Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych. Ułamki

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Ponieważ tak jest łatwiej. Dla przypomnienia, aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (będzie to licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:

Na przykład:

Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie jest on tu potrzebny...

Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż, czyli:

Na przykład:

Jeśli natkniesz się na mnożenie lub dzielenie liczb całkowitych i ułamków, nie ma problemu. Podobnie jak w przypadku dodawania, z liczby całkowitej tworzymy ułamek zwykły z jedynką w mianowniku - i dalej! Na przykład:

W szkole średniej często masz do czynienia z ułamkami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:

Jak mogę sprawić, aby ta frakcja wyglądała przyzwoicie? Tak, bardzo proste! Użyj podziału dwupunktowego:

Ale nie zapomnij o kolejności dzielenia! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale łatwo jest popełnić błąd w ułamku trzech pięter. Zwróć uwagę na przykład:

W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):

W drugim (wyrażenie po prawej):

Czy czujesz różnicę? 4 i 1/9!

Co decyduje o kolejności podziału? Albo w nawiasach, albo (jak tutaj) z długością poziomych linii. Rozwijaj swoje oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, np.:

potem dziel i mnóż w kolejności od lewej do prawej!

I kolejna bardzo prosta i ważna technika. W działaniach ze stopniami będzie Ci to bardzo przydatne! Podzielmy jeden przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:

Strzał się odwrócił! I to zawsze się zdarza. Dzieląc 1 przez dowolny ułamek, otrzymasz ten sam ułamek, tylko odwrócony do góry nogami.

To tyle, jeśli chodzi o operacje na ułamkach. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Uwaga praktyczne porady, a będzie ich mniej (błędów)!

Praktyczne wskazówki:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! To nie są ogólne słowa, ani dobre życzenia! To pilna konieczność! Wykonuj wszystkie obliczenia na egzaminie Unified State Exam jako pełnoprawne zadanie, skupione i jasne. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w wersji roboczej, niż zepsuć obliczenia w pamięci.

2. W przykładach z różne typy ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż się zatrzymają.

4. Wielostopniowe wyrażenia ułamkowe redukujemy do zwykłych, stosując dzielenie przez dwa punkty (zachowujemy kolejność dzielenia!).

5. Podziel jednostkę przez ułamek w głowie, po prostu odwracając ułamek.

Oto zadania, które zdecydowanie musisz wykonać. Odpowiedzi podawane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów na ten temat i praktycznych wskazówek. Oszacuj, ile przykładów udało Ci się poprawnie rozwiązać. Zaraz za pierwszym razem! Bez kalkulatora! I wyciągnij właściwe wnioski...

Pamiętaj - prawidłowa odpowiedź to otrzymane za drugim (zwłaszcza trzecim) razem się nie liczy! Takie jest surowe życie.

Więc, rozwiązać w trybie egzaminu ! Nawiasem mówiąc, jest to już przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy go, rozwiązujemy następny. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. I tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.

Obliczać:

Czy zdecydowałeś?

Szukamy odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo spisałem je w nieładzie, z dala od pokus, że tak powiem... Oto odpowiedzi zapisane średnikami.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało, cieszę się razem z Tobą! Podstawowe obliczenia na ułamkach to nie Twój problem! Możesz zająć się poważniejszymi rzeczami. W przeciwnym razie...

Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale... to rozpuszczalny problemy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Ułamek to jedna lub więcej części całości, zwykle uważana za jedną (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, możesz wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie) na ułamkach; aby to zrobić, musisz znać funkcje pracy z ułamkami i rozróżniać ich typy. Istnieje kilka rodzajów ułamków zwykłych: dziesiętny i zwykły lub prosty. Każdy rodzaj ułamków ma swoją specyfikę, ale kiedy dokładnie zrozumiesz, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady za pomocą ułamków, ponieważ znasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych na ułamkach. Przyjrzyjmy się przykładom dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą przy użyciu różnych typów ułamków.

Jak podzielić ułamek prosty przez liczba naturalna?
Ułamki zwykłe lub proste to te zapisane w postaci stosunku liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany na dole. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.

Aby to zrobić, musimy wykonać szereg działań:
Zatem jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak:

W podobny sposób możesz podzielić dowolny ułamek zwykły (prosty) przez liczbę całkowitą.

Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek otrzymywany przez podzielenie jednostki na dziesięć, tysiąc itd. Operacje arytmetyczne z ułamkami dziesiętnymi są dość proste.

Spójrzmy na przykład dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą. Załóżmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.

Podsumowując, zastanówmy się nad dwoma głównymi punktami, które są ważne przy wykonywaniu operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą:

• do dzielenia ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną stosuje się dzielenie długie;
  
• Po zakończeniu podziału całej części dywidendy w iloraz umieszcza się przecinek.
  

Stosując te proste zasady, zawsze możesz łatwo podzielić dowolną liczbę dziesiętną lub ułamek prosty przez liczbę całkowitą.

Z ułamkami można zrobić wszystko, łącznie z dzieleniem. W tym artykule przedstawiono podział zwykłe ułamki. Podane zostaną definicje i omówione zostaną przykłady. Rozważmy szczegółowo dzielenie ułamków przez liczby naturalne i odwrotnie. Rozważone zostanie dzielenie ułamka zwykłego przez liczbę mieszaną.

Dzielenie ułamków

Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Podczas dzielenia nieznany czynnik znajduje się w słynne dzieło i inny czynnik, w którym jego znaczenie jest zachowywane przy użyciu zwykłych ułamków.

Jeśli konieczne jest podzielenie ułamka zwykłego a b przez c d, to aby określić taką liczbę, należy pomnożyć przez dzielnik c d, ostatecznie da to dywidendę a b. Znajdźmy liczbę i zapiszmy ją a b · d c , gdzie d c jest odwrotnością liczby c d. Równości można zapisać korzystając z własności mnożenia, a mianowicie: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, gdzie wyrażenie a b · d c jest ilorazem dzielenia a b przez c d.

Stąd otrzymujemy i formułujemy zasadę dzielenia ułamków zwyczajnych:

Definicja 1

Aby podzielić ułamek zwykły a b przez c d, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Zapiszmy regułę w postaci wyrażenia: a b: c d = a b · d c

Zasady dzielenia sprowadzają się do mnożenia. Aby się tego trzymać, musisz dobrze rozumieć mnożenie ułamków zwykłych.

Przejdźmy do rozważenia podziału ułamków zwyczajnych.

Przykład 1

Podziel 9 7 przez 5 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Liczba 5 3 jest ułamkiem odwrotnym 3 5. Konieczne jest zastosowanie reguły dzielenia ułamków zwykłych. Zapisujemy to wyrażenie następująco: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Odpowiedź: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Przy skracaniu ułamków oddzielamy całą część, jeśli licznik jest większy od mianownika.

Przykład 2

Podziel 8 15: 24 65. Zapisz odpowiedź w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, musisz przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w następującej formie: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Konieczne jest dokonanie redukcji i robi się to w następujący sposób: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Wybierz całą część i uzyskaj 13 9 = 1 4 9.

Odpowiedź: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dzielenie ułamka nadzwyczajnego przez liczbę naturalną

Korzystamy z reguły dzielenia ułamka przez liczbę naturalną: aby podzielić a b przez liczbę naturalną n, wystarczy pomnożyć mianownik przez n. Stąd otrzymujemy wyrażenie: a b: n = a b · n.

Reguła dzielenia jest konsekwencją reguły mnożenia. Zatem przedstawienie liczby naturalnej w postaci ułamka da równość tego typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Rozważmy dzielenie ułamka przez liczbę.

Przykład 3

Podziel ułamek 16 45 przez liczbę 12.

Rozwiązanie

Zastosujmy zasadę dzielenia ułamka przez liczbę. Otrzymujemy wyrażenie w postaci 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Skróćmy ułamek. Otrzymujemy 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Odpowiedź: 16 45: 12 = 4 135 .

Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek zwykły

Zasada podziału jest podobna O zasada dzielenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły: aby podzielić liczbę naturalną n przez ułamek zwykły a b, należy pomnożyć liczbę n przez odwrotność ułamka a b.

Na podstawie reguły mamy n: a b = n · b a, a dzięki zasadzie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły otrzymujemy nasze wyrażenie w postaci n: a b = n · b a. Warto rozważyć ten podział na przykładzie.

Przykład 4

Podziel 25 przez 15 28.

Rozwiązanie

Musimy przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w postaci wyrażenia 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Skróćmy ułamek i uzyskajmy wynik w postaci ułamka 46 2 3.

Odpowiedź: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dzielenie ułamka przez liczbę mieszaną

Dzieląc ułamek zwykły przez liczbę mieszaną, możesz łatwo zacząć dzielić ułamki zwykłe. Trzeba zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

Przykład 5

Podziel ułamek 35 16 przez 3 1 8.

Rozwiązanie

Ponieważ 3 1 8 jest liczbą mieszaną, przedstawmy ją jako ułamek niewłaściwy. Wtedy otrzymujemy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Teraz podzielmy ułamki. Otrzymujemy 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odpowiedź: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dzielenie liczby mieszanej odbywa się w taki sam sposób, jak zwykłych liczb.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach;
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Najpierw przeanalizujmy dodawanie ułamków o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować - dwa podzielone przez dwa dają jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ je mają same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się skomplikowane dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne Nie jest w zwyczaju pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Będąc w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też odwrotna strona medale. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj to:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że ​​jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach.

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, a mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
2. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, otrzymasz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Liczbę mnożoną przez ułamek i mianownik ułamka rozwiązuje się, jeśli mają wspólny czynnik większy niż jeden.

Na przykład wyrażenie można ocenić na dwa sposoby.

Pierwszy sposób. Pomnóż liczbę 4 przez licznik ułamka, a mianownik ułamka pozostaw bez zmian:

Drugi sposób. Czwórkę mnożoną i czwórkę w mianowniku ułamka można zmniejszyć. Te czwórki można zmniejszyć o 4, ponieważ największym wspólnym dzielnikiem dwóch czwórek jest sama czwórka:

Otrzymaliśmy ten sam wynik 3. Po zredukowaniu czwórek w ich miejsce powstają nowe liczby: dwie jedyneki. Ale pomnożenie jednego przez trzy, a następnie podzielenie przez jeden niczego nie zmienia. Dlatego rozwiązanie można zapisać krótko:

Redukcję można przeprowadzić nawet wtedy, gdy zdecydowaliśmy się na pierwszą metodę, ale na etapie mnożenia liczby 4 i licznika 3 zdecydowaliśmy się na redukcję:

Ale na przykład wyrażenie można obliczyć tylko w pierwszy sposób - pomnóż 7 przez mianownik ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Wynika to z faktu, że liczba 7 i mianownik ułamka nie mają wspólnego dzielnika większego niż jeden i odpowiednio nie znoszą się.

Niektórzy uczniowie błędnie skracają mnożoną liczbę i licznik ułamka. Nie możesz tego zrobić. Na przykład następujący wpis jest nieprawidłowy:

Zmniejszenie ułamka oznacza to zarówno licznik, jak i mianownik zostanie podzielony przez tę samą liczbę. W sytuacji z wyrażeniem dzielenie odbywa się tylko w liczniku, gdyż zapisanie tego jest równoznaczne z zapisaniem . Widzimy, że dzielenie odbywa się tylko w liczniku, a dzielenie nie następuje w mianowniku.

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy podkreślić całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawy temat w matematyce. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.

Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.

Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.

To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):

• zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
• mnożenie liczników i mianowników ułamków;
• zmniejsz ułamek;
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.

Uważać na! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy je najpierw przekształcić do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne może być zastosowanie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Uważać na! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopiętrowe.

W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj podziału przez 2 punkty:

Uważać na! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.

Uwaga Na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.

2. W zadaniach z różnymi rodzajami ułamków przejdź do typu ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.

4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.

5. Podziel jednostkę przez ułamek w głowie, po prostu odwracając ułamek.