Suma kątów trójkąta. Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym.

Weźmy trójkąt ABC (ryc. 208). Oznaczmy jego kąty wewnętrzne liczbami 1, 2 i 3. Udowodnijmy to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Narysujmy przez jakiś wierzchołek trójkąta, na przykład B, prostą MN równoległą do AC.

W wierzchołku B mamy trzy kąty: ∠4, ∠2 i ∠5. Ich suma jest kątem prostym, zatem wynosi 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ale ∠4 = ∠1 to wewnętrzne kąty poprzeczne z liniami równoległymi MN i AC oraz sieczną AB.

∠5 = ∠3 - są to wewnętrzne kąty poprzeczne z prostymi równoległymi MN i AC oraz sieczną BC.

Oznacza to, że ∠4 i ∠5 można zastąpić ich równymi ∠1 i ∠3.

Zatem ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Twierdzenie zostało udowodnione.

2. Własność kąta zewnętrznego trójkąta.

Faktycznie, w trójkącie ABC (ryc. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ale także ∠ВСD, kąt zewnętrzny tego trójkąta, nieprzylegający do ∠1 i ∠2, również jest równy 180° - ∠3 .

Zatem:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Zatem ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Wyprowadzona własność kąta zewnętrznego trójkąta wyjaśnia treść udowodnionego wcześniej twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta, które stwierdzało jedynie, że kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego kąta wewnętrznego trójkąta nie sąsiadującego z nim; teraz ustalono, że kąt zewnętrzny jest równy sumie obu kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.

3. Własność trójkąta prostokątnego o kącie 30°.

Niech kąt B w trójkącie prostokątnym ACB będzie równy 30° (rys. 210). Wtedy jego drugi kąt ostry będzie równy 60°.

Udowodnimy, że noga AC jest równa połowie przeciwprostokątnej AB. Wyciągnijmy nogę AC poza wierzchołek kąta prostego C i odłóżmy odcinek CM równy odcinku AC. Połączmy punkt M z punktem B. Powstały trójkąt ВСМ jest równy trójkątowi ACB. Widzimy, że każdy kąt trójkąta ABM jest równy 60°, zatem ten trójkąt jest trójkątem równobocznym.

Noga AC jest równa połowie AM, a ponieważ AM jest równa AB, noga AC będzie równa połowie przeciwprostokątnej AB.

Ciąg dalszy z wczoraj:

Pobawmy się mozaiką opartą na bajce o geometrii:

Kiedyś były trójkąty. Tak podobni, że są po prostu swoimi kopiami.
Jakoś stanęli obok siebie w linii prostej. A ponieważ wszyscy byli tego samego wzrostu -
wówczas ich wierzchołki znajdowały się na tym samym poziomie, pod linijką:

Trójkąty uwielbiały się przewracać i stać na głowie. Wspięli się do najwyższego rzędu i stanęli w rogu jak akrobaci.
I już wiemy – kiedy staną szczytami dokładnie w jednej linii,
wtedy ich podeszwy też podążają za linijką - bo jak ktoś ma ten sam wzrost, to też ma ten sam wzrost do góry nogami!

Były we wszystkim takie same - ten sam wzrost i te same podeszwy,
a zjeżdżalnie po bokach – jedna bardziej stroma, druga bardziej płaska – mają tę samą długość
i mają to samo nachylenie. Cóż, tylko bliźniaki! (tylko w innym ubraniu, każdy z własnym elementem układanki).

- Gdzie trójkąty mają identyczne boki? Gdzie są takie same rogi?

Trójkąty stanęły na głowie, stały, a potem postanowiły zsunąć się i położyć w dolnym rzędzie.
Ślizgali się i zjeżdżali ze wzgórza; ale ich slajdy są takie same!
Pasowały więc dokładnie pomiędzy dolne trójkąty, bez szczelin i nikt nikogo nie odpychał na bok.

Rozejrzeliśmy się po trójkątach i zauważyliśmy interesującą cechę.
Gdziekolwiek ich kąty się spotykają, wszystkie trzy kąty z pewnością się spotkają:
największy to „kąt główki”, najbardziej ostry kąt, a trzeci, średnio największy kąt.
Zawiązali nawet kolorowe wstążki, żeby od razu było wiadomo, który jest który.

I okazało się, że trzy kąty trójkąta, jeśli je połączysz -
tworzą jeden duży kąt, „otwarty róg” - jak okładka otwartej książki,

________O ______

nazywa się to kątem obróconym.

Każdy trójkąt jest jak paszport: trzy kąty razem równają się kątowi rozłożonemu.
Ktoś puka do twoich drzwi: - Puk-puk, jestem trójkątem, pozwól mi przenocować!
I mówisz mu - Pokaż mi sumę kątów w postaci rozwiniętej!
I od razu wiadomo, czy to prawdziwy trójkąt, czy oszust.
Nie zdałeś egzaminu - Obróć się o sto osiemdziesiąt stopni i idź do domu!

Kiedy mówią „obróć o 180°”, oznacza to odwrócenie się do tyłu i
iść w przeciwnym kierunku.

To samo w bardziej znanych wyrażeniach, bez „dawno temu”:

Wykonajmy równoległe przesunięcie trójkąta ABC wzdłuż osi OX
do wektora AB równej długości podstawy AB.
Linia DF przechodząca przez wierzchołki C i C 1 trójkątów
równolegle do osi OX, z tego względu, że jest prostopadły do ​​osi OX
odcinki h i h 1 (wysokości równych trójkątów) są równe.
Zatem podstawa trójkąta A 2 B 2 C 2 jest równoległa do podstawy AB
i równy jej długości (ponieważ wierzchołek C 1 jest przesunięty względem C o kwotę AB).
Trójkąty A 2 B 2 C 2 i ABC są równe z trzech stron.
Zatem kąty ∠A 1 ∠B ∠C 2 tworzące kąt prosty są równe kątom trójkąta ABC.
=> Suma kątów w trójkącie wynosi 180°

Przy ruchach - „tłumaczeniach” tzw. dowód jest krótszy i wyraźniejszy,
nawet dziecko jest w stanie zrozumieć fragmenty mozaiki.

Ale tradycyjna szkoła:

w oparciu o równość wewnętrznych kątów krzyżowych odciętych na liniach równoległych

cenne, ponieważ daje wyobrażenie o tym, dlaczego tak jest,
Dlaczego suma kątów trójkąta jest równa kątowi odwróconemu?

Ponieważ w przeciwnym razie linie równoległe nie miałyby właściwości znanych naszemu światu.

Twierdzenia działają w obie strony. Z aksjomatu prostych równoległych wynika
równość kątów leżących poprzecznie i pionowych, a od nich - suma kątów trójkąta.

Ale jest też odwrotnie: dopóki kąty trójkąta wynoszą 180°, istnieją linie równoległe
(tak, że przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić unikalną linię || danej).
Jeśli pewnego dnia na świecie pojawi się trójkąt, którego suma kątów nie jest równa kątowi rozłożonemu -
wtedy równoległe przestaną być równoległe, cały świat będzie wygięty i wypaczony.

Jeśli paski z trójkątnymi wzorami umieścimy jeden nad drugim -
możesz pokryć całe pole powtarzalnym wzorem, jak podłoga z płytek:

na takiej siatce można narysować różne kształty - sześciokąty, romby,
gwiazdowe wielokąty i zdobądź różnorodne parkiety

Układanie samolotu parkietem to nie tylko zabawna gra, ale także istotny problem matematyczny:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Ponieważ każdy czworokąt jest prostokątem, kwadratem, rombem itp.,
może składać się z dwóch trójkątów,
odpowiednio suma kątów czworoboku: 180° + 180° = 360°

Identyczne trójkąty równoramienne są składane w kwadraty na różne sposoby.
Mały kwadrat składający się z 2 części. Średnia 4. I największy z 8.
Ile figur jest na rysunku składającym się z 6 trójkątów?

Czy potrafisz udowodnić, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni? i dostałem najlepszą odpowiedź

Odpowiedź od Top_ed[guru]
Po co udowadniać coś, co zostało już udowodnione bardzo, bardzo dawno temu.
Stwierdza to twierdzenie o sumie kątów trójkąta, klasyczne twierdzenie geometrii euklidesowej
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.
Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Narysujmy prostą przechodzącą przez wierzchołek B, równoległą do prostej AC. Zaznaczmy na nim punkt D tak, aby punkty A i D leżały po przeciwnych stronach prostej BC.
Kąty DBC i ACB są przystające jako wewnętrzne krzyżujące się kąty utworzone przez poprzeczny BC z równoległymi liniami AC i BD. Zatem suma kątów trójkąta przy wierzchołkach B i C jest równa kątowi ABD.
Suma wszystkich trzech kątów trójkąta jest równa sumie kątów ABD i BAC. Ponieważ są to jednostronne kąty wewnętrzne dla równoległych AC i BD oraz siecznej AB, ich suma wynosi 180°. Twierdzenie zostało udowodnione.

Odpowiedź od Boryska(c)[guru]
Mogę, ale nie pamiętam jak))

Odpowiedź od Muraszkina[guru]
Móc. Czy jest to dla Ciebie pilne? ? Zdajesz egzamin piątej klasy? ? :))

Odpowiedź od Orij Semykin[guru]
1. To zależy od geometrii przestrzeni. Na płaszczyźnie Riemanna > 180, na kwadracie. Łobaczewski< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Narysuj linię przechodzącą przez wierzchołek równoległą do jednego z boków i sprawdź kąty poprzeczne utworzone przez oba boki i linię dodatkową. Wynikowy kąt (180) jest równy sumie trzech kątów trójkąta.

Dowód zasadniczo opiera się na fakcie, że można poprowadzić tylko jedną linię równoległą. Jest wiele geometrii, w których tak nie jest.

Odpowiedź od Jurij[guru]
Po co udowadniać to, co zostało udowodnione?)) Przetnij kwadrat na dwie części, jeśli chcesz czegoś nowego))

Odpowiedź od Nikołaj Jewgienijewicz[guru]
Nie mogę.

Odpowiedź od Aleks Brichka[ekspert]
Tak, nie ma tu nic do udowodnienia, wystarczy dodać do siebie kąty i tyle.

Odpowiedź od 2 odpowiedzi[guru]

Cześć! Oto wybór tematów z odpowiedziami na Twoje pytanie: Czy potrafisz udowodnić, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni?