Linearne neenakosti. Podrobna teorija s primeri

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami večji ali enak (≥ ), manj kot ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj v primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti kakršne koli in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponavljati. Ta dejanja se imenujejo na naslednji način:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike vam gredo čez glavo in ... evo vas.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. katera koli. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno ne bo spremenila.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Jasen primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost, ki ne vzbuja dvomov:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolne laži! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To trivialno in preprosto pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za katerikoli neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo jo na povsem enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da števila naraščajo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - na levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva, seveda!" Tako je prav. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka v zameno ni primerna.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Da, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. takole:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V šibki neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5; ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. Pri kompleksnejših nalogah je senčenje manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidimo na naslednjo značilnost neenakosti.

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, z uporabo številčni intervali. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada"

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil oklepaj kvadrat. Tukaj je:]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, to je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preprosta neenakost. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite poljubni dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva katerikolištevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Teh parov je neskončno veliko! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo dalje.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se na primer pri iskanju ODZ ali pri iskanju domene definicije funkcije pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredite neenakost. takole:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej preprosto rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? seveda Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upajmo, da z izbiro vrednosti iz splošna rešitev vse je jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. A takšne trojne neenačbe je treba še reševati pri nekaterih nalogah... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj bi bilo treba kam preseliti?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno kratka oblika prva transformacija identitete.

In celotna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. takole:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri rešitvi linearne neenakosti odvisno od sposobnosti preoblikovanja in poenostavljanja linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Neenakost je zapis, v katerem so števila, spremenljivke ali izrazi povezani z znakom<, >, ali . To pomeni, da neenakost lahko imenujemo primerjava števil, spremenljivk ali izrazov. Znaki < , > , ⩽ in ⩾ se imenujejo znaki neenakosti.

Vrste neenakosti in kako se berejo:

Kot je razvidno iz primerov, so vse neenakosti sestavljene iz dveh delov: levega in desnega, ki sta povezana z enim od znakov neenakosti. Glede na znak, ki povezuje dele neenakosti, jih delimo na stroge in nestroge.

Stroge neenakosti- neenakosti, katerih deli so povezani z znakom< или >. Nestroge neenakosti- neenačbe, pri katerih so deli povezani z znakom oz.

Oglejmo si osnovna pravila primerjave v algebri:

• Vsako pozitivno število, večje od nič.
• Vsako negativno število je manjše od nič.
• Od dveh negativnih števil je večje tisto, katerega absolutna vrednost je manjša. Na primer, -1 > -7.
• a in b pozitivno:

  a - b > 0,

  to a več b (a > b).

• Če je razlika dveh neenakih števil a in b negativno:

  a - b < 0,

  to a manj b (a < b).

• Če je število večje od nič, potem je pozitivno:

  a> 0, kar pomeni a- pozitivno število.

• Če je število manjše od nič, je negativno:

  a < 0, значит a- negativno število.

Ekvivalentne neenakosti- neenakosti, ki so posledica drugih neenakosti. Na primer, če a manj b, To b več a:

a < b in b > a- ekvivalentne neenakosti

Lastnosti neenačb

1. Če obema stranema neenakosti dodamo isto število ali obema stranema odštejemo isto število, dobimo enakovredno neenakost, tj.

   če a > b, To a + c > b + c in a - c > b - c

   Iz tega sledi, da je mogoče člene neenakosti prenesti iz enega dela v drugega z nasprotnim predznakom. Na primer seštevanje obeh strani neenakosti a - b > c - d Avtor: d, dobimo:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom, dobimo enakovredno neenakost, tj.
3. Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, dobimo neenakost, ki je nasprotna dani, to je torej pri množenju ali deljenju obeh delov neenakosti z negativnim številom predznak neenakost je treba spremeniti v nasprotno.

   To lastnost lahko uporabite za spreminjanje predznakov vseh členov neenačbe tako, da pomnožite obe strani z -1 in spremenite predznak neenakosti v nasprotno:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -1< (-c) · -1

   a - b < c

   Neenakost -a + b > -c enako neenakosti a - b < c

Na primer, neenakost je izraz \(x>5\).

Vrste neenakosti:

Če sta \(a\) in \(b\) števili ali , se imenuje neenakost številčno. Pravzaprav gre samo za primerjavo dveh številk. Takšne neenakosti so razdeljene na zvest in nezvest.

Na primer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nepravilna številska neenakost, ker je \(17+3=20\) in \(20\) manjše od \(115\) (in ni večje ali enako) .

Če sta \(a\) in \(b\) izraza, ki vsebujeta spremenljivko, potem imamo neenakost s spremenljivko. Takšne neenakosti so glede na vsebino razdeljene na vrste:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Spremenljivka samo na prvo potenco
\(3x^2-x+5>0\)				Na drugi potenci (kvadrat) je spremenljivka, višjih potenc (tretja, četrta itd.) pa ni.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... in tako naprej.

Kakšna je rešitev neenakosti?

Če namesto spremenljivke v neenačbo nadomestite število, se bo ta spremenila v številsko.

Če podana vrednost za x spremeni prvotno neenakost v pravo numerično, potem se pokliče rešitev neenakosti. Če ne, potem ta vrednost ni rešitev. In tako to reši neenakost– najti morate vse njegove rešitve (ali pokazati, da jih ni).

na primerče nadomestimo število \(7\) v linearno neenačbo \(x+6>10\), dobimo pravilno številsko neenakost: \(13>10\). In če zamenjamo \(2\), bo prišlo do nepravilne številske neenakosti \(8>10\). To pomeni, da je \(7\) rešitev prvotne neenakosti, vendar \(2\) ni.

Vendar ima neenakost \(x+6>10\) druge rešitve. Dejansko bomo dobili pravilne številske neenakosti, ko zamenjamo \(5\), in \(12\), in \(138\) ... In kako lahko najdemo vse možne rešitve? Za to uporabljajo Za naš primer imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To pomeni, da nam bo ustrezala katera koli številka, večja od štiri. Zdaj morate zapisati odgovor. Rešitve neenačb običajno zapišemo številčno in jih na številski osi dodatno označimo s senčenjem. Za naš primer imamo:

odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kdaj se spremeni predznak neenakosti?

V neenakosti obstaja ena velika past, v katero se učenci zelo radi ujamejo:

Pri množenju (ali deljenju) neenakosti z negativnim številom se obrne (»več« z »manj«, »več ali enako« z »manj kot ali enako« in tako naprej)

Zakaj se to dogaja? Da bi to razumeli, si poglejmo transformacije numerične neenakosti \(3>1\). Res je, tri je res večje od ena. Najprej ga poskusimo pomnožiti s poljubnim pozitivnim številom, na primer z dvema:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kot lahko vidimo, po množenju neenakost ostane resnična. In ne glede na to, s katerim pozitivnim številom pomnožimo, bomo vedno dobili pravilno neenakost. Zdaj pa poskusimo pomnožiti z negativnim številom, na primer minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je napačna neenakost, ker je minus devet manj kot minus tri! To pomeni, da bi neenakost postala resnična (in je bila torej pretvorba množenja z negativom "legalna"), morate obrniti primerjalni znak, takole: \(−9<− 3\).
Z delitvijo bo šlo na enak način, lahko preverite sami.

Zgoraj zapisano pravilo velja za vse vrste neenačb, ne le za numerične.

primer: Rešite neenačbo \(2(x+1)-1<7+8x\)
rešitev:

\(2x+2-1<7+8x\)	Premaknimo se \(8x\) v levo in \(2\) in \(-1\) v desno, pri čemer ne pozabimo spremeniti znakov
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Delimo obe strani neenakosti z \(-6\), pri čemer ne pozabimo spremeniti iz »manj« v »več«
	Na osi označimo številski interval. Neenakost, zato "izluščimo" samo vrednost \(-1\) in je ne vzamemo kot odgovor
	Zapišimo odgovor kot interval

odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Neenakosti in invalidnost

Neenakosti, tako kot enačbe, imajo lahko omejitve na , to je na vrednosti x. Skladno s tem je treba iz nabora rešitev izločiti tiste vrednosti, ki so po DZ nesprejemljive.

primer: Rešite neenačbo \(\sqrt(x+1)<3\)

rešitev: Jasno je, da mora biti radikalni izraz manjši od \(9\), da bi bila leva stran manjša od \(3\) (navsezadnje iz \(9\) samo \(3\)). Dobimo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Vsi? Nam bo ustrezala katera koli vrednost x, manjša od \(8\)? ne! Kajti če vzamemo na primer vrednost \(-5\), za katero se zdi, da ustreza zahtevi, to ne bo rešitev prvotne neenakosti, saj nas bo vodila do izračuna korena negativnega števila.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Zato moramo upoštevati tudi omejitve glede vrednosti X – ne more biti tako, da bi bilo pod korenom negativno število. Tako imamo drugo zahtevo za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

In da je x končna rešitev, mora izpolnjevati obe zahtevi hkrati: biti mora manjši od \(8\) (da je rešitev) in večji od \(-1\) (da je načeloma dopusten). Če ga narišemo na številsko premico, dobimo končni odgovor:

odgovor: \(\levo[-1;8\desno)\)

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov v Ruski federaciji - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Definicija in osnovne lastnosti neenačb.

Definicije:

Neenakosti se imenujejo izrazi oblike a ≤ b), a>b (a ≥ b) ,

kje a in b so lahko števila ali funkcije.

Simboli<(≤ ) , >( ≥ ) se imenujejoznaki neenakostiin temu primerno preberite:

manj (manj ali enako), večje od (večje ali enako).

Neenačbe, ki jih zapišemo z znakoma > in< ,называются strog,

in neenakosti, ki vključujejo znake≥ in ≤,- ni stroga.

Neenakosti oblike a se imenujejodvojne neenakosti

in temu primerno preberite: x več a, vendar manj b (x večji ali enak a, vendar manj kot ali enako b ).

Obstajata dve vrsti neenakosti:številčno ( 2>0,7 ;½<6 ) Inneenakosti s spremenljivko (5 x-40>0; x²-2x<0 ) .

Lastnosti številskih neenačb:

• če a>b, To b ; če a , To b>a .
• če a in b , To a .
• če a in c- poljubno število, torej a+c .
• če a in c>0, To ac če a in c<0, то ac>bc.
• če a in c , To a+c .
• če a in c , kjer so a, b, c, d pozitivna števila, torej ac .

Številčni intervali

Neenakost	Številčno interval	Ime vrzel	Geometrijski tolmačenje
		zaprt interval (odsek) s koncema a in b,a
		odprt razpon (interval) s koncema a in b,a
		polodprti intervali (polintervali) s koncema a in b,a
		neskončni intervali (žarki)
		neskončni intervali (odprti žarki)
		neskončni interval (številska premica)

O osnovne definicije in lastnosti.

Definicije :

Reševanje neenačbe z eno spremenljivko se imenuje vrednost spremenljivke,

mačka To ga spremeni v pravo numerično neenakost.

Reši neenačbo- pomeni najti vse njegove rešitve ali dokazati, da rešitev ni.

Neenačbe, ki imajo enake rešitve, imenujemoenakovreden.

Za enakovredne se štejejo tudi neenačbe, ki nimajo rešitev.

Pri reševanju neenačb se uporablja naslednje lastnosti :

1) Če preidemo z enega dela neenačbe na

drug člen z nasprotnim predznakom,

2) Če obe strani neenačbe pomnožimo oz

delimo z istim pozitivnim številom,

potem dobimo njej enakovredno neenakost.

3) Če obe strani neenakosti pomnožimo oz

delimo z istim negativnim številom,

spremeni znak neenakosti v nasprotje,

potem dobimo njej enakovredno neenakost.

Številne neenakosti v procesu transformacije se reducirajo na linearne neenakosti.

nenakosti oblike ah> b(Oh , kjeA inb - nekaj številk

Poklican linearne neenačbe z eno spremenljivko.

če a>0 , potem neenakost ax>benakovredenneenakost

in veliko rešitevobstaja vrzel med neenakostmi

če a<0 , potem neenakost ax>benako neenakosti

in veliko rešitevobstaja vrzel med neenakostmi

neenakost bo dobila obliko 0∙ x>b, tj. , nima rešitev če,

b≥0 in velja za vse,nima rešitev b<0 .

x

Analitična metoda za reševanje neenačb z eno spremenljivko.

• Algoritem za reševanje neenačb z eno spremenljivko
• Transformiraj obe strani neenakosti.
• Podajte podobne pogoje.
• Zmanjšajte neenakosti na njihovo najpreprostejšo obliko, ki temelji na lastnostih neenakosti.

Zapiši odgovor. .

Navedimo primere reševanja neenačb Primer 1. Odločite se

obstaja neenakost 3x≤ 15.

rešitev:O

brez delov neenakostir razdelimo se na pozitivno število 3: (lastnost 2)

x ≤ 5.

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] .(- ∞;5]

odgovor: 2 . Primer 1. Primer

obstaja neenakost 3x≤ 15.

rešitev:Obrez delov neenakostiobstaja neenakost -10 x≥34 . razdelimo se,

na negativno število -10(v tem primeru spremenimo znak neenakosti v nasprotno : lastnina 3) - 3,4.

x ≤

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-∞;-3,4] . (-∞;-3,4] .

odgovor: Primer 1. Primer 3.

obstaja neenakost 3x≤ 15.

obstaja neenakost 18+6x>0. Prestavimo člen 18 z nasprotnim predznakom na levo stran neenakosti

(lastnost 1): 6x>-18. (Obe strani delite s 6:

lastnina 2)

x>-3.

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] . (-3;+∞ ).

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-3;+∞).Primer 1. Primer 4.<2(x-3)-2.

obstaja neenakost 3x≤ 15.

obstaja neenakost 3 (x-2)-4(x+2)<2x-6-2 .

Odprimo oklepaje: 3x-6-4x-8

Premaknimo izraze, ki vsebujejo neznanko, na levo stran, izrazi, ki ne vsebujejo neznanke, pa na desno stran) :

(lastnina 1<6+8-6-2.

3x-4x-2xTukaj je nekaj podobnih izrazov:<6.

-3x (Obe strani delite z -3 :

lastnina 3)

x>-2.

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] . (-2;+∞ ).

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-2;+∞). 5 . Primer obstaja neenakost

obstaja neenakost 3x≤ 15.

Pomnožimo obe strani neenakosti z najmanjšim skupnim imenovalcem ulomkov,

vključeno v neenakost, torej s 6(Obe strani delite s 6.

Dobimo:

,

2x-3x≤12.

od tukaj, - x≤12,x≥-12 .

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] . [ -12;+∞ ).

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-2;+∞). 6 . Primer obstaja neenakost 3(2-x)-2>5-3x.

obstaja neenakost 3x≤ 15.

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.

Na levi strani neenačbe predstavimo podobne člene in rezultat zapišimo v obliki 0∙ x>1.

Nastala neenačba nima rešitev, saj za vsako vrednost x

se spremeni v številsko neenakost 0< 1, не являющееся верным.

To pomeni, da podana njej enaka neenačba nima rešitev.

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] .ni rešitev.

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-2;+∞). 7 . Primer 1. obstaja neenakost 2(x+1)+5>3-(1-2x) .

obstaja neenakost 3x≤ 15.

Poenostavimo neenakost tako, da odpremo oklepaje:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Nastala neenakost velja za katero koli vrednost x,

ker je leva stran enaka nič za vsak x in 0>-5.

Množica rešitev za neenačbo je interval (-∞;+∞).

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z numeričnim intervalom (-∞;5] .(-∞;+∞ ).

Množica rešitev neenačbe je predstavljena z intervalom (-2;+∞). 8 . Pri katerih vrednostih x je izraz smiseln:

b)

obstaja neenakost 3x≤ 15.

a) Po definiciji aritmetičnega kvadratnega korena

izpolnjena mora biti naslednja neenakost 5x-3 ≥0.

Pri reševanju dobimo 5x≥3, x≥0,6.

Torej je ta izraz smiseln za vse x iz intervala )