Wektory są równe pod względem modułu. Wyznaczanie długości wektora, przykłady i rozwiązania

Obliczmy długość wektora z jego współrzędnych (w prostokątnym układzie współrzędnych), ze współrzędnych punktu początkowego i końcowego wektora oraz z twierdzenia o cosinusie (biorąc pod uwagę 2 wektory i kąt między nimi).

Wektor jest skierowanym odcinkiem prostym. Długość tego odcinka określa wartość liczbowa wektor i nazywa się długość wektora lub moduł wektora.

1. Obliczanie długości wektora na podstawie jego współrzędnych

Jeżeli współrzędne wektora podane są w płaskim (dwuwymiarowym) prostokątnym układzie współrzędnych, tj. a x i a y są znane, wówczas długość wektora można znaleźć za pomocą wzoru

W przypadku wektora w przestrzeni dodawana jest trzecia współrzędna

W wyrażeniu MS EXCEL =ROOT(SUMKV(B8:B9)) pozwala obliczyć moduł wektora (zakłada się, że do komórek wpisane są koordynatorzy wektorów B8:B9, zobacz przykładowy plik).

Funkcja SUMMQ() zwraca sumę kwadratów argumentów, tj. w tym przypadku jest to równoważne formule =B8*B8+B9*B9.

Przykładowy plik oblicza również długość wektora w przestrzeni.

Alternatywna formuła to =ROOT(SUMPRODUKT(B8:B9,B8:B9)).

2. Wyznaczanie długości wektora poprzez współrzędne punktów

Jeśli wektor podane poprzez współrzędne jego punktu początkowego i końcowego, wówczas wzór będzie inny =ROOT(SUMA(C28:C29,B28:B29))

Formuła zakłada, że ​​w zakresach wpisane są współrzędne punktu początkowego i końcowego C28:C29 I B28:B29 odpowiednio.

Funkcjonować SUMMQRÓŻNICA() w Zwraca sumę kwadratów różnic odpowiednich wartości w dwóch tablicach.

Zasadniczo wzór najpierw oblicza współrzędne wektora (różnicę między odpowiednimi współrzędnymi punktów), a następnie oblicza sumę ich kwadratów.

3. Wyznaczanie długości wektora za pomocą twierdzenia o cosinusie

Jeśli chcesz znaleźć długość wektora za pomocą twierdzenia o cosinusie, zwykle podaje się 2 wektory (ich moduły i kąt między nimi).

Znajdźmy długość wektora c, korzystając ze wzoru =ROOT(SUMA(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

W komórkach B43:B43 zawiera długości wektorów a i b oraz komórkę B45 - kąt między nimi w radianach (w ułamkach PI()).

Jeśli kąt zostanie podany w stopniach, wzór będzie nieco inny =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Notatka: dla jasności w komórce z wartością kąta w stopniach możesz użyć , zobacz na przykład artykuł

Charakteryzuje się wielkością i kierunkiem. Na przykład w geometrii i naukach przyrodniczych wektor jest skierowanym odcinkiem linii w przestrzeni euklidesowej (lub na płaszczyźnie).

Jest to jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej. Używając najbardziej ogólnej definicji, wektorami okazują się prawie wszystkie badane algebra liniowa obiekty, w tym macierze, tensory, jeżeli jednak obiekty te występują w otaczającym kontekście, przez wektor rozumie się odpowiednio wektor wierszowy lub wektor kolumnowy, tensor pierwszego rzędu. Własności operacji na wektorach bada się w rachunku wektorowym.

Oznaczenia [ | ]

Wektor reprezentowany przez zbiór n (\ displaystyle n) elementy (komponent) za 1 , za 2 , … , za n (\ Displaystyle a_ (1), a_ (2), \ ldots, a_ (n)) wyznaczane w następujący sposób:

⟨ za 1 , za 2 , … , za n ⟩ , ( za 1 , za 2 , … , za n) , ( za 1 , za 2 , … , za n ) (\ Displaystyle \ langle a_ (1), a_ (2), \ldots ,a_(n)\,\rangle ,\ \left(a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)\,\right),\(a_(1),a_(2) ,\ldots,a_(n)\,\)).

Aby podkreślić, że jest to wektor (a nie skalar), użyj paska overbar, strzałki lub pogrubionej lub gotyckiej czcionki:

za ¯ , za → , za , ZA , za .

(\ Displaystyle (\ bar (a)), \ (\ vec (a)), \ mathbf (a), (\ mathfrak (A)), \ (\ mathfrak (a)).)

Dodanie wektorów jest prawie zawsze oznaczone znakiem plus:.

za → + b → (\ Displaystyle (\ vec (a)) + (\ vec (b)})

Mnożenie przez liczbę jest po prostu napisane obok niej, bez specjalnego znaku, na przykład:,

k b → (\ Displaystyle k (\ vec (b)))

Co więcej, liczba jest zwykle zapisywana po lewej stronie.

Nie ma ogólnie przyjętych symboli wektorowych; stosuje się pogrubioną czcionkę, linię lub strzałkę nad literą, alfabet gotycki itp. [ | ]

W geometrii
W geometrii wektory oznaczają skierowane segmenty. Interpretacja ta jest często wykorzystywana w grafice komputerowej do konstruowania map światła przy użyciu normalnych powierzchni. Za pomocą wektorów można również znaleźć pola różnych figur, takich jak trójkąty i równoległoboki, a także objętości ciał: czworościanu i równoległościanu.

Czasami kierunek jest utożsamiany z wektorem. Wektor w geometrii porównywany jest w naturalny sposób do translacji (tłumaczenia równoległego), co w oczywisty sposób wyjaśnia pochodzenie jego nazwy (łac. wektor,). Rzeczywiście, każdy skierowany segment jednoznacznie definiuje pewien rodzaj równoległego przesunięcia płaszczyzny lub przestrzeni i odwrotnie, równoległe przesunięcie jednoznacznie definiuje pojedynczy skierowany segment (jednoznacznie – jeśli uznamy, że wszystkie skierowane segmenty o tym samym kierunku i długości są równe – to znaczy, uważaj je za wektory swobodne).

Interpretacja wektora jako transferu pozwala w naturalny i intuicyjnie oczywisty sposób wprowadzić operację dodawania wektorów – jako złożenie (sekwencyjne zastosowanie) dwóch (lub kilku) transferów; to samo dotyczy operacji mnożenia wektora przez liczbę.

W algebrze liniowej[ | ]

Ogólna definicja[ | ]

Najbardziej ogólną definicję wektora podaje się za pomocą algebry ogólnej:

• Oznaczmy F (\ Displaystyle (\ mathfrak (F)))(Gothic F) jakieś pole z wieloma elementami F (\ displaystyle F), operacja addytywna + (\ displaystyle +), operacja mnożenia ∗ (\ displaystyle *) oraz odpowiadające im elementy neutralne: jednostka addytywna i jednostka multiplikatywna 1 (\ displaystyle 1).
• Oznaczmy V (\ Displaystyle (\ mathfrak (V)))(Gothic V) jakaś grupa abelowa z wieloma elementami V (\ displaystyle V), operacja addytywna + (\ displaystyle +) i odpowiednio z jednostką dodatkową 0 (\ displaystyle \ mathbf (0) ).

Inaczej mówiąc, niech fa = ⟨ fa ;+ , ∗ ⟩ (\ Displaystyle (\ mathfrak (F)) = \ langle F; +, * \ rangle ) I.

V = ⟨ V ; + ⟩ (\ Displaystyle (\ mathfrak (V)) = \ langle V; + \ rangle ) Jeśli będzie operacja F × V → V (\ displaystyle F \ razy V \ do V), tak że dla każdego za , b ∈ fa (\ displaystyle a, b \ in F) i dla każdego

x , y ∈ V (\ Displaystyle \ mathbf (x), \ mathbf (y) \ w V)[ | ]

zachodzą następujące zależności: Wektor jako sekwencja Wektor- (sekwencja, krotka) elementów jednorodnych. Jest to najbardziej ogólna definicja w tym sensie, że może w ogóle nie zostać określonych konwencjonalnych operacji wektorowych, może być ich mniej lub mogą nie spełniać zwykłych aksjomatów przestrzeni liniowej. W tej postaci wektor jest rozumiany w programowaniu, gdzie z reguły jest oznaczany nazwą identyfikatora w nawiasach kwadratowych (na przykład

obiekt). Lista modeli właściwości, w których jest akceptowana moduł wektorowy- wielkość wektora - [L.G. Sumenko. Angielsko-rosyjski słownik technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematyka

obiekt- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. wartość bezwzględna wektora vok. Vektorbetrag, m rus. długość wektora, f; moduł wektorowy, m pranc. moduł d'un vecteur, m ... Fizikos terminų žodynas

- (z łaciny moduł „mała miara”): W Wikisłowniku znajduje się artykuł „moduł” Mo… Wikipedia

Moduł (od łacińskiego modułu „mała miara”) jest częścią integralną, dającą się oddzielić lub przynajmniej mentalnie odróżnić od ogółu. Modułowość zwykle nazywana jest rzeczą składającą się z jasno określonych części, które często można usunąć lub dodać bez niszczenia rzeczy... ... Wikipedia

Wartość bezwzględna lub moduł rzeczywistego lub liczba zespolona x to odległość od x do początku. Dokładniej: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest liczbą nieujemną, oznaczoną przez |x| i zdefiniowane w następujący sposób: ... ... Wikipedia

moduł wektora falowego- - [L.G. Sumenko. Angielsko-rosyjski słownik technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematy technologia informacyjna ogólnie EN wielkość wektora propagacji ... Przewodnik tłumacza technicznego

moduł wektora kodu koperty- - [L.G. Sumenko. Angielsko-rosyjski słownik technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematy technologia informacyjna w ogóle EN moduł splotu kodowo-wektorowego kształtu ... Przewodnik tłumacza technicznego

Moduł liczby zespolonej to długość wektora odpowiadającego tej liczbie: . Moduł liczby zespolonej z jest zwykle oznaczany | z | lub r. Niech tak będzie liczby prawdziwe taka, że ​​liczba zespolona (zwykły zapis). Następnie Liczby... Wikipedia

Moduł matematyczny, 1) M. (lub wartość bezwzględna) liczby zespolonej z = x + iy to liczba ═ (pierwiastek liczony jest ze znakiem plus). Reprezentując liczbę zespoloną z in postać trygonometryczna z = r(cos j + i sin j) liczba rzeczywista r to... ... Wielka encyklopedia radziecka

Grupa abelowa z pierścieniem operatorów. M jest uogólnieniem (liniowej) przestrzeni wektorowej na ciele K dla przypadku, gdy K jest zastąpione przez jakiś pierścień. Niech będzie dany pierścień A. Dodatkowa grupa abelowa Mnaz. left Moduł, jeśli został zdefiniowany... ... Encyklopedia matematyczna

Wreszcie trafiłem w swoje ręce z tym obszernym i długo oczekiwanym tematem. geometria analityczna. Na początek trochę o tym dziale matematyki wyższej... Na pewno pamiętasz teraz szkolny kurs geometrii z licznymi twierdzeniami, ich dowodami, rysunkami itp. Co ukryć, temat niekochany i często niejasny dla znacznej części uczniów. Co dziwne, geometria analityczna może wydawać się bardziej interesująca i przystępna. Co oznacza przymiotnik „analityczny”? Od razu przychodzą mi na myśl dwa banalne wyrażenia matematyczne: „metoda rozwiązania graficznego” i „ metoda analityczna rozwiązania.” Metoda graficzna wiąże się oczywiście z konstruowaniem wykresów i rysunków. Analityczny To samo metoda polega na rozwiązywaniu problemów głównie Poprzez operacje algebraiczne. Pod tym względem algorytm rozwiązywania prawie wszystkich problemów geometrii analitycznej jest prosty i przejrzysty; często wystarczy dokładnie zastosować niezbędne formuły - i odpowiedź jest gotowa! Nie, oczywiście, bez rysunków w ogóle się nie obejdziemy, a poza tym dla lepszego zrozumienia materiału postaram się je zacytować bez konieczności.

Nowo otwarty kurs lekcji geometrii nie pretenduje do ukończenia teoretycznie, lecz jest nastawiony na rozwiązywanie problemów praktycznych. W moich wykładach będę uwzględniać tylko to, co z mojego punktu widzenia jest istotne z praktycznego punktu widzenia. Jeśli potrzebujesz pełniejszej pomocy w którymkolwiek podrozdziale, polecam następującą, dość przystępną literaturę:

1) Rzecz, którą bez wątpienia zna kilka pokoleń: Podręcznik szkolny do geometrii, autorzy – L.S. Atanasjan i Spółka. Ten wieszak do szatni szkolnej doczekał się już 20 (!) przedruków, co oczywiście nie jest limitem.

2) Geometria w 2 tomach. Autorski L.S. Atanasjan, Bazylew V.T.. To jest literatura dla szkoła średnia, będziesz potrzebować pierwszy tom. Rzadko spotykane zadania mogą wypaść mi z oczu i podręcznik szkoleniowy udzieli nieocenionej pomocy.

Obie książki można pobrać bezpłatnie online. Ponadto możesz korzystać z mojego archiwum z gotowe rozwiązania, które można znaleźć na stronie Pobierz przykłady z matematyki wyższej.

Wśród narzędzi ponownie proponuję własny rozwój - pakiet oprogramowania w geometrii analitycznej, co znacznie ułatwi życie i zaoszczędzi mnóstwo czasu.

Zakłada się, że czytelnik zna podstawowe pojęcia i figury geometryczne: punkt, linia, płaszczyzna, trójkąt, równoległobok, równoległościan, sześcian itp. Wskazane jest zapamiętanie niektórych twierdzeń, przynajmniej twierdzenia Pitagorasa, witam powtarzaczy)

A teraz rozważymy kolejno: koncepcję wektora, działania z wektorami, współrzędne wektora. Polecam czytać dalej najważniejszy artykuł Iloczyn skalarny wektorów, a także Iloczyn wektorowy i mieszany wektorów. Nie będzie też zbędne zadanie lokalne – podział segmentu pod tym względem. Na podstawie powyższych informacji możesz opanować równanie prostej w płaszczyźnie Z najprostsze przykłady rozwiązań, co pozwoli nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii. Przydatne są również następujące artykuły: Równanie płaszczyzny w przestrzeni, Równania prostej w przestrzeni, Podstawowe zagadnienia na prostej i płaszczyźnie, inne działy geometrii analitycznej. Oczywiście po drodze uwzględnione zostaną standardowe zadania.

Koncepcja wektora. Bezpłatny wektor

Na początek powtórzmy szkolną definicję wektora. Wektor zwany skierowany odcinek, dla którego wskazany jest jego początek i koniec:

W tym przypadku początkiem odcinka jest punkt, a końcem odcinka jest punkt. Sam wektor jest oznaczony przez . Kierunek jest istotne, jeśli przesuniesz strzałkę na drugi koniec segmentu, otrzymasz wektor i to już jest zupełnie inny wektor. Pojęcie wektora wygodnie utożsamia się z ruchem ciało fizyczne: Zgadzam się, wejście do drzwi instytutu i opuszczenie drzwi instytutu to zupełnie różne rzeczy.

Wygodnie jest rozpatrywać poszczególne punkty płaszczyzny lub przestrzeni jako tzw wektor zerowy. Dla takiego wektora koniec i początek pokrywają się.

!!! Notatka: Tu i dalej można założyć, że wektory leżą w tej samej płaszczyźnie lub można założyć, że znajdują się w przestrzeni – istota prezentowanego materiału dotyczy zarówno płaszczyzny, jak i przestrzeni.

Oznaczenia: Wielu od razu zauważyło kij bez strzałki w oznaczeniu i stwierdziło, że na górze jest też strzałka! Co prawda można to napisać strzałką: , ale jest to również możliwe wpis, z którego skorzystam w przyszłości. Dlaczego? Najwyraźniej ten nawyk rozwinął się ze względów praktycznych; moi strzelcy w szkole i na uniwersytecie okazali się zbyt różnych rozmiarów i kudłaci. W literatura edukacyjna czasami w ogóle nie zawracają sobie głowy pismem klinowym, ale podkreślają pogrubione litery: , sugerując w ten sposób, że jest to wektor.

To była stylistyka, a teraz o sposobach pisania wektorów:

1) Wektory można pisać dwiema dużymi literami łacińskimi:
i tak dalej. W tym przypadku pierwsza litera Koniecznie oznacza punkt początkowy wektora, a druga litera oznacza punkt końcowy wektora.

2) Wektory są również pisane małymi literami łacińskimi:
W szczególności nasz wektor można dla skrócenia zmienić na małą literę łacińską.

Długość Lub moduł niezerowy wektor nazywany jest długością odcinka. Długość wektora zerowego wynosi zero. Logiczny.

Długość wektora jest oznaczona znakiem modułu: ,

Jak znaleźć długość wektora (lub powtórzymy to, w zależności od kogo) nauczymy się nieco później.

Była to podstawowa wiedza o wektorach, znana wszystkim uczniom. W geometrii analitycznej tzw wektor swobodny.

Mówiąc najprościej - wektor można wykreślić z dowolnego punktu:

Przyzwyczailiśmy się nazywać takie wektory równymi (definicja wektorów równych zostanie podana poniżej), ale z czysto matematycznego punktu widzenia są to SAME WEKTORY lub wektor swobodny. Dlaczego za darmo? Ponieważ w trakcie rozwiązywania problemów możesz „dołączyć” ten lub inny wektor „szkolny” do DOWOLNEGO punktu płaszczyzny lub przestrzeni, której potrzebujesz. To bardzo fajna funkcja! Wyobraźmy sobie skierowany odcinek o dowolnej długości i kierunku – można go „klonować” nieskończoną ilość razy i w dowolnym punkcie przestrzeni, tak naprawdę istnieje WSZĘDZIE. Jest taki student, który mówi: wektor ma w dupie każdego wykładowcę. W końcu to nie tylko dowcipny rym, wszystko jest prawie poprawne - tam też można dodać wyreżyserowany fragment. Ale nie spiesz się z radością, to sami uczniowie często cierpią =)

Więc, wektor swobodny- Ten wiele identyczne skierowane segmenty. Podana na początku akapitu szkolna definicja wektora: „Odcinek skierowany nazywa się wektorem...” implikuje specyficzny skierowany segment pobrany z danego zbioru, który jest powiązany z określonym punktem na płaszczyźnie lub przestrzeni.

Należy zauważyć, że z punktu widzenia fizyki koncepcja wektora swobodnego jest generalnie błędna i liczy się punkt zastosowania. Rzeczywiście, bezpośrednie uderzenie o tej samej sile w nos lub czoło, wystarczające do rozwinięcia mojego głupiego przykładu, pociąga za sobą różne konsekwencje. Jednakże, niewolny wektory można znaleźć także w trakcie wyszmatu (nie idź tam :)).

Działania z wektorami. Kolinearność wektorów

Szkolny kurs geometrii obejmuje szereg działań i zasad z wektorami: dodawanie według reguły trójkąta, dodawanie według reguły równoległoboku, zasada różnicy wektorów, mnożenie wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów itp. Na początek powtórzmy dwie zasady, które są szczególnie istotne przy rozwiązywaniu problemów geometrii analitycznej.

Zasada dodawania wektorów za pomocą reguły trójkąta

Rozważmy dwa dowolne niezerowe wektory i:

Musisz znaleźć sumę tych wektorów. Ze względu na to, że wszystkie wektory są uważane za wolne, odkładamy wektor z koniec wektor:

Suma wektorów to wektor. Dla lepszego zrozumienia reguły wskazane jest uwzględnienie znaczenie fizyczne: niech jakieś ciało porusza się wzdłuż wektora, a następnie wzdłuż wektora. Wówczas suma wektorów jest wektorem powstałej ścieżki, której początek znajduje się w punkcie wyjścia, a koniec w punkcie dotarcia. Podobną regułę formułuje się dla sumy dowolnej liczby wektorów. Jak mówią, ciało może iść swoją drogą bardzo pochylając się po zygzaku, a może na autopilocie - wzdłuż wynikowego wektora sumy.

Nawiasem mówiąc, jeśli wektor zostanie przełożony zaczął wektor, wtedy otrzymujemy odpowiednik reguła równoległoboku dodawanie wektorów.

Najpierw o kolinearności wektorów. Nazywa się te dwa wektory współliniowy, jeśli leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych. Z grubsza mówimy o wektorach równoległych. Ale w odniesieniu do nich zawsze używany jest przymiotnik „współliniowy”.

Wyobraź sobie dwa współliniowe wektory. Jeżeli strzałki tych wektorów są skierowane w tym samym kierunku, wówczas nazywane są takie wektory współreżyserowany. Jeśli strzałki wskazują w różnych kierunkach, wówczas wektory będą przeciwne kierunki.

Oznaczenia: kolinearność wektorów jest zapisywana za pomocą zwykłego symbolu równoległości: , natomiast możliwe jest uszczegółowienie: (wektory są współkierunkowane) lub (wektory są skierowane przeciwnie).

Praca niezerowy wektor na liczbie to wektor, którego długość jest równa , a wektory i są współskierowane i przeciwnie skierowane na .

Zasadę mnożenia wektora przez liczbę łatwiej zrozumieć za pomocą obrazu:

Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo:

1) Kierunek. Jeśli mnożnik jest ujemny, to wektor zmienia kierunek odwrotnie.

2) Długość. Jeśli mnożnik zawiera się w lub , to długość wektora maleje. Zatem długość wektora jest połową długości wektora. Jeśli moduł mnożnika jest większy niż jeden, to długość wektora wzrasta czasami.

3) Proszę o tym pamiętać wszystkie wektory są współliniowe, podczas gdy jeden wektor jest wyrażany przez inny, na przykład . Odwrotna sytuacja jest również prawdą: jeśli jeden wektor można wyrazić przez inny, to wektory takie są z konieczności współliniowe. Zatem: jeśli pomnożymy wektor przez liczbę, otrzymamy współliniowość(w stosunku do oryginału) wektor.

4) Wektory są współkierowane. Vectors i są również współreżyserowane. Każdy wektor z pierwszej grupy jest skierowany przeciwnie do dowolnego wektora z drugiej grupy.

Które wektory są równe?

Dwa wektory są równe, jeśli mają ten sam kierunek i tę samą długość. Należy zauważyć, że współkierunkowość implikuje współliniowość wektorów. Definicja byłaby niedokładna (zbędna), gdybyśmy powiedzieli: „Dwa wektory są równe, jeśli są współliniowe, współkierunkowe i mają tę samą długość”.

Z punktu widzenia koncepcji wektora swobodnego wektory równe są tym samym wektorem, co omówiono w poprzednim akapicie.

Współrzędne wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni

Pierwszą kwestią jest rozważenie wektorów na płaszczyźnie. Przedstawmy kartezjański prostokątny układ współrzędnych i wykreślmy go od początku współrzędnych pojedynczy wektory i:

Wektory i prostokątny. Ortogonalny = Prostopadły. Radzę powoli przyzwyczajać się do terminów: zamiast równoległości i prostopadłości używamy odpowiednio tych słów kolinearność+ , ∗ ⟩ (\ Displaystyle (\ mathfrak (F)) = \ langle F; +, * \ rangle ) ortogonalność.

Oznaczenie: Ortogonalność wektorów jest zapisywana za pomocą zwykłego symbolu prostopadłości, na przykład: .

Rozważane wektory nazywane są wektory współrzędnych Lub orty. Powstają te wektory podstawa w samolocie. Myślę, że dla wielu jest intuicyjnie jasne, czym jest podstawa; bardziej szczegółowe informacje można znaleźć w artykule Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów Krótko mówiąc, podstawa i pochodzenie współrzędnych określa cały układ - jest to rodzaj fundamentu, na którym gotuje się pełne i bogate życie geometryczne.

Czasami nazywana jest skonstruowana podstawa ortonormalny podstawa płaszczyzny: „orto” - ponieważ wektory współrzędnych są ortogonalne, przymiotnik „znormalizowany” oznacza jednostkę, tj. długości wektorów bazowych są równe jeden.

Oznaczenie: podstawa jest zwykle zapisana zdanie wtrącone, wewnątrz którego w ścisłej kolejności wektory bazowe są wymienione, na przykład: . Współrzędne wektorów jest to zabronione przemieniać.

Każdy wektor samolotu jedyny sposób wyrażone jako:
, Gdzie - takty muzyczne które nazywane są współrzędne wektora na tej podstawie. I samo wyrażenie zwany rozkład wektorowywedług podstawy .

Kolacja serwowana:

Zacznijmy od pierwszej litery alfabetu: . Rysunek wyraźnie pokazuje, że przy dekompozycji wektora na bazę wykorzystuje się te, które właśnie omówiliśmy:
1) zasada mnożenia wektora przez liczbę: i ;
2) dodawanie wektorów zgodnie z zasadą trójkąta: .

Teraz wykreśl w myślach wektor z dowolnego innego punktu na płaszczyźnie. Jest całkiem oczywiste, że jego upadek „będzie za nim nieustannie podążał”. Oto swoboda wektora - wektor „nosi wszystko ze sobą”. Własność ta jest oczywiście prawdziwa dla dowolnego wektora. Zabawne, że same wektory bazowe (swobodne) nie muszą być wykreślane od początku układu współrzędnych; jeden można narysować na przykład w lewym dolnym rogu, a drugi w prawym górnym rogu i nic się nie zmieni! To prawda, że ​​\u200b\u200bnie musisz tego robić, ponieważ nauczyciel również wykaże się oryginalnością i wyciągnie „zaliczenie” w nieoczekiwanym miejscu.

Wektory ilustrują dokładnie zasadę mnożenia wektora przez liczbę, wektor jest współkierunkowy z wektorem bazowym, wektor jest skierowany przeciwnie do wektora bazowego. Dla tych wektorów jedna ze współrzędnych jest równa zeru, można to skrupulatnie zapisać w następujący sposób:


Nawiasem mówiąc, wektory bazowe są takie: (w rzeczywistości są wyrażane przez siebie).

I wreszcie: , . Swoją drogą, czym jest odejmowanie wektorów i dlaczego nie wspomniałem o zasadzie odejmowania? Gdzieś w algebrze liniowej, nie pamiętam gdzie, zauważyłem, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania. Zatem rozwinięcia wektorów „de” i „e” można łatwo zapisać jako sumę: , . Postępuj zgodnie z rysunkiem, aby zobaczyć, jak wyraźnie działa w takich sytuacjach stare, dobre dodawanie wektorów zgodnie z zasadą trójkąta.

Rozważany rozkład formy czasami nazywany rozkładem wektorowym w systemie ort(tj. w układzie wektorów jednostkowych). Ale nie jest to jedyny sposób napisania wektora, powszechna jest następująca opcja:

Lub ze znakiem równości:

Same wektory bazowe są zapisane w następujący sposób: i

Oznacza to, że współrzędne wektora podano w nawiasach. W problemach praktycznych stosuje się wszystkie trzy opcje notacji.

Wątpiłem czy się odezwać, ale i tak to powiem: współrzędnych wektorowych nie można zmieniać. Ściśle na pierwszym miejscu zapisujemy współrzędną odpowiadającą wektorowi jednostkowemu, ściśle na drugim miejscu zapisujemy współrzędną odpowiadającą wektorowi jednostkowemu. Rzeczywiście, i są dwoma różnymi wektorami.

Ustaliliśmy współrzędne w samolocie. Przyjrzyjmy się teraz wektorom w przestrzeni trójwymiarowej, tutaj prawie wszystko jest takie samo! Po prostu doda jeszcze jedną współrzędną. Trudno jest wykonać rysunki trójwymiarowe, dlatego ograniczę się do jednego wektora, który dla uproszczenia odłożę na bok od początku:

Każdy Wektor przestrzeni 3D jedyny sposób rozwinąć w oparciu o bazę ortonormalną:
, gdzie są współrzędne wektora (liczby) w tej podstawie.

Przykład z obrazka: . Zobaczmy, jak działają tutaj reguły wektorów. Najpierw pomnóż wektor przez liczbę: (czerwona strzałka), (zielona strzałka) i (malinowa strzałka). Po drugie, oto przykład dodania kilku, w tym przypadku trzech, wektorów: . Wektor sumy zaczyna się w początkowym punkcie wyjścia (początek wektora) i kończy w końcowym punkcie przybycia (koniec wektora).

Wszystkie wektory przestrzeni trójwymiarowej są oczywiście również wolne; spróbuj mentalnie odsunąć wektor od dowolnego innego punktu, a zrozumiesz, że jego rozkład „pozostanie z nim”.

Podobny do płaskiego etui, oprócz pisania powszechnie stosowane są wersje z nawiasami: albo .

Jeśli w rozwinięciu brakuje jednego (lub dwóch) wektorów współrzędnych, w ich miejsce wstawiane są zera. Przykłady:
wektor (starannie ) – napiszmy ;
wektor (starannie ) – napiszmy ;
wektor (starannie ) – napiszmy.

Wektory bazowe zapisuje się w następujący sposób:

Być może jest to cała minimalna wiedza teoretyczna niezbędna do rozwiązywania problemów geometrii analitycznej. Terminów i definicji może być wiele, dlatego zalecam ponowne przeczytanie i zrozumienie tych informacji. Każdemu czytelnikowi przyda się od czasu do czasu odwołanie się do podstawowej lekcji, aby lepiej przyswoić sobie materiał. Kolinearność, ortogonalność, baza ortonormalna, rozkład wektorów – te i inne pojęcia będą często stosowane w przyszłości. Chciałbym zauważyć, że materiały na stronie nie wystarczą, aby zdać egzamin teoretyczny lub kolokwium z geometrii, ponieważ starannie szyfruję wszystkie twierdzenia (i bez dowodów) - ze szkodą dla naukowego stylu prezentacji, ale plus dla twojego zrozumienie tematu. Aby otrzymać szczegółowe informacje teoretyczne, prosimy o ukłon w stronę profesora Atanasyana.

I przechodzimy do części praktycznej:

Najprostsze problemy geometrii analitycznej.
Działania z wektorami we współrzędnych

Zdecydowanie wskazane jest nauczenie się rozwiązywania zadań, które będą rozpatrywane w pełni automatycznie, oraz formuł zapamiętać, nawet nie pamiętają specjalnie, oni sami zapamiętają =) To bardzo ważne, bo w najprostszym przypadku elementarne przykłady opierają się inne problemy z geometrii analitycznej i szkoda byłoby spędzać dodatkowy czas na jedzeniu pionków. Nie ma potrzeby zapinania górnych guzików w koszuli; wiele rzeczy znasz ze szkoły.

Prezentacja materiału będzie przebiegać równolegle – zarówno w płaszczyźnie, jak i przestrzeni. Z tego powodu, że wszystkie formuły... przekonasz się sam.

Jak znaleźć wektor z dwóch punktów?

Jeżeli dane są dwa punkty płaszczyzny i, to wektor ma następujące współrzędne:

Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to wektor ma następujące współrzędne:

To jest, ze współrzędnych końca wektora musisz odjąć odpowiednie współrzędne początek wektora.

Ćwiczenia: Dla tych samych punktów zapisz wzory na znalezienie współrzędnych wektora. Wzory na końcu lekcji.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę dwa punkty płaszczyzny i . Znajdź współrzędne wektora

Rozwiązanie: według odpowiedniego wzoru:

Alternatywnie można zastosować następujący wpis:

Estetycy zadecydują o tym:

Osobiście jestem przyzwyczajony do pierwszej wersji nagrania.

Odpowiedź:

Zgodnie z warunkiem nie było potrzeby konstruowania rysunku (co jest typowe dla problemów geometrii analitycznej), ale aby wyjaśnić manekinom niektóre punkty, nie będę leniwy:

Zdecydowanie musisz zrozumieć różnica między współrzędnymi punktu i współrzędnymi wektorowymi:

Współrzędne punktu– są to współrzędne zwykłe w prostokątnym układzie współrzędnych. Myślę, że już w klasach 5-6 każdy wie jak wykreślać punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Każdy punkt ma ściśle określone miejsce na płaszczyźnie i nie można go nigdzie przenieść.

Współrzędne wektora– w tym przypadku jest to jego rozwinięcie według podstawy. Dowolny wektor jest dowolny, więc jeśli zajdzie taka potrzeba lub potrzeba, możemy go łatwo odsunąć od innego punktu na płaszczyźnie. Co ciekawe, w przypadku wektorów nie trzeba w ogóle budować osi ani prostokątnego układu współrzędnych, wystarczy baza, w tym przypadku ortonormalna podstawa płaszczyzny.

Zapisy współrzędnych punktów i współrzędnych wektorów wydają się być podobne: , i znaczenie współrzędnych absolutnie różny i powinieneś być świadomy tej różnicy. Ta różnica dotyczy oczywiście także przestrzeni.

Szanowni Państwo, zapełnijmy ręce:

Przykład 2

a) Punkty i są przyznawane. Znajdź wektory i .
b) Przyznawane są punkty I . Znajdź wektory i .
c) Punkty i są przyznawane. Znajdź wektory i .
d) Przyznawane są punkty. Znajdź wektory .

Być może to wystarczy. To są przykłady niezależna decyzja, staraj się ich nie zaniedbywać, to się opłaci ;-). Nie ma potrzeby wykonywania rysunków. Rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Co jest ważne przy rozwiązywaniu problemów z geometrii analitycznej? Ważne jest, aby zachować DUŻĄ OSTROŻNOŚĆ, aby uniknąć mistrzowskiego błędu „dwa plus dwa równa się zero”. Od razu przepraszam, jeśli gdzieś popełniłem błąd =)

Jak znaleźć długość odcinka?

Długość, jak już wspomniano, jest oznaczona znakiem modułu.

Jeżeli dane są dwa punkty płaszczyzny i , to długość odcinka można obliczyć ze wzoru

Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to długość odcinka można obliczyć za pomocą wzoru

Notatka: Formuły pozostaną poprawne, jeśli zamienimy odpowiednie współrzędne: i , ale pierwsza opcja jest bardziej standardowa

Przykład 3

Rozwiązanie: według odpowiedniego wzoru:

Odpowiedź:

Dla jasności zrobię rysunek

Segment – to nie jest wektor i oczywiście nie można go nigdzie przenieść. Dodatkowo, jeśli rysujesz w skali: 1 jednostka. = 1 cm (dwie komórki notesu), wówczas uzyskaną odpowiedź można sprawdzić zwykłą linijką, bezpośrednio mierząc długość odcinka.

Tak, rozwiązanie jest krótkie, ale jest w nim jeszcze kilka ważne punkty które chciałbym wyjaśnić:

Po pierwsze, w odpowiedzi podajemy wymiar: „jednostki”. Warunek nie mówi CO to jest, milimetry, centymetry, metry czy kilometry. Dlatego matematycznie poprawnym rozwiązaniem byłoby ogólne sformułowanie: „jednostki” - w skrócie „jednostki”.

Po drugie, powtórzmy materiał szkolny, który przyda się nie tylko w rozważanym zadaniu:

Uwaga ważna technika – usunięcie mnożnika spod pierwiastka. W wyniku obliczeń otrzymujemy wynik, a dobry styl matematyczny polega na usunięciu współczynnika spod pierwiastka (jeśli to możliwe). Bardziej szczegółowo proces wygląda następująco: . Oczywiście pozostawienie odpowiedzi bez zmian nie byłoby błędem - ale z pewnością byłoby mankamentem i poważnym argumentem za sprzeczeniem ze strony nauczyciela.

Oto inne typowe przypadki:

Często korzeń daje dość dużą liczbę, na przykład . Co zrobić w takich przypadkach? Korzystając z kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez 4: . Tak, został całkowicie podzielony, a więc: . A może liczbę można ponownie podzielić przez 4? . Zatem: . Ostatnia cyfra liczby jest nieparzysta, więc dzielenie przez 4 po raz trzeci oczywiście nie będzie działać. Spróbujmy podzielić przez dziewięć: . W rezultacie:
Gotowy.

Wniosek: jeśli pod pierwiastkiem otrzymamy liczbę, której nie da się wydobyć w całości, to staramy się usunąć czynnik spod pierwiastka - za pomocą kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.

Przy rozwiązywaniu różnych zadań często spotyka się pierwiastki; zawsze staraj się wydobyć czynniki spod pierwiastka, aby uniknąć niższej oceny i niepotrzebnych problemów z finalizacją rozwiązań na podstawie komentarzy nauczyciela.

Powtórzmy też pierwiastki kwadratowe i inne potęgi:

Zasady działań ze stopniami w widok ogólny można znaleźć w szkolnym podręczniku do algebry, ale myślę, że z podanych przykładów wszystko lub prawie wszystko jest już jasne.

Zadanie samodzielnego rozwiązania segmentu w przestrzeni:

Przykład 4

Punkty i są przyznawane. Znajdź długość odcinka.

Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Jak znaleźć długość wektora?

Jeśli podany jest wektor płaski, jego długość oblicza się ze wzoru.

Jeśli podany jest wektor przestrzenny, jego długość oblicza się ze wzoru .