Pochodna 2 4. Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższy porządek. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.

Treść

Zobacz także: Funkcja potęgowa i pierwiastki, wzory i wykres
Wykresy funkcji mocy

Podstawowe formuły

Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1) .

Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2) .

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej

Przypadek x > 0

Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3) .
Tutaj a jest dowolne prawdziwa liczba. Rozważmy najpierw sprawę.

Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.

Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .

Wzór (1) został udowodniony.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m

Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4) .

Aby znaleźć pochodną, przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1) ;
;
(2) .

W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).

Przypadek x = 0

Jeżeli , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0 . 0 Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x =
.

. 0 :
.
W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:

Podstawmy x =
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .
Znaleźliśmy więc:
Znaleźliśmy więc:
Z tego jasno wynika, że dla , .
(1) .
Na , . 0 .

Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):< 0

Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x =
(3) .
Przypadek x Rozważmy ponownie funkcję (3): Dla pewnych wartości stałej a definiuje się ją również dla ujemnych wartości zmiennej x.
,
Mianowicie, niech będzie

liczba wymierna 3 . Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny: 1 gdzie m i n są liczbami całkowitymi, które nie mają wspólnego dzielnika.
.
Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x.

Znajdźmy pochodną funkcji potęgi (3) dla i dla wymiernych wartości stałej a, dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, wyobraź sobie x w następującej formie:
.
Następnie ,
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1) .

Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3) .
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.

Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;

.

Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.

Zauważ to jeśli jest liczba naturalna , to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .

Przykłady obliczania instrumentów pochodnych

Przykład

Znajdź pochodną funkcji:
.

Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.

Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.

Pochodna

Obliczanie pochodnej funkcji matematycznej (różniczkowania) jest bardzo częstym problemem przy rozwiązywaniu matematyki wyższej. W przypadku prostych (elementarnych) funkcji matematycznych jest to dość prosta sprawa, gdyż tablice pochodnych funkcji elementarnych są już dawno opracowane i są łatwo dostępne. Jednak znalezienie pochodnej złożonej funkcji matematycznej nie jest zadaniem trywialnym i często wymaga znacznego wysiłku i czasu.

Znajdź instrument pochodny online

Dzięki naszemu serwisowi online pozbędziesz się bezsensownych, długich obliczeń i znajdź instrument pochodny w Internecie w jednej chwili. Ponadto, korzystając z naszej usługi znajdującej się na stronie internetowej www.strona, możesz obliczyć pochodna internetowa zarówno z funkcji elementarnej, jak i bardzo złożonej, która nie ma rozwiązania analitycznego. Główne zalety naszej witryny w porównaniu z innymi to: 1) nie ma ścisłych wymagań dotyczących metody wprowadzania funkcji matematycznej do obliczania pochodnej (na przykład wpisując funkcję sinus x, można ją wprowadzić jako sin x lub sin (x) lub grzech[x] itp. d.); 2) obliczanie instrumentów pochodnych online następuje natychmiastowo w trybie w Internecie i absolutnie za darmo; 3) pozwalamy znaleźć pochodną funkcji dowolne zamówienie, zmiana rzędu pochodnej jest bardzo łatwa i zrozumiała; 4) umożliwiamy znalezienie w Internecie pochodnej niemal każdej funkcji matematycznej, nawet bardzo złożonej, której nie da się rozwiązać innymi usługami. Udzielona odpowiedź jest zawsze dokładna i nie może zawierać błędów.

Korzystanie z naszego serwera pozwoli Ci: 1) obliczyć dla Ciebie pochodną online, eliminując czasochłonne i żmudne obliczenia, podczas których mógłbyś popełnić błąd lub literówkę; 2) jeśli samodzielnie obliczysz pochodną funkcji matematycznej, dajemy Ci możliwość porównania uzyskanego wyniku z obliczeniami naszego serwisu i upewnienia się, że rozwiązanie jest prawidłowe lub znajdziemy błąd, który się wkradł; 3) skorzystaj z naszego serwisu zamiast korzystać z tablic pochodnych prostych funkcji, gdzie często znalezienie żądanej funkcji zajmuje dużo czasu.

Wszystko, co musisz zrobić, to znajdź instrument pochodny w Internecie- jest korzystanie z naszego serwisu

Bardzo łatwe do zapamiętania.

No cóż, nie odchodźmy daleko, przyjrzyjmy się temu od razu funkcja odwrotna. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście.

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wystawca i logarytm naturalny- funkcje są wyjątkowo proste pod względem pochodnych. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Rozróżnianie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna... Różniczka matematyków jest tym samym przyrostem funkcji w. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ this funkcja liniowa, Pamiętać?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Czy to zadziałało?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że jest to iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne wykładnicze i funkcje logarytmiczne prawie nigdy nie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym, ale nie zaszkodzi ich poznać.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co się stało” złożona funkcja„? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje Ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy łatwo wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś kwadrat, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy działania, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Dowód i wyprowadzenie wzorów na pochodną funkcji wykładniczej (e do potęgi x) i funkcji wykładniczej (a do potęgi x). Przykłady obliczania pochodnych e^2x, e^3x i e^nx. Wzory na pochodne wyższych rzędów.

Treść

Zobacz także: Funkcja wykładnicza - właściwości, wzory, wykres
Wykładnik e do potęgi x - właściwości, wzory, wykres

Podstawowe formuły

Pochodna wykładnika jest równa samemu wykładnikowi (pochodna e do potęgi x jest równa e do potęgi x):
(1) (np. x)′ = np. x.

Pochodna funkcji wykładniczej o podstawie a jest równa samej funkcji pomnożonej przez logarytm naturalny a:
(2) .

Funkcja wykładnicza to funkcja wykładnicza, której podstawa potęgi jest równa liczbie e, która jest następującą granicą:
.
Tutaj może to być liczba naturalna lub liczba rzeczywista. Następnie wyprowadzamy wzór (1) na pochodną wykładniczą.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną wykładniczą

Rozważmy wykładniczą e do potęgi x:
y = mi x .
Ta funkcja jest zdefiniowana dla każdego.
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości matematyczne i zasady. Aby to zrobić, potrzebujemy następujących faktów:
A) Właściwość wykładnika:
(4) ;
B) Własność logarytmu:
(5) ;
W) Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej:
(6) .
Oto pewna funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
G) Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:
(7) .

Zastosujmy te fakty do naszej granicy (3). Korzystamy z własności (4):
;
.

Dokonajmy zamiany.
Następnie ; .
.
Ze względu na ciągłość wykładniczą,
.

Dlatego kiedy , .
.

W rezultacie otrzymujemy:
Dokonajmy zamiany.
.

Następnie . Na , . I mamy:
.
Zastosujmy własność logarytmu (5): . Następnie
.

Zastosujmy własność (6). Ponieważ istnieje dodatnia granica, a logarytm jest ciągły, to:

Tutaj również wykorzystaliśmy to drugie

niezwykły limit
(8)
(7). Następnie

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (1) na pochodną wykładniczą.
;
.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji wykładniczej
.

Teraz wyprowadzamy wzór (2) na pochodną funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a.

Wierzymy, że i .
(14) .
(1) .

Następnie funkcja wykładnicza
;
.

Zdefiniowany dla każdego.
.

Przekształćmy wzór (8). Aby to zrobić, skorzystamy z właściwości funkcji wykładniczej i logarytmu.

Zatem przekształciliśmy wzór (8) do następującej postaci:
.
Pochodne wyższego rzędu e do potęgi x
(15) .

Znajdźmy teraz pochodne wyższych rzędów. Przyjrzyjmy się najpierw wykładnikowi:
;
.

Widzimy, że pochodna funkcji (14) jest równa samej funkcji (14). Różnicząc (1) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
.

To pokazuje, że pochodna n-tego rzędu jest również równa pierwotnej funkcji:

Pochodne wyższego rzędu funkcji wykładniczej Rozważmy teraz funkcję wykładniczą o podstawie stopnia a: Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu: Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu::

Widzimy, że każde zróżnicowanie prowadzi do pomnożenia pierwotnej funkcji przez . Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + (2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: Zobacz także: Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: y Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: do przyrostu argumentu Δ

Na początek zauważamy, że z całej gamy funkcji możemy wyróżnić tzw. Funkcje elementarne. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne zostały już dawno obliczone i wprowadzone do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania - wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje elementarne to wszystkie funkcje wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji trzeba znać na pamięć. Co więcej, ich zapamiętanie wcale nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Zatem pochodne funkcji elementarnych:

Nazwa	Funkcjonować	Pochodna
Stały	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = C, C ∈ R	0 (tak, zero!)
Potęga z wykładnikiem wymiernym	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: N	N · Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: N − 1
Zatoka	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	sałata Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
Cosinus	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = sałata Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	−grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:(minus sinus)
Tangens	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = tg Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	1/co2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
Cotangens	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = ctg Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	− 1/grzech 2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
Logarytm naturalny	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = log Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	1/Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
Logarytm dowolny	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = log A Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	1/(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: ln A)
Funkcja wykładnicza	Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:	Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:(nic się nie zmieniło)

Jeśli funkcję elementarną pomnoży się przez dowolną stałą, wówczas łatwo będzie obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:)’ = C · Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’.

Ogólnie rzecz biorąc, stałe można wyjąć ze znaku pochodnej. Na przykład:

(2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3)’ = 2 · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3)’ = 2 3 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 = 6Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 .

Oczywiście funkcje elementarne można ze sobą dodawać, mnożyć, dzielić - i wiele więcej. Tak pojawią się nowe funkcje, już nie szczególnie elementarne, ale też zróżnicowane według pewnych zasad. Zasady te zostały omówione poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech zostaną podane funkcje Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) I G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć funkcje elementarne omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

(Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: + G)’ = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’ + G ’
(Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: − G)’ = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’ − G ’

Zatem pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: + G + H)’ = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’ + G ’ + H ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie ma pojęcia „odejmowania”. Istnieje koncepcja „elementu negatywnego”. Dlatego różnica Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: − G można przepisać jako sumę Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:+ (-1) G, i wtedy pozostaje tylko jeden wzór - pochodna sumy.

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + grzech x; G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 4 + 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 − 3.

Funkcjonować Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, zatem:

Podobnie rozumujemy dla funkcji G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:). Tylko, że są już trzy terminy (z punktu widzenia algebry):

G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 4 + 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 − 3)’ = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 4 + 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + (−3))’ = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 4)’ + (2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2)’ + (−3)’ = 4Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3 + 4Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 0 = 4Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 1).

Odpowiedź:
Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ cosx;
G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = 4Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk">równy iloczynowi pochodnych. Ale chuj! Pochodną iloczynu oblicza się według zupełnie innego wzoru. Mianowicie:

(Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: · G) ’ = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’ · G + Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: · G ’

Przepis jest prosty, jednak często się o nim zapomina. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są nieprawidłowo rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3 cosx; G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: .

Funkcjonować Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) jest iloczynem dwóch elementarnych funkcji, więc wszystko jest proste:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3 szt Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)’ = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3)’, bo Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3 (kos Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)’ = 3Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 szt Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 3 (-grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 (3kos Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: − Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)

Funkcjonować G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat się nie zmienia. Oczywiście pierwszy czynnik funkcji G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = ((Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)’ = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7)’ · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7) ( Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)’ = (2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 7) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:· (2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 7 + Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 7Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: −7) = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 9Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 9) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: .

Odpowiedź:
Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 (3kos Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: − Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:);
G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 9) · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: .

Należy pamiętać, że w ostatnim kroku pochodna jest rozkładana na czynniki. Formalnie nie trzeba tego robić, ale większość pochodnych nie oblicza się samodzielnie, ale w celu sprawdzenia funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna zostanie zrównana z zerem, zostaną określone jej znaki i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli są dwie funkcje Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) I G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:), I G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze, możemy zdefiniować nową funkcję H(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)/G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:). Dla takiej funkcji można również znaleźć pochodną:

Nie słaby, co? Skąd wziął się minus? Dlaczego G 2? I tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych receptur – bez butelki nie da się tego obejść. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka znajdują się funkcje elementarne, zatem wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Zgodnie z tradycją rozłóżmy licznik na czynniki – to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie jest formułą o długości pół kilometra. Wystarczy np. przyjąć funkcję Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = grzech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: i zastąp zmienną Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:, powiedzmy, dalej Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:. To się sprawdzi Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = grzech ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) - jest to funkcja złożona. Ma również pochodną, ale nie będzie można jej znaleźć, korzystając z reguł omówionych powyżej.

Co powinienem zrobić? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzoru na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(T) · T', Jeśli Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: zostaje zastąpiony przez T(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:).

Z reguły sytuacja ze zrozumieniem tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż w przypadku pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to na konkretnych przykładach, za pomocą szczegółowy opis każdy krok.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 3 ; G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = grzech ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)

Zauważ, że jeśli w funkcji Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) zamiast wyrażenia 2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 3 będzie łatwe Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:, to otrzymujemy funkcję elementarną Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:. Dlatego dokonujemy zamiany: niech 2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 3 = T, Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(T) = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ T. Pochodnej funkcji zespolonej szukamy korzystając ze wzoru:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(T) · T ’ = (Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ T)’ · T ’ = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ T · T ’

A teraz – uwaga! Wykonujemy odwrotną zamianę: T = 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 3. Otrzymujemy:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ T · T ’ = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 3 (2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 3)’ = Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 3 2 = 2 Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 3

Teraz spójrzmy na funkcję G(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:). Jasne, że trzeba go wymienić Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: = T. Mamy:

G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = G ’(T) · T’ = (grzech T)’ · T’ = sałata T · T ’

Odwrotna wymiana: T = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:. Następnie:

G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = sałata ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:)’ = cos ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) · (2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 1/Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, całe zadanie sprowadza się do obliczenia sumy pochodnej.

Odpowiedź:
Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = 2 · Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ 2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 3 ;
G ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = (2Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: + 1/Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) bo ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + ln Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „pierwsza”. Na przykład skok sumy jest równy sumie kresek. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych kresek według zasad omówionych powyżej. Na koniec wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: N)’ = N · Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: N − 1

Niewiele osób o tym wie w tej roli N równie dobrze może być liczbą ułamkową. Na przykład korzeń jest Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 0,5. A co jeśli pod korzeniem kryje się coś fantazyjnego? Ponownie wynikiem będzie złożona funkcja - lubią nadawać takie konstrukcje testy i egzaminy.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszemy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = (Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy zamiany: niech Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: − 7 = T. Pochodną wyznaczamy korzystając ze wzoru:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Zróbmy odwrotną zamianę: T = Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7. Mamy:

Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać: ’(Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:) = 0,5 · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7) −0,5 · ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:− 7)’ = 0,5 (2 Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:+ 8) ( Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: 2 + 8Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu: − 7) −0,5 .

Na koniec powrót do korzeni: