy)^5+(3x)^5\desno)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Razširimo oklepaje:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

odgovor:$(6x)^5$.

Razlika polinomov dveh spremenljivk

Primer 2

Od binoma $(xy)^5+(3x)^5$ odštejte binom $(3x)^5-(xy)^5$

rešitev.

Prvi korak je, da te polinome zapišemo kot razliko:

\[\levo((xy)^5+(3x)^5\desno)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Razširimo oklepaje:

Naj vas spomnimo, da če je pred oklepajem znak minus, se znaki v oklepajih spremenijo v nasprotno, ko se oklepaji odprejo.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Predstavimo podobne izraze in kot rezultat dobimo:

\[(2xy)^5\]

odgovor:$(2xy)^5$.

Produkti monoma in polinoma dveh spremenljivk

Množenje monoma s polinomom vedno povzroči polinom.

Shema za množenje monoma s polinomom

• nastaja delo.
• Odprejo se oklepaji. Če želite pri množenju odpreti oklepaje, morate vsak monom pomnožiti z vsakim členom polinoma in ju sešteti.
• številke so združene s številkami, ki so med seboj enake spremenljivke.
• števila pomnožimo in seštejemo potence ustreznih enakih spremenljivk.

Primer 3

Pomnožite monom $x^2y$ s polinomom $(x^2y^2-x^2-y^2)$

rešitev.

Sestavimo komad:

Razširimo oklepaje:

Z množenjem dobimo:

odgovor:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Produkt dveh polinomov z dvema spremenljivkama

Pravilo za množenje polinoma s polinomom: Da bi polinom pomnožili s polinomom, je treba vsak člen prvega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma, dobljene produkte sešteti in dobljeni polinom reducirati na standard. obliki.

Koncept polinoma

Definicija 1

Monomal- to so števila, spremenljivke, njihove potence in produkti.

Definicija 2

Polinom-- je vsota monomov.

Primer: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definicija 4

Standardna oblika monoma-- snemanje monoma kot produkta števila in naravnih potenc spremenljivk, vključenih v monom.

Definicija 5

Polinom standardne oblike je polinom, sestavljen iz monomov standardne oblike, ki nima podobnih členov.

Opredelitev 6

Moč monoma-- vsota vseh potenj spremenljivk, vključenih v monom.

Opredelitev 7

Stopnja polinoma standardne oblike-- največja stopnja stopenj monomov, vključenih v to.

Za koncept polinoma več spremenljivk lahko ločimo posebne primere: binom in trinom.

Opredelitev 8

Binom-- polinom, sestavljen iz dveh členov.

Primer: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Opredelitev 9

Trinom-- polinom, sestavljen iz treh členov.

Primer: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Na polinomih lahko izvajamo naslednje operacije: polinome lahko seštevamo in odštevamo drug od drugega, med seboj množimo in tudi množimo z monomom.

Vsota polinomov

Polinome lahko seštevamo med seboj. Razmislite o naslednjem primeru.

Primer 1

Seštejmo polinoma $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ in $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Prvi korak je, da te polinome zapišemo kot vsoto:

\[\levo((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\desno)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Razširimo oklepaje:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Vidimo, da je rezultat vsote teh dveh polinomov tudi polinom.

Razlika polinomov

Primer 2

Odštejte polinom $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ od polinoma $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Prvi korak je, da te polinome zapišemo kot razliko:

\[\levo((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\desno)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Razširimo oklepaje:

Naj vas spomnimo, da če je pred oklepajem znak minus, se znaki v oklepajih spremenijo v nasprotno, ko se oklepaji odprejo.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Predstavimo podobne izraze in kot rezultat dobimo:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vidimo, da je razlika med tema dvema polinomoma povzročila tudi polinom.

Produkti monoma in polinoma

Množenje monoma s polinomom vedno povzroči polinom.

Shema za množenje monoma s polinomom.

• nastaja delo.
• Odprejo se oklepaji. Če želite odpreti oklepaje, morate pri množenju vsak monom pomnožiti z vsakim členom polinoma in ju sešteti.
• številke so združene s številkami, ki so med seboj enake spremenljivke.
• števila pomnožimo in seštejemo potence ustreznih enakih spremenljivk.

Primer 3

Pomnožite monom $(-m^2n)$ s polinomom $(m^2n^2-m^2-n^2)$

rešitev.

Sestavimo komad:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Razširimo oklepaje:

\[\levo(-m^2n\ \desno)\cdot m^2n^2+\levo(-m^2n\ \desno)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Z množenjem dobimo.

Vzemimo dve črki x in l. Izdelek kje A– število, imenovano monom. Njegova stopnja je k+l. Vsoto monomov imenujemo polinom. Za razliko od polinomov z eno spremenljivko, za polinome z velikim številom spremenljivk ni splošno sprejetega standardnega zapisa.
Tako kot polinome v eni spremenljivki lahko tudi polinome v dveh spremenljivkah faktoriziramo. Pomembna razširitev je razširitev razlike n- s stopinjami, za katere poznate n=2 in 3 :


Te formule je enostavno posplošiti za poljubne n:

vsota n- s stopinj se lahko enostavno razširi v primeru, ko n liho. Izraz je mogoče predstaviti kot in uporabite formulo za razširitev razlike n- s stopinjami.

Simetrični polinomi
Med polinomi v dveh spremenljivkah imajo pomembno vlogo simetrični polinomi, torej polinomi, ki se ne spremenijo, ko črke prestavimo. x in l.

Simetrični polinom- polinom n spremenljivk, ki se ne spremeni z vsemi permutacijami spremenljivk, ki so vanj vključene.

Primeri

• Osnovni simetrični polinomi - polinomi oblike

specifično za , torej te:

Ura algebre in začeta analiza 11. razred

"Polinomi v več spremenljivkah"

Cilji: Razširite znanje o polinomih z eno spremenljivko in polinomih v več spremenljivkah, o tehnikah faktoriziranja polinomov.

Naloge:

Poučna :

razvijejo sposobnost predstavitve polinoma z več spremenljivkami v standardni obliki;

utrdijo veščine faktoriziranja polinoma na različne načine;

naučiti, kako uporabljati ključne naloge ne samo v znanih, ampak tudi v spremenjenih in neznanih situacijah.

Razvojni

zagotoviti pogoje za razvoj kognitivnih procesov;

spodbujati razvoj logičnega mišljenja, opazovanja, sposobnosti pravilnega povzemanja podatkov in sklepanja;

cspodbujati razvoj veščin za uporabo znanja v nestandardnih pogojih

Poučna :

ustvarjati pogoje za vzbujanje spoštovanja do kulturne in zgodovinske dediščine matematične znanosti;

spodbujati ustno in pisno pismenost učencev.

Vrsta lekcije: lekcija o učenju nove teme

Oprema: računalnik, projektor, platno, učni listi.

Načrt lekcije:

1. Organizacijski trenutek: uvodni govor učitelja, (1 min.)
2. Posodabljanje temeljnega znanja. (6 min.):

3. Preučevanje nove teme. (7 min)
4. Utrjevanje pridobljenega znanja. (15 min)

5.Uporaba zgodovinskega gradiva. (3 min)

6. Spremljanje rezultatov primarnega utrjevanja - samostojno delo (5 min)

6. Povzetek lekcije. Odsev. (2 min)

7. Domača naloga, navodila za njeno izdelavo (1 min.)

Napredek lekcije

1. Uvod učitelja

Ustrezna je tema “Polinomi” (polinomi v eni spremenljivki, polinomi v več spremenljivkah), sposobnost deljenja polinoma s polinomom pod “kotom”, Bezoutov izrek, posledica Bezoutovega izreka, uporaba Hornerjeve sheme pri reševanju. enačbe višjih stopenj vam bodo omogočile, da se spopadete z najzapletenejšimi nalogami USE za srednješolski tečaj.

Ni se vam treba bati delati napak; nasveti, da se učite na napakah drugih, so neuporabni; učite se lahko le na lastnih napakah. Bodite aktivni in pozorni.

2.Posodobitev temeljnega znanja

Delo na listih (defaktorji na različne načine) Delo v parih

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

za +4 (x + y) + bx

x y + xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + sekira

cb + 3a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 c

str 2 x + p x 2

2 ac -4 pr

3 x 2 + 3x 3 l

6 a 2 b + 3 ab 2

9 x 2 – 4 leta 2

16 m 2 – 9 n 2

X 3 +y 3

a 3 – 8 let 3

m 2 +3m -18

2 x 2 + 3x+1

3 leta 2 + 7 let – 6

3a 2 + 7 a + 2

7n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

(Vzajemno preverjanje za oceno)

Je vse jasno? Na katere težave ste naleteli?

Kako to predstaviti v obliki dela???

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Vrnimo se k temu vprašanju malo kasneje.

3. Preučevanje nove teme.

Kako lahko imenujemo izraze, ki smo jih faktorizirali?Polinom z več spremenljivkami)

Standardna oblika polinoma z več spremenljivkami

5 xx – 2 l x l 2 + (- 3 l ) + 45 xxyy Ali ga lahko imenujemo polinom standardne oblike? Predstavite ga v standardni obliki.5 x 2 – 2 x l 3 + 45 x 2 l 2

(Razlikujte med polinomi z eno spremenljivko inpolinomi z več spremenljivkami, predstavljajo polinom v standardni obliki, predstavljajo polinom kot produkt))

Ležal sifaktorske polinome v več spremenljivkah. Navedite te metode.(diapozitiv)

Polinome višjih stopenj z eno spremenljivko smo faktorizirali po Hornerjevi shemi, deljenje z vogalom, z uporabo Bezoutovega izreka.

Svetovalci v odboru pojasnjujejo na dva načina

. a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Ugotovitev učitelja: metoda ni očitna, a zanimiva.

4. Utrjevanje pridobljenega znanja

(Delo v skupinah št. 2.2 učbenika, če je mogoče, faktoriziraj na dva načina, št. 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Uporaba zgodovinskega gradiva.

Zgodbe učencev o Bezu, Gorner

Povežite se s sodobnostjo

Samostojno delo

1 možnost

Možnost 2

Podan polinom f ( x ; l )= yx 5 l 2 x 2 + x 3 l 4 xy 2 -2 x 4 l(-1) l 5 – l 3 l 3 x 4 +15 x 4 yx 3 l 2 + x 2 l 2 ( x 5 l- x 2 l 4 )

Dan polinom f(a;b)= a 2 b(a 3 b-b 2 a 2 )+4a 3 (-1)b 2 a 2 -2aba 4 b+ 7ab 0 a 4 b 2 -3a 3 bab 2

A) Reducirajte ta polinom na standardno obliko.

B) Ugotovi, ali je podani polinom homogen.

B) Ugotovi, ali je podani polinom homogen.

C) Če je ta polinom homogen, določite njegovo stopnjo.

(Preverite na diapozitivih) ocenite se

7. Domača naloga, navodila za njeno izdelavošt.2.1; št. 2.4 (c, d); Št. 2.7 (b) za vsakogarŠt. 2.11 (a, b) Izpeljati formulo za skrajšano množenje “Kvadrat vsote trinoma”, faktorizacija x n - l n Za n - naravno.- za tiste, ki želijo Algebra in začetki analize 2. del. Problematika 11. razred. Avtorji: A. G. Mordkovich, P. V. Semenov;

8. Povzetek lekcije. Odsev

Koraki lekcije

Čas, min

Učiteljeve dejavnosti

Študentske dejavnosti

Metode, tehnike in oblike usposabljanja

Predviden rezultat izobraževalnih dejavnosti

Izobraževalna in metodološka podpora