Poenostavljene formule za množenje. Formule za skrajšano množenje s primeri

Formule za skrajšano množenje.

Učenje formul za skrajšano množenje: kvadrat vsote in kvadrat razlike dveh izrazov; razlika kvadratov dveh izrazov; kub vsote in kub razlike dveh izrazov; vsote in razlike kubov dveh izrazov.

Uporaba formul za skrajšano množenje pri reševanju primerov.

Če želite poenostaviti izraze, razčlenite polinome, zmanjšajte polinome na standardni pogled uporabljajo se skrajšane formule za množenje. Formule za skrajšano množenje, ki jih morate znati na pamet.

Naj bo a, b R. Potem:

1. Kvadrat vsote dveh izrazov je enak kvadrat prvega izraza plus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kvadrat razlike dveh izrazov je enak kvadrat prvega izraza minus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Razlika kvadratov dveh izrazov je enak produktu razlike teh izrazov in njune vsote.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kocka vsote dva izraza je enako kocki prvega izraza plus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega plus kub drugega izraza.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kocka razlike dva izraza je enako kubu prvega izraza minus trikratnik produkta kvadrata prvega izraza in drugega plus trikratnik produkta prvega izraza in kvadrata drugega minus kub drugega izraza.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Vsota kock dveh izrazov je enak zmnožku vsote prvega in drugega izraza ter nepopolnega kvadrata razlike teh izrazov.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Razlika kock dveh izrazov je enak zmnožku razlike prvega in drugega izraza z nepopolnim kvadratom vsote teh izrazov.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Uporaba formul za skrajšano množenje pri reševanju primerov.

Primer 1.

Izračunaj

a) S formulo za kvadrat vsote dveh izrazov imamo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) S formulo za kvadrat razlike dveh izrazov dobimo

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Primer 2.

Izračunaj

Z uporabo formule za razliko kvadratov dveh izrazov dobimo

Primer 3.

Poenostavite izraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Uporabimo formuli za kvadrat vsote in kvadrat razlike dveh izrazov

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrajšane formule množenja v eni tabeli:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kdaj itd. Spodaj si bomo ogledali najbolj priljubljene formule in analizirali, kako jih pridobimo.

Kvadrat vsote

Kvadrirajmo vsoto dveh monomov, takole: \((a+b)^2\). Kvadriranje je množenje števila ali izraza samega, to je \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Zdaj lahko preprosto odpremo oklepaje, jih pomnožimo, kot smo storili, in dodamo podobne izraze. Dobimo:

In če izpustimo vmesne izračune in zapišemo samo začetni in končni izraz, dobimo končno formulo:

Vsota na kvadrat:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Večina učencev se ga nauči na pamet. In zdaj veste, kako izpeljati to formulo, in če nenadoma pozabite, lahko to vedno storite.
V redu, toda kako ga uporabiti in zakaj je ta formula potrebna? Kvadrat vsote vam omogoča, da hitro zapišete rezultat kvadriranja vsote dveh členov. Poglejmo si primer.

Primer . Razširi oklepaje: \((x+5)^2\)
rešitev :

Upoštevajte, koliko hitreje in z manj truda je rezultat dosežen v drugem primeru. In ko boste to in druge formule obvladali do avtomatizma, bo šlo še hitreje: odgovor lahko preprosto napišete takoj. Zato se imenujejo ZMANJŠANE formule množenja. Zato se vsekakor splača poznati jih in se jih naučiti uporabljati.

Za vsak slučaj ugotavljamo, da kot \(a\) in \(b\) Izrazi so lahko poljubni - princip ostaja enak. Na primer:

Če nenadoma ne razumete nekaterih transformacij v zadnjih dveh primerih, ponovite temo.

Primer . Pretvorite izraz \((1+5x)^2-12x-1 \) v standardno obliko.

rešitev :

odgovor: \(25x^2-2x\).

Pomembno! Naučiti se je treba uporabljati formule ne samo v smeri "naprej", ampak tudi v smeri "nazaj".

Primer . Izračunajte vrednost izraza \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) brez kalkulatorja.

rešitev :

odgovor: \(250 000\).

Kvadratna razlika

Zgoraj smo našli formulo za vsoto monomov. Poiščimo zdaj formulo za razliko, to je za \((a-b)^2\):

V bolj jedrnati obliki imamo:

Kvadratna razlika: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Uporablja se na enak način kot prejšnji.

Primer . Poenostavite izraz \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) in poiščite njegovo vrednost pri \(a=\frac(17)(8)\).

rešitev :

odgovor: \(8\).

Razlika kvadratov

Torej, obravnavali smo situacije produkta dveh oklepajev s plusom in dveh oklepajev z minusom. Preostali primer je zmnožek enakih oklepajev z različnimi predznaki. Poglejmo, kaj se zgodi:

Dobili smo formulo:

Razlika kvadratov \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Ta formula je ena najpogosteje uporabljenih pri delu z.

Primer . Zmanjšajte ulomek \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

rešitev :

odgovor: \(x+3\).

Primer .Faktoriziraj \(25x^4-m^(10) t^6\).
rešitev :

To so tri osnovne formule, ki jih morate poznati Nujno! Obstajajo tudi formule s kockami (glej zgoraj), prav tako je priporočljivo, da si jih zapomnite ali jih lahko hitro izpeljete. Upoštevajte tudi, da se v praksi v eni težavi pogosto pojavlja več takšnih formul hkrati - to je normalno. Samo naučite se opaziti formule in jih previdno uporabljati, pa bo vse v redu.

Primer (napredno!) .Zmanjšaj ulomek.
rešitev :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Na prvi pogled je to tiha groza in proti temu se ne da narediti nič (ne razmišljamo resno o možnosti »lezi se in umri«). Vendar pa poskusimo zamenjati zadnja dva člena števca in dodati oklepaje (zaradi jasnosti).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Zdaj pa nekoliko preoblikujemo izraze v oklepaju: \(4xy\) zapišemo kot \(2 x 2y\), in \(4y^2\) kot \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Zdaj pa si poglejmo podrobneje in opazimo, da imamo v oklepaju formulo za kvadrat razlike, ki ima \(a=x\), \(b=2y\). Po njej se zrušimo v obliki oklepajev v kvadratu. In hkrati predstavljamo devet kot \(3\) na kvadrat.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Še enkrat pozorno pogledamo števec ... pomisli ... pomisli ... in opazimo formulo za razliko kvadratov, ki ima \(a=(x-2y)\), \(b=3\) . Razčlenimo ga na produkt dveh oklepajev.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		In zdaj zmanjšamo drugi oklepaj števca in celoten imenovalec.
		Odgovor je pripravljen.

Vsebina lekcije

Kvadrat vsote dveh izrazov

Obstaja več primerov, ko je množenje polinoma s polinomom mogoče zelo poenostaviti. Tako je na primer (2 x+ 3l) 2 .

Izraz (2 x+ 3l) 2 je množenje dveh polinomov, od katerih je vsak enak (2 x+ 3l)

(2x+ 3l) 2 = (2x+ 3l)(2x+ 3l)

Dobili smo množenje polinoma s polinomom. Izvedimo ga:

(2x+ 3l) 2 = (2x+ 3l)(2x+ 3l) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9l 2 = 4x 2 + 12xy+ 9l 2

To je izraz (2 x+ 3l) 2 je enako 4x 2 + 12xy + 9l 2

(2x+ 3l) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9l 2

Rešimo podoben primer, ki je preprostejši:

(a+b) 2

Izraz ( a+b) 2 je množenje dveh polinomov, od katerih je vsak enak ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Naredimo to množenje:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Se pravi izraz (a+b) 2 je enako a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Izkazalo se je, da je primer ( a+b) 2 se lahko razširi na katero koli a in b. Prvi primer, ki smo ga rešili, namreč (2 x+ 3l) 2 je mogoče rešiti z uporabo identitete (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Če želite to narediti, morate namesto spremenljivk zamenjati a in b ustrezni izrazi iz izraza (2 x+ 3l) 2 . V tem primeru spremenljivka a ustreza členu 2 x, in spremenljivko b ustreza členu 3 l

a = 2x

b = 3l

In potem lahko uporabimo identiteto (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , ampak namesto spremenljivk a in b zamenjati morate izraze 2 x in 3 l oziroma:

(2x+ 3l) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 l + (3l) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9l 2

Tako kot prejšnjič smo dobili polinom 4x 2 + 12xy+ 9l 2 . Rešitev je običajno zapisana na kratko, pri čemer se v mislih izvedejo vse osnovne transformacije:

(2x+ 3l) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9l 2

Identiteta (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 imenovana formula za kvadrat vsote dveh izrazov. To formulo lahko beremo takole:

Kvadrat vsote dveh izrazov je enak kvadratu prvega izraza plus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

Razmislite o izrazu (2 + 3) 2. Izračunamo ga lahko na dva načina: seštejemo v oklepajih in kvadriramo dobljeni rezultat ali uporabimo formulo za kvadrat vsote dveh izrazov.

Prvi način:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Drugi način:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Primer 2. Pretvori izraz (5 a+ 3) 2 v polinom.

Uporabimo formulo za kvadrat vsote dveh izrazov:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a+ 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

pomeni, (5a+ 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Poskusimo rešiti ta primer brez uporabe kvadrata formule vsote. Morali bi dobiti enak rezultat:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Formula za kvadrat vsote dveh izrazov je geometrijski pomen. Ne pozabite, da moramo za izračun površine kvadrata dvigniti njegovo stran na drugo potenco.

Na primer, površina kvadrata s stranico a bo enakovreden a 2. Če povečate stranico kvadrata za b, potem bo površina enaka ( a+b) 2

Razmislite o naslednji sliki:

Predstavljajmo si, da se stranica kvadrata, prikazanega na tej sliki, poveča za b. Kvadrat ima vse stranice enake. Če se njegova stran poveča za b, potem se bodo tudi preostale stranice povečale za b

Rezultat je nov kvadrat, ki je večji od prejšnjega. Da bi bilo jasno videti, dopolnimo manjkajoče strani:

Če želite izračunati površino tega kvadrata, lahko ločeno izračunate kvadrate in pravokotnike, ki so v njem, nato pa dodajte rezultate.

Najprej lahko izračunate kvadrat s stranico a- njegova površina bo enaka a 2. Nato lahko izračunate pravokotnike s stranicami a in b- bosta enakovredna ab. Nato lahko izračunate kvadrat s stranico b

Rezultat je naslednja vsota površin:

a 2 + ab+ab + b 2

Vsoto ploščin enakih pravokotnikov lahko nadomestimo z množenjem 2 ab, kar bo dobesedno pomenilo "dvakrat ponovi območje pravokotnika ab" . Algebraično se to dobi z ulivanjem podobni pogoji ab in ab. Rezultat je izraz a 2 + 2ab+ b 2 , ki je desna stran formule za kvadrat vsote dveh izrazov:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

Kvadrat razlike dveh izrazov

Formula za kvadrat razlike dveh izrazov je naslednja:

(a−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Kvadrat razlike dveh izrazov je enak kvadratu prvega izraza minus dvakratni produkt prvega in drugega izraza plus kvadrat drugega izraza.

Formulo za kvadrat razlike dveh izrazov izpeljemo na enak način kot formulo za kvadrat vsote dveh izrazov. Izraz ( a−b) 2 je produkt dveh polinomov, od katerih je vsak enak ( a−b)

(a−b) 2 = (a−b)(a−b)

Če izvedete to množenje, dobite polinom a 2 − 2ab + b 2

(a−b) 2 = (a−b)(a−b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Primer 1. Pretvori izraz (7 x− 5) 2 v polinom.

Uporabimo formulo za kvadrat razlike dveh izrazov:

(a−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

pomeni, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Poskusimo rešiti ta primer brez uporabe formule kvadratne razlike. Morali bi dobiti enak rezultat:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Formula za kvadrat razlike dveh izrazov ima tudi geometrijski pomen. Če je površina kvadrata s stranico a enako a 2, nato pa površina kvadrata, katerega stranica je zmanjšana za b, bo enako ( a−b) 2

Razmislite o naslednji sliki:

Predstavljajmo si, da se stranica kvadrata, prikazanega na tej sliki, zmanjša za b. Kvadrat ima vse stranice enake. Če se ena stran zmanjša za b, potem se bodo tudi preostale stranice zmanjšale za b

Rezultat je nov kvadrat, ki je manjši od prejšnjega. Na sliki je označen z rumeno. Njegova stranica je enaka a− b ker stara stran a zmanjšal za b. Če želite izračunati površino tega kvadrata, lahko iz prvotne površine kvadrata a 2 odštejemo površine pravokotnikov, ki smo jih dobili v procesu zmanjševanja stranic starega kvadrata. Pokažimo te pravokotnike:

Potem lahko zapišete naslednji izraz: stari kvadrat a 2 minus območje ab minus območje ( a−b)b

a 2 − ab − (a−b)b

Razširimo oklepaje v izrazu ( a−b)b

a 2 − ab−ab + b 2

Poglejmo si podobne izraze:

a 2 − 2ab + b 2

Rezultat je izraz a 2 − 2ab + b 2 , ki je desna stran formule za kvadrat razlike dveh izrazov:

(a−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Formuli za kvadrat vsote in kvadrat razlike se običajno imenujejo formule za skrajšano množenje. Te formule lahko bistveno poenostavijo in pospešijo proces množenja polinomov.

Prej smo rekli, da ga je treba pri ločenem obravnavanju člana polinoma upoštevati skupaj z znakom, ki se nahaja pred njim.

Toda pri uporabi skrajšanih formul za množenje znaka prvotnega polinoma ne smemo obravnavati kot znak samega izraza.

Na primer, če je podan izraz (5 x − 2l) 2 in želimo uporabiti formulo (a−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , nato namesto b treba zamenjati 2 l, ne −2 l. To je značilnost dela s formulami, ki je ne smemo pozabiti.

(5x − 2l) 2
a = 5x
b = 2l
(5x − 2l) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 l + (2l) 2 = 25x 2 − 20xy + 4l 2

Če zamenjamo −2 l, bo to pomenilo, da je bila razlika v oklepaju prvotnega izraza nadomeščena z vsoto:

(5x − 2l) 2 = (5x + (−2l)) 2

in v tem primeru ne morate uporabiti formule za kvadrat razlike, ampak formulo za kvadrat vsote:

(5x + (−2l) 2
a = 5x
b = −2l
(5x + (−2l)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (–2 l) + (−2l) 2 = 25x 2 − 20xy + 4l 2

Izjema so lahko izrazi oblike (x− (−l)) 2 . V tem primeru z uporabo formule (a−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 namesto b je treba nadomestiti (- l)

(x− (−l)) 2 = x 2 − 2 × x× (− l) + (−l) 2 = x 2 + 2xy + l 2

Toda kvadriranje izrazov oblike x − (−l), bolj priročno bo odštevanje nadomestiti s seštevanjem x+y. Potem bo prvotni izraz dobil obliko ( x+l) 2 in namesto razlike bo mogoče uporabiti formulo za kvadrat vsote:

(x+l) 2 = x 2 + 2xy + l 2

Kocka vsote in kub razlike

Formuli za kub vsote dveh izrazov in kub razlike dveh izrazov sta naslednji:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a−b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Formulo za kub vsote dveh izrazov lahko preberemo takole:

Kub vsote dveh izrazov je enak kubu prvega izraza plus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega plus kub drugi izraz.

In formulo za kocko razlike med dvema izrazoma lahko preberemo takole:

Kub razlike dveh izrazov je enak kubu prvega izraza minus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega minus kub drugi izraz.

Pri reševanju nalog je priporočljivo te formule poznati na pamet. Če se ne spomnite, ni problema! Odstranite jih lahko sami. To že vemo.

Izpeljimo formulo za kub vsote sami:

(a+b) 3

Izraz ( a+b) 3 je produkt treh polinomov, od katerih je vsak enak ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

Toda izraz ( a+b) 3 lahko zapišemo tudi kot (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

V tem primeru faktor ( a+ b) 2 je kvadrat vsote obeh izrazov. Ta vsota na kvadrat je enaka izrazu a 2 + 2ab + b 2 .

Potem ( a+b) 3 lahko zapišemo kot (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

In to je množenje polinoma s polinomom. Izvedimo ga:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Podobno lahko izpeljete formulo za kocko razlike dveh izrazov:

(a−b) 3 = (a − b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

Primer 1. Pretvori izraz ( x+ 1) 3 v polinom.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Poskusimo rešiti ta primer brez uporabe formule za kub vsote dveh izrazov

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Primer 2. Pretvori izraz (6a 2 + 3b 3) 3 v polinom.

Uporabimo formulo za kub vsote dveh izrazov:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3 + 3 × 6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36 a 4×3 b 3 + 3 × 6 a 2×9 b 6 + 27b 9

Primer 3. Pretvori izraz ( n 2 − 3) 3 v polinom.

(a−b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Primer 4. Pretvori izraz (2x 2 − x 3) 3 v polinom.

Uporabimo formulo za kub razlike dveh izrazov:

(a−b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Množenje razlike dveh izrazov z njuno vsoto

Obstajajo težave, pri katerih morate razliko dveh izrazov pomnožiti z njuno vsoto. Na primer:

(a−b)(a+b)

V tem izrazu je razlika dveh izrazov a in b pomnoženo z vsoto istih dveh izrazov. Naredimo to množenje:

(a−b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

Se pravi izraz (a−b)(a+b) enako a 2 − b 2

(a−b)(a+b) = a 2 − b 2

Vidimo, da ko razliko dveh izrazov pomnožimo z njuno vsoto, dobimo razliko kvadratov teh izrazov.

Zmnožek razlike dveh izrazov in njune vsote je enak razliki kvadratov teh izrazov.

Dogajanje (a−b)(a+b) se lahko razdeli komurkoli a in b. Preprosto povedano, če morate pri reševanju problema pomnožiti razliko dveh izrazov z njuno vsoto, potem lahko to množenje nadomestite z razliko kvadratov teh izrazov.

Primer 1. Izvedite množenje (2x − 5)(2x + 5)

V tem primeru je razlika izrazov 2 x in 5 pomnoženo z vsoto istih izrazov. Nato po formuli (a−b)(a+b) = a 2 − b 2 imamo:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Izračunajmo desno stran, dobimo 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Poskusimo rešiti ta primer brez uporabe formule (a−b)(a+b) = a 2 − b 2 . Dobili bomo enak rezultat 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Primer 2. Izvedite množenje (4x − 5l)(4x + 5l)

(a−b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5l)(4x + 5l) = (4x) 2 − (5l) 2 = 16x 2 − 25l 2

Primer 3. Izvedite množenje (2a+ 3b)(2a− 3b)

Uporabimo formulo za množenje razlike dveh izrazov z njuno vsoto:

(a−b)(a+b) = a 2 − b 2

(2a+ 3b)(2a − 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

V tem primeru je vsota izrazov 2 a in 3 b je bil lociran prej kot razlika teh izrazov. In v formuli (a−b)(a+b) = a 2 − b 2 razlika se najde prej.

Ni pomembno, kako so dejavniki razporejeni ( a−b) V ( a+b) v formuli. Lahko jih zapišemo kot (a−b)(a+b) , torej (a+b)(a−b) . Rezultat bo še vedno enak a 2 − b 2, saj se produkt ne spremeni zaradi preurejanja faktorjev.

Torej v tem primeru dejavniki (2 a+ 3b) in (2 a − 3b) lahko zapišemo kot (2a+ 3b)(2a − 3b) , torej (2a − 3b)(2a+ 3b) . Rezultat bo še vedno 4 a 2 − 9b 2 .

Primer 3. Izvedite množenje (7 + 3x)(3x − 7)

Uporabimo formulo za množenje razlike dveh izrazov z njuno vsoto:

(a−b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Primer 4. Izvedite množenje (x 2 − l 3)(x 2 + l 3)

(a−b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − l 3)(x 2 + l 3) = (x 2) 2 − (l 3) 2 = x 4 − l 6

Primer 5. Izvedite množenje (−5x− 3l)(5x− 3l)

V izrazu (−5 x− 3l) damo −1 iz oklepaja, potem bo prvotni izraz dobil naslednjo obliko:

(−5x− 3l)(5x− 3l) = −1(5x + 3l)(5x − 3l)

delo (5x + 3l)(5x − 3l) nadomestite z razliko kvadratov:

(−5x− 3l)(5x− 3l) = −1(5x + 3l)(5x − 3l) = −1((5x) 2 − (3l) 2)

Razlika kvadratov je bila vpisana v oklepajih. Če tega ne naredimo, potem se izkaže, da se −1 samo pomnoži z (5 x) 2 . In to bo povzročilo napako in spremembo vrednosti prvotnega izraza.

(−5x− 3l)(5x− 3l) = −1(5x + 3l)(5x − 3l) = −1((5x) 2 − (3l) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Zdaj pomnožite −1 z izrazom v oklepaju in dobite končni rezultat:

(−5x− 3l)(5x− 3l) = −1(5x + 3l)(5x − 3l) = −1((5x) 2 − (3l) 2) =
−1(25x 2 − 9l 2) = −25x 2 + 9l 2

Množenje razlike dveh izrazov z delnim kvadratom njune vsote

Obstajajo težave, pri katerih morate razliko dveh izrazov pomnožiti z delnim kvadratom njune vsote. Ta kos izgleda takole:

(a−b)(a 2 + ab + b 2)

Prvi polinom ( a−b) je razlika dveh izrazov, drugi pa je polinom (a 2 + ab + b 2) je delni kvadrat vsote teh dveh izrazov.

Delni kvadrat vsote je polinom oblike a 2 + ab + b 2 . Videti je kot običajna vsota na kvadrat a 2 + 2ab + b 2

Na primer, izraz 4x 2 + 6xy + 9l 2 je nepopoln kvadrat vsote izrazov 2 x in 3 l .

Dejansko prvi člen izraza 4x 2 + 6xy + 9l 2 , in sicer 4 x 2 je kvadrat izraza 2 x, saj (2 x) 2 = 4x 2. Tretji izraz izraza 4x 2 + 6xy + 9l 2 , in sicer 9 l 2 je kvadrat izraza 3 l, saj (3 l) 2 = 9l 2. Član v sredini 6 xy, je produkt izrazov 2 x in 3 l.

Torej, pomnožimo razliko ( a−b) z delnim kvadratom vsote a 2 + ab + b 2

(a−b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

Se pravi izraz (a−b)(a 2 + ab + b 2) enako a 3 − b 3

(a−b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Ta istovetnost se imenuje formula za množenje razlike dveh izrazov z delnim kvadratom njune vsote. To formulo lahko beremo takole:

Zmnožek razlike dveh izrazov in nepopolnega kvadrata njune vsote je enak razliki kubov teh izrazov.

Primer 1. Izvedite množenje (2x − 3l)(4x 2 + 6xy + 9l 2)

Prvi polinom (2 x − 3l) je razlika dveh izrazov 2 x in 3 l. Drugi polinom 4x 2 + 6xy + 9l 2 to je delni kvadrat vsote dveh izrazov 2 x in 3 l. To vam omogoča uporabo formule brez dolgih izračunov (a−b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . V našem primeru množenje (2x − 3l)(4x 2 + 6xy + 9l 2) lahko nadomestimo z razliko kock 2 x in 3 l

(2x − 3l)(4x 2 + 6xy + 9l 2) = (2x) 3 − (3l) 3 = 8x 3 − 27l 3

(a−b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Dobili bomo enak rezultat, vendar bo rešitev daljša:

(2x − 3l)(4x 2 + 6xy + 9l 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9l 2) − 3l(4x 2 + 6xy + 9l 2) =
8x 3 + 12x 2 l + 18xy 2 − 12x 2 l − 18xy 2 − 27l 3 = 8x 3 − 27l 3

Primer 2. Izvedite množenje (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Prvi polinom (3 − x) je razlika dveh izrazov, drugi polinom pa je delni kvadrat vsote teh dveh izrazov. To nam omogoča uporabo formule (a−b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Množenje vsote dveh izrazov z delnim kvadratom njune razlike

Obstajajo težave, pri katerih morate pomnožiti vsoto dveh izrazov z delnim kvadratom njune razlike. Ta kos izgleda takole:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

Prvi polinom ( a+b (a 2 − ab + b 2) je nepopolni kvadrat razlike teh dveh izrazov.

Delni kvadrat razlike je polinom oblike a 2 − ab + b 2 . Videti je kot navaden diferenčni kvadrat a 2 − 2ab + b 2 le da se v njem produkt prvega in drugega izraza ne podvaja.

Na primer, izraz 4x 2 − 6xy + 9l 2 je nepopolni kvadrat razlike izrazov 2 x in 3 l.

(2x) 2 − 2x× 3 l + (3l) 2 = 4x 2 − 6xy + 9l 2

Vrnimo se k izvirnemu primeru. Pomnožimo vsoto a+b z delnim kvadratom razlike a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

Se pravi izraz (a+b)(a 2 − ab + b 2) enako a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Ta istovetnost se imenuje formula za množenje vsote dveh izrazov z nepopolnim kvadratom njune razlike. To formulo lahko beremo takole:

Zmnožek vsote dveh izrazov in delnega kvadrata njune razlike je enak vsoti kubov teh izrazov.

Primer 1. Izvedite množenje (2x + 3l)(4x 2 − 6xy + 9l 2)

Prvi polinom (2 x + 3l) je vsota dveh izrazov 2 x in 3 l, in drugi polinom 4x 2 − 6xy + 9l 2 to je nepopolni kvadrat razlike teh izrazov. To vam omogoča uporabo formule brez dolgih izračunov (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . V našem primeru množenje (2x + 3l)(4x 2 − 6xy + 9l 2) lahko nadomestimo z vsoto kock 2 x in 3 l

(2x + 3l)(4x 2 − 6xy + 9l 2) = (2x) 3 + (3l) 3 = 8x 3 + 27l 3

Poskusimo rešiti isti primer brez uporabe formule (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Dobili bomo enak rezultat, vendar bo rešitev daljša:

(2x + 3l)(4x 2 − 6xy + 9l 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9l 2) + 3l(4x 2 − 6xy + 9l 2) =
8x 3 − 12x 2 l + 18xy 2 + 12x 2 l − 18xy 2 + 27l 3 = 8x 3 + 27l 3

Primer 2. Izvedite množenje (2x+ l)(4x 2 − 2xy + l 2)

Prvi polinom (2 x+ l) je vsota dveh izrazov in drugega polinoma (4x 2 − 2xy + l 2) je nepopolni kvadrat razlike teh izrazov. To nam omogoča uporabo formule (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ l)(4x 2 − 2xy + l 2) = (2x) 3 + l 3 = 8x 3 + l 3

Poskusimo rešiti isti primer brez uporabe formule (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Dobili bomo enak rezultat, vendar bo rešitev daljša:

(2x+ l)(4x 2 − 2xy + l 2) = 2x(4x 2 − 2xy + l 2) + l(4x 2 − 2xy + l 2) =
8x 3 − 4x 2 l + 2xy 2 + 4x 2 l − 2xy 2 + l 3 = 8x 3 + l 3

Naloge za samostojno reševanje

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Formule za skrajšano množenje (MMF) se uporabljajo za potenciranje in množenje števil in izrazov. Pogosto te formule omogočajo bolj kompaktne in hitre izračune.

V tem članku bomo našteli glavne formule za skrajšano množenje, jih združili v tabelo, razmislili o primerih uporabe teh formul in se tudi poglobili v načela dokaza formul za skrajšano množenje.

Prvič je tema FSU obravnavana v okviru predmeta Algebra za 7. razred. Spodaj je 7 osnovnih formul.

Formule za skrajšano množenje

formula za kvadrat vsote: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
formula kvadratne razlike: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
formula kocke vsote: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
formula diferenčne kocke: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
formula kvadratne razlike: a 2 - b 2 = a - b a + b
formula za vsoto kock: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formula za razliko kock: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Črke a, b, c v teh izrazih so lahko poljubne številke, spremenljivke ali izrazi. Za lažjo uporabo je bolje, da se naučite sedem osnovnih formul na pamet. Zložimo jih v tabelo in jih predstavimo spodaj ter jih obkrožimo z okvirjem.

Prve štiri formule vam omogočajo, da izračunate kvadrat ali kub vsote ali razlike dveh izrazov.

Peta formula izračuna razliko med kvadrati izrazov z množenjem njihove vsote in razlike.

Šesta oziroma sedma formula množita vsoto in razliko izrazov z nepopolnim kvadratom razlike oziroma nepopolnim kvadratom vsote.

Formulo za skrajšano množenje včasih imenujemo tudi identitete za skrajšano množenje. To ni presenetljivo, saj je vsaka enakost identiteta.

Pri reševanju praktičnih primerov se pogosto uporabljajo skrajšane formule za množenje z zamenjano levo in desno stranjo. To je še posebej priročno pri faktoriziranju polinoma.

Dodatne formule za skrajšano množenje

Ne omejujmo se le na tečaj algebre za 7. razred in v našo tabelo FSU dodajmo še nekaj formul.

Najprej si poglejmo Newtonovo binomsko formulo.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Tukaj so C n k binomski koeficienti, ki se pojavijo v vrstici številka n v Pascalovem trikotniku. Binomski koeficienti se izračunajo po formuli:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Kot lahko vidimo, je FSF za kvadrat in kub razlike in vsote poseben primer Newtonove binomske formule za n=2 oziroma n=3.

Kaj pa, če je v vsoti več kot dva člena, ki ju je treba dvigniti na potenco? Uporabna bo formula za kvadrat vsote treh, štirih ali več členov.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Druga formula, ki je lahko uporabna, je formula za razliko med n-timi potencami dveh členov.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ta formula je običajno razdeljena na dve formuli - za sode in lihe potence.

Tudi za kazalnike 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Za lihe eksponente 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formuli za razliko kvadratov in razlike kock sta, kot ste uganili, posebna primera te formule za n = 2 oziroma n = 3. Za razliko kock se tudi b nadomesti z - b.

Kako brati formule za skrajšano množenje?

Za vsako formulo bomo podali ustrezne formulacije, vendar bomo najprej razumeli načelo branja formul. Najprimernejši način za to je primer. Vzemimo prvo formulo za kvadrat vsote dveh števil.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Pravijo: kvadrat vsote dveh izrazov a in b je enak vsoti kvadrata prvega izraza, dvakratnega produkta izrazov in kvadrata drugega izraza.

Vse ostale formule se berejo podobno. Za kvadrat razlike a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 zapišemo:

kvadrat razlike med dvema izrazoma a in b je enak vsoti kvadratov teh izrazov minus dvakratni produkt prvega in drugega izraza.

Preberimo formulo a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kub vsote dveh izrazov a in b je enak vsoti kubov teh izrazov, potrojen zmnožek kvadrata prvega izraza z drugim in potrojen zmnožek kvadrata drugega izraza z prvi izraz.

Preidimo k branju formule za razliko kock a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kub razlike med dvema izrazoma a in b je enak kubu prvega izraza minus trojni zmnožek kvadrata prvega in drugega izraza plus trojni zmnožek kvadrata drugega in prvega izraza , minus kocka drugega izraza.

Peta formula a 2 - b 2 = a - b a + b (razlika kvadratov) se glasi takole: razlika kvadratov dveh izrazov je enaka produktu razlike in vsote obeh izrazov.

Zaradi udobja se izraza, kot sta a 2 + a b + b 2 in a 2 - a b + b 2, imenujeta nepopolni kvadrat vsote oziroma nepopolni kvadrat razlike.

Ob upoštevanju tega lahko formule za vsoto in razliko kock beremo takole:

Vsota kubov dveh izrazov je enaka produktu vsote teh izrazov in delnega kvadrata njune razlike.

Razlika med kuboma dveh izrazov je enaka produktu razlike med tema izrazoma in delnega kvadrata njune vsote.

Dokazilo o FSU

Dokaz FSU je povsem preprost. Na podlagi lastnosti množenja bomo pomnožili dele formul v oklepajih.

Na primer, razmislite o formuli za kvadrat razlike.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Če želite dvigniti izraz na drugo potenco, morate ta izraz pomnožiti s samim seboj.

a - b 2 = a - b a - b .

Razširimo oklepaje:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula je dokazana. Preostale FSU so dokazane podobno.

Primeri uporabe FSU

Namen uporabe formul za skrajšano množenje je hitro in jedrnato množenje ter dvigovanje izrazov na potence. Vendar to ni celotno področje uporabe FSU. Pogosto se uporabljajo pri zmanjševanju izrazov, zmanjševanju ulomkov in faktoriziranju polinomov. Navedimo primere.

Primer 1. FSU

Poenostavimo izraz 9 y - (1 + 3 y) 2.

Uporabimo formulo vsote kvadratov in dobimo:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Primer 2. FSU

Zmanjšajmo ulomek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Opazimo, da je izraz v števcu razlika kock, v imenovalcu pa razlika kvadratov.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Zmanjšamo in dobimo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU tudi pomagajo izračunati vrednosti izrazov. Glavna stvar je, da lahko opazite, kje uporabiti formulo. Pokažimo to s primerom.

Kvadrirajmo število 79. Namesto okornih izračunov zapišimo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Zdelo bi se kompleksen izračun izvedemo hitro samo z uporabo skrajšanih formul za množenje in množilnih tabel.

Še ena pomembna točka- prepoznavanje kvadrata binoma. Izraz 4 x 2 + 4 x - 3 lahko pretvorimo v 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takšne transformacije se pogosto uporabljajo pri integraciji.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Množenje polinoma s polinomom

! Za pomnoži polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma in sešteti nastale produkte.

Bodite previdni! Vsak izraz ima svoj znak.

Formule za skrajšano množenje Polinomi so na splošno 7 (sedem) pogostih primerov množenja polinomov.

Definicije inFormule za skrajšano množenje. Tabela

Tabela 2. Definicije formul za skrajšano množenje (kliknite za povečavo)

Tri skrajšane formule za množenje kvadratov

1. Formula za kvadrat vsote.

Kvadrat vsote dveh izrazov je enako kvadratu prvega izraza plus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

Za boljše razumevanje formule najprej poenostavimo izraz (razširimo formulo za kvadrat vsote)

Zdaj faktorizirajmo (strni formulo)

Zaporedje dejanj pri faktoringu:

ugotovi, kateri monomi so bili kvadrirani ( 5 in 3m);
preverite, ali je njihov dvojni produkt na sredini formule (2 5 3m = 30m);
zapišite odgovor (5 + 3m) 2.

2. Formula kvadratne razlike

Kvadratna razlika dva izraza je enako kvadratu prvega izraza minus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.

Najprej poenostavimo izraz (razširimo formulo):

In potem obratno, faktorizirajmo (strni formulo):

3. Formula kvadratne razlike

Zmnožek vsote dveh izrazov in njune razlike je enak razliki kvadratov teh izrazov.

Strnimo formulo (izvedimo množenje)

Zdaj pa razširimo formulo (faktorirajte jo)

Štiri skrajšane formule za množenje kock

4. Formula za kub vsote dveh števil

Kub vsote dveh izrazov je enak kubu prvega izraza plus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega plus kub drugi izraz.

Zaporedje dejanj pri "zrušitvi" formule:

poiščite monome, ki so bili kubirani (tukaj 4x in 1 );
preverite povprečne pogoje za skladnost s formulo;
zapišite odgovor.

5. Formula za kub razlike dveh števil

Kub razlike dveh izrazov je enak kubu prvega izraza minus trojni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trojni produkt prvega izraza in kvadrat drugega minus kub drugi izraz.