Wzór n liczb postępu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Matematyka ma swoje piękno, podobnie jak malarstwo i poezja.

Rosyjski naukowiec, mechanik N.E. Żukowski

Bardzo częstymi problemami na egzaminach wstępnych z matematyki są problemy koncepcyjne postęp arytmetyczny. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba mieć dobrą wiedzę na temat właściwości postępu arytmetycznego i posiadać pewne umiejętności w ich stosowaniu.

Przypomnijmy najpierw podstawowe własności ciągu arytmetycznego i przedstawmy najważniejsze wzory, związane z tą koncepcją.

Definicja. Sekwencja numerów, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę, zwany postępem arytmetycznym. W tym przypadku numernazywana różnicą progresji.

Dla postępu arytmetycznego obowiązują następujące wzory:

, (1)

Gdzie . Wzór (1) nazywany jest wzorem na ogólny wyraz postępu arytmetycznego, a wzór (2) reprezentuje główną właściwość postępu arytmetycznego: każdy wyraz ciągu pokrywa się ze średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów i .

Należy zauważyć, że właśnie ze względu na tę właściwość rozważany postęp nazywa się „arytmetyką”.

Powyższe wzory (1) i (2) uogólniono w następujący sposób:

(3)

Aby obliczyć kwotę Pierwszy terminy postępu arytmetycznegozwykle używa się tej formuły

(5) gdzie i .

Jeśli weźmiemy pod uwagę wzór (1), następnie ze wzoru (5) wynika

Jeśli oznaczymy , to

Gdzie . Ponieważ , wzory (7) i (8) są uogólnieniem odpowiednich wzorów (5) i (6).

W szczególności ze wzoru (5) wynika, Co

Większości uczniów mało znana jest właściwość postępu arytmetycznego, sformułowana za pomocą następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Jeśli, to

Dowód. Jeśli, to

Twierdzenie zostało udowodnione.

Na przykład , korzystając z twierdzenia, można to wykazać

Przejdźmy do rozważenia typowych przykładów rozwiązywania problemów na temat „Postęp arytmetyczny”.

Przykład 1. Niech tak będzie. Znajdować .

Rozwiązanie. Stosując wzór (6) otrzymujemy . Od i , następnie lub .

Przykład 2. Niech będzie trzy razy większa, a po podzieleniu przez iloraz otrzymamy 2, a reszta 8. Określ i .

Rozwiązanie. Z warunków przykładu wynika układ równań

Ponieważ , i , to z układu równań (10) otrzymujemy

Rozwiązaniem tego układu równań jest i .

Przykład 3. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (5) mamy lub . Korzystając jednak z własności (9) otrzymujemy .

Od i , to z równości równanie następuje Lub .

Przykład 4. Znajdź jeśli.

Rozwiązanie.Zgodnie ze wzorem (5) mamy

Korzystając jednak z twierdzenia, możemy pisać

Stąd i ze wzoru (11) otrzymujemy .

Przykład 5. Dany: . Znajdować .

Rozwiązanie. Od tego czasu. Jednak dlatego.

Przykład 6. Niech , i . Znajdować .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (9) otrzymujemy . Dlatego jeśli , to lub .

Od i wtedy mamy układ równań

Rozwiązując które, otrzymujemy i .

Pierwiastek naturalny równania Jest .

Przykład 7. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Skoro zgodnie ze wzorem (3) mamy to , to układ równań wynika z warunków problemowych

Jeśli zastąpimy wyrażeniedo drugiego równania układu, wtedy otrzymujemy lub .

Korzenie równanie kwadratowe Czy I .

Rozważmy dwa przypadki.

1. Niech więc . Od i , wtedy .

W tym przypadku, zgodnie ze wzorem (6), mamy

2. Jeśli , to i

Odpowiedź: i.

Przykład 8. Wiadomo, że i. Znajdować .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę wzór (5) i warunek z przykładu, piszemy i .

To implikuje układ równań

Jeśli pomnożymy pierwsze równanie układu przez 2, a następnie dodamy to do drugiego równania, otrzymamy

Zgodnie ze wzorem (9) mamy. W związku z tym wynika z (12) Lub .

Od i , wtedy .

Odpowiedź: .

Przykład 9. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Ponieważ , i według warunku , następnie lub .

Ze wzoru (5) wiadomo, Co . Od tego czasu.

Stąd , tutaj mamy układ równań liniowych

Stąd otrzymujemy i . Uwzględniając wzór (8) piszemy .

Przykład 10. Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie. Z podanego równania wynika, że ​​. Załóżmy, że , i . W takim razie.

Zgodnie ze wzorem (1) możemy napisać lub .

Ponieważ , to równanie (13) ma jedyny odpowiedni pierwiastek .

Przykład 11. Znajdź maksymalną wartość pod warunkiem, że i .

Rozwiązanie. Ponieważ , to rozważany postęp arytmetyczny maleje. Pod tym względem wyrażenie nabiera maksymalnej wartości, gdy jest liczbą minimalnego dodatniego wyrazu progresji.

Skorzystajmy ze wzoru (1) i faktu, to i . Wtedy otrzymujemy to lub .

Ponieważ , wtedy lub . Jednak w tej nierównościnajwiększą liczbę naturalną, Dlatego.

Jeśli wartości , i podstawimy do wzoru (6), otrzymamy .

Odpowiedź: .

Przykład 12. Określ sumę wszystkich dwucyfrowych liczby naturalne, który po podzieleniu przez 6 daje resztę 5.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez zbiór wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, tj. . Następnie skonstruujemy podzbiór składający się z tych elementów (liczb) zbioru, które po podzieleniu przez liczbę 6 dają resztę 5.

Łatwy w instalacji, Co . Oczywiście , że elementy zestawutworzą postęp arytmetyczny, w którym i .

Aby ustalić liczność (liczbę elementów) zbioru, zakładamy, że . Ponieważ i , wynika ze wzoru (1) lub . Biorąc pod uwagę wzór (5) otrzymujemy .

Powyższe przykłady rozwiązywania problemów w żadnym wypadku nie mogą być wyczerpujące. Artykuł ten powstał na podstawie analizy nowoczesne metody rozwiązywanie typowych problemów na zadany temat. W celu dokładniejszego przestudiowania metod rozwiązywania problemów związanych z postępem arytmetycznym warto zapoznać się z listą zalecanej literatury.

1. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Pokój i edukacja, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe sekcje program szkolny. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medyński M.M. Pełny kurs matematyka elementarna w zadaniach i ćwiczeniach. Księga 2: Sekwencje liczb i progresje. – M.: Edyta, 2015. – 208 s.

Nadal masz pytania?

Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Niektórzy traktują słowo „postęp” z ostrożnością, jako bardzo złożone pojęcie z dziedzin matematyki wyższej. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca taksometru (o ile jeszcze istnieją). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „uzyskanie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.

Matematyczny ciąg liczb

Sekwencję liczbową nazywa się zwykle serią liczb, z których każda ma swój własny numer.

a 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;

oraz 2 jest drugim wyrazem ciągu;

a 7 jest siódmym elementem ciągu;

oraz n oznacza n-ty element ciągu;

Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw liczb i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego wyrazu jest powiązana z jego liczbą porządkową za pomocą dającej się jasno sformułować matematycznie zależności. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest jakąś funkcją n.

a jest wartością elementu ciągu liczbowego;

n - jego numer seryjny;

f(n) jest funkcją, gdzie argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.

Definicja

Postęp arytmetyczny nazywa się zwykle ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;

a n+1 - wzór na następną liczbę;

d - różnica (pewna liczba).

Łatwo ustalić, że jeśli różnica będzie dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.

Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywa się „rosnącą”.

W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Określona wartość elementu członkowskiego

Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnego wyrazu n ciągu arytmetycznego. Można to zrobić, obliczając sekwencyjnie wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, zaczynając od pierwszego do żądanego. Jednak ta ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego wyrazu. Tradycyjne obliczenia zajmą dużo czasu. Jednakże konkretny postęp arytmetyczny można badać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego można wyznaczyć jako sumę pierwszego wyrazu ciągu z różnicą postępu, pomnożoną przez liczbę żądanego wyrazu, pomniejszoną przez jeden.

Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.

Przykład obliczenia wartości danego wyrazu

Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego.

Warunek: istnieje postęp arytmetyczny z parametrami:

Pierwszy wyraz ciągu to 3;

Różnica w szeregach liczbowych wynosi 1,2.

Zadanie: musisz znaleźć wartość 214 wyrazów

Rozwiązanie: aby określić wartość danego wyrazu, korzystamy ze wzoru:

a(n) = a1 + d(n-1)

Podstawiając dane ze sformułowania problemu do wyrażenia, mamy:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpowiedź: 214. wyraz ciągu jest równy 258,6.

Zalety tej metody obliczeń są oczywiste – całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.

Suma danej liczby wyrazów

Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym konieczne jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Aby to zrobić, nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego terminu, a następnie ich dodawania. Metodę tę można zastosować, jeśli liczba wyrazów, których sumę należy znaleźć, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego wyrazu pomnożonej przez liczbę wyrazu n i podzielonej przez dwa. Jeśli we wzorze wartość n-tego wyrazu zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:

Przykład obliczeń

Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;

Różnica wynosi 0,5.

Zadanie wymaga wyznaczenia sumy wyrazów szeregu od 56 do 101.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na określenie wielkości progresji:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 wyrazów progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Zatem suma postępu arytmetycznego w tym przykładzie wynosi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego

Na koniec artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w pierwszym akapicie – taksometru (licznik taksówki). Rozważmy ten przykład.

Wejście na taksówkę (co obejmuje 3 km przejazdu) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr płatny jest według stawki 22 rubli/km. Odległość do pokonania wynosi 30 km. Oblicz koszt podróży.

1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analizowanie szeregu liczb arytmetycznych.

Numer członkowski - liczba przejechanych kilometrów (minus pierwsze trzy).

Wartość elementu jest sumą.

Pierwszy człon tego problemu będzie równy 1 = 50 rubli.

Różnica w progresji d = 22 r.

interesująca nas liczba to wartość (27+1)-tego wyrazu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27. kilometra wynosi 27,999... = 28 km.

za 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących określone ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od gwiazdy. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystyce i innych stosowanych obszarach matematyki.

Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny

Postęp geometryczny charakteryzuje się większym tempem zmian w porównaniu z postępem arytmetycznym. To nie przypadek, że w polityce, socjologii i medycynie, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się określonego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, często mówi się, że proces ten rozwija się w postępie geometrycznym.

N-ty wyraz geometrycznej serii liczb różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez jakąś stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy wyraz wynosi 1, mianownik jest odpowiednio równy 2, a następnie:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - wartość bieżącego wyrazu postępu geometrycznego;

b n+1 - wzór na kolejny wyraz ciągu geometrycznego;

q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).

Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to postęp geometryczny przedstawia nieco inny obraz:

Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego wyrazu. Dowolny n-ty wyraz postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonej o jeden:

Przykład. Mamy postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3, a mianownik postępu jest równy 1,5. Znajdźmy piąty wyraz progresji

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Sumę danej liczby wyrazów oblicza się również za pomocą specjalnego wzoru. Suma n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego wyrazu postępu i jego mianownika a pierwszym wyrazem postępu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:

Jeżeli b n zastąpimy wzorem omówionym powyżej, wartość sumy pierwszych n wyrazów rozpatrywanego szeregu liczbowego będzie miała postać:

Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest ustawiony na 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Typ lekcji: nauka nowego materiału.

Cele lekcji:

• poszerzenie i pogłębienie wiedzy uczniów na temat problemów rozwiązywanych za pomocą postępu arytmetycznego; organizowanie poszukiwań uczniów przy wyprowadzaniu wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego;
• rozwijanie umiejętności samodzielnego zdobywania nowej wiedzy i wykorzystywania już zdobytej wiedzy do realizacji postawionego zadania;
• rozwijanie chęci i potrzeby uogólniania uzyskanych faktów, rozwijanie niezależności.

Zadania:

• podsumować i usystematyzować istniejącą wiedzę na temat „Postępu arytmetycznego”;
• wyprowadzać wzory na obliczenie sumy pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego;
• uczyć, jak zastosować uzyskane wzory przy rozwiązywaniu różnych problemów;
• zwróć uwagę uczniów na procedurę znajdowania wartości wyrażenia liczbowego.

Sprzęt:

• karty z zadaniami do pracy w grupach i parach;
• arkusz wyników;
• prezentacja„Postęp arytmetyczny”.

I. Aktualizacja wiedzy podstawowej.

1. Samodzielna praca w parach.

Pierwsza opcja:

Zdefiniuj postęp arytmetyczny. Zapisz powtarzającą się formułę definiującą postęp arytmetyczny. Proszę podać przykład postępu arytmetycznego i wskazać jego różnicę.

druga opcja:

Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź setny wyraz ciągu arytmetycznego ( jakiś}: 2, 5, 8 …
W tym czasie dwóch uczniów znajdujących się z tyłu tablicy przygotowuje odpowiedzi na te same pytania.
Uczniowie oceniają pracę swojego partnera, sprawdzając go na tablicy. (Arkusze z odpowiedziami są wręczane.)

2. Moment gry.

Zadanie 1.

Nauczyciel. Pomyślałem o pewnym postępie arytmetycznym. Zadaj mi tylko dwa pytania, aby po odpowiedziach móc szybko wymienić 7. człon tej progresji. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pytania od uczniów.

1. Jaki jest szósty termin progresji i jaka jest różnica?
2. Jaki jest ósmy termin progresji i jaka jest różnica?

Jeśli nie ma już pytań, nauczyciel może je pobudzić - „zakaz” d (różnicy), to znaczy nie wolno pytać, ile wynosi różnica. Można zadawać pytania: jaki jest szósty wyraz progresji i jaki jest ósmy wyraz progresji?

Zadanie 2.

Na tablicy zapisanych jest 20 liczb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nauczyciel stoi tyłem do tablicy. Uczniowie wywołują numer, a nauczyciel natychmiast wywołuje ten numer. Wyjaśnij, jak mogę to zrobić?

Nauczyciel zapamiętuje wzór na n-ty wyraz zan = 3n – 2 i zastępując określone wartości n, znajduje odpowiednie wartości jakiś.

II. Ustalenie zadania edukacyjnego.

Proponuję rozwiązać starożytny problem, którego początki sięgają II tysiąclecia p.n.e., znaleziony w egipskich papirusach.

Zadanie:„Niech wam powiedzą: podzielcie 10 miar jęczmienia pomiędzy 10 osób, a różnica między każdą osobą a jej sąsiadem wynosi 1/8 miary”.

• Jak ten problem ma się do tematu postępu arytmetycznego? (Każda kolejna osoba otrzymuje o 1/8 miarki więcej, czyli różnica wynosi d=1/8, 10 osób, czyli n=10.)
• Jak myślisz, co oznacza miara numer 10? (Suma wszystkich warunków progresji.)
• Co jeszcze musisz wiedzieć, aby łatwo i łatwo było podzielić jęczmień w zależności od warunków problemu? (Pierwszy okres progresji.)

Cel lekcji– uzyskanie zależności sumy wyrazów ciągu od ich liczby, pierwszego wyrazu i różnicy oraz sprawdzenie, czy zadanie zostało poprawnie rozwiązane w starożytności.

Zanim wydedukujemy wzór, zobaczmy, jak starożytni Egipcjanie rozwiązali ten problem.

I rozwiązali to w następujący sposób:

1) 10 miar: 10 = 1 miara – udział średni;
2) 1 miara ∙ = 2 miary – podwojona przeciętny udział.
Podwojone przeciętny udział jest sumą udziałów piątej i szóstej osoby.
3) 2 miarki – 1/8 miarki = 1 7/8 miarki – podwójna część piątej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – ułamek piąty; i tak dalej, możesz znaleźć udział każdej poprzedniej i kolejnej osoby.

Otrzymujemy sekwencję:

III. Rozwiązanie problemu.

1. Pracuj w grupach

Grupa I: Znajdź sumę 20 kolejnych liczb naturalnych: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Zazwyczaj

II grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 (Legenda Małego Gaussa).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Wniosek:

III grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 21.

Rozwiązanie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Wniosek:

grupa IV: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 101.

Wniosek:

Ta metoda rozwiązywania rozważanych problemów nazywana jest „metodą Gaussa”.

2. Każda grupa przedstawia na tablicy rozwiązanie problemu.

3. Uogólnienie proponowanych rozwiązań dla dowolnego ciągu arytmetycznego:

za 1, za 2, za 3,…, za n-2, za n-1, za n.
S n = za 1 + za 2 + za 3 + za 4 +…+ za n-3 + za n-2 + za n-1 + za n.

Znajdźmy tę sumę, korzystając z podobnego rozumowania:

4. Czy rozwiązaliśmy problem?(Tak.)

IV. Podstawowe zrozumienie i zastosowanie uzyskanych wzorów przy rozwiązywaniu problemów.

1. Sprawdzenie rozwiązania starożytnego problemu za pomocą wzoru.

2. Zastosowanie wzoru do rozwiązywania różnych problemów.

3. Ćwiczenia rozwijające umiejętność stosowania formuł przy rozwiązywaniu problemów.

A) Nr 613

Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Znajdować: S1500

Rozwiązanie: , za 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Biorąc pod uwagę: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Znajdować: N
Rozwiązanie:

V. Samodzielna praca z wzajemną weryfikacją.

Denis rozpoczął pracę jako kurier. W pierwszym miesiącu jego pensja wynosiła 200 rubli, w każdym kolejnym zwiększała się o 30 rubli. Ile łącznie zarobił w ciągu roku?

Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Znajdować: S 12
Rozwiązanie:

Odpowiedź: Denis otrzymał za rok 4380 rubli.

VI. Instrukcja pracy domowej.

1. Sekcja 4.3 – poznaj wyprowadzenie wzoru.
2. №№ 585, 623 .
3. Utwórz problem, który można rozwiązać, korzystając ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.

VII. Podsumowanie lekcji.

1. Arkusz wyników

2. Kontynuuj zdania

• Dziś na zajęciach dowiedziałam się...
• Wyuczone formuły...
• Wierzę, że...

3. Czy potrafisz znaleźć sumę liczb od 1 do 500? Jakiej metody użyjesz, aby rozwiązać ten problem?

Referencje.

1. Algebra, klasa 9. Podręcznik dla placówek oświaty ogólnokształcącej. wyd. G.V. Dorofejewa. M.: „Oświecenie”, 2009.

Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Postęp arytmetyczny lub algebraiczny to zbiór uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy wyraz różni się od poprzedniego pewną stałą wartością. Wartość tę nazywa się różnicą. Oznacza to, że znając dowolny element uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz przywrócić cały postęp arytmetyczny.

Podajmy przykład. Następujący ciąg liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać rozważanemu rodzajowi progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Przedstawmy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem postępu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem n n-ty element ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Różnicę oznaczamy łacińską literą d. Wówczas obowiązują następujące wyrażenia:

1. Do określenia wartości n-tego wyrazu odpowiedni jest wzór: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.

Aby zrozumieć przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniami w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy tego typu opierają się na ich zastosowaniu. Należy także pamiętać, że różnicę progresji wyznacza wzór: d = a n - a n-1.

Przykład nr 1: znalezienie nieznanego członka

Podajmy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzorów, których należy użyć, aby go rozwiązać.

Niech zostanie podana sekwencja 10, 8, 6, 4, ..., musisz znaleźć w niej pięć terminów.

Z warunków zadania wynika już, że znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:

1. Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie możesz wziąć dowolnych dwóch innych członków stojących obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d = a n - a n-1, to d = a 5 - a 4, z czego otrzymujemy: a 5 = a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda również wymaga znajomości różnicy w omawianej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak widać oba rozwiązania doprowadziły do ​​tego samego rezultatu. Należy zauważyć, że w tym przykładzie różnica progresji d jest wartością ujemną. Takie ciągi nazywane są malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Przykład nr 2: różnica w progresji

Teraz skomplikujmy trochę zadanie, podamy przykład, jak to zrobić

Wiadomo, że w niektórych pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Konieczne jest znalezienie różnicy i przywrócenie tej sekwencji do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W rezultacie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.

Przykład nr 3: sporządzenie progresji

Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.

Zanim zaczniesz rozwiązywać ten problem, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.

Przykład nr 4: pierwszy okres progresji

Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.

Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.

Przykład nr 5: kwota

Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.

Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Problem można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę na fakt, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * ( za 1 + za n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli dodamy liczby na końcach ciągu parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach zapisujemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m = m * (za m + za 1) / 2.
2. S n = n * (za n + za 1) / 2.

Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku włączenia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz przerwa wspólne zadanie na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również liczbą ujemną. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą, co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym tych oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiadujących elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny definiują następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia; podano nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Po obliczeniu sześciu potrzebnych nam elementów znajdujemy ich sumę.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Znaleziono wymaganą kwotę.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tj. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy powinniśmy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązuje się sprawy „od ręki”, ale stosuje się specjalne wzory wyprowadzone na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. Naszą progresję wyznacza wzór n-tego wyrazu w zależności od jego liczby (więcej szczegółów w artykule). Obliczmy pierwszy element, zastępując jedynką \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – liczba elementów sumy.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystkie informacje potrzebne do rozwiązania niemal każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz chcielibyśmy podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Obliczmy...
\(n>65 333…\)		...i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? To proste - aby otrzymać sumę od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\)-tej do \(42\)-tej, a następnie odjąć z niego suma od pierwszej do (25) (patrz rysunek).
	Dla naszego postępu \(a_1=-33\), i różnicy \(d=4\) (w końcu to właśnie te cztery dodajemy do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\) elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.