Przykłady rozwiązań. Całki funkcji trygonometrycznych

Pojawią się także problemy do samodzielnego rozwiązania, na które możesz zobaczyć odpowiedzi.

Całkę można przekształcić z iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

Rozważmy całki, w których całka jest iloczynem sinusów i cosinusów pierwszego stopnia x pomnożonych przez różne czynniki, czyli całki postaci

Korzystanie ze znanych wzorów trygonometrycznych

(2)
(3)
(4)
każdy z iloczynów można przekształcić w całki postaci (31) na sumę algebraiczną i całkować według wzorów

(5)

(6)

Przykład 1. Znajdować

Rozwiązanie. Według wzoru (2) o godz

Przykład 2. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Według wzoru (3) przy

Przykład 3. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Według wzoru (4) przy otrzymujemy następującą transformację całki:

Stosując wzór (6) otrzymujemy

Całka iloczynu potęg sinusa i cosinusa tego samego argumentu

Rozważmy teraz całki funkcji, które są iloczynem potęg sinusa i cosinusa tego samego argumentu, tj.

(7)

W szczególnych przypadkach jeden ze wskaźników ( M Lub N) może wynosić zero.

Przy całkowaniu takich funkcji przyjmuje się, że parzystą potęgę cosinusa można wyrazić za pomocą sinusa, a różniczka sinusa jest równa cos x dx(lub nawet potęgę sinusa można wyrazić w postaci cosinusa, a różniczka cosinusa jest równa - grzech x dx ) .

Należy rozróżnić dwa przypadki: 1) co najmniej jeden ze wskaźników M I N dziwne; 2) oba wskaźniki są równe.

Niech zajdzie pierwszy przypadek, a mianowicie wskaźnik N = 2k+ 1 - dziwne. Biorąc to pod uwagę

Całkę przedstawia się w ten sposób, że jedna jej część jest funkcją tylko sinusa, a druga jest różniczką sinusa. Teraz używam zamiany zmiennych T= grzech X rozwiązanie sprowadza się do całkowania wielomianu względem T. Jeśli tylko stopień M jest dziwne, wówczas robią to samo, izolując czynnik grzech X, wyrażając resztę całki w postaci cos X i wierząc T=co X. Technikę tę można również zastosować, gdy całkowanie potęg ilorazu sinusa i cosinusa , Gdy przynajmniej jeden ze wskaźników jest nieparzysty . Cały sens w tym iloraz potęg sinusa i cosinusa jest szczególnym przypadkiem ich iloczynu : Gdy funkcja trygonometryczna znajduje się w mianowniku całki, jej stopień jest ujemny. Ale zdarzają się również przypadki częściowych funkcji trygonometrycznych, gdy ich potęgi są tylko parzyste. O nich – w następnym akapicie.

Jeśli oba wskaźniki M I N– nawet wtedy, używając wzorów trygonometrycznych

zmniejsz wykładniki sinusa i cosinusa, po czym otrzymasz całkę tego samego typu co powyżej. Dlatego też integracja powinna być kontynuowana według tego samego schematu. Jeśli jeden z parzystych wykładników jest ujemny, to znaczy bierze się pod uwagę iloraz parzystych potęg sinusa i cosinusa, wówczas ten schemat nie jest odpowiedni . Następnie stosuje się zmianę zmiennej w zależności od tego, w jaki sposób całka może zostać przekształcona. Taki przypadek zostanie omówiony w następnym akapicie.

Przykład 4. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Wykładnik cosinus jest nieparzysty. Dlatego wyobraźmy sobie

T= grzech X(Następnie dt=co X dx ). Wtedy otrzymamy

Wracając do starej zmiennej, w końcu znajdujemy

Przykład 5. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Wykładnik cosinus, jak w poprzednim przykładzie, jest nieparzysty, ale większy. Wyobraźmy sobie

i dokonaj zmiany zmiennej T= grzech X(Następnie dt=co X dx ). Wtedy otrzymamy

Otwórzmy nawiasy

i otrzymujemy

Wracając do starej zmiennej, otrzymujemy rozwiązanie

Przykład 6. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Wykładniki sinusa i cosinusa są parzyste. Dlatego przekształcamy funkcję całkową w następujący sposób:

Wtedy otrzymamy

W drugiej całce dokonujemy zmiany zmiennej, ustawienie T= grzech2 X. Następnie (1/2)dt= cos2 X dx . Stąd,

Wreszcie dostajemy

Korzystanie z metody zastępowania zmiennych

Zmienna metoda wymiany przy całkowaniu funkcji trygonometrycznych można go zastosować w przypadkach, gdy podcałka zawiera tylko sinus lub tylko cosinus, iloczyn sinusa i cosinusa, w którym sinus lub cosinus jest pierwszego stopnia, styczną lub cotangens, a także iloraz nawet potęgi sinusa i cosinusa tego samego argumentu. W tym przypadku możliwe jest wykonanie permutacji nie tylko grzechu X = T i grzech X = T, ale także tg X = T i ctg X = T .

Przykład 8. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Zmieńmy zmienną: , a następnie . Powstałą całkę można łatwo zintegrować, korzystając z tabeli całek:

Przykład 9. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Przekształćmy tangens na stosunek sinusa i cosinusa:

Zmieńmy zmienną: , a następnie . Powstała całka to integralna tabela ze znakiem minus:

Wracając do pierwotnej zmiennej, w końcu otrzymujemy:

Przykład 10. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Zmieńmy zmienną: , a następnie .

Przekształćmy całkę, aby zastosować tożsamość trygonometryczną :

Zmieniamy zmienną, nie zapominając o umieszczeniu znaku minus przed całką (patrz wyżej, co jest równe dt). Następnie uwzględniamy całkę i całkujemy korzystając z tabeli:

Wracając do pierwotnej zmiennej, w końcu otrzymujemy:

Znajdź samodzielnie całkę funkcji trygonometrycznej, a następnie spójrz na rozwiązanie

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne można zastosować w przypadkach, gdy całka nie wchodzi w zakres przypadków omówionych w poprzednich akapitach. Zasadniczo, gdy sinus lub cosinus (lub oba) znajdują się w mianowniku ułamka. Udowodniono, że sinus i cosinus można zastąpić innym wyrażeniem zawierającym tangens połowy pierwotnego kąta w następujący sposób:

Należy jednak pamiętać, że uniwersalne podstawienie trygonometryczne często pociąga za sobą dość złożone przekształcenia algebraiczne, dlatego najlepiej go stosować, gdy żadna inna metoda nie zadziała. Przyjrzyjmy się przykładom, gdzie wraz z uniwersalnym podstawieniem trygonometrycznym stosuje się podstawienie pod znakiem różniczkowym i metodę współczynników nieokreślonych.

Przykład 12. Znajdować całka funkcji trygonometrycznej

Rozwiązanie. Rozwiązanie. Skorzystajmy uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Następnie
.

Mnożymy ułamki w liczniku i mianowniku przez , usuwamy te dwa i umieszczamy przed znakiem całki. Następnie

Do całkowania funkcji wymiernych postaci R(sin x, cos x) stosuje się podstawienie, które nazywa się uniwersalnym podstawieniem trygonometrycznym. Następnie . Uniwersalne podstawienie trygonometryczne często skutkuje dużymi obliczeniami. Dlatego też, jeśli to możliwe, należy stosować następujące podstawienia.

Całkowanie funkcji wymiernie zależnych od funkcji trygonometrycznych

1. Całki postaci ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Jeżeli n jest nieparzyste, to pod znak różniczki należy wpisać jedną potęgę sinx (lub cosx), a z pozostałej potęgi parzystej przekazać funkcję przeciwną.
b) Jeżeli n jest parzyste, to stosujemy wzory na redukcję stopnia
2. Całki postaci ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , gdzie n jest liczbą całkowitą.
Należy używać formuł

3. Całki postaci ∫ sin n x cos m x dx
a) Niech m i n będą miały różne parzystości. Używamy podstawienia t=sin x, jeśli n jest nieparzyste lub t=cos x, jeśli m jest nieparzyste.
b) Jeśli m i n są parzyste, wówczas używamy wzorów na redukcję stopnia
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Całki postaci

Jeśli liczby m i n mają tę samą parzystość, wówczas stosujemy podstawienie t=tg x. Często wygodnie jest zastosować technikę jednostek trygonometrycznych.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Skorzystajmy ze wzorów na przeliczenie iloczynu funkcji trygonometrycznych na ich sumę:

grzech α cos β = ½(grzech(α+β)+grzech(α-β))
cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
grzech α grzech β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Przykłady
1. Oblicz całkę ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Dokonujemy zamiany cos(x)=t. Wtedy ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Oblicz całkę.
Dokonując zamiany sin x=t , otrzymujemy

3. Znajdź całkę.
Dokonujemy zamiany tg(x)=t . Podstawiając, otrzymujemy

Całkowanie wyrażeń w postaci R(sinx, cosx)

Przykład nr 1. Oblicz całki:

Rozwiązanie.
a) Całkowanie wyrażeń w postaci R(sinx, cosx), gdzie R jest funkcją wymierną sin x i cos x, przekształcamy na całki funkcji wymiernych przy użyciu uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego tg(x/2) = t.
Więc mamy

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne umożliwia przejście od całki postaci ∫ R(sinx, cosx) dx do całki ułamkowej funkcji wymiernej, jednak często takie podstawienie prowadzi do uciążliwych wyrażeń. W pewnych warunkach skuteczne są prostsze podstawienia:

Jeżeli spełniona jest równość R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx, wówczas stosuje się podstawienie cos x = t.
Jeśli zachodzi równość R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, to podstawienie sin x = t.
Jeżeli zachodzi równość R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, to podstawienie tgx = t lub ctg x = t.

W tym przypadku, aby znaleźć całkę

zastosujmy uniwersalne podstawienie trygonometryczne tg(x/2) = t.
Następnie odpowiedz:

Przedstawiono podstawowe wzory trygonometryczne i podstawowe podstawienia. Omówiono metody całkowania funkcji trygonometrycznych - całkowanie funkcji wymiernych, iloczyn funkcji potęgowych sin x i cos x, iloczyn wielomianu, wykładniczego i sinusa lub cosinusa, całkowanie odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Dotyczy to metod niestandardowych.

Treść

Standardowe metody całkowania funkcji trygonometrycznych

Ogólne podejście

Najpierw, jeśli to konieczne, całkę należy przekształcić tak, aby funkcje trygonometryczne zależały od jednego argumentu, który jest taki sam jak zmienna całkująca.

Na przykład, jeśli całka zależy od grzech(x+a) I cos(x+b), to powinieneś wykonać konwersję:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + grzech ( x+a ) grzech (b-a).
Następnie dokonaj zamiany z = x+a.

Gdy funkcje trygonometryczne zależą od jednego argumentu, który pokrywa się ze zmienną całkującą (powiedzmy, że jest to z), to znaczy, że całka składa się tylko z funkcji takich jak grzech z, bo z, tg z, ctg z, to musisz dokonać zamiany
.
Takie podstawienie prowadzi do całkowania funkcji wymiernych lub niewymiernych (jeśli istnieją pierwiastki) i pozwala obliczyć całkę, jeśli jest ona zintegrowana z funkcjami elementarnymi.

Często jednak można znaleźć inne metody, które pozwalają ocenić całkę w krótszy sposób, w oparciu o specyfikę całki. Poniżej znajduje się podsumowanie głównych takich metod.

Metody całkowania funkcji wymiernych sin x i cos x

Funkcje wymierne z grzech x I bo x są funkcjami utworzonymi z grzech x, bo x oraz dowolne stałe wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej. Są one oznaczone następująco: R (grzech x, cos x).
Może to również obejmować styczne i cotangensy, ponieważ powstają one poprzez podzielenie sinusa przez cosinus i odwrotnie.
.

Całki funkcji wymiernych mają postać:
Metody całkowania wymiernych funkcji trygonometrycznych są następujące.
1) Podstawienie zawsze prowadzi do całki ułamka wymiernego. Jednak w niektórych przypadkach zdarzają się podstawienia (przedstawione poniżej), które prowadzą do krótszych obliczeń. (grzech x, cos x) 2) Jeżeli R grzech x.
cos x → - cos x (grzech x, cos x) 3) Jeżeli R pomnożona przez -1 podczas zastępowania grzech x → - grzech x bo x.
, wówczas podstawienie t = (grzech x, cos x) 4) Jeżeli R 2) Jeżeli R nie zmienia się jak w przypadku jednoczesnej wymiany pomnożona przez -1 podczas zastępowania, I , wówczas podstawienie t = tg x lub t =.

ctg x
, , .

Przykłady:

Iloczyn funkcji potęgowych cos x i sin x

Całki postaci

są całkami wymiernych funkcji trygonometrycznych. Dlatego można do nich zastosować metody opisane w poprzedniej sekcji. Metody oparte na specyfice takich całek omówiono poniżej. grzech x tg x bo x Jeśli m i n są liczbami wymiernymi, to jedno z podstawień t =

całka jest zredukowana do całki z dwumianu różniczkowego.

;
;
;
.

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, całkowanie przeprowadza się za pomocą wzorów redukcyjnych:
.

Przykład:

Całki iloczynu wielomianu oraz sinus lub cosinus
, ,
Całki postaci:

;
.

ctg x
, .

gdzie P(x) jest wielomianem w x, są całkowane przez części. Daje to następujące formuły:

Całki iloczynu wielomianu oraz sinus lub cosinus
, ,
Całki iloczynu wielomianu, wykładnicze i sinus lub cosinus
gdzie P(x) jest wielomianem w x całkowanym za pomocą wzoru Eulera e iax = topór cos + topór isin 1 ).
(gdzie i 2 = -
.
Oddzielając część rzeczywistą i urojoną od wyniku, otrzymuje się całki pierwotne.

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, całkowanie przeprowadza się za pomocą wzorów redukcyjnych:
.

Niestandardowe metody całkowania funkcji trygonometrycznych

Poniżej znajduje się szereg niestandardowych metod, które pozwalają wykonać lub uprościć całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Zależność od (a grzech x + b cos x)

Jeśli całka zależy tylko od a grzech x + b cos x, wówczas warto zastosować wzór:
,
Gdzie .

Na przykład

Rozdzielanie ułamków sinusów i cosinusów na prostsze ułamki zwykłe

Rozważ całkę
.
Najprostszą metodą całkowania jest rozbicie ułamka na prostsze za pomocą transformacji:
grzech(a - b) = grzech(x + a - (x + b)) = grzech(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) grzech(x+b)

Całkowanie ułamków pierwszego stopnia

Przy obliczaniu całki
,
wygodnie jest odizolować część całkowitą ułamka i pochodną mianownika
A 1 grzech x + b 1 cos x = A (a grzech x + b cos x) + B (a grzech x + b cos x)′ .
Stałe A i B można znaleźć porównując lewą i prawą stronę.

Wykorzystana literatura:
N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.

Zobacz także:

Całki funkcji trygonometrycznych.
Przykłady rozwiązań

Na tej lekcji przyjrzymy się całkom funkcji trygonometrycznych, to znaczy wypełnieniem całek będą sinusy, cosinusy, styczne i cotangensy w różnych kombinacjach. Wszystkie przykłady zostaną szczegółowo przeanalizowane, dostępne i zrozumiałe nawet dla czajnika.

Aby skutecznie badać całki funkcji trygonometrycznych, musisz dobrze rozumieć najprostsze całki, a także opanować niektóre techniki całkowania. Z materiałami tymi można zapoznać się na wykładach Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań I .

A teraz potrzebujemy: Tabela całek, Tabela instrumentów pochodnych I Katalog wzorów trygonometrycznych. Wszystkie pomoce dydaktyczne znajdziesz na stronie Wzory i tablice matematyczne. Radzę wydrukować wszystko. Szczególnie skupiam się na wzorach trygonometrycznych, powinni być przed twoimi oczami– bez tego wydajność pracy zauważalnie spadnie.

Ale najpierw o tym, jakie całki są w tym artykule NIE. Nie ma całek postaci , - cosinus, sinus, pomnożone przez jakiś wielomian (rzadziej coś ze styczną lub cotangensem). Całki takie całkuje się przez części. Aby poznać metodę, odwiedź lekcję Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań. Również tutaj nie ma całek z „łukami” - arcustangens, arcsine itp., są one również najczęściej integrowane przez części.

Przy znajdowaniu całek funkcji trygonometrycznych stosuje się szereg metod:

(4) Używamy wzoru tabelarycznego , jedyną różnicą jest to, że zamiast „X” mamy wyrażenie złożone.

Przykład 2

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Klasyka gatunku dla tonących w konkurencji. Jak zapewne zauważyłeś, w tabeli całek nie ma całki stycznej i cotangensu, ale mimo to można znaleźć takie całki.

(1) Używamy wzoru trygonometrycznego

(2) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.

(3) Korzystamy z całki tabelarycznej .

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Nasze stopnie naukowe będą stopniowo wzrastać =).
Najpierw rozwiązanie:

(1) Używamy wzoru

(2) Używamy głównej tożsamości trygonometrycznej , z czego to wynika .

(3) Podziel licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.

(4) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej.

(5) Całkujemy za pomocą tabeli.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Istnieją również całki stycznych i cotangensów, które są wyrażone w wyższych potęgach. Całka tangensa sześciennego zostanie omówiona na lekcji Jak obliczyć powierzchnię płaskiej figury? Całki stycznej (cotangens) do potęgi czwartej i piątej można wyliczyć na stronie Całki złożone.

Zmniejszanie stopnia całki

Ta technika działa, gdy funkcje całkowe są wypełnione sinusami i cosinusami nawet stopnie. Aby zmniejszyć stopień, użyj wzorów trygonometrycznych , i , a ostatnia formuła jest często używana w odwrotnym kierunku: .

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Rozwiązanie:

W zasadzie nie ma tu nic nowego poza tym, że zastosowaliśmy formułę (obniżenie stopnia całki). Proszę zwrócić uwagę, że skróciłem rozwiązanie. W miarę zdobywania doświadczenia całkę z można znaleźć ustnie; oszczędza to czas i jest całkiem akceptowalne przy kończeniu zadań. W takim przypadku wskazane jest, aby nie opisywać reguły , najpierw słownie obliczamy całkę z 1, a następnie z .

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Oto obiecana podwyżka stopni:

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Najpierw rozwiązanie, potem komentarze:

(1) Przygotuj całkę do zastosowania wzoru .

(2) Właściwie stosujemy wzór.

(3) Podnosimy mianownik do kwadratu i usuwamy stałą ze znaku całki. Można było to zrobić trochę inaczej, ale moim zdaniem tak było wygodniej.

(4) Używamy wzoru

(5) W trzecim członie ponownie zmniejszamy stopień, ale używając wzoru .

(6) Przedstawiamy podobne terminy (tutaj podzieliłem termin po terminie i dodałem).

(7) Właściwie bierzemy całkę, czyli zasadę liniowości a sposób podciągania funkcji pod znak różniczkowy wykonuje się ustnie.

(8) Łączenie odpowiedzi.

! W całce nieoznaczonej odpowiedź często można zapisać na kilka sposobów

W rozważanym przykładzie ostateczną odpowiedź można było zapisać inaczej - otwierając nawiasy, a nawet robiąc to przed integracją wyrażenia, czyli następujące zakończenie przykładu jest całkiem akceptowalne:

Całkiem możliwe, że ta opcja jest jeszcze wygodniejsza, po prostu wyjaśniłem to w sposób, w jaki sam jestem przyzwyczajony do jej rozwiązywania). Oto kolejny typowy przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład można rozwiązać na dwa sposoby i może ci się udać dwie zupełnie różne odpowiedzi(dokładniej będą wyglądać zupełnie inaczej, ale z matematycznego punktu widzenia będą równoważne). Najprawdopodobniej nie zobaczysz najbardziej racjonalnej metody i będziesz cierpieć z powodu otwierania nawiasów i używania innych wzorów trygonometrycznych. Najbardziej efektywne rozwiązanie podane jest na końcu lekcji.

Podsumowując akapit, stwierdzamy: dowolna całka formy , gdzie i – nawet liczb, rozwiązuje się metodą zmniejszania stopnia całki.
W praktyce natknąłem się na całki z 8 i 10 stopniami i musiałem rozwiązać ich straszny bałagan, kilkakrotnie obniżając stopień, co skutkowało długimi, długimi odpowiedziami.

Zmienna metoda wymiany

Jak wspomniano w artykule Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej, głównym warunkiem stosowania metody zastępczej jest fakt, że w całce występuje pewna funkcja i jej pochodna:
(funkcje niekoniecznie znajdują się w produkcie)

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Patrzymy na tabelę pochodnych i zauważamy wzory, , czyli w naszej całce jest funkcja i jej pochodna. Widzimy jednak, że podczas różniczkowania cosinus i sinus wzajemnie się przekształcają i pojawia się pytanie: jak dokonać zmiany zmiennej i co rozumiemy pod pojęciem sinus czy cosinus?! Pytanie można rozwiązać naukowo: jeśli nieprawidłowo przeprowadzimy wymianę, to nic dobrego z tego nie wyniknie.

Ogólna wskazówka: w podobnych przypadkach należy wyznaczyć funkcję znajdującą się w mianowniku.

Przerywamy rozwiązanie i dokonujemy zamiany

W mianowniku wszystko jest w porządku, wszystko zależy tylko od , teraz pozostaje dowiedzieć się, w co się to zamieni.
Aby to zrobić, znajdujemy różnicę:

Lub w skrócie:
Z powstałej równości, korzystając z zasady proporcji, wyrażamy potrzebne wyrażenie:

Więc:

Teraz cała nasza całka zależy tylko od i możemy kontynuować rozwiązywanie

Gotowy. Przypominam, że celem zamiany jest uproszczenie całki; w tym przypadku wszystko sprowadzało się do całkowania funkcji potęgowej według tabeli.

To nie przypadek, że opisałem ten przykład tak szczegółowo; zrobiono to w celu powtórzenia i utrwalenia materiału lekcyjnego Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

A teraz dwa przykłady własnego rozwiązania:

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Kompletne rozwiązania i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Przykład 14

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Tutaj znowu w całce jest sinus i cosinus (funkcja z pochodną), ale w iloczynie pojawia się dylemat - co rozumiemy przez sinus czy cosinus?

Możesz spróbować przeprowadzić wymianę za pomocą naukowego szturchania, a jeśli nic nie zadziała, wyznacz ją jako inną funkcję, ale jest:

Ogólna wskazówka: musisz wyznaczyć funkcję, która, mówiąc w przenośni, znajduje się w „niewygodnej pozycji”.

Widzimy, że w tym przykładzie cosinus studencki „cierpi” z powodu stopnia, a sinus sam siedzi swobodnie.

Dlatego dokonajmy zamiany:

Jeśli ktoś nadal ma trudności z algorytmem podstawiania zmiennej i znajdowania różniczki, to warto wrócić do lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Przykład 15

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Przeanalizujmy całkę, co należy oznaczać przez ?
Pamiętajmy o naszych wskazówkach:
1) Funkcja najprawdopodobniej występuje w mianowniku;
2) Funkcja znajduje się w „niewygodnej pozycji”.

Nawiasem mówiąc, wytyczne te obowiązują nie tylko w przypadku funkcji trygonometrycznych.

Sinus spełnia oba kryteria (zwłaszcza drugie), więc zastąpienie sugeruje się samo. W zasadzie wymianę można już przeprowadzić, ale najpierw dobrze byłoby dowiedzieć się, z czym zrobić? Najpierw „odcinamy” jeden cosinus:

Rezerwujemy na nasz „przyszły” mechanizm różnicowy

Wyrażamy to poprzez sinus, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

A teraz zamiennik:

Ogólna zasada: Jeśli w podcałce jest zawarta jedna z funkcji trygonometrycznych (sinus lub cosinus). dziwne stopnia, wówczas trzeba „odgryźć” jedną funkcję od stopnia nieparzystego i wyznaczyć za nią inną funkcję. Mówimy tylko o całkach, w których występują cosinusy i sinusy.

W rozważanym przykładzie cosinus miał nieparzystą potęgę, więc wyjęliśmy z tej potęgi jeden cosinus i oznaczyliśmy go jako sinus.

Przykład 16

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Stopnie idą w górę =).
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne jest częstym przypadkiem metody zastępowania zmiennych. Możesz spróbować go użyć, gdy „nie wiesz, co robić”. Ale tak naprawdę istnieją pewne wytyczne dotyczące jego stosowania. Typowymi całkami, w przypadku których należy zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, są następujące całki: , , , itp.

Przykład 17

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne w tym przypadku realizuje się w następujący sposób. Dokonajmy zamiany: . Nie używam litery, ale litery, to nie jest jakaś reguła, po prostu znowu jestem przyzwyczajony do rozwiązywania problemów w ten sposób.

Tutaj wygodniej jest znaleźć różnicę; w tym celu wyrażam:
Dołączam arcus tangens do obu części:

Arcus tangens i tangens znoszą się wzajemnie:

Zatem:

W praktyce nie trzeba tego tak szczegółowo opisywać, wystarczy po prostu skorzystać z gotowego wyniku:

! Wyrażenie jest ważne tylko wtedy, gdy pod sinusami i cosinusami mamy po prostu „X” oznaczające całkę (o czym porozmawiamy później) wszystko będzie trochę inne!