>> >> >> Metode integracije

Osnovne metode integracije

Definicija integrala, določenega in nedoločenega, tabela integralov, Newton-Leibnizova formula, integracija po delih, primeri računanja integralov.

Nedoločen integral

Naj sta u = f(x) in v = g(x) funkciji, ki imata zvezno . Potem, glede na delo,

d(uv))= udv + vdu ali udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv) bo antiizpeljanka očitno uv, tako da formula velja:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ta formula izraža pravilo integracija po delih. Vodi integracijo izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Recimo, da želite najti ∫xcosx dx. Postavimo u = x, dv = cosxdx, torej du=dx, v=sinx. Potem

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po delih ima bolj omejen obseg kot zamenjava spremenljivk. Obstajajo pa celi razredi integralov, na primer ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax in drugi, ki se izračunajo natančno z integracijo po delih.

Določen integral

Metode integracije, koncept določenega integrala uvedemo na naslednji način. Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu. Razdelimo odsek [a,b] na n delov s točkami a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Vsoto oblike f(ξ i)Δ x i imenujemo integralna vsota, njeno mejo pri λ = maxΔx i → 0, če obstaja in je končna, pa imenujemo določen integral funkcije f(x) od a do b in je označena z:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) se v tem primeru imenuje integrabilen na intervalu, imenujemo števili a in b spodnja in zgornja meja integrala.

Metode integracije imajo naslednje lastnosti:

Zadnja lastnost se imenuje izrek o srednji vrednosti.

Naj bo f(x) zvezna na . Potem je na tem segmentu nedoločen integral

∫f(x)dx = F(x) + C

in poteka Newton-Leibnizova formula, ki povezuje določeni integral z nedoločenim integralom:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrijska razlaga: predstavlja območje krivuljnega trapeza, ki je od zgoraj omejen s krivuljo y=f(x), ravnima črtama x = a in x = b ter segmentom osi Ox.

Nepravilni integrali

Integrali z neskončnimi mejami in integrali diskontinuiranih (neomejenih) funkcij se imenujejo nepravilni. Nepravilni integrali prve vrste - To so integrali v neskončnem intervalu, definirani na naslednji način:

(8.7)

Če ta meja obstaja in je končna, jo imenujemo konvergentni nepravilni integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), funkcijo f(x) pa integrabilno na neskončnem intervalu [a,+ ∞ ). V nasprotnem primeru pravimo, da integral ne obstaja ali da divergira.

Nepravilne integrale na intervalih (-∞,b] in (-∞, + ∞) definiramo podobno:

Opredelimo pojem integrala neomejene funkcije. Če je f (x) zvezen za vse vrednosti x segmenta, razen za točko c, v kateri ima f (x) neskončno prekinitev, potem nepravilni integral druge vrste f(x) v razponu od a do b znesek se imenuje:

če te meje obstajajo in so končne. Oznaka:

Primeri integralnih izračunov

Primer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

rešitev. Označimo t = x+2, potem je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primer 3.31. Poiščite ∫ tgxdx.

Rešitev: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Naj bo t=cosx, potem je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Primer3.32 . Poiščite ∫dx/sinx

Primer3.33. Najdi .

rešitev. =

.

Primer3.34 . Poiščite ∫arctgxdx.

rešitev. Integrirajmo po delih. Označimo u=arctgx, dv=dx. Potem je du = dx/(x 2 +1), v=x, od koder je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ker
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

rešitev. Z uporabo formule integracije po delih dobimo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Potem je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

rešitev. Uporabimo formulo integracije po delih. Označimo u = e x, dv = sinxdx, potem je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx.
∫e x cosxdx integrirajo tudi po delih: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:

Primer 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relacijo ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iz katere je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Primer 3.38 Rešitev: Ker je dx/x = dlnx, potem je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Z zamenjavo lnx skozi t pridemo do integrala tabele J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

. Izračunajte J = . .

Primer 3.39 rešitev. Ob upoštevanju, da je = d(lnx), nadomestimo lnx = t. Potem J = .

. Izračunajte J = rešitev. Imamo: =

. zato

Določen integral. Primeri rešitev

Da bi se naučili reševati določene integrale, morate:

1) Biti sposoben najti nedoločeni integrali.

2) Biti sposoben izračunati določen integral.

Kot lahko vidite, morate za obvladovanje določenega integrala dokaj dobro razumeti »navadne« nedoločene integrale. Torej, če se šele začenjate potapljati v integralni račun in kotliček sploh še ni zavrel, potem je bolje začeti z lekcijo Nedoločen integral. Primeri rešitev. Poleg tega obstajajo pdf tečaji za ultra hitra priprava- če imate dobesedno en dan, še pol dneva.

V splošni obliki je določeni integral zapisan takole:

Kaj je dodano v primerjavi z nedoločenim integralom? več meje integracije.

Spodnja meja integracije
Zgornja meja integracije je standardno označen s črko .
Segment se imenuje segment integracije.

Preden preidemo na praktične primere, hitro vprašanje o določenem integralu.

Kaj pomeni rešiti določen integral? Rešiti določen integral pomeni najti število.

Kako rešiti določen integral? Uporaba Newton-Leibnizove formule, znane iz šole:

Bolje je, da formulo prepišete na ločen kos papirja; naj bo pred vašimi očmi skozi celotno lekcijo.

Koraki za rešitev določenega integrala so naslednji:

1) Najprej poiščemo antiizpeljavo funkcije (nedoločen integral). Upoštevajte, da je konstanta v določenem integralu ni dodano. Oznaka je čisto tehnična in navpična palica nima nikakršnega matematičnega pomena, pravzaprav je le oznaka. Zakaj je potrebno samo snemanje? Priprava na uporabo Newton-Leibnizove formule.

2) Nadomestite vrednost zgornje meje v antiizpeljavo funkcijo: .

3) Nadomestite vrednost spodnje meje v antiizpeljavo funkcijo: .

4) Izračunamo (brez napak!) Razliko, torej najdemo število.

Ali vedno obstaja določen integral? Ne, ne vedno.

Na primer, integral ne obstaja, ker segment integracije ni vključen v domeno definicije integranda (vrednosti pod kvadratnim korenom ne morejo biti negativne). Tukaj je manj očiten primer: . Tukaj na integracijskem intervalu tangenta prenaša neskončne pavze v točkah , , in zato tako določen integral tudi ne obstaja. Mimogrede, kdo še ni prebral učnega gradiva? Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij– zdaj je čas za to. Odlično bo pomagalo pri celotnem tečaju višje matematike.

Za to da določen integral sploh obstaja, zadostuje, da je integrand zvezen na intervalu integracije.

Iz zgoraj navedenega sledi prvo pomembno priporočilo: preden začnete reševati KATERIKOLI določeni integral, se morate prepričati, da funkcija integrand je zvezna na intervalu integracije. Ko sem bil študent, se mi je večkrat zgodil incident, ko sem se dolgo mučil z iskanjem težke protiizpeljanke, in ko sem jo končno našel, sem si razbijal glavo z drugim vprašanjem: »Kakšna neumnost je izpadla ?" V poenostavljeni različici je situacija videti nekako takole:

???! Negativnih števil ne morete zamenjati pod koren! Kaj za vraga je to?! Začetna nepazljivost.

Če vam je za rešitev (pri testu, testu, izpitu) ponujen integral tipa ali , potem morate podati odgovor, da ta določen integral ne obstaja in utemeljiti, zakaj.

! Opomba : v slednjem primeru besede "določeno" ni mogoče izpustiti, ker integral s točkovnimi diskontinuitetami razdelimo na več, v tem primeru na 3 neprave integrale, in formulacija »ta integral ne obstaja« postane napačna.

Ali je lahko določen integral enak negativnemu številu? mogoče. In negativno število. In nič. Lahko se izkaže celo za neskončnost, a bo že nepravilni integral, ki imajo ločeno predavanje.

Ali je lahko spodnja meja integracije večja od zgornje meje integracije? Morda se ta situacija dejansko pojavlja v praksi.

– integral lahko enostavno izračunamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

Kaj je višja matematika nepogrešljiva? Seveda brez vseh vrst lastnosti. Zato razmislimo o nekaterih lastnostih določenega integrala.

V določenem integralu lahko preuredite zgornjo in spodnjo mejo ter spremenite predznak:

Na primer, v določenem integralu je pred integracijo priporočljivo spremeniti meje integracije v "običajen" vrstni red:

– v tej obliki je veliko bolj priročno integrirati.

– to ne velja le za dve, ampak tudi za poljubno število funkcij.

V določenem integralu lahko izvedemo zamenjava integracijske spremenljivke, vendar ima ta v primerjavi z nedoločenim integralom svoje posebnosti, o katerih bomo govorili kasneje.

Za določen integral velja: formula integracije po delih:

Primer 1

rešitev:

(1) Konstanto vzamemo iz predznaka integrala.

(2) Integrirajte preko tabele z uporabo najbolj priljubljene formule . Priporočljivo je, da nastajajočo konstanto ločite od in postavite izven oklepaja. To ni nujno, vendar je priporočljivo - zakaj dodatni izračuni?

. Najprej zamenjamo zgornjo, nato spodnjo mejo. Izvedemo nadaljnje izračune in dobimo končni odgovor.

Primer 2

Izračunaj določen integral

To je primer, ki ga lahko rešite sami, rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Malo zapletimo nalogo:

Primer 3

Izračunaj določen integral

rešitev:

(1) Uporabljamo lastnosti linearnosti določenega integrala.

(2) Integriramo po tabeli, pri tem pa izvzamemo vse konstante - ne bodo sodelovale pri zamenjavi zgornje in spodnje meje.

(3) Za vsakega od treh členov uporabimo Newton-Leibnizovo formulo:

ŠIBKI ČLEN določenega integrala so računske napake in pogosta ZMEDA V ZNAKIH. Bodite previdni! Posebno pozornost namenjam tretjemu terminu: – prvo mesto v hit paradi napak zaradi nepazljivosti, zelo pogosto pišejo samodejno (še posebej, če je zamenjava zgornje in spodnje meje izvedena ustno in ni tako podrobno zapisana). Še enkrat natančno preučite zgornji primer.

Opozoriti je treba, da obravnavana metoda reševanja določenega integrala ni edina. Z nekaj izkušnjami se lahko rešitev bistveno zmanjša. Sam sem na primer navajen reševati take integrale takole:

Tu sem verbalno uporabil pravila linearnosti in verbalno integriral s pomočjo tabele. Na koncu sem imel samo en oklepaj z označenimi omejitvami: (za razliko od treh oklepajev pri prvi metodi). In v "celotno" antiizpeljavo funkcijo sem najprej zamenjal 4, nato -2 in spet izvedel vsa dejanja v mislih.

Kakšne so slabosti kratke rešitve? Tukaj vse ni zelo dobro z vidika racionalnosti izračunov, a osebno mi je vseeno - izračunam navadne ulomke na kalkulatorju.
Poleg tega obstaja povečano tveganje za napako pri izračunih, zato je za študenta čaja bolje uporabiti prvo metodo, z "mojo" metodo reševanja se bo znak zagotovo nekje izgubil.

Vendar pa so nedvomne prednosti druge metode hitrost rešitve, kompaktnost zapisa in dejstvo, da je antiderivacija v enem oklepaju.

Nasvet: preden uporabimo Newton-Leibnizovo formulo, je koristno preveriti: ali je bila sama protiizpeljava pravilno najdena?

Torej, v zvezi z obravnavanim primerom: preden nadomestimo zgornjo in spodnjo mejo v antiizpeljavo funkcijo, je priporočljivo preveriti na osnutku, ali je bil nedoločen integral pravilno najden? Razlikujmo:

Dobljena je izvirna funkcija integranda, kar pomeni, da je bil nedoločen integral pravilno najden. Zdaj lahko uporabimo Newton-Leibnizovo formulo.

Takšno preverjanje ne bo odveč pri izračunu katerega koli določenega integrala.

Primer 4

Izračunaj določen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Poskusi jo rešiti na kratek in podroben način.

Spreminjanje spremenljivke v določenem integralu

Za določen integral veljajo vse vrste zamenjav kot za nedoločen integral. Torej, če niste zelo dobri z zamenjavami, morate natančno prebrati lekcijo Substitucijska metoda v nedoločenem integralu.

V tem odstavku ni nič strašnega ali težkega. Novost je v vprašanju kako spremeniti meje integracije pri zamenjavi.

V primerih bom poskušal podati vrste zamenjav, ki jih še ni bilo mogoče najti nikjer na spletnem mestu.

Primer 5

Izračunaj določen integral

Glavno vprašanje tukaj sploh ni o določenem integralu, ampak o tem, kako pravilno izvesti zamenjavo. Poglejmo si tabela integralov in ugotovimo, kako najbolj izgleda naša funkcija integrand? Očitno za dolgi logaritem: . Vendar obstaja eno neskladje, v tabeli integral pod korenom, in v našem - "x" na četrto moč. Ideja o zamenjavi izhaja tudi iz sklepanja - lepo bi bilo, da bi našo četrto stopnjo nekako spremenili v kvadrat. To je resnično.

Najprej pripravimo naš integral za zamenjavo:

Iz zgornjih premislekov povsem naravno izhaja zamenjava:
Tako bo vse v redu v imenovalcu: .
Ugotovimo, v kaj se bo spremenil preostali del integranda, za to najdemo diferencial:

V primerjavi z zamenjavo v nedoločenem integralu dodamo dodaten korak.

Iskanje novih meja integracije.

Čisto preprosto je. Poglejmo našo zamenjavo in stare omejitve integracije, .

Najprej zamenjamo spodnjo mejo integracije, to je nič, v nadomestni izraz:

Nato nadomestimo zgornjo mejo integracije v nadomestni izraz, to je koren treh:

pripravljena In samo...

Nadaljujmo z rešitvijo.

(1) Glede na zamenjavo napišite nov integral z novimi limiti integracije.

(2) To je najpreprostejši tabelarni integral, integriramo po tabeli. Konstanto je bolje pustiti zunaj oklepaja (tega vam ni treba narediti), da ne moti nadaljnjih izračunov. Na desni narišemo črto, ki označuje nove meje integracije - to je priprava na uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) Uporabljamo Newton-Leibnizovo formulo .

Trudimo se, da odgovor zapišemo v čim bolj kompaktni obliki, tukaj sem uporabil lastnosti logaritmov.

Druga razlika od nedoločenega integrala je ta, da po zamenjavi ni potrebe po obratnih zamenjavah.

In zdaj nekaj primerov, da se odločite sami. Kakšne zamenjave narediti - poskusite uganiti sami.

Primer 6

Izračunaj določen integral

Primer 7

Izračunaj določen integral

To so primeri, o katerih se lahko odločite sami. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

In na koncu odstavka nekaj pomembnih točk, katerih analiza se je pojavila zahvaljujoč obiskovalcem spletnega mesta. Prvi zadeva zakonitost zamenjave. V nekaterih primerih tega ni mogoče storiti! Tako se zdi, da je primer 6 mogoče rešiti z uporabo univerzalna trigonometrična zamenjava, pa zgornja meja integracije ("pi") ni vključeno v domena definicije ta tangenta in zato ta zamenjava je nezakonita! torej funkcija "zamenjave" mora biti neprekinjena v vseh točke integracijskega segmenta.

V drugem e-poštnem sporočilu je bilo prejeto naslednje vprašanje: "Ali moramo spremeniti meje integracije, ko funkcijo uvrstimo pod diferencialni predznak?" Sprva sem hotel "zavreči neumnosti" in samodejno odgovoriti "seveda ne", potem pa sem razmišljal o razlogu za takšno vprašanje in nenadoma ugotovil, da ni informacij ne dovolj. Vendar je, čeprav očitno, zelo pomembno:

Če funkcijo podpišemo pod diferencialni predznak, potem ni treba spreminjati limitov integracije! Zakaj? Ker v tem primeru brez dejanskega prehoda na novo spremenljivko. Na primer:

In tu je seštevanje veliko bolj priročno kot akademska zamenjava s kasnejšim »slikanjem« novih meja integracije. torej če določeni integral ni zelo zapleten, potem vedno poskusite postaviti funkcijo pod diferencialni predznak! Je hitrejši, bolj kompakten in običajen - kot boste videli večkrat!

Najlepša hvala za vaša pisma!

Metoda integracije po delih v določenem integralu

Tu je novosti še manj. Vsi izračuni artikla Integracija po delih v nedoločen integral v celoti veljajo za določen integral.
Samo ena podrobnost je plus, v formuli za integracijo po delih so dodane meje integracije:

Newton-Leibnizovo formulo je treba tukaj uporabiti dvakrat: za produkt in potem, ko vzamemo integral.

Za primer sem ponovno izbral tip integrala, ki ga še ni bilo mogoče najti nikjer na spletnem mestu. Primer ni najpreprostejši, ampak zelo, zelo informativen.

Primer 8

Izračunaj določen integral

Odločimo se.

Integrirajmo po delih:

Kdor ima težave z integralom, naj si ogleda lekcijo Integrali trigonometričnih funkcij, tam je podrobno obravnavano.

(1) Rešitev zapišemo v skladu s formulo integracije po delih.

(2) Za produkt uporabimo Newton-Leibnizovo formulo. Za preostali integral uporabimo lastnosti linearnosti in ga razdelimo na dva integrala. Naj vas znaki ne zmedejo!

(4) Uporabimo Newton-Leibnizovo formulo za dva najdena protiodvoda.

Če sem iskren, mi formula ni všeč. in če se le da, ... sploh brez njega! Poglejmo drugo rešitev, z mojega vidika je bolj racionalna.

Izračunaj določen integral

Na prvi stopnji najdem nedoločen integral:

Integrirajmo po delih:

Ugotovljena je bila antiderivativna funkcija. V tem primeru nima smisla dodajati konstante.

Kakšna je prednost takšnega pohoda? Nobene potrebe ni, da bi »prenašali« meje integracije; dejansko je lahko naporno ducatkrat zapisovati majhne simbole meja integracije

Na drugi stopnji preverim(običajno v osnutku).

Tudi logično. Če sem napačno našel funkcijo protiodvoda, bom napačno rešil določen integral. Bolje je, da takoj ugotovimo, ločimo odgovor:

Prvotna funkcija integranda je bila pridobljena, kar pomeni, da je bila funkcija antiderivacije pravilno najdena.

Tretja stopnja je uporaba Newton-Leibnizove formule:

In tukaj je pomembna korist! Pri "moji" metodi rešitve obstaja veliko manjše tveganje, da bi se zmedli pri zamenjavah in izračunih - Newton-Leibnizova formula se uporabi samo enkrat. Če čajnik reši podoben integral s formulo (na prvi način), potem se bo zagotovo kje zmotil.

Obravnavani algoritem rešitve lahko uporabimo za katerikoli določen integral.

Dragi študent, natisni in shrani:

Kaj storiti, če dobite določen integral, ki se zdi zapleten ali ni takoj jasno, kako ga rešiti?

1) Najprej poiščemo nedoločen integral (antiderivacijsko funkcijo). Če je na prvi stopnji prišlo do zapleta, nima smisla naprej zibati čolna z Newtonom in Leibnizom. Obstaja samo en način - povečati svojo raven znanja in spretnosti pri reševanju nedoločeni integrali.

2) Najdeno antiizpeljavo funkcijo preverimo z diferenciacijo. Če je ugotovljeno napačno, bo tretji korak izguba časa.

3) Uporabljamo Newton-Leibnizovo formulo. Vse izračune izvajamo IZJEMNO PREVIDNO - to je najšibkejši člen naloge.

In za prigrizek integral za samostojno rešitev.

Primer 9

Izračunaj določen integral

Rešitev in odgovor sta nekje v bližini.

Naslednja priporočena lekcija na to temo je Kako izračunati površino figure z določenim integralom?
Integrirajmo po delih:

Ste prepričani, da ste jih rešili in dobili enake odgovore? ;-) In obstaja pornografija za staro žensko.

Če so definicije iz učbenika preveč zapletene in nejasne, preberite naš članek. Poskušali bomo razložiti čim bolj preprosto, "na prste", glavne točke takšne veje matematike, kot so določeni integrali. Kako izračunati integral, preberite v tem priročniku.

Z geometrijskega vidika je integral funkcije območje figure, ki ga tvorita graf dane funkcije in os v mejah integracije. Zapišite integral, analizirajte funkcijo pod integralom: če je integrand mogoče poenostaviti (pomanjšati, pomnožiti s predznakom integrala, razdeliti na dva enostavna integrala), to storite.

Odprite tabelo integralov, da ugotovite, kateri odvod funkcije je pod integralom. Ste našli odgovor? Zapišite faktor, dodan integralu (če se je to zgodilo), zapišite najdeno funkcijo iz tabele in nadomestite meje integrala.

Če želite izračunati vrednost integrala, izračunajte njegovo vrednost na zgornji meji in odštejte njegovo vrednost na spodnji meji. Razlika je želena vrednost.

Če se želite preizkusiti ali vsaj razumeti postopek reševanja integralnega problema, je priročno uporabiti spletno storitev za iskanje integralov, vendar preden začnete reševati, preberite pravila za vnos funkcij. Njegova največja prednost je, da je tukaj po korakih opisana celotna rešitev problema z integralom.

Seveda so tukaj obravnavane le najpreprostejše različice integralov - v resnici obstaja veliko vrst integralov, ki se preučujejo v tečaju višje matematike, matematične analize in diferencialnih enačb na univerzah za študente tehničnih specialnosti; .

Čemu služijo integrali? Poskusite si sami odgovoriti na to vprašanje.

• Pri razlagi teme integralov učitelji navajajo področja uporabe, ki so šolskim glavam malo uporabna. Med njimi:
• izračun površine figure.
• Izračun telesne mase z neenakomerno gostoto.
• določanje prevožene razdalje pri premikanju s spremenljivo hitrostjo.

itd.

Vseh teh procesov ni vedno mogoče povezati, zato se marsikateri študent zmede, tudi če ima vse osnovno znanje za razumevanje integrala. Glavni razlog za nevednost

– nerazumevanje praktičnega pomena integralov.

Integral - kaj je to?. Potreba po integraciji se je pojavila v stari Grčiji. Takrat je Arhimed začel uporabljati metode, ki so bile v bistvu podobne sodobnemu integralnemu računu, da bi našel površino kroga. Glavni pristop za določanje površine neenakomernih figur je bila takrat "metoda izčrpanja", ki jo je precej enostavno razumeti.

Bistvo metode. V to sliko se prilega monotono zaporedje drugih likov, nato pa se izračuna meja zaporedja njihovih površin. Ta meja je bila vzeta kot območje te slike.

Ta metoda zlahka izsledi idejo integralnega računa, ki je najti mejo neskončne vsote. To idejo so kasneje uporabili znanstveniki za rešitev uporabni problemi astronavtika, ekonomija, mehanika itd.

Moderni integral. Klasično teorijo integracije sta v splošni obliki oblikovala Newton in Leibniz. Zanašal se je na takrat obstoječe zakone diferencialnega računa. Da bi ga razumeli, morate imeti nekaj osnovnega znanja, ki vam bo pomagalo uporabljati matematični jezik za opisovanje vizualnih in intuitivnih idej o integralih.

Razlagamo koncept "Integral"

Postopek iskanja izpeljanke imenujemo diferenciacija in iskanje antiizpeljave – integracija.

Integral matematični jezik– to je antiderivacija funkcije (kar je bilo pred derivatom) + konstanta "C".

Integral s preprostimi besedami je območje krivulje. Nedoločen integral je celotno območje. Določen integral je ploščina v danem območju.

Integral je zapisan takole:

Vsak integrand se pomnoži s komponento "dx". Prikazuje, nad katero spremenljivko se izvaja integracija. "dx" je prirastek argumenta. Namesto X je lahko katerikoli drug argument, na primer t (čas).

Nedoločen integral

Nedoločen integral nima meja integracije.

Za reševanje nedoločenih integralov je dovolj, da poiščemo protiodvod integranda in mu dodamo "C".

Določen integral

Pri določenem integralu sta omejitvi "a" in "b" zapisani na integracijskem znaku. Ti so prikazani na X-osi v spodnjem grafu.

Če želite izračunati določen integral, morate poiskati antiderivacijo, vanj nadomestiti vrednosti "a" in "b" in poiskati razliko. V matematiki se temu reče Newton-Leibnizova formula:

Tabela integralov za študente (osnovne formule)

Prenesite integralne formule, koristne vam bodo

Kako pravilno izračunati integral

Obstaja več preprostih operacij za transformacijo integralov. Tu so glavne:

Odstranitev konstante izpod znaka integrala

Razgradnja integrala vsote v vsoto integralov

Če zamenjate a in b, se predznak spremeni

Integral lahko razdelite na intervale na naslednji način:

To so najenostavnejše lastnosti, na podlagi katerih bodo kasneje oblikovani bolj zapleteni izreki in metode računanja.

Primeri integralnih izračunov

Reševanje nedoločenega integrala

Reševanje določenega integrala

Osnovni pojmi za razumevanje teme

Da boste razumeli bistvo integracije in ne boste zaprli strani zaradi nesporazumov, vam bomo razložili številne osnovne koncepte. Kaj je funkcija, odvod, limit in protiodvod.

funkcija– pravilo, po katerem so vsi elementi iz enega sklopa v korelaciji z vsemi elementi iz drugega.

Izpeljanka– funkcija, ki opisuje stopnjo spremembe druge funkcije na vsaki določeni točki. V strogem jeziku je to meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta. Izračuna se ročno, lažje pa je uporabiti izpeljano tabelo, ki vsebuje večino standardnih funkcij.

Prirastek– kvantitativna sprememba funkcije z določeno spremembo argumenta.

Omejitev– vrednost, h kateri teži vrednost funkcije, ko argument teži k določeni vrednosti.

Primer meje: recimo, če je X enak 1, bo Y enak 2. Kaj pa, če X ni enak 1, ampak teži k 1, torej ga nikoli ne doseže? V tem primeru y ne bo nikoli dosegel 2, ampak se bo samo nagibal k tej vrednosti. V matematičnem jeziku je to zapisano takole: limY(X), za X –> 1 = 2. To se glasi: limita funkcije Y(X), za x, ki teži k 1, je enaka 2.

Kot smo že omenili, je odvod funkcija, ki opisuje drugo funkcijo. Prvotna funkcija je lahko izpeljanka neke druge funkcije. Ta druga funkcija se imenuje protiizpeljanka.

Zaključek

Iskanje integralov ni težko. Če ne razumete, kako to storiti,. Drugič postane bolj jasno. Ne pozabite! Reševanje integralov se zmanjša na preproste transformacije integranda in njegovo iskanje v .

Če vam besedilna razlaga ne ustreza, si oglejte video o pomenu integrala in odvoda:

Integrali - kaj so, kako jih rešiti, primeri rešitev in razlaga za lutke posodobil: 22. novembra 2019 avtor: Znanstveni članki.Ru