Približni izračuni z uporabo serij. Razširitev Taylorjeve vrste Približna rešitev Cauchyjevega problema za navadnega

Če ima funkcija f(x) odvode vseh vrst na določenem intervalu, ki vsebuje točko a, potem lahko zanjo uporabimo Taylorjevo formulo:
,
Kje r n– tako imenovani preostali člen ali ostanek serije, ga je mogoče oceniti z uporabo Lagrangeove formule:
, kjer je število x med x in a.

Pravila za vnos funkcij:

Če za neko vrednost X r n→0 pri n→∞, potem postane v limiti Taylorjeva formula za to vrednost konvergentna Serija Taylor:
,
Tako lahko funkcijo f(x) razširimo v Taylorjev niz v obravnavani točki x, če:
1) ima izpeljanke vseh vrst;
2) konstruirana vrsta konvergira v tej točki.

Ko je a = 0, dobimo klicano vrsto blizu Maclaurina:
,
Razširitev najenostavnejših (elementarnih) funkcij v seriji Maclaurin:
Eksponentne funkcije
, R=∞
Trigonometrične funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne razteza po potencah x, ker ctg0=∞
Hiperbolične funkcije


Logaritemske funkcije
, -1
Binomske vrste
.

Primer št. 1. Razširite funkcijo v potenčno vrsto f(x)= 2x.
rešitev. Poiščimo vrednosti funkcije in njenih derivatov pri X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x v 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=vn n 2.
Če zamenjamo dobljene vrednosti derivatov v formulo serije Taylor, dobimo:

Polmer konvergence tega niza je enak neskončnosti, zato ta razširitev velja za -∞<x<+∞.

Primer št. 2. Zapišite Taylorjevo vrsto v potencah ( X+4) za funkcijo f(x)= e x.
rešitev. Iskanje odvodov funkcije e x in njihove vrednosti v točki X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Zato ima zahtevana Taylorjeva vrsta funkcije obliko:

Ta razširitev velja tudi za -∞<x<+∞.

Primer št. 3. Razširite funkcijo f(x)=ln x v nizu moči ( X- 1),
(tj. v Taylorjevem nizu v bližini točke X=1).
rešitev. Poiščite odvode te funkcije.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Če nadomestimo te vrednosti v formulo, dobimo želeno Taylorjevo serijo:

Z d'Alembertovim testom lahko preverite, ali niz konvergira pri ½x-1½<1 . Действительно,

Vrsta konvergira, če je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobimo izmenično serijo, ki zadošča pogojem Leibnizovega kriterija. Ko je x=0, funkcija ni definirana. Tako je območje konvergence Taylorjevega niza polodprt interval (0;2].

Primer št. 4. Razširi funkcijo v potenčno vrsto.
rešitev. V razširitvi (1) zamenjamo x z -x 2, dobimo:
, -∞

Primer št. 5. Razširite funkcijo v seriji Maclaurin .
rešitev. Imamo
Z uporabo formule (4) lahko zapišemo:

Če v formuli zamenjamo –x namesto x, dobimo:

Od tu najdemo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Če odpremo oklepaje, preuredimo izraze serije in dodamo podobne izraze, dobimo
. Ta niz konvergira v intervalu (-1;1), saj je dobljen iz dveh nizov, od katerih vsaka konvergira v tem intervalu.

Komentiraj .
Formule (1)-(5) lahko uporabimo tudi za razširitev ustreznih funkcij v Taylorjevo vrsto, tj. za razširitev funkcij na pozitivne cele potence ( ha). Da bi to naredili, je treba izvesti takšne enake transformacije na dani funkciji, da dobimo eno od funkcij (1)-(5), v kateri namesto X stroški k( ha) m , kjer je k konstantno število, m pa pozitivno celo število. Pogosto je priročno narediti spremembo spremenljivke t=ha in razširite nastalo funkcijo glede na t v Maclaurinovo vrsto.

Ta metoda temelji na izreku o edinstvenosti razširitve funkcije v potenčni niz. Bistvo tega izreka je, da v bližini iste točke ni mogoče dobiti dveh različnih potenčnih vrst, ki bi konvergirale k isti funkciji, ne glede na to, kako se izvaja njena ekspanzija.

Primer št. 5a. Razširite funkcijo v Maclaurinovo vrsto in navedite konvergenčno območje.
rešitev. Najprej najdemo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na osnovno:

Ulomek 3/(1-3x) lahko obravnavamo kot vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije z imenovalcem 3x, če je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s konvergenčnim območjem |x|< 1/3.

Primer št. 6. Razširite funkcijo v Taylorjevo vrsto v okolici točke x = 3.
rešitev. Ta problem je mogoče rešiti, kot prej, z uporabo definicije Taylorjeve serije, za katero moramo najti derivate funkcije in njihove vrednosti pri X=3. Vendar pa bo lažje uporabiti obstoječo razširitev (5):
=
Nastali niz konvergira pri ali –3

Primer št. 7. Zapišite Taylorjevo vrsto v potencah (x -1) funkcije ln(x+2) .
rešitev.


Vrsta konvergira pri , ali -2< x < 5.

Primer št. 8. Razširite funkcijo f(x)=sin(πx/4) v Taylorjevo vrsto v okolici točke x =2.
rešitev. Naredimo zamenjavo t=x-2:

Z uporabo razširitve (3), v kateri nadomestimo π / 4 t namesto x, dobimo:

Nastali niz konvergira k dani funkciji pri -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞torej
, (-∞

Približni izračuni z uporabo potenčnih vrst

Potenčne vrste se pogosto uporabljajo v približnih izračunih. Z njihovo pomočjo lahko izračunate vrednosti korenin, trigonometričnih funkcij, logaritmov števil in določenih integralov z dano natančnostjo. Serije se uporabljajo tudi pri integraciji diferencialnih enačb.
Razmislite o razširitvi funkcije v potenčni vrsti:

Za izračun približne vrednosti funkcije na dani točki X, ki pripadajo območju konvergence navedene serije, so prve ostale v njeni širitvi nčlani ( n– končno število), preostali členi pa se zavržejo:

Za oceno napake dobljene približne vrednosti je potrebno oceniti zavrženi ostanek rn (x) . Če želite to narediti, uporabite naslednje tehnike:

• če je nastala serija izmenična, se uporabi naslednja lastnost: za izmenični niz, ki izpolnjuje Leibnizove pogoje, ostanek niza v absolutni vrednosti ne presega prvega zavrženega člena.
• če je podana vrsta konstantnega predznaka, potem vrsto, sestavljeno iz zavrženih členov, primerjamo z neskončno padajočo geometrijsko progresijo.
• v splošnem primeru lahko za oceno preostanka Taylorjevega niza uporabite Lagrangeovo formulo: a x ).

Primer št. 1. Izračunajte ln(3) na 0,01 natančno.
rešitev. Uporabimo razširitev, kjer je x=1/2 (glejte primer 5 v prejšnji temi):

Preverimo, ali lahko zavržemo ostanek po prvih treh členih razširitve, da bi to naredili, ga bomo ovrednotili z vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije:

Torej lahko ta ostanek zavržemo in dobimo

Primer št. 2. Izračunajte na 0,0001 natančno.
rešitev. Uporabimo binomsko vrsto. Ker je 5 3 kub celega števila, ki je najbližje 130, je priporočljivo, da število 130 predstavimo kot 130 = 5 3 +5.



ker je že četrti člen nastalega izmeničnega niza, ki ustreza Leibnizovemu kriteriju, manjši od zahtevane natančnosti:
, zato ga in pogoje, ki mu sledijo, lahko zavržete.
Številnih praktično potrebnih določenih ali nepravilnih integralov ni mogoče izračunati z uporabo Newton-Leibnizove formule, ker je njena uporaba povezana z iskanjem antiizpeljave, ki pogosto nima izraza v elementarnih funkcijah. Zgodi se tudi, da je najti protiizpeljavo možno, vendar je po nepotrebnem delovno intenzivno. Če pa funkcijo integranda razširimo v potenčno vrsto in meje integracije pripadajo intervalu konvergence te vrste, potem je mogoč približen izračun integrala z vnaprej določeno natančnostjo.

Primer št. 3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x z natančnostjo 10 -5 .
rešitev. Ustreznega nedoločenega integrala ni mogoče izraziti v elementarnih funkcijah, tj. predstavlja »nepermanentni integral«. Tu ni mogoče uporabiti Newton-Leibnizove formule. Izračunajmo integral približno.
Delitev po členih serije za greh x na x, dobimo:

Če integriramo to vrsto člen za členom (to je možno, saj meje integracije pripadajo intervalu konvergence te vrste), dobimo:

Ker dobljeni niz izpolnjuje Leibnizove pogoje in je dovolj, da vzamemo vsoto prvih dveh členov, da dobimo želeno vrednost z dano natančnostjo.
Tako najdemo
.

Primer št. 4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 z natančnostjo 0,001.
rešitev.
. Preverimo, ali lahko zavržemo ostanek po drugem členu dobljene serije.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Naj bo potrebno najti Y 2.35104 z natančnostjo (s pomanjkljivostjo). Uredimo izračune takole:

Samo iz celega števila 2 poiščemo približen koren z natančnostjo 1. Dobimo 1 (ostanek pa je 1). Pri korenu zapišemo številko 1 in za njo postavimo vejico. Zdaj najdemo število desetin. To naredimo tako, da ostanku 1 prištejemo števili 3 in 5, ki se nahajata desno od decimalne vejice, in nadaljujemo ekstrakcijo, kot da bi ekstrahirali koren celega števila 235. Dobljeno število 5 zapišemo v koren na mestu desetin. Preostalih števk radikalnega števila (104) ne potrebujemo. Da bo dobljeno število 1,5 res približen koren, z natančnostjo do naslednika; če

smo našli največji koren celega števila 235 z natančnostjo 1, potem bi dobili 15, kar pomeni

Če vsako od teh števil delimo s 100, dobimo;

v končno

Recimo, da želite najti približnega s pomanjkljivostjo, do natančnosti. Poiščimo celo število, nato desetinke, nato stotinke. Koren celega števila je 15 celih števil. Da dobimo desetinko, moramo, kot smo videli, dodati še dve števki ostanku 23, desno od decimalne vejice:

V našem primeru te številke sploh niso prisotne; na njihovo mesto postavite ničle. Če jih prištejemo ostanku in nadaljujemo, kot da bi iskali koren iz celega števila 24.800, bomo našli desetinko številko 7. Ostaja nam še stotinka. Da bi to naredili, dodamo še dve ničli ostanku 151 in nadaljujemo ekstrakcijo, kot da bi iskali koren celega števila 2 480000. Dobimo 15,74. Da je to število res približen koren iz 248 z natančnostjo do pomanjkljivosti, je razvidno iz naslednjega. Če bi poiskali največji kvadratni koren celega števila 2.480.000, bi dobili 1574, kar pomeni

Če vsako od teh števil delimo z 10.000 (100^2), dobimo:

To pomeni, da je 15,74 tisti decimalni ulomek, ki smo ga poimenovali približen koren s pomanjkljivostjo natančno do 248.

Pravilo. Če želite iz danega celega števila ali iz danega decimalnega ulomka izluščiti približen koren s pomanjkljivostjo, natančno do do itd., najprej poiščite približen koren s pomanjkljivostjo, natančno na 1, tako da izvlečete koren iz celega števila (če ni tja zapišite v koren 0 celih števil).

Nato poiščejo število desetin. Če želite to narediti, ostanku dodajte dve števki radikalnega števila desno od decimalne vejice (če jih ni, ostanku dodajte dve ničli) in nadaljujte z ekstrakcijo, kot se naredi pri ekstrakciji korena iz celega števila. Dobljeno število je zapisano v korenu na mestu desetin.

Nato poiščite stotinsko številko. Če želite to narediti, se dve številki na desni strani tistih, ki so bile pravkar odstranjene, dodajo preostanku itd.

Tako je treba pri pridobivanju korena celega števila z decimalnim ulomkom število razdeliti na dvomestne robove, začenši z decimalno vejico, tako na levi (v celem delu števila) kot na desni ( v ulomku).

1. Ekstrahirajte natančno do korenin:

2. Ekstrahirajte z natančnostjo

V zadnjem primeru smo ulomek y pretvorili v decimalko tako, da smo izračunali osem decimalnih mest, da smo oblikovali štiri obraze, potrebne za iskanje štirih decimalnih mest korena.

Walter A. Aue / flickr.com

Ameriški fiziki so razjasnili razsežnost prostora-časa s primerjavo razdalje do vira, izračunane iz oslabitve gravitacijskih valov in iz rdečega premika elektromagnetnega sevanja. Znanstveniki so izvedli takšne izračune za dogodek GW170817 in ugotovili, da je dimenzija našega prostora-časa približno enaka D≈ 4,0 ± 0,1. Poleg tega so postavili spodnjo mejo življenjske dobe gravitona, ki je bila približno 450 milijonov let. Prednatis članka je objavljen na arXiv.org.

Posodobljeno: julija 2018 je bil članekobjavljeno v Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.

Splošna teorija relativnosti in standardni model temeljita na predpostavki, da živimo v štiridimenzionalnem prostoru-času. Natančneje (3+1)-dimenzionalno: 3 prostorske in ena časovna dimenzija. Po drugi strani znanstveniki dvomijo o najosnovnejših izjavah. Morda razsežnost našega prostora-časa ni ravno enaka štiri, ampak le zelo blizu tej vrednosti? Pravzaprav obstajajo teorije, po katerih je naš prostor-čas vgrajen v prostore z višjimi dimenzijami. Zato je treba na splošno štiridimenzionalnost našega sveta dokazati in je ne jemati za samoumevno.

Skupina fizikov pod vodstvom Davida Spergela je z analizo skoraj sočasno prihajajočih gravitacijskih in elektromagnetnih valov na Zemljo, ki jih oddaja med združitvijo dveh nevtronskih zvezd, vzpostavila natančne meje razsežnosti našega prostora-časa. Po eni strani lahko razdaljo do vira valovanja določi elektromagnetna komponenta. Po drugi strani pa ga je mogoče izračunati iz oslabitve gravitacijskih valov. Očitno morata obe razdalji sovpadati, kar nalaga omejitve razlike med hitrostjo razpada in hitrostjo, ki jo predvideva splošna teorija relativnosti. Omeniti velja, da dodatno napako v razdalji, določeni iz rdečega premika, uvaja dejstvo, da so vrednosti Hubblove konstante, izmerjene iz hitrosti umikanja galaksij in iz nihanja sevanja kozmičnega mikrovalovnega ozadja, z drug drugega. V tem članku so znanstveniki za vsak slučaj opravili izračune za obe vrednosti, vendar je napaka v eksperimentalnih podatkih vseeno odtehtala to razliko.

V splošni teoriji relativnosti se intenzivnost gravitacijskih valov zmanjšuje v obratnem sorazmerju s prvo potenco oddaljenosti od vira: h ~ 1/r. Vendar pa je v teorijah z več dimenzijami ta zakon spremenjen in razpad poteka hitreje: h ~ 1/rγ, kjer je γ = ( D− 2)/2 in D- število meritev. Izkazalo se je, da energija valov "pušča" v dodatne dimenzije. Z izračunom "elektromagnetne" in "gravitacijske" razdalje do nevtronskih zvezd so fiziki ugotovili, da je stopnja odvisnosti γ ≈ 1,00 ± 0,03, to je dimenzija našega prostora D≈ 4,0 ± 0,1.

Porazdelitev verjetnosti, v kateri živimo D-dimenzionalni prostor. Črte različnih barv ustrezajo različnim vrednostim Hubblove konstante, uporabljene pri izračunih

Po drugi strani pa je v drugi vrsti alternativnih teorij gravitacija presejana – na majhnih razdaljah se obnaša enako kot v štiridimenzionalni teoriji, na velikih razdaljah pa je podobna D- dimenzionalni. Ob upoštevanju omejitev dogodka GW170817 so fiziki določili najmanjši polmer presejanja takšnih teorij - bil je približno dvajset megaparsecov. V tem primeru se izvor valov nahaja v galaksiji NGC 4993 na razdalji približno štirideset megaparsekov.

Nazadnje lahko pride do dodatnega slabljenja gravitacijskih valov, ker so gravitoni nestabilni delci in razpadejo med potovanjem od vira do detektorja. Na podlagi te predpostavke so fiziki izračunali spodnjo mejo življenjske dobe gravitona. Izkazalo se je, da ne more biti krajši od 4,5 × 10 8 let.

Hkratno zaznavanje gravitacijske in elektromagnetne komponente je imelo velik vpliv na alternativne teorije gravitacije. Denimo konec decembra lani v Physical Review Letters Hkrati so bili objavljeni štirje članki, posvečeni dogodku GW170817 in omejitvam različnih kvantnih teorij gravitacije. Poleg tega ta dogodek nalaga zelo stroge omejitve za hitrost gravitacije - zdaj se lahko razmerje med hitrostjo gravitacije in svetlobno hitrostjo razlikuje od enote za največ 3 × 10 −15.

Dmitrij Trunin

Naj bo potrebno najti z natančnostjo do (s pomanjkljivostjo). Uredimo izračune takole:

Samo iz celega števila 2 najprej poiščemo približen koren, natančen na 1. Dobimo 1 (ostanek pa je 1). Pri korenu zapišemo številko 1 in za njo postavimo vejico. Zdaj najdemo število desetin. To naredimo tako, da ostanku 1 prištejemo števili 3 in 5, ki se nahajata desno od decimalne vejice, in nadaljujemo ekstrakcijo, kot da bi ekstrahirali koren celega števila 235. Dobljeno število 5 zapišemo v koren na mestu desetin. Preostalih števk radikalnega števila (104) ne potrebujemo. Da bo dobljeno število 1,5 res približen koren z natančnostjo , je razvidno iz naslednjega; če bi našli največji celoštevilski koren iz 235 z natančnostjo 1, bi dobili 15, kar pomeni

Če vsako od teh števil delimo s 100, dobimo:

(Z dodajanjem števila 0,00104 bi se moral dvojni znak ≤ očitno spremeniti v znak<, а знак >ostaja (od 0,00104< 0,01).)

Recimo, da želimo najti približno eno s pomanjkljivostjo, do natančnosti. Poiščimo celo število, nato desetinke, nato stotinke. Koren celega števila je 15 celih števil. Da dobimo desetinko, moramo, kot smo videli, dodati še dve števki ostanku 23, desno od decimalne vejice:

V našem primeru te številke sploh niso prisotne; na njihovo mesto postavite ničle. Če jih prištejemo ostanku in nadaljujemo, kot da bi iskali koren celega števila 24800, bomo našli desetinko številko 7. Ostaja nam še stotinka. To naredimo tako, da ostanku 151 dodamo še dve ničli in nadaljujemo z ekstrakcijo, kot da bi iskali koren celega števila 2480000. Dobimo 15,74. Da je to število res približen koren iz 248 z natančnostjo do pomanjkljivosti, je razvidno iz naslednjega. Če bi poiskali največji kvadratni koren celega števila 2480000, bi dobili 1574, kar pomeni

Če vsako od teh števil delimo z 10000 (1002), dobimo:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

To pomeni, da je 15,74 tisti decimalni ulomek, ki smo ga imenovali približni koren s pomanjkljivostjo z natančnostjo do 248.

Pravilo. Izvleči iz danega celega števila ali iz danega decimalnega ulomka približen koren s primanjkljajem s točnostjo korena, ki ima 0 celih števil).

Nato poiščejo število desetin. To naredimo tako, da ostanku dodamo dve števki osvojenega števila desno od decimalne vejice (če ju ni, ostanku dodamo dve ničli) in nadaljujemo ekstrakcijo, kot se to naredi pri ekstrakciji korena celega števila. Dobljeno število je zapisano v korenu na mestu desetin.

Nato poiščite stotinsko številko. Če želite to narediti, se dve številki na desni strani tistih, ki so bile pravkar odstranjene, dodajo preostanku itd.

Tako pri pridobivanju korena celega števila z decimalnim ulomkom število mora biti razdeljeno na robove z dvema števkama, začenši z decimalno vejico, tako na levi (v celem delu števila) kot na desni (v delnem delu).

Primeri.

V zadnjem primeru smo ulomek pretvorili v decimalno število tako, da smo izračunali osem decimalnih mest, da smo oblikovali štiri obraze, potrebne za iskanje štirih decimalnih mest korena.

9. septembra 2007 je dirkač Logan Gomez zmagal na Chicagoland 100 IRL Indy Pro Series. Pred drugouvrščenim je prehitel za 0,0005 sekunde in s tem postavil rekord tesnega zaključka v svetovnem motošportu. Katera oprema vam omogoča tako natančno merjenje časa?

Na valu svetilnika V sodobnih dirkah je merjenje časa povsem samodejno. Vsak avtomobil je opremljen z radijskim svetilnikom, ki oddaja radijske valove na edinstveni frekvenci. Antene, ki se nahajajo na strogo določenih mestih na progi, ujamejo njegov signal in s frekvenco določijo, kateri avtomobil je peljal mimo. Anteni sta postavljeni ena ob drugi: z merjenjem časa, ki je potreben za prepotovanje razdalje od ene antene do druge, računalnik določi hitrost vozila. Na progi je lahko nameščenih do 20 anten. Za nadzor hitrosti v boksih se uporabljajo posebne antene. Informacije iz radijskih sprejemnikov gredo v časovni center, kjer več kot 20 inženirjev neprekinjeno spremlja delovanje računalnikov. Za vsak slučaj je sistem merjenja časa podvojen s parom infrardečih fotocelic, nameščenih na ciljni črti

Tim Skorenko

V seriji Indycar so časovne zahteve najstrožje. Nobeno drugo prvenstvo se ne more pohvaliti z merjenjem časa z natančnostjo desettisočink sekunde. Pretežno število serij je omejeno na 0,001 s in to z rezervo najpogosteje zadostuje, prihaja pa tudi do incidentov: na primer na kvalifikacijah VN Evrope 1997 v razredu formule 1 kar trije piloti uspel pokazati čas, ki je sovpadel na tisočinko sekunde, - 1.21.072. Pole position je na koncu pripadel Jacquesu Villeneuvu, ki je svoj najhitrejši krog odpeljal pred drugimi.

V Formuli 1 se natančnost merjenja časa skozi čas izrazito spreminja. Na prvem prvenstvu leta 1950 je bilo 0,1 s dovolj za popolno beleženje cilja pilotov. V razvrstitvi prvenstva ni bilo niti ene dirke, kjer bi bil zaostanek med dirkačema krajši od sekunde. Natančnost na 0,1 sega v prvo Veliko nagrado v zgodovini avtomobilskih dirk – Veliko nagrado Francije leta 1906, kjer je bil čas zmagovalca, Ferenca Schisza v Renaultu, 12 ur 14 minut in 7,4 sekunde (kar ni primerljivo z kratke in enostavne današnje dirke, kajne?). Na večini dirk pred prvo svetovno vojno natančnost ni presegla 1 sekunde.

V sodobnih dirkah je merjenje časa popolnoma samodejno. Vsak avtomobil je opremljen z radijskim svetilnikom, ki oddaja radijske valove na edinstveni frekvenci. Antene, ki se nahajajo na strogo določenih mestih na progi, ujamejo njegov signal in s frekvenco določijo, kateri avtomobil je peljal mimo. Anteni sta postavljeni ena ob drugi: z merjenjem časa, ki je potreben za prepotovanje razdalje od ene antene do druge, računalnik določi hitrost vozila. Na progi je lahko nameščenih do 20 anten. Za nadzor hitrosti v boksih se uporabljajo posebne antene. Informacije iz radijskih sprejemnikov gredo v časovni center, kjer več kot 20 inženirjev neprekinjeno spremlja delovanje računalnikov. Za vsak slučaj je sistem za merjenje časa podvojen s parom infrardečih fotocelic, nameščenih na ciljni črti.

V Ameriki so bili časomerilci veliko bolj napredni. Povojne AAA dirke (kasneje CART) so najpogosteje zahtevale natančnost meritev do 0,01. To je predvsem posledica konfiguracije stez in obilice ovalov, kjer so razmiki med vozniki izjemno majhni. Neverjetna časovna natančnost sodobnega IRL je posledica istega dejavnika: od sedemnajstih krogov prvenstva 2010 jih je osem potekalo na ovalih.

Incidenti in neuspehi

Avtomatsko merjenje časa je neločljivo povezano z vodilnimi svetovnimi proizvajalci ur in elektronike: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Skoraj vsi so zastopani v različnih športih kot uradni časomerilci. Napake in netočnosti pri merjenju časa so danes praktično izključene. Od leta 1992 do danes je omenjena VN Evrope '97 postala edina kronometrična zanimivost formule 1, v IRL pa so tudi takšni incidenti popolnoma nemogoči.

Danes veljata sistema za merjenje časa Indycar in NASCAR med najboljšimi na svetu. Vsaka proga je opremljena tako, da ji evropski organizatorji lahko le zavidajo. Štetje poteka na 0,0001 sekunde (za Indycar) in gledalci v živo lahko kadar koli prejmejo informacije o hitrosti vsakega avtomobila na stezi, njegovem času kroga in katerem koli sektorju kroga, vrzeli v pelatonu z natančnostjo sektorja , itd. d. Na dirki, kjer se polovica sezone odvija na ovalih, igra natančno merjenje časa veliko vlogo. Zmagovalca pogosto določi fotofiniš.

Nenavadno je, da se je koncept "uradni časomerilec" pojavil šele pred kratkim. Danes Tissot "vodi" svetovno prvenstvo v motociklističnih dirkah in nobeno drugo podjetje se nima pravice vmešavati. Še pred 30 leti je imela vsaka posamezna dirka svoje kronometriste, »oborožene« z opremo, ki so jo organizatorji lahko nabavili.

Pred drugo svetovno vojno so skoraj v vseh dirkalnih serijah in razredih merjenje časa izvajali ročno: ob stezi so stali posebej usposobljeni ljudje s štoparicami. Zabeležili so čas kroga naslednjega avtomobila in zabeležili podatke. Vendar so bili tudi "preboji". Leta 1911 je na prvi dirki Indianapolis 500 inženir Charlie Warner oblikoval in implementiral prvi polavtomatski sistem za merjenje časa v zgodovini. Tanka žica je bila ohlapno napeta vzdolž startno ciljne črte in rahlo dvignjena nad površino opeke. Vsak stroj je žico pritiskal na tla in s tem povečeval njeno napetost. Na žico je bilo pritrjeno kladivo za žigosanje, ki je, ko ga je potegnilo, na počasi polzečem graduiranem traku naneslo oznako s črnilom. Natančnost merjenja je dosegla 0,01 s! Časomerilec je ob vsaki točki ročno nastavil številke avtomobila. Sistem se ni uveljavil iz smešnega razloga: sredi dirke je dirkaču Herbu Littleu pretrgala žica. Medtem ko so nategnili novega (tekanje pred prehitrimi avtomobili), je minilo vsaj 20 krogov, med katerimi se je čas držal približno. Zmaga na dirki je bila podeljena Rayu Harrounu v Marmonu, vendar je bil drug slavni voznik, Ralph Mulford, vse do smrti prepričan, da je zmagal na prvi Indy 500 v zgodovini.

Uspešna uporaba polavtomatskih sistemov je doživela razcvet v tridesetih letih prejšnjega stoletja. Indy 500 je takrat uporabljal kronografe Stewart-Warner ali ogromne Loughborough-Hayes.

V prvih letih serije NASCAR je bil čas popolnoma grozen. Na nekaterih dirkah je človek sedel na ciljni črti s papirjem in svinčnikom in zapisoval: ta in ta je prvi, ta in ta je drugi. Resda je to veljalo samo za makadamske in blatne steze. Na dirkališčih je bilo bolje. Zlasti na dirki v Elkhart Lakeu je bil uporabljen kronograf (v desetinkah sekunde) zaporedoma natisnjen čas vsakega mimovozečega avtomobila nasproti vsake številke.

Popolnoma samodejni sistem merjenja časa je bil prvič uporabljen na dirki prvenstva USAC na Ontario Speedwayu leta 1970. Vsak avto je bil opremljen z oddajnikom, ki je oddajal valove na lastni, edinstveni frekvenci. Na štartno-ciljni črti je bila nameščena antena, ki je ujela frekvenco nihanja vsakega oddajnika, preostalo delo je opravil računalnik.

Profesionalni časomerilec David McKinney, ki je v šestdesetih letih prejšnjega stoletja delal na različnih dirkah po Avstraliji in Novi Zelandiji, nam je zaupal zanimiv podatek: »Če najspretnejši kronometrist z najboljšim kronometrom natančno 'lovi' desetinko sekunde, je preprosto srečen. ” vse ročne meritve, ki so bile kadar koli opravljene na dirkah, se lahko varno štejejo za približne.

"Formula 1"

V Evropi so se avtomatski sistemi pojavili veliko pozneje kot v Ameriki. V mednarodnih serijah, kot je Formula 1, sta vladala zmeda in nihanje. Do poznih sedemdesetih let prejšnjega stoletja so za merjenje časa na različnih prireditvah za Veliko nagrado skrbeli popolnoma različni ljudje z uporabo drugačne opreme in metod. Na prostih dirkah so vlogo časomerilk največkrat opravljale žene dirkačev. Na primer, Norma Hill, žena dvakratnega svetovnega prvaka Grahama Hilla, je šla s svojim možem na vsako Grand Prix in mu osebno merila čas kroga ter dvakrat preverjala delo maršalov.

Sredi sedemdesetih let je moštvo Ferrari, utrujeno od nenehne zmede in napak, začelo na Grand Prix prinašati lastno visoko natančno opremo, kupljeno v Ameriki. Eden od mehanikov Ferrarijevega glavnega tekmeca Lotusa je svojega šefa Colina Chapmana vprašal: "Zakaj ne storimo enako?" "Ali res mislite, da bodo zaradi tega naši avtomobili hitrejši?" - odgovoril je Chapman. Ta odgovor zelo natančno označuje evropski odnos do točnosti merjenja časa v tistih letih. Vendar pa so do konca sedemdesetih let prejšnjega stoletja skoraj vse večje ekipe sklenile pogodbe s proizvajalci ur in s seboj nosile svoje sisteme za merjenje časa. Po eni izmed dirk je revija Autosport zapisala: »Ekipe v uradnih poročilih objavljajo tako natančne čase, da so uradne številke organizatorjev Grand Prixa videti, kot da so narejene z uro Mickey Mouse!«

Zaradi časovnih napak so se redno pojavljali izjemni incidenti. Na primer, med deževno Veliko nagrado Kanade leta 1973 so na stezo prvič pripeljali varnostni avtomobil. Časomerilci so bili zmedeni, zamešali so se s časi krogov in napačno seštevali čase pred in za pace carom. Tako so zmago zaporedoma slavili Emerson Fittipaldi iz Lotusa, Jackie Oliver iz Shadowa in Peter Revson iz McLarna. Zmaga je pripadla slednjemu - po več urah prepiranja.

Prav tako zanimiva zgodba se je zgodila leta 1975 na Veliki nagradi Švedske. Marčevski kolesar Vittorio Brambilla še zdaleč ni bil najhitrejši v pelatonu, a je prav on osvojil pole position na tej dirki. To je bilo zato, ker je oblikovalec Marcha Robin Heard tiho šel neposredno pred fotocelico snemalnega instrumenta pol sekunde preden je Brambilla prečkala ciljno črto. Po nekem čudežu tega nihče ni videl in naprava je zabeležila čas pešca Hearda in sploh ne dirkača.

Zmagoslavje tehnologije

Današnje dirkanje je praznik visoke tehnologije. Na primer, serija NASCAR je bila skoraj zadnja, ki je prešla na sodobne metode merjenja časa, pri čemer se je čim bolj držala tradicije. Toda danes NASCAR-jevi sistemi za merjenje časa veljajo za ene najboljših na svetu. Tissot, uradni časomerilec čezmorskih serij zadnja štiri leta, je vsako progo opremil tako, da mu evropski organizatorji lahko samo zavidajo. Na dirki, kjer je 34 od 36 krogov sezone na ovalih, igra natančno merjenje časa pomembno vlogo.

Nič manj resni sistemi se uporabljajo v svetovnem prvenstvu v motociklističnih dirkah (Tissot je tudi njegov časomerilec). Za razliko od NASCAR-ja ni potrebe po zapletenih nadzornih sistemih za ugotavljanje, kdo vodi: motoristi niso v tako gostem polju. A ker so steze MotoGP tradicionalne evropske konfiguracije in ne ovali, je tudi težav veliko. Nastavitev časovnih omejitev na določenih mestih na progi zahteva premišljen premislek (ovali so preprosto geometrijsko razdeljeni na 4-8 delov).

Današnja računalniška tehnologija praktično odpravlja možnost časovnih napak pri avtomobilskih in motociklističnih dirkah. Organizatorji Grand Prixa že dolgo razmišljajo o povsem drugih težavah - varnosti, ekologiji itd. In urejevalci časa delajo zase in delajo. Lahko bi rekli kot ura.