Deljenje polinomov. Primeri deljenja polinoma s polinomom z ostankom Deljenje polinoma z binomom

Podan je dokaz, da lahko nepravi ulomek, sestavljen iz polinomov, predstavimo kot vsoto polinoma in pravega ulomka. Podrobno so analizirani primeri deljenja polinomov z vogalom in množenja s stolpcem.

Vsebina

Izrek

Naj bo P k (x),Qn (x) so polinomi v spremenljivki x stopenj k oziroma n s k ≥ n. (x) Potem je polinom P k
(1) lahko predstavimo na edini način v naslednji obliki: Pk,
(x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) (x) kjer je S k-n - polinom stopnje k-n, U n- 1(x) 1 - polinom stopnje, ki ni višja od n-

, ali nič.

Dokaz
;
;
;
,
Po definiciji polinoma:

kjer so p i, q i znani koeficienti, s i, u i neznani koeficienti.
.
Naj uvedemo zapis: (1) :
;
(2) .
Vstavimo se 1 Prvi člen na desni strani je polinom stopnje k.
Vsota drugega in tretjega člena je polinom stopnje, ki ni višja od k -
.

Izenačimo koeficiente za x k: (2) :
.
p k = s k-n q n .
Zato je s k-n = p k / q n. 1 Transformirajmo enačbo
(3) .

Uvedemo oznako: . (1) Ker je s k-n = p k / q n, potem je koeficient za x k enak nič. Torej - to je polinom stopnje, ki ni višja od k - 1 , . Potem lahko prejšnjo enačbo prepišemo kot: Ta enačba ima enako obliko kot enačba, je postala le vrednost k
,
manj. Ponavljam to - polinom stopnje k-n, U n-.

k-n postopek 0 krat, dobimo enačbo:

iz katerega določimo koeficiente polinoma U n-

Torej smo določili vse neznane koeficiente s i, ul. (1) Še več, s k-n ≠ (x).
(4) .
Lema je dokazana. (x) Deljenje polinomov - polinom stopnje k-n, U n- Delitev obeh strani enačbe

na Qn (4) , dobimo:

Po analogiji z decimalnimi števili, S k-n 10 imenovan celoštevilski del ulomka ali količnik, U n-
.
- preostanek delitve. Ulomek polinomov, pri katerih je stopnja polinoma v števcu manjša od stopnje polinoma v imenovalcu, se imenuje pravi ulomek. Ulomek polinomov, pri katerih je stopnja polinoma v števcu večja ali enaka stopnji polinoma v imenovalcu, se imenuje nepravi ulomek. 10 .

Števila 2, 6, 5, 8, 4, 7 so koeficienti razširitve števila na potenco števila 10.

Zato lahko pravilo deljenja (včasih imenovano dolgo deljenje), ki velja za deljenje števil, uporabimo za polinome. Edina razlika je v tem, da vam pri deljenju polinomov ni treba pretvarjati števil, večjih od devet, v najvišja mesta. Oglejmo si postopek deljenja polinomov z vogalom na konkretnih primerih.

Primer deljenja polinomov z vogalom 4 ≥ 2 Tukaj števec vsebuje polinom četrte stopnje. Imenovalec je polinom druge stopnje. Ker

, potem je ulomek napačen. Izberimo cel del tako, da polinome ločimo z vogalom (v stolpcu): Dajmo podroben opis

1.1 proces delitve. Izvirne polinome zapišemo v levi in desni stolpec. Pod polinom imenovalca v desni stolpec narišemo vodoravno črto (vogal). Pod to črto, pod vogalom, bo cel del ulomka.

1.2 Najdemo prvi člen celotnega dela (pod vogalom). Če želite to narediti, delite vodilni člen števca z vodilnim členom imenovalca: . Pomnožite 2 x 2 od x:
2 - 3 x + 5

1.3 . V levi stolpec zapišemo rezultat:

.

Vzamemo razliko polinomov v levem stolpcu:
.

Tako smo dobili vmesni rezultat: 3 Ulomek na desni strani je nepravilen, ker je stopnja polinoma v števcu ( 2 ) je večja ali enaka stopnji polinoma v imenovalcu (
2.1 ). Ponavljamo izračune. Samo zdaj je števec ulomka v zadnji vrstici levega stolpca.

2.2 Delimo vodilni člen števca z vodilnim členom imenovalca: ;

2.3 Pomnožimo z imenovalcem: ;

In odštejte od zadnje vrstice levega stolpca: ;
.

Vmesni rezultat:
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Izračune ponovimo še enkrat, saj je na desni strani nepravi ulomek.
.
Torej smo dobili: 1 < 2 Stopnja polinoma v števcu desnega ulomka je manjša od stopnje polinoma v imenovalcu,

;
. Zato je ulomek pravilen.
2 x 2 - 4 x + 1 8 - to je cel del;

x-

- ostanek deljenja.
.

Primer 2

Izberi cel del ulomka in poišči preostanek deljenja:
.

Izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjem primeru:

Tukaj je ostanek deljenja nič:

Množenje polinomov s stolpcem

Polinome lahko tudi množite v stolpcu, podobno kot pri množenju celih števil. Poglejmo konkretne primere.
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Primer množenja polinomov s stolpcem

3
;
;
;
.

Poiščite produkt polinomov:

x-

Rezultat zapišemo v stolpec, stopinje x izravnamo.
.

Pri množenju polinomov v stolpcu je pomembno, da eno pod drugo zapišemo enake potence spremenljivke x. Če nekatere potence x manjkajo, jih je treba zapisati eksplicitno, pomnožiti z nič ali pustiti prazne.

V tem primeru nekaj stopinj manjka. Zato jih zapišemo eksplicitno, pomnožene z nič:
.
Množenje polinomov v stolpcu.

1 Prvotne polinome zapišemo enega pod drugim v stolpec in narišemo črto.

2.1 Najnižji člen drugega polinoma pomnožimo s prvim polinomom:
.
Rezultat zapišemo v stolpec.

2.2 Naslednji člen drugega polinoma je nič. Zato je tudi njegov produkt s prvim polinomom nič. Ničelna vrstica morda ne bo zapisana.

2.3 Pomnožite naslednji člen drugega polinoma s prvim polinomom:
.
Primer množenja polinomov s stolpcem

2.3 Pomnožite naslednji (najvišji) člen drugega polinoma s prvim polinomom:
.
Primer množenja polinomov s stolpcem

3 Ko so bili vsi členi drugega polinoma pomnoženi s prvim, narišite črto in seštejte člene z enakimi potencami x:
.

Splošni pogled monom

f(x)=ax n, kjer:

-a- koeficient, ki lahko pripada kateri koli od množic N, Z, Q, R, C

-x- spremenljivka

-n eksponent, ki pripada množici N

Dva monoma sta podobna, če imata isto spremenljivko in enak eksponent.

Primeri: 3x2 in -5x2; ½ x 4 in 2√3x4

Vsoto monomov, ki si med seboj niso podobni, imenujemo polinom (ali polinom). V tem primeru so monomi členi polinoma. Polinom, ki vsebuje dva člena, se imenuje binom (ali binom).
primer: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Polinom, ki vsebuje tri člene, imenujemo trinom.

Splošni pogled na polinom z eno spremenljivko

kje:

a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- polinomski koeficienti. Lahko so naravna, cela, racionalna, realna ali kompleksna števila.
a n- koeficient člena z največjim eksponentom (vodilni koeficient)
a 0- koeficient člena z najmanjšim eksponentom (prosti člen ali konstanta)
n- stopnja polinoma

Primer 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

polinom tretje stopnje s koeficienti 5, -2, 7 in -1
5 - vodilni koeficient
-1 - brezplačen član
x- spremenljivka

Primer 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

polinom četrte stopnje s koeficienti -2√3,½ in -4
-2√3 - vodilni koeficient
-4 - brezplačen član
x- spremenljivka

Deljenje polinomov

p(x) in q(x)- dva polinoma:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Iskanje količnika in ostanka pri deljenju p(x) na q(x), morate uporabiti naslednji algoritem:

stopnja p(x) mora biti večje ali enako q(x).
Oba polinoma moramo zapisati v padajočem vrstnem redu stopnje. Če v p(x) ni izraza z nobeno stopnjo, treba ga je dodati s koeficientom 0.
Vodilni član p(x) deljeno z vodilnim členom q(x), rezultat pa zapišemo pod ločnico (v imenovalcu).
Rezultat pomnožite z vsemi izrazi q(x) in rezultat zapiši z nasprotnimi predznaki pod izraze p(x) z ustreznimi diplomami.
Dodajanje izrazov z enakimi močmi po izrazih.
Rezultatu priredimo preostale člene p(x).
Glavni člen dobljenega polinoma razdelite na prvi člen polinoma q(x) in ponovite korake 3-6.
Ta postopek se ponavlja, dokler ima novo dobljeni polinom stopnjo manjšo od q(x). Ta polinom bo ostanek delitve.
Polinom, zapisan pod ločnico, je rezultat deljenja (kvocient).

Primer 1
1. in 2. korak) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x 4 -2x 3 +2x 2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Zasebno

Odgovor: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Primer 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) količnik

Odgovor: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Deljenje s polinomom prve stopnje

To delitev lahko izvedemo z zgornjim algoritmom ali še hitreje z Hornerjevo metodo.
če f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, lahko polinom prepišemo kot f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- polinom prve stopnje ⇒ q(x)=mx+n
Potem bo polinom v količniku imel stopnjo n-1.

Po Hornerjevi metodi je $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
kje b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- zasebno. Ostanek bo polinom stopnje nič, saj mora biti stopnja polinoma v ostanku manjša od stopnje delitelja.
Deljenje z ostankom ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rče $x_0=-\frac(n)(m)$
Upoštevajte to p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Primer 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 =3,5-2=13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3,43-6=123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Primer 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Primer 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\desno)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Zaključek
Če delimo s polinomom stopnje, višje od ena, moramo uporabiti algoritem za iskanje količnika in ostanka 1-9 .
Če delimo s polinomom prve stopnje mx+n, potem morate za iskanje količnika in ostanka uporabiti Hornerjevo metodo z $x_0=-\frac(n)(m)$.
Če nas zanima samo preostanek delitve, je dovolj, da najdemo p(x 0).
Primer 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Danes se bomo naučili deliti polinome drug z drugim, delitev pa bomo izvedli z vogalom, po analogiji z navadnimi števili. To je zelo uporabna tehnika, ki je na žalost v večini šol ne poučujejo. Zato pozorno poslušajte to video lekcijo. V takšni delitvi ni nič zapletenega.

Najprej delimo dve števili eno z drugo:

Kako je to mogoče storiti? Najprej odrežemo toliko bitov, da nastali številčna vrednost je bilo več kot to, kar delimo. Če odrežemo eno števko, jih dobimo pet. Očitno se sedemnajst ne more umestiti v pet, zato ni dovolj. Vzamemo dve števki - dobimo 59 - to je že več kot sedemnajst, tako da lahko izvedemo operacijo. Torej, kolikokrat se sedemnajst prilega 59? Vzemimo tri. Pomnožimo in rezultat zapišemo pod 59. Skupaj dobimo 51. Odštejemo in dobimo »osem«. Sedaj vzamemo naslednjo številko - pet. 85 delite s sedemnajst. Vzemimo pet. Pomnožimo sedemnajst s pet in dobimo 85. Odštejemo in dobimo nič.

Reševanje realnih primerov

Naloga št. 1

Zdaj pa izvedimo iste korake, vendar ne s številkami, ampak s polinomi. Za primer vzemimo tole:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Upoštevajte, da če smo pri deljenju števil drug z drugim predpostavili, da je dividenda vedno večja od delitelja, potem je v primeru deljenja polinomov z vogalom potrebno, da je stopnja dividende večja od delitelja. V našem primeru je vse v redu - delamo s konstrukcijami druge in prve stopnje.

Torej, prvi korak: primerjajte prve elemente. Vprašanje: S čim morate pomnožiti $x$, da dobite $((x)^(2))$? Očitno za še en $x$. Pomnožimo $x+5$ s številom $x$, ki smo ga pravkar našli. Imamo $((x)^(2))+5$, ki jih odštejemo od dividende. To ostane $3x$. Zdaj vzamemo naslednji mandat - petnajst. Ponovno poglejmo prve elemente: $3x$ in $x$. S čim je treba pomnožiti $x$, da dobimo $3x$? Očitno tri. $x+5$ člen pomnožimo s tri. Ko odštejemo, dobimo nič.

Kot lahko vidite, se je celotna operacija deljenja z vogalom zmanjšala na primerjavo najvišjih koeficientov dividende in delitelja. To je celo lažje kot pri deljenju števil. Ni treba izbrati določenega števila števk - preprosto primerjamo najvišje elemente na vsakem koraku. To je celoten algoritem.

Problem št. 2

Poskusimo znova:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Prvi korak: poglejte vodilne kvote. Koliko morate pomnožiti $x$, da napišete $((x)^(2))$? Množimo termin za izrazom. Upoštevajte, da pri odštevanju dobimo natanko $2x$, ker

Odstranimo -2 in ponovno primerjamo prvi dobljeni koeficient z najvišjim elementom delitelja. Skupaj smo prišli do "lepega" odgovora.

Pojdimo k drugemu primeru:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

Tokrat je dividenda polinom tretje stopnje. Primerjajmo prve elemente med seboj. Da bi dobili $((x)^(3))$, je treba $x$ pomnožiti z $((x)^(2))$. Po odštevanju odvzamemo $9x$. Pomnožite delitelj z $-x$ in odštejte. Posledično je bil naš izraz popolnoma razdeljen. Odgovor zapišemo.

Problem št. 3

Gremo k zadnji nalogi:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

Primerjajmo $((x)^(3))$ in $x$. Očitno morate pomnožiti z $((x)^(2))$. Kot rezultat vidimo, da smo prejeli zelo »lep« odgovor. Zapišimo.

To je celoten algoritem. Tukaj sta dve ključni točki:

Vedno primerjaj prvo potenco dividende in delitelja – to ponavljamo na vsakem koraku;
Če v izvirnem izrazu manjkajo stopinje, jih je treba dodati pri deljenju z vogalom, vendar s koeficienti nič, sicer bo odgovor napačen.

V tej delitvi ni več modrosti in trikov.

Snovi današnje lekcije nikoli ne najdemo v »čisti« obliki nikjer. V šolah se le redko učijo. Zmožnost medsebojnega deljenja polinomov pa vam bo v veliko pomoč pri reševanju enačb višjih stopenj, pa tudi vseh vrst problemov »povečane težavnosti«. Brez te tehnike boste morali faktorizirati polinome, izbrati koeficiente - in rezultat nikakor ni zagotovljen. Polinome pa lahko delimo tudi z vogalom – tako kot navadna števila! Na žalost se te tehnike v šolah ne poučujejo. Mnogi učitelji verjamejo, da je deljenje polinomov z vogalom nekaj neverjetno zapletenega s področja višje matematike. Hitro vam zagotavljam: to ni tako. Pravzaprav je deljenje polinomov celo lažje kot deljenje navadnih števil! Oglejte si lekcijo in se prepričajte sami. :) Na splošno se prepričajte, da usvojite to tehniko. Sposobnost deljenja polinomov med seboj vam bo zelo koristila pri reševanju enačb višjih stopenj in pri drugih nestandardnih problemih.

Upam, da bo ta videoposnetek pomagal tistim, ki delajo s polinomi, še posebej z višjimi stopnjami. To velja tako za dijake kot študente. In to je zame vse. Se vidimo!

Začnimo z nekaj definicijami. Polinom n-to stopnjo(ali n-ti red) bomo imenovali izraz v obliki $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Na primer, izraz $4x^(14)+87x^2+4x-11$ je polinom, katerega stopnja je $14$. Označimo ga lahko na naslednji način: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Koeficient $a_0$ imenujemo vodilni koeficient polinoma $P_n(x)$. Na primer, za polinom $4x^(14)+87x^2+4x-11$ je vodilni koeficient $4$ (število pred $x^(14)$). Število $a_n$ imenujemo prosti člen polinoma $P_n(x)$. Na primer, za $4x^(14)+87x^2+4x-11$ je prosti izraz $(-11)$. Zdaj pa se obrnemo na izrek, na katerem bo pravzaprav temeljila predstavitev gradiva na tej strani.

Za poljubna dva polinoma $P_n(x)$ in $G_m(x)$ lahko najdemo polinoma $Q_p(x)$ in $R_k(x)$ tako, da velja enakost

\begin(enačba) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(enačba)

in $k< m$.

Besedna zveza "deli polinom $P_n(x)$ s polinomom $G_m(x)$" pomeni "predstavi polinom $P_n(x)$ v obliki (1)." Polinom $P_n(x)$ bomo imenovali deljiv, polinom $G_m(x)$ delitelj, polinom $Q_p(x)$ količnik deljenja $P_n(x)$ z $G_m(x)$ , in polinom $ R_k(x)$ - ostanki deljenja $P_n(x)$ z $G_m(x)$. Na primer, za polinome $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ in $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ lahko dobite naslednjo enakost:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Tu je polinom $P_6(x)$ deljiv, polinom $G_4(x)$ je delitelj, polinom $Q_2(x)=4x^2+x$ je količnik od $P_6(x)$, deljen z $G_4(x) $ in polinom $R_3(x)=2x^3+1$ je ostanek deljenja $P_6(x)$ z $G_4(x)$. Upoštevajte, da je stopnja ostanka (tj. 3) manjša od stopnje delitelja (tj. 4), zato je pogoj enakosti izpolnjen.

Če je $R_k(x)\equiv 0$, potem velja, da je polinom $P_n(x)$ deljiv s polinomom $G_m(x)$ brez ostanka. Na primer, polinom $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ je deljiv s polinomom $3x^4+15$ brez ostanka, ker je izpolnjena enakost:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Tu je polinom $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ deljiv; polinom $G_4(x)=3x^4+15$ - delitelj; in polinom $Q_2(x)=7x^2+2x$ je količnik od $P_6(x)$ deljeno z $G_4(x)$. Ostanek je nič.

Za razdelitev polinoma na polinom se pogosto uporablja deljenje s "stolpcem" ali, kot se imenuje tudi "vogal". Oglejmo si izvedbo te metode na primerih.

Preden preidem na primere, bom predstavil še en izraz. On ni splošno sprejeto, in ga bomo uporabili izključno za udobje predstavitve gradiva. V nadaljevanju te strani bomo najvišji element polinoma $P_n(x)$ imenovali izraz $a_(0)x^(n)$. Na primer, za polinom $4x^(14)+87x^2+4x-11$ bo vodilni element $4x^(14)$.

Primer št. 1

Z dolgim deljenjem razdelite $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ s $5x^2-x+2$.

Torej imamo dva polinoma, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ in $G_2(x)=5x^2-x+2$. Stopnja prvega je $5$, stopnja drugega pa $2$. Polinom $P_5(x)$ je dividenda, polinom $G_2(x)$ pa delitelj. Naša naloga je najti količnik in ostanek. Težavo bomo reševali korak za korakom. Uporabili bomo enak zapis kot pri deljenju števil:

Prvi korak

Najvišji element polinoma $P_5(x)$ (tj. $10x^5$) delimo z najvišjim elementom polinoma $Q_2(x)$ (tj. $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Dobljeni izraz $2x^3$ je prvi element količnika:

Pomnožimo polinom $5x^2-x+2$ z $2x^3$ in dobimo:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Zapišimo rezultat:

Zdaj od polinoma $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ odštejte polinom $10x^5-2x^4+4x^3$:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

S tem je prvi korak zaključen. Rezultat, ki smo ga dobili, lahko zapišemo v razširjeni obliki:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Ker je stopnja polinoma $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (tj. 4) večja od stopnje polinoma $5x^2-x+2$ (tj. 2), potem procesne delitve je treba nadaljevati. Pojdimo na drugi korak.

Drugi korak

Zdaj bomo delali s polinomi $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ in $5x^2-x+2$. Na povsem enak način kot v prvem koraku delimo najvišji element prvega polinoma (tj. $5x^4$) z najvišjim elementom drugega polinoma (tj. $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Dobljeni izraz $x^2$ je drugi element količnika. K količniku prištejmo $x^2$

Pomnožimo polinom $5x^2-x+2$ z $x^2$ in dobimo:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Zapišimo rezultat:

Sedaj odštejte polinom $5x^4-x^3+2x^2$ od polinoma $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Dodajmo ta polinom pod črto:

S tem se konča drugi korak. Dobljeni rezultat lahko zapišemo v razširjeni obliki:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Ker je stopnja polinoma $-15x^3+23x^2-2x+5$ (tj. 3) večja od stopnje polinoma $5x^2-x+2$ (tj. 2), nadaljujemo z deljenjem. postopek. Preidimo na tretji korak.

Tretji korak

Zdaj bomo delali s polinomi $-15x^3+23x^2-2x+5$ in $5x^2-x+2$. Na povsem enak način kot v prejšnjih korakih delimo najvišji element prvega polinoma (tj. $-15x^3$) z najvišjim elementom drugega polinoma (tj. $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Dobljeni izraz $(-3x)$ je tretji element količnika. K količniku prištejmo $-3x$

Pomnožimo polinom $5x^2-x+2$ z $(-3x)$ in dobimo:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Zapišimo rezultat:

Sedaj odštejte polinom $-15x^3+3x^2-6x$ od polinoma $-15x^3+23x^2-2x+5$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Dodajmo ta polinom pod črto:

S tem se konča tretji korak. Dobljeni rezultat lahko zapišemo v razširjeni obliki:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Ker je stopnja polinoma $20x^2+4x+5$ (tj. 2) enaka stopnji polinoma $5x^2-x+2$ (tj. 2), nadaljujemo postopek deljenja. Preidimo na četrti korak.

Četrti korak

Zdaj bomo delali s polinomi $20x^2+4x+5$ in $5x^2-x+2$. Na povsem enak način kot v prejšnjih korakih delimo najvišji element prvega polinoma (tj. $20x^2$) z najvišjim elementom drugega polinoma (tj. $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Dobljeno število $4$ je četrti element količnika. Količniku prištejmo 4$

Pomnožimo polinom $5x^2-x+2$ z $4$ in dobimo:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Zapišimo rezultat:

Zdaj pa odštejmo polinom $20x^2-4x+8$ od polinoma $20x^2+4x+5$.