Energia mechaniczna. Energia kinetyczna podczas ruchu obrotowego

Mechanika.

Pytanie nr 1

System referencyjny. Inercyjne układy odniesienia. Zasada względności Galileusza - Einsteina.

Układ odniesienia- jest to zbiór ciał, w odniesieniu do których opisuje się ruch danego ciała i związany z nim układ współrzędnych.

Inercyjny układ odniesienia (IRS) to układ, w którym swobodnie poruszające się ciało znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zasada względności Galileo-Einsteina- Wszystkie zjawiska naturalne w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia zachodzą w ten sam sposób i mają tę samą postać matematyczną. Innymi słowy, wszystkie ISO są równe.

Pytanie nr 2

Równanie ruchu. Rodzaje ruchu ciała sztywnego. Główne zadanie kinematyki.

Równania ruchu punkt materialny:

- kinematyczne równanie ruchu

Rodzaje ruchu ciała sztywnego:

1) Ruch postępowy - każda linia prosta narysowana w ciele porusza się równolegle do siebie.

2) Ruch obrotowy - dowolny punkt ciała porusza się po okręgu.

φ = φ(t)

Główne zadanie kinematyki- jest to uzyskanie zależności prędkości V = V(t) i współrzędnych (lub wektora promienia) r = r(t) punktu materialnego od czasu ze znanej zależności przyspieszenia a = a(t) od czasu oraz znane warunki początkowe V 0 i r 0 .

Pytanie nr 7

Puls (Ilość ruchu) jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą miarę ruchu mechanicznego ciała. W mechanice klasycznej pęd ciała jest równy iloczynowi masy M tego punktu swoją prędkością w, kierunek impulsu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości:

W mechanice teoretycznej uogólniony impuls jest cząstkową pochodną Lagrangianu układu względem uogólnionej prędkości

Jeśli Lagrangian układu nie zależy od niektórych uogólnione współrzędne, to z powodu Równania Lagrange'a .

Dla cząstki swobodnej funkcja Lagrange'a ma postać: , stąd:

Z własności wynika niezależność Lagrangianu układu zamkniętego od jego położenia w przestrzeni jednorodność przestrzeni: w przypadku dobrze izolowanego systemu jego zachowanie nie zależy od tego, gdzie w przestrzeni go umieścimy. Przez Twierdzenie Noether Z tej jednorodności wynika zachowanie pewnej wielkości fizycznej. Wielkość tę nazywa się impulsem (zwykłym, nie uogólnionym).

W mechanice klasycznej, kompletny impuls układ punktów materialnych nazywany jest wielkością wektorową równą sumie iloczynów mas punktów materialnych i ich prędkości:

odpowiednio wielkość tę nazywa się pędem jednego punktu materialnego. Jest to wielkość wektorowa skierowana w tym samym kierunku, co prędkość cząstki. Jednostką impulsu w międzynarodowym układzie jednostek (SI) jest kilogram metr na sekundę(kg m/s)

Jeśli mamy do czynienia z ciałem o skończonych rozmiarach, aby wyznaczyć jego pęd, należy podzielić ciało na małe części, które można uznać za punkty materialne i zsumować po nich, w wyniku czego otrzymamy:

Impuls układu, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (lub są one kompensowane) zapisane punktualnie:

Zasada zachowania pędu w tym przypadku wynika z drugiej i trzeciej zasady Newtona: pisząc drugie prawo Newtona dla każdego z punktów materialnych tworzących układ i sumując po wszystkich punktach materialnych tworzących układ, na mocy trzeciego prawa Newtona otrzymujemy równość (* ).

W mechanice relatywistycznej trójwymiarowy pęd układu nie oddziałujących ze sobą punktów materialnych jest wielkością

,

Gdzie ja- waga I materialny punkt.

W przypadku zamkniętego układu nie oddziałujących ze sobą punktów materialnych wartość ta zostaje zachowana. Jednakże pęd trójwymiarowy nie jest wielkością relatywistycznie niezmienną, ponieważ zależy od układu odniesienia. Bardziej znaczącą wielkością będzie czterowymiarowy pęd, który dla jednego punktu materialnego definiuje się jako

W praktyce często stosuje się następujące zależności pomiędzy masą, pędem i energią cząstki:

W zasadzie dla układu nieoddziałujących punktów materialnych sumuje się ich 4-momenty. Jednak w przypadku cząstek oddziałujących w mechanice relatywistycznej należy wziąć pod uwagę nie tylko pęd cząstek tworzących układ, ale także pęd pola interakcji między nimi. Dlatego o wiele bardziej znaczącą wielkością w mechanice relatywistycznej jest tensor energii i pędu, który w pełni spełnia prawa zachowania.

Pytanie nr 8

Moment bezwładności- skalarna wielkość fizyczna, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół osi, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym. Charakteryzuje się rozkładem mas w ciele: moment bezwładności jest równy sumie iloczynów mas elementarnych przez kwadrat ich odległości od zbioru podstawowego

Osiowy moment bezwładności

Osiowe momenty bezwładności niektórych ciał.

Moment bezwładności układ mechaniczny względem ustalonej osi („osiowy moment bezwładności”) jest wielkością Ja, równa sumie iloczynów mas wszystkich N punkty materialne układu przez kwadraty ich odległości od osi:

,

• ja- waga I ten punkt,
• r ja- odległość od I punkt osi.

Osiowy moment bezwładności ciało Ja jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół osi, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym.

,

• dm = ρ dV- masa małego elementu objętości ciała dV,
• ρ - gęstość,
• R- odległość od elementu dV do osi a.

Jeżeli ciało jest jednorodne, to znaczy jego gęstość jest wszędzie taka sama

Wyprowadzenie wzoru

dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie

Cylinder cienkościenny (pierścień, obręcz)

Wyprowadzenie wzoru

Moment bezwładności ciała jest równy sumie momentów bezwładności jego części składowych. Podzielić cienkościenny cylinder na elementy posiadające masę dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie

Ponieważ wszystkie elementy cienkościennego walca znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu, wzór (1) przekształca się do postaci

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności położenia ciała stałego względem dowolnej osi zależy nie tylko od masy, kształtu i wielkości ciała, ale także od położenia ciała względem tej osi. Zgodnie z twierdzeniem Steinera (twierdzenie Huygensa-Steinera), moment bezwładności ciało J względem dowolnej osi jest równa sumie moment bezwładności to ciało Jc względem osi przechodzącej przez środek masy ciała równoległej do rozpatrywanej osi i iloczynu masy ciała M na kwadrat odległości D między osiami:

Jeżeli moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to moment bezwładności względem oddalonej od niego osi równoległej jest równy

,

gdzie jest całkowita masa ciała.

Przykładowo moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy:

Energia obrotowa

Energia kinetyczna ruchu obrotowego- energia ciała związana z jego obrotem.

Głównymi charakterystykami kinematycznymi ruchu obrotowego ciała są jego prędkość kątowa (ω) i przyspieszenie kątowe. Główne charakterystyki dynamiczne ruchu obrotowego – moment pędu względem osi obrotu z:

K z = Izω

i energię kinetyczną

gdzie I z jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu.

Podobny przykład można znaleźć rozważając obracającą się cząsteczkę z głównymi osiami bezwładności ja 1, ja 2 I ja 3. Energia obrotowa taką cząsteczkę podaje wyrażenie

Gdzie ω 1, ω 2, I ω 3- główne składowe prędkości kątowej.

Ogólnie rzecz biorąc, energię podczas obrotu z prędkością kątową oblicza się ze wzoru:

, Gdzie I- tensor bezwładności.

Pytanie nr 9

Moment impulsu (moment pędu, moment pędu, moment orbitalny, moment pędu) charakteryzuje wielkość ruchu obrotowego. Wielkość zależna od tego, jak duża masa się obraca, jak jest ona rozłożona względem osi obrotu i z jaką prędkością następuje obrót.

Należy zaznaczyć, że obrót jest tu rozumiany szeroko, a nie tylko jako regularny obrót wokół osi. Na przykład nawet z prosty ruch ciało mija dowolny, wyimaginowany punkt, który nie leży na linii ruchu, ma również moment pędu. Być może największą rolę w opisie rzeczywistego ruchu obrotowego odgrywa moment pędu. Jest to jednak niezwykle ważne w przypadku znacznie szerszej klasy problemów (zwłaszcza jeśli problem ma symetrię centralną lub osiową, ale nie tylko w tych przypadkach).

Prawo zachowania momentu pędu(prawo zachowania momentu pędu) - suma wektorów wszystkich momentów pędu względem dowolnej osi dla układu zamkniętego pozostaje stała w przypadku równowagi układu. Zgodnie z tym moment pędu układu zamkniętego względem dowolnej niepochodnej momentu pędu względem czasu jest momentem siły:

Zatem wymóg domknięcia układu można osłabić do wymagania, aby główny (całkowity) moment sił zewnętrznych był równy zeru:

gdzie jest momentem jednej z sił przyłożonych do układu cząstek. (Ale oczywiście, jeśli w ogóle nie ma sił zewnętrznych, wymóg ten również jest spełniony).

Matematycznie prawo zachowania momentu pędu wynika z izotropii przestrzeni, to znaczy z niezmienności przestrzeni względem obrotu o dowolny kąt. Po obróceniu o dowolny, nieskończenie mały kąt, wektor promienia cząstki o numerze zmieni się o , a prędkość - . Funkcja Lagrange'a układu nie zmieni się przy takim obrocie ze względu na izotropię przestrzeni. Dlatego

« Fizyka – klasa 10”

Dlaczego łyżwiarz rozciąga się wzdłuż osi obrotu, aby zwiększyć prędkość kątową obrotu?
Czy helikopter powinien się obracać, gdy obraca się jego wirnik?

Zadane pytania sugerują, że jeśli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub ich działanie zostanie skompensowane i jedna część ciała zacznie się obracać w jednym kierunku, to druga część powinna obracać się w drugą stronę, tak jak przy wyrzucaniu paliwa z rakieta, sama rakieta porusza się w przeciwnym kierunku.

Moment impulsu.

Jeśli weźmiemy pod uwagę wirujący dysk, staje się oczywiste, że całkowity pęd dysku wynosi zero, ponieważ każdej cząstce ciała odpowiada cząstka poruszająca się z równą prędkością, ale z prędkością przeciwnym kierunku(ryc. 6.9).

Ale dysk się porusza, prędkość kątowa obrotu wszystkich cząstek jest taka sama. Wiadomo jednak, że im dalej cząstka znajduje się od osi obrotu, tym większy jest jej pęd. W związku z tym dla ruchu obrotowego konieczne jest wprowadzenie innej cechy zbliżonej do impulsu - momentu pędu.

Moment pędu cząstki poruszającej się po okręgu jest iloczynem pędu cząstki i odległości od niej do osi obrotu (rys. 6.10):

Prędkości liniowe i kątowe powiązane są zatem zależnością v = ωr

Wszystkie punkty ciała stałego poruszają się względem ustalonej osi obrotu z tą samą prędkością kątową. Ciało bryłowe można przedstawić jako zbiór punktów materialnych.

Moment pędu ciała sztywnego jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej obrotu:

Moment pędu jest wielkością wektorową; zgodnie ze wzorem (6.3) moment pędu jest skierowany w taki sam sposób, jak prędkość kątowa.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego w postaci impulsowej.

Przyspieszenie kątowe ciała jest równe zmianie prędkości kątowej podzielonej przez okres czasu, w którym ta zmiana nastąpiła: Podstaw to wyrażenie do podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego stąd I(ω 2 - ω 1) = MΔt lub IΔω = MΔt.

Zatem,

ΔL = MΔt. (6.4)

Zmiana momentu pędu jest równa iloczynowi całkowitego momentu sił działających na ciało lub układ i czasu działania tych sił.

Prawo zachowania momentu pędu:

Jeżeli całkowity moment sił działających na ciało lub układ ciał o stałej osi obrotu jest równy zeru, to zmiana momentu pędu również wynosi zero, czyli moment pędu układu pozostaje stały.

ΔL = 0, L = stała.

Zmiana pędu układu jest równa sumie pędu sił działających na układ.

Obracająca się łyżwiarka rozkłada ramiona na boki, zwiększając w ten sposób moment bezwładności i zmniejszając prędkość kątową obrotu.

Prawo zachowania momentu pędu można wykazać za pomocą następującego doświadczenia, zwanego „eksperymentem na ławce Żukowskiego”. Osoba stoi na ławce, której środek ma pionową oś obrotu. Mężczyzna trzyma hantle w dłoniach. Jeśli ławka jest obracana, osoba może zmienić prędkość obrotu, dociskając hantle do klatki piersiowej lub opuszczając ramiona, a następnie je podnosząc. Rozkładając ramiona, zwiększa moment bezwładności, a prędkość kątowa obrotu maleje (ryc. 6.11, a), opuszczając ramiona, zmniejsza moment bezwładności, a prędkość kątowa obrotu ławki wzrasta (ryc. 6.11, a) 6.11, b).

Ławkę można również obrócić, spacerując wzdłuż jej krawędzi. W takim przypadku ławka będzie się obracać w przeciwnym kierunku, ponieważ całkowity moment pędu powinien pozostać równy zeru.

Zasada działania urządzeń zwanych żyroskopami opiera się na prawie zachowania momentu pędu. Główną właściwością żyroskopu jest zachowanie kierunku osi obrotu, jeśli na tę oś nie działają siły zewnętrzne. W XIX wieku Żyroskopy były używane przez żeglarzy do orientacji na morzu.

Energia kinetyczna wirującego ciała sztywnego.

Energia kinetyczna obracającego się ciała stałego jest równa sumie energii kinetycznych jego poszczególnych cząstek. Podzielmy ciało na małe elementy, z których każdy można uznać za punkt materialny. Wówczas energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych punktów materialnych, z których się ono składa:

Prędkość kątowa obrotu wszystkich punktów ciała jest zatem taka sama

Wartość w nawiasie, jak już wiemy, to moment bezwładności ciała sztywnego. Wreszcie wzór na energię kinetyczną ciała sztywnego o ustalonej osi obrotu ma postać

W ogólnym przypadku ruchu ciała sztywnego, gdy oś obrotu jest swobodna, jego energia kinetyczna jest równa sumie energii ruchu postępowego i obrotowego. Zatem energia kinetyczna koła, którego masa jest skoncentrowana w obręczy, toczącego się po drodze ze stałą prędkością, jest równa

W tabeli porównano wzory na mechanikę ruchu postępowego punktu materialnego z podobnymi wzorami na ruch obrotowy ciała sztywnego.

Zadania

1. Oblicz, ile razy masa efektywna jest większa od masy grawitacyjnej pociągu o masie 4000 ton, jeśli masa kół stanowi 15% masy pociągu. Rozważmy, że koła to tarcze o średnicy 1,02 m. Jak zmieni się odpowiedź, jeśli średnica kół będzie o połowę mniejsza?

2. Oblicz przyspieszenie, z jakim para kół o masie 1200 kg stacza się w dół wzniesienia o nachyleniu 0,08. Rozważ koła jako dyski. Współczynnik oporu toczenia 0,004. Wyznaczanie siły przyczepności pomiędzy kołami i szynami.

3. Wyznacz przyspieszenie, z jakim para kół o masie 1400 kg wjeżdża pod wzniesienie o nachyleniu 0,05. Współczynnik oporu 0,002. Jaki powinien być współczynnik przyczepności, aby koła się nie ślizgały? Rozważ koła jako dyski.

4. Określ, z jakim przyspieszeniem samochód o masie 40 ton stacza się w dół wzniesienia o nachyleniu 0,020, jeśli ma osiem kół o masie 1200 kg i średnicy 1,02 m. Wyznacz siłę przyczepności kół do szyn. Współczynnik oporu 0,003.

5. Wyznacz siłę docisku klocków hamulcowych do opon, jeśli pociąg o masie 4000 ton hamuje z przyspieszeniem 0,3 m/s 2 . Moment bezwładności jednej pary kół wynosi 600 kg m 2, liczba osi 400, współczynnik tarcia ślizgowego klocka wynosi 0,18, a współczynnik oporu toczenia 0,004.

6. Wyznacz siłę hamowania samochodu czteroosiowego o masie 60 ton znajdującego się na platformie hamulcowej garbu, jeżeli prędkość na torze o długości 30 m zmniejszyła się z 2 m/s do 1,5 m/s. Moment bezwładności jednej pary kół wynosi 500 kg m 2.

7. Prędkościomierz lokomotywy pokazywał wzrost prędkości pociągu w ciągu jednej minuty z 10 m/s do 60 m/s. Prawdopodobnie ślizgała się para kół napędowych. Wyznaczyć moment sił działających na twornik silnika elektrycznego. Moment bezwładności zestawu kołowego wynosi 600 kg m 2, szkielet 120 kg m 2. Przełożenie skrzyni biegów skrzynia biegów 4.2. Siła nacisku na szyny wynosi 200 kN, współczynnik tarcia ślizgowego kół na szynie wynosi 0,10.

11. ENERGIA KINETYCZNA OBROTU

RUCHY

Wyprowadźmy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego. Niech ciało obraca się z prędkością kątową ω względem stałej osi. Każda mała cząstka ciała podlega ruchowi translacyjnemu po okręgu z prędkością gdzie ja – odległość od osi obrotu, promień orbity. Energia kinetyczna cząstek szerokie rzesze ja równy . Całkowita energia kinetyczna układu cząstek jest równa sumie ich energii kinetycznych. Podsumujmy wzory na energię kinetyczną cząstek ciała i jako znak sumy wyjmijmy połowę kwadratu prędkości kątowej, która jest jednakowa dla wszystkich cząstek. Suma iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu to moment bezwładności ciała względem osi obrotu . Więc, energia kinetyczna ciała obracającego się względem ustalonej osi jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności ciała względem osi i kwadratu prędkości kątowej obrotu:

Za pomocą obracających się ciał można magazynować energię mechaniczną. Takie ciała nazywane są kołami zamachowymi. Zwykle są to ciała rewolucji. Zastosowanie kół zamachowych w kole garncarskim znane jest już od czasów starożytnych. W silnikach spalinowych podczas suwu mocy tłok przekazuje energię mechaniczną do koła zamachowego, które następnie wykonuje pracę polegającą na obracaniu wału silnika przez trzy kolejne suwy. W matrycach i prasach koło zamachowe napędzane jest silnikiem elektrycznym o stosunkowo małej mocy i akumuluje energię mechaniczną przez prawie cały czas pełny obrót i w krótkim momencie uderzenia oddaje go do pracy stemplowej.

Podejmowane są liczne próby wykorzystania obrotowych kół zamachowych do napędzania pojazdów: samochodów osobowych, autobusów. Nazywa się je mahomobilami, żyromobilami. Powstało wiele takich eksperymentalnych maszyn. Obiecujące byłoby wykorzystanie kół zamachowych do akumulacji energii podczas hamowania pociągów elektrycznych w celu wykorzystania zgromadzonej energii podczas późniejszego przyspieszania. Wiadomo, że w nowojorskich pociągach metra wykorzystuje się magazynowanie energii w postaci koła zamachowego.

Rozważmy najpierw ciało sztywne obracające się wokół stałej osi OZ z prędkością kątową ω (ryc. 5.6). Rozbijmy ciało na elementarne masy. Prędkość liniowa masy elementarnej jest równa , gdzie jest jej odległość od osi obrotu. Energia kinetyczna I-ta masa elementarna będzie równa

.

Energia kinetyczna całego ciała składa się zatem z energii kinetycznych jego części

.

Biorąc pod uwagę, że suma po prawej stronie tej zależności przedstawia moment bezwładności ciała względem osi obrotu, ostatecznie otrzymujemy

. (5.30)

Wzory na energię kinetyczną wirującego ciała (5.30) są podobne do odpowiednich wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego ciała. Uzyskuje się je od tego ostatniego poprzez formalną wymianę .

W ogólnym przypadku ruch ciała sztywnego można przedstawić jako sumę ruchów - postępowego z prędkością równą prędkości środka masy ciała oraz obrotowego z prędkością kątową wokół chwilowej osi przechodzącej przez środek masy. W tym przypadku wyrażenie na energię kinetyczną ciała przyjmuje formę

.

Znajdźmy teraz pracę wykonaną przez moment sił zewnętrznych podczas obrotu ciała sztywnego. Elementarna praca sił zewnętrznych w czasie dt będzie równa zmianie energii kinetycznej ciała

Biorąc różnicę z energii kinetycznej ruchu obrotowego, znajdujemy jej przyrost

.

Zgodnie z podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego

Uwzględniając te zależności, ekspresję pracy elementarnej sprowadzamy do formy

gdzie jest rzutem wypadkowego momentu sił zewnętrznych na kierunek osi obrotu OZ, jest kątem obrotu ciała w rozpatrywanym okresie czasu.

Całkując (5.31) otrzymujemy wzór na działanie sił zewnętrznych działających na wirujące ciało

Jeżeli , to wzór się upraszcza

Zatem praca sił zewnętrznych podczas obrotu ciała sztywnego względem ustalonej osi jest określona przez działanie rzutu momentu tych sił na tę oś.

Żyroskop

Żyroskop to szybko obracający się symetryczny korpus, którego oś obrotu może zmieniać swój kierunek w przestrzeni. Aby oś żyroskopu mogła swobodnie obracać się w przestrzeni, żyroskop umieszcza się w tzw. zawieszeniu przegubowym (ryc. 5.13). Koło zamachowe żyroskopu obraca się w pierścieniu wewnętrznym wokół osi C 1 C 2 przechodzącej przez jego środek ciężkości. Z kolei pierścień wewnętrzny może obracać się w pierścieniu zewnętrznym wokół osi B 1 B 2, prostopadłej do C 1 C 2. Wreszcie bieżnia zewnętrzna może swobodnie obracać się w łożyskach rozpórki wokół osi A 1 A 2, prostopadłej do osi C 1 C 2 i B 1 B 2. Wszystkie trzy osie przecinają się w pewnym stałym punkcie O, zwanym środkiem zawieszenia lub punktem podparcia żyroskopu. Żyroskop w gimbalu ma trzy stopnie swobody i dlatego może wykonać dowolny obrót wokół środka gimbala. Jeżeli środek zawieszenia żyroskopu pokrywa się z jego środkiem ciężkości, to powstały moment ciężkości wszystkich części żyroskopu względem środka zawieszenia wynosi zero. Taki żyroskop nazywa się zrównoważonym.

Rozważmy teraz najbardziej ważne właściwościżyroskop, które znalazły szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach.

1) Stabilność.

Dla dowolnego obrotu żyroskopu z przeciwwagą, jego oś obrotu pozostaje niezmieniona w kierunku względem laboratoryjnego układu odniesienia. Wynika to z faktu, że moment wszystkich sił zewnętrznych, równy momentowi sił tarcia, jest bardzo mały i praktycznie nie powoduje zmiany momentu pędu żyroskopu, tj.

Ponieważ moment pędu jest skierowany wzdłuż osi obrotu żyroskopu, jego orientacja musi pozostać niezmieniona.

Jeśli siła zewnętrzna działa przez krótki czas, to całka wyznaczająca przyrost momentu pędu będzie mała

. (5.34)

Oznacza to, że pod krótkotrwałym wpływem nawet dużych sił ruch wyważonego żyroskopu niewiele się zmienia. Żyroskop wydaje się opierać wszelkim próbom zmiany wielkości i kierunku jego momentu pędu. Wynika to z niezwykłej stabilności, jaką uzyskuje ruch żyroskopu po wprowadzeniu go w szybki obrót. Ta właściwość żyroskopu jest szeroko stosowana do automatycznego sterowania ruchem samolotów, statków, rakiet i innych urządzeń.

Jeśli na żyroskop działa przez długi czas moment sił zewnętrznych o stałym kierunku, to oś żyroskopu zostaje ostatecznie ustawiona w kierunku momentu sił zewnętrznych. Zjawisko to wykorzystywane jest w żyrokompasie. Urządzenie to jest żyroskopem, którego oś można swobodnie obracać w płaszczyźnie poziomej. Wskutek codzienna rotacja Ziemia i działanie momentu sił odśrodkowych oś żyroskopu obraca się tak, że kąt pomiędzy i staje się minimalny (ryc. 5.14). Odpowiada to położeniu osi żyroskopu w płaszczyźnie południka.

2). Efekt żyroskopowy.

Jeśli na obracający się żyroskop przyłoży się parę sił i, dążąc do obracania go wokół osi prostopadłej do osi obrotu, wówczas zacznie się on obracać wokół trzeciej osi, prostopadłej do pierwszych dwóch (ryc. 5.15). To niezwykłe zachowanie żyroskopu nazywa się efektem żyroskopowym. Wyjaśnia to fakt, że moment pary sił jest skierowany wzdłuż osi O 1 O 1 i zmiana wielkości wektora w czasie będzie miała ten sam kierunek. W rezultacie nowy wektor będzie się obracał względem osi O 2 O 2. Zatem zachowanie żyroskopu, na pierwszy rzut oka nienaturalne, w pełni odpowiada prawom dynamiki ruchu obrotowego

3). Precesja żyroskopu.

Precesja żyroskopu to ruch jego osi w kształcie stożka. Ma to miejsce w przypadku, gdy moment sił zewnętrznych, pozostając stały pod względem wielkości, obraca się jednocześnie z osią żyroskopu, tworząc z nią cały czas kąt prosty. Do zademonstrowania precesji można wykorzystać koło roweru z wysuniętą osią, ustawione w tryb szybkiego obrotu (ryc. 5.16).

Jeżeli koło zostanie zawieszone na wysuniętym końcu osi, jego oś zacznie precesję wokół osi pionowej pod wpływem własnego ciężaru. Szybko obracający się blat może również służyć jako demonstracja precesji.

Znajdźmy przyczyny precesji żyroskopu. Rozważmy niezrównoważony żyroskop, którego oś może swobodnie obracać się wokół pewnego punktu O (ryc. 5.16). Moment ciężkości przyłożony do żyroskopu ma taką samą wartość

gdzie jest masą żyroskopu, jest odległością od punktu O do środka masy żyroskopu, jest kątem utworzonym przez oś żyroskopu z pionem. Wektor jest skierowany prostopadle do płaszczyzny pionowej przechodzącej przez oś żyroskopu.

Pod wpływem tego momentu moment pędu żyroskopu (jego początek znajduje się w punkcie O) otrzyma przyrost czasu, a płaszczyzna pionowa przechodząca przez oś żyroskopu obróci się o kąt. Wektor jest zawsze prostopadły do ​​, zatem bez zmiany wielkości wektor zmienia się tylko w kierunku. Jednak po chwili położenie względne wektorów i będzie taki sam jak w chwili początkowej. W rezultacie oś żyroskopu będzie stale obracać się wokół pionu, opisując stożek. Ten ruch nazywa się precesją.

Wyznaczmy prędkość kątową precesji. Zgodnie z ryc. 5.16 kąt obrotu płaszczyzny przechodzącej przez oś stożka i oś żyroskopu jest równy

gdzie jest momentem pędu żyroskopu i jest jego przyrostem w czasie.

Dzieląc przez , biorąc pod uwagę zanotowane zależności i przekształcenia, otrzymujemy prędkość kątową precesji

. (5.35)

W przypadku żyroskopów stosowanych w technice prędkość kątowa precesji jest miliony razy mniejsza niż prędkość obrotowa żyroskopu.

Podsumowując, zauważamy, że zjawisko precesji obserwuje się również w atomach w wyniku orbitalnego ruchu elektronów.

Przykłady zastosowania praw dynamiki

Podczas ruchu obrotowego

1. Rozważmy kilka przykładów prawa zachowania momentu pędu, które można wdrożyć za pomocą ławki Żukowskiego. W najprostszym przypadku ławka Żukowskiego to platforma (krzesło) w kształcie dysku, która może swobodnie obracać się wokół osi pionowej na łożyskach kulkowych (ryc. 5.17). Demonstrant siada lub stoi na ławce, po czym wprowadza się go w rotację. Ze względu na to, że siły tarcia powstałe na skutek zastosowania łożysk są bardzo małe, moment pędu układu składającego się ze stołu i demonstratora względem osi obrotu nie może zmieniać się w czasie, jeżeli układ pozostawiony jest samemu sobie . Jeśli demonstrator będzie trzymał w rękach ciężkie hantle i rozkłada ramiona na boki, wówczas zwiększy moment bezwładności układu, a zatem prędkość kątowa obrotu musi się zmniejszyć, aby moment pędu pozostał niezmieniony.

Zgodnie z prawem zachowania momentu pędu tworzymy równanie dla tego przypadku

gdzie jest momentem bezwładności osoby i ławki, momentem bezwładności hantli w pierwszej i drugiej pozycji oraz prędkością kątową układu.

Prędkość kątowa obrotu systemu podczas podnoszenia hantli na bok będzie równa

.

Pracę wykonaną przez osobę podczas przenoszenia hantli można określić poprzez zmianę energii kinetycznej układu

2. Przeprowadźmy kolejny eksperyment z ławką Żukowskiego. Demonstrator siada lub stoi na ławce i otrzymuje szybko obracające się koło o osi skierowanej pionowo (ryc. 5.18). Następnie demonstrator obraca koło o 180 0 . W tym przypadku zmiana momentu pędu koła jest w całości przenoszona na stół i demonstrator. W efekcie ławka wraz z demonstratorem zaczyna się obracać z prędkością kątową określoną na podstawie prawa zachowania momentu pędu.

Moment pędu układu w stanie początkowym wyznaczany jest wyłącznie przez moment pędu koła i jest równy

gdzie jest momentem bezwładności koła, a jest prędkością kątową jego obrotu.

Po obróceniu koła o kąt 180 0 moment pędu układu zostanie wyznaczony przez sumę momentu pędu ławki z osobą i momentu pędu koła. Biorąc pod uwagę fakt, że wektor momentu pędu koła zmienił swój kierunek na przeciwny, a jego rzut na oś pionową stał się ujemny, otrzymujemy

,

gdzie jest momentem bezwładności układu „człowiek-platforma”, a jest prędkością kątową obrotu ławki z osobą.

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu

I .

W rezultacie znajdujemy prędkość obrotu ławki

3. Cienki pręt masy M i długość l obraca się z prędkością kątową ω=10 s -1 w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej przechodzącej przez środek pręta. Kontynuując obrót w tej samej płaszczyźnie, pręt porusza się w taki sposób, że oś obrotu przechodzi teraz przez koniec pręta. Znajdź prędkość kątową w drugim przypadku.

W zadaniu tym, w związku ze zmianą rozkładu masy pręta względem osi obrotu, zmienia się także moment bezwładności pręta. Zgodnie z prawem zachowania momentu pędu układu izolowanego mamy

Oto moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek pręta; jest momentem bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec, obliczonym z twierdzenia Steinera.

Podstawiając te wyrażenia do prawa zachowania momentu pędu, otrzymujemy

,

.

4. Długość pręta L=1,5 m i masa m 1=10 kg zawieszone zawiasowo na górnym końcu. Pocisk o masie m 2=10 g, lecąc poziomo z prędkością =500 m/s, po czym utknął w pręcie. Pod jakim kątem ugnie się pręt po uderzeniu?

Wyobraźmy sobie na ryc. 5.19. układ oddziałujących ze sobą ciał „pręt-pocisk”. Momenty sił zewnętrznych (grawitacja, reakcja osi) w momencie uderzenia są równe zeru, więc możemy skorzystać z prawa zachowania momentu pędu

Moment pędu układu przed uderzeniem jest równy momentowi pędu pocisku względem punktu zawieszenia

Moment pędu układu po uderzeniu niesprężystym określa wzór

,

gdzie jest momentem bezwładności pręta względem punktu zawieszenia, jest momentem bezwładności pocisku, jest prędkością kątową pręta z pociskiem bezpośrednio po uderzeniu.

Znajdujemy rozwiązanie powstałego równania po podstawieniu

.

Skorzystajmy teraz z prawa zachowania energia mechaniczna. Przyrównajmy energię kinetyczną pręta po uderzeniu pocisku z jego energią potencjalną w najwyższym punkcie jego wzniesienia:

,

gdzie jest wysokość wzniesienia środka masy tego układu.

Po dokonaniu niezbędnych przekształceń otrzymujemy

Kąt odchylenia pręta jest powiązany ze stosunkiem

.

Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymujemy =0,1p=18 0 .

5. Wyznacz przyspieszenie ciał i naprężenie nici na maszynie Atwood, przyjmując, że (rys. 5.20). Moment bezwładności bloku względem osi obrotu jest równy I, promień bloku R. Pomiń masę nici.

Uporządkujmy wszystkie siły działające na obciążenia i blok i narysujmy dla nich równania dynamiczne

Jeśli nie ma poślizgu gwintu wzdłuż klocka, to przyspieszenie liniowe i kątowe są ze sobą powiązane zależnością

Rozwiązując te równania, otrzymujemy

Następnie znajdujemy T 1 i T 2.

6. Do koła pasowego krzyża Oberbeck przymocowana jest nić (ryc. 5.21), z której pobierany jest ładunek M= 0,5 kg. Oblicz, po jakim czasie ładunek spadnie z wysokości H=1 m do pozycji dolnej. Promień koła pasowego R=3 cm. Cztery odważniki M=250 g każdy na odległość R= 30 cm od osi. Moment bezwładności krzyża i samego koła pasowego jest pomijany w porównaniu z momentem bezwładności obciążeń.

1. Rozważ obrót ciała wokół bez ruchu oś Z. Podzielmy całe ciało na zbiór elementarnych mas m I. Prędkość liniowa masy elementarnej m I– v ja = w R I, gdzie r I– odległość masy m I od osi obrotu. Dlatego energia kinetyczna I masa elementarna będzie równa . Całkowita energia kinetyczna ciała: , tutaj jest moment bezwładności ciała względem osi obrotu.

Zatem energia kinetyczna ciała obracającego się wokół ustalonej osi jest równa:

2. Teraz pozwól ciału obraca się względem jakiejś osi i siebie oś porusza się stopniowo, pozostając równoległym do siebie.

PRZYKŁAD: Kulka tocząca się bez poślizgu wykonuje ruch obrotowy, a jej środek ciężkości, przez który przechodzi oś obrotu (punkt „O”) porusza się translalnie (rys. 4.17).

Prędkość I- ta elementarna masa ciała jest równa , gdzie jest prędkością pewnego punktu „O” ciała; – wektor promienia określający położenie masy elementarnej względem punktu „O”.

Energia kinetyczna masy elementarnej jest równa:

UWAGA: iloczyn wektorowy pokrywa się w kierunku z wektorem i ma moduł równy (ryc. 4.18).

Biorąc pod uwagę tę uwagę, możemy to napisać , gdzie jest odległością masy od osi obrotu. W drugim terminie dokonujemy cyklicznego przegrupowania czynników, po czym otrzymujemy

Aby otrzymać całkowitą energię kinetyczną ciała, sumujemy to wyrażenie po całości masy elementarne, usuwając stałe czynniki poza znakiem sumy. Dostajemy

Suma mas elementarnych to masa ciała „m”. Wyrażenie jest równe iloczynowi masy ciała i promienia wektora środka bezwładności ciała (z definicji środka bezwładności). Wreszcie moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez punkt „O”. Dlatego możemy pisać

.

Jeśli za punkt „O” przyjmiemy środek bezwładności ciała „C”, wektor promienia będzie równy zero, a drugi wyraz zniknie. Następnie oznaczając przelotowo – prędkość środka bezwładności i przelotowo – moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez punkt „C”, otrzymujemy:

(4.6)

Zatem na energię kinetyczną ciała w ruchu płaskim składa się energia ruchu postępowego przy prędkości równej prędkości środka bezwładności oraz energia obrotu wokół osi przechodzącej przez środek bezwładności ciała.

Praca sił zewnętrznych podczas ruchu obrotowego ciała sztywnego.

Znajdźmy pracę wykonaną przez siły, gdy ciało obraca się wokół stacjonarnej osi Z.

Niech na masę działają siła wewnętrzna i siła zewnętrzna (wypadkowa siła leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu) (ryc. 4.19). Siły te działają w czasie dt stanowisko:

Po przeprowadzeniu w prace mieszane wektory cyklicznej permutacji czynników znajdujemy:

gdzie , są odpowiednio momentami sił wewnętrznych i zewnętrznych względem punktu „O”.

Sumując wszystkie masy elementarne, otrzymujemy elementarną pracę wykonaną nad ciałem w czasie dt:

Suma momentów sił wewnętrznych wynosi zero. Następnie oznaczając całkowity moment sił zewnętrznych przez , dochodzimy do wyrażenia:

.

Wiadomo, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem równym iloczynowi modułu jednego z wektorów przez rzut drugiego wektora na kierunek pierwszego, biorąc pod uwagę, że , (kierunki Oś Z pokrywa się), otrzymujemy

,

ale w dt=D j, tj. kąt, o jaki ciało obraca się w czasie dt. Dlatego

.

Znak pracy zależy od znaku M z, tj. od znaku rzutu wektora na kierunek wektora.

Tak więc, gdy ciało się obraca, siły wewnętrzne nie wykonują pracy, a pracę sił zewnętrznych określa wzór .

Pracę wykonaną w skończonym czasie oblicza się poprzez całkowanie

.

Jeśli rzut wypadkowego momentu sił zewnętrznych na kierunek pozostaje stały, to można go wyjąć ze znaku całki:

, tj. .

Te. praca wykonana przez siłę zewnętrzną podczas ruchu obrotowego ciała jest równa iloczynowi rzutu momentu siły zewnętrznej na kierunek i kąt obrotu.

Natomiast praca siły zewnętrznej działającej na ciało zwiększa energię kinetyczną ciała (lub jest równa zmianie energii kinetycznej obracającego się ciała). Pokażmy to:

;

Stąd,

. (4.7)

Samotnie:

Siły sprężyste;

Prawo Hooke’a.

WYKŁAD 7

Hydrodynamika

Linie i rury prądowe.

Hydrodynamika bada ruch cieczy, ale jej prawa dotyczą również ruchu gazów. W stacjonarnym przepływie płynu prędkość jego cząstek w każdym punkcie przestrzeni jest wielkością niezależną od czasu i jest funkcją współrzędnych. Przy stałym przepływie trajektorie cząstek płynu tworzą linię opływową. Połączenie linii prądu tworzy rurę prądową (ryc. 5.1). Zakładamy, że płyn jest nieściśliwy, a następnie objętość płynu przepływającego przez sekcje S 1 i S 2 będzie takie samo. W ciągu sekundy przez te sekcje przejdzie objętość cieczy równa

, (5.1)

gdzie i są prędkościami płynu w przekrojach S 1 i S 2 , a wektory i są zdefiniowane jako i , gdzie i są normalnymi do przekrojów S 1 i S 2. Równanie (5.1) nazywane jest równaniem ciągłości strumienia. Wynika z tego, że prędkość płynu jest odwrotnie proporcjonalna do przekroju rury prądowej.

Równanie Bernoulliego.

Rozważymy idealny nieściśliwy płyn, w którym tarcie wewnętrzne(lepkość) jest nieobecna. Wybierzmy cienką rurkę prądową w stacjonarnej przepływającej cieczy (ryc. 5.2) z przekrojami S 1 I S2, prostopadle do bieżących linii. W przekroju 1 w krótkim czasie T cząstki przesuną się na odległość l 1 i w sekcji 2 - na odległość l 2. Przez obie części w czasie T przepłyną jednakowe małe objętości cieczy V= V 1 = V 2 i przelać dużo płynu m=rV, Gdzie R- gęstość cieczy. Ogólnie rzecz biorąc, zmiana energii mechanicznej całego płynu w rurze przepływowej pomiędzy sekcjami S 1 I S2, wydarzyło się w tym czasie T, można zastąpić zmieniając energię objętościową V co miało miejsce w momencie przejścia z sekcji 1 do sekcji 2. Przy takim ruchu zmieni się energia kinetyczna i potencjalna tej objętości oraz całkowita zmiana jej energii

, (5.2)

gdzie w 1 i w 2 - prędkości cząstek płynu w przekrojach S 1 I S2 odpowiednio; G- przyspieszenie ziemskie; godz. 1 I godz. 2- wysokość środka sekcji.

W idealny płyn Nie ma strat tarcia, więc zysk energii jest DE musi być równa pracy wykonanej przez siły nacisku na przydzieloną objętość. W przypadku braku sił tarcia praca ta:

Przyrównując prawe strony równości (5.2) i (5.3) i przenosząc wyrazy o tych samych indeksach na jedną stronę równości, otrzymujemy

. (5.4)

Sekcje rur S 1 I S2 zostały przyjęte arbitralnie, dlatego można argumentować, że w dowolnej części obecnej lampy wyrażenie to jest prawidłowe

. (5.5)

Równanie (5.5) nazywa się równaniem Bernoulliego. Dla poziomego usprawnienia H = konst i równość (5.4) przybiera formę

R /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

te. ciśnienie jest mniejsze w tych punktach, w których prędkość jest większa.

Wewnętrzne siły tarcia.

Rzeczywista ciecz charakteryzuje się lepkością, która objawia się tym, że wszelki ruch cieczy i gazu samoistnie zatrzymuje się w przypadku braku przyczyn, które go spowodowały. Rozważmy doświadczenie, w którym nad nieruchomą powierzchnią znajduje się warstwa cieczy, a po niej porusza się z prędkością , a po niej unosi się płyta o powierzchni S(ryc. 5.3). Doświadczenie pokazuje, że aby poruszać się ze stałą prędkością, należy na nią oddziaływać siłą. Ponieważ płyta nie otrzymuje przyspieszenia, oznacza to, że działanie tej siły jest równoważone przez inną siłę o równej wielkości i przeciwnie skierowaną, czyli siłę tarcia . Newton pokazał, że siła tarcia

, (5.7)

Gdzie D- grubość warstwy cieczy, h - współczynnik lepkości lub współczynnik tarcia cieczy, znak minus uwzględnia różne kierunki wektorów F tr I w o. Jeśli zbadasz prędkość cząstek cieczy w różnych miejscach warstwy, okaże się, że zmienia się ona zgodnie z prawem liniowym (ryc. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Różniczkując tę ​​równość, otrzymujemy dv/dz= w 0 /D. Mając to na uwadze

wzór (5.7) przyjmie postać

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Gdzie H- współczynnik lepkości dynamicznej. Ogrom dv/dz zwany gradientem prędkości. Pokazuje, jak szybko zmienia się prędkość w kierunku osi z. Na dv/dz= stały gradient prędkości jest liczbowo równy zmianie prędkości w przy zmianie z na jednostkę. Wstawmy liczbowo do wzoru (5.8) dv/dz =-1 i S= 1, otrzymujemy H = F. To następuje znaczenie fizyczne h: współczynnik lepkości jest liczbowo równy sile działającej na warstwę cieczy o powierzchni jednostkowej przy gradiencie prędkości równym jedności. Jednostka lepkości w układzie SI nazywana jest sekundą paskala (oznaczaną jako Pa s). W systemie CGS jednostką lepkości jest 1 puaz (P), przy czym 1 Pa s = 10 P.