Prezentacja pochodnych niektórych funkcji elementarnych. Pochodne niektórych funkcji elementarnych

Zasady różniczkowania TWIERDZENIE 1. Różniczkowanie sumy, iloczynu i ilorazu. Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x, to f + g, f g, f /g są różniczkowalne w tym punkcie (jeśli g(x) 0) i niech y = f g. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Dowód. Przedstawmy dowód własności 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 przy x 0 (Ze względu na nieciągłą funkcję różniczkową.)

TWIERDZENIE 2. Różniczkowanie funkcji zespolonej Niech funkcja y = f(u) będzie różniczkowalna w punkcie u 0, y 0 = f(u 0), a funkcja u = (x) będzie różniczkowalna w punkcie x 0, u 0 = (x 0). Wtedy funkcja zespolona y = f ((x)) jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) lub UWAGA: Zasada obliczania pochodnej funkcji zespolonej rozciąga się na złożenie dowolnej skończonej liczby funkcji, na przykład: (f ((g(x)))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(. x). w punkcie x i C = const, wówczas (C f(x))" = C f "(x); (f(x)/C)" = f "(x)/C.

Przykład 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Korzystając z twierdzeń 1 i 2, znajdujemy pochodne funkcji trygonometrycznych y = ctgx, x + k, k Z.

TWIERDZENIE 3. Różniczkowanie funkcji odwrotnej. Jeżeli y = f(x) jest ciągłe i ściśle monotoniczne na przedziale oraz ma pochodną f”(x 0), to jej funkcja odwrotna x = g(y) jest różniczkowalna w punkcie y 0 = f(x 0), i g "( y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) Niech y będzie takie, że y 0 + y (,). Oznaczmy x = g(y 0 + y) – g(y 0) Musimy udowodnić, że 0 istnieje. Niech f(x) będzie ściśle zwiększane przez . Niech = f(x 0 -), = f( x 0 +). na [, ] zdefiniowana jest funkcja odwrotna x = g(y), ciągła i ściśle rosnąca, oraz f(x 0) (,). Jeśli y 0, to x 0, ze względu na ścisłą monotoniczność mamy zatem prawo zapisać tożsamość Jeśli. y, to x, ponieważ x = g(y) jest ciągłe w punkcie y 0.

Przykład 2. Znajdź pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych

0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Tabela pochodnych funkcji elementarnych 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Tabela pochodnych funkcji elementarnych 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)’ = e x, x R; 5)(sin x) = cos x, x R; cos 2 x, x π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x , x πn, n ; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Tabela pochodnych funkcji elementarnych 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)’ = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/cos 2"> title="Tabela pochodnych funkcji elementarnych 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)’ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (np. x)’ = mi x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - grzech x, x R; 7)(tg x) = 1/cos 2"> !}

Pochodna n-tego rzędu DEFINICJA. Niech f(x) będzie określone w U (x 0) i będzie miało pochodną f (x) w każdym punkcie tego przedziału. Jeżeli w punkcie x 0 znajduje się pochodna f (x), to nazywa się ją w tym punkcie drugą pochodną funkcji f (x) i oznacza się pochodną f (n) (x) dowolnego rzędu n = 1, 2, ... Jeśli w U (x 0) znajduje się f (n-1) (x) (w tym przypadku pochodna zerowego rzędu oznacza samą funkcję), to n = 1, 2, 3 ,…. Funkcję, która w każdym punkcie zbioru X ma pochodne do n-tego rzędu włącznie, nazywa się n-krotnie różniczkowalną na zbiorze X.

Niech funkcje f(x) i g(x) mają w punkcie x pochodne n-tego rzędu. Wtedy funkcja Аf(x) + Вg(x), gdzie А i В są stałe, również ma pochodną w punkcie x, oraz (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). Przy obliczaniu pochodnych dowolnego rzędu często stosuje się następujące podstawowe wzory. y = x ; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... W szczególności, jeśli = m N, to y = a x ; y (n) = za x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... W szczególności (e x) (n) = mi x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = grzech αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

N-ta pochodna iloczynu dwóch funkcji (wzór Leibniza) gdzie Wzór ten nazywany jest wzorem Leibniza. Można to zapisać w postaci, gdzie Niech funkcje f(x) i g(x) mają w punkcie x pochodne n-tego rzędu. Za pomocą indukcji możemy udowodnić, że (f(x) g(x)) (n) = ?
Przykład 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = grzech(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 grzech (x +12π /2) (2x+3) + 78 grzech (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 grzech x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) grzech x. Zastosujmy wzór Leibniza, wpisując w nim f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Następnie

Slajd 1

Pochodna funkcji Definicja pochodnej Znaczenie geometryczne pochodnej Związek między ciągłością a różniczkowalnością Pochodne podstawowych funkcji elementarnych Reguły różniczkowania Pochodna funkcji zespolonej Pochodna funkcji ukrytej Różniczkowanie logarytmiczne

Slajd 2

Definicja pochodnej Niech funkcja y = f(x) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale (a; b). Podajmy argument x pewien przyrost: x f(x) x+Δx f(x+ Δx) Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji: Jeśli istnieje granica, to nazywa się ją pochodną funkcji y = f(x) i jest oznaczony jednym z symboli:

Slajd 3

Definicja pochodnej Zatem z definicji: Funkcja y = f(x), która ma pochodną w każdym punkcie przedziału (a; b), nazywana jest różniczkowalną w tym przedziale; operację znajdowania pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem. Wartość pochodnej funkcji y = f(x) w punkcie x0 oznaczamy jednym z symboli: Jeżeli funkcja y = f(x) opisuje dowolny proces fizyczny, to f '(x) jest prędkością ten proces - fizyczne znaczenie pochodnej.

Slajd 4

Znaczenie geometryczne pochodnej Weźmy dwa punkty M i M1 na krzywej ciągłej L: x f(x) x+Δx M M1 f(x+ Δx) Przez punkty M i M1 rysujemy sieczną i oznaczamy przez φ kąt nachylenia siecznej.

Slajd 5

Znaczenie geometryczne pochodnej Pochodna f ’(x) jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie, którego odcięta wynosi x. Jeżeli punkt styczny M ma współrzędne (x0; y0), to nachylenie stycznej wynosi k = f ’(x0). Równanie prostej z nachyleniem: Linię prostopadłą do stycznej w punkcie styczności nazywa się normalną do krzywej. Równanie styczne Równanie normalne

Slajd 6

Związek między ciągłością a różniczkowalnością funkcji Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w pewnym punkcie x, zatem istnieje granica: Dowód: gdzie w Zgodnie z twierdzeniem o związku funkcji, jej granicy i funkcji nieskończenie małej, funkcja y = f (x) jest ciągłe. Nie jest odwrotnie: funkcja ciągła może nie mieć pochodnej.

Slajd 7

Pochodne podstawowych funkcji elementarnych 1 Wzór dwumianu Newtona: Funkcja potęgowa: K – silnia

Slajd 8

Pochodne głównych funkcji elementarnych Zgodnie ze wzorem dwumianu Newtona mamy: Wtedy:

Slajd 9

Pochodne podstawowych funkcji elementarnych 2 Funkcja logarytmiczna: W podobny sposób wyprowadzane są zasady różniczkowania innych podstawowych funkcji elementarnych.

Slajd 10

Reguły różniczkowania Niech u(x), v(x) i w(x) będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym przedziale (a; b), C jest stałą.

Slajd 11

Pochodna funkcji zespolonej Niech y = f(u) i u = φ(x), wówczas y = f(φ(x)) jest funkcją zespoloną z argumentem pośrednim u i niezależnym argumentem x. Twierdzenie Zasada ta pozostaje w mocy, jeśli istnieje kilka argumentów pośrednich:

Slajd 12

Slajd 13

POCHODNA

Miejska placówka oświatowa Szkoła średnia Srednesantimirskaya

Ukończone przez nauczyciela matematyki

Singatullova G.Sh.

• Definicja pochodnej.
• Fizyczne znaczenie pochodnej.
• .

• Podstawowe zasady różniczkowania.
• Pochodna funkcji zespolonej.
• Przykłady rozwiązywania problemów na temat pochodnej.

Definicja pochodnej

Niech funkcja y= będzie zdefiniowana na pewnym przedziale (a, b) f(x). Weźmy z tego przedziału dowolny punkt x 0 i nadajmy argumentowi x w punkcie x 0 dowolny przyrost ∆ x taki, że punkt x 0 + ∆ x należy do tego przedziału. Funkcja zostanie zwiększona

Pochodna funkcje y= k(x) w punkcie x =x 0 nazywane jest granicą stosunku przyrostu funkcji ∆y w tym punkcie do przyrostu argumentu ∆x, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Geometryczne znaczenie pochodnej

Niech funkcja y= k(x) jest zdefiniowana w pewnym przedziale (a, b). Następnie tangens kąta nachylenia siecznego MR do wykresu funkcji.

Gdzie  jest kątem nachylenia funkcji stycznej k(x) w punkcie (x 0 , f(x 0)).

Kąt pomiędzy krzywymi można zdefiniować jako kąt pomiędzy stycznymi poprowadzonymi do tych krzywych w dowolnym punkcie.

Równanie stycznej do krzywej:

Fizyczne znaczenie pochodnej 1. Problem wyznaczania prędkości ruchu cząstki materialnej

Niech punkt porusza się po określonej linii zgodnie z prawem s= s(t), gdzie s jest przebytą drogą, t jest czasem i należy znaleźć prędkość punktu w chwili t 0.

W momencie czasu t 0 przebyta droga jest równa s 0 = s(t 0), a w momencie (t 0 + ∆t) - droga s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t ).

Następnie w przedziale ∆t będzie średnia prędkość

Im mniejsza ∆t, tym lepiej średnia prędkość charakteryzuje ruch punktu w chwili t 0. Dlatego pod prędkość punktu w chwili t 0 należy rozumieć jako granicę średniej prędkości w okresie od t 0 do t 0 +∆t, gdy ∆t⇾0, tj.

2. PROBLEM Z ILOŚCIĄ CHEMIKALIZACJI REAKCJE

Pozwól jakiejś substancji wejść w reakcję chemiczną. Ilość tej substancji Q zmienia się w trakcie reakcji w zależności od czasu t i jest funkcją czasu. Niech ilość substancji zmieni się o ∆Q w czasie ∆t, wówczas stosunek będzie wyrażał średnią szybkość reakcji chemicznej w czasie ∆t oraz granicę tego stosunku

Aktualna szybkość reakcji chemicznej

czas t.

3. ZADANIE OZNACZANIE SZYBKOŚCI ROZPADU PROMIENIOTWÓRCZEGO

Jeżeli m jest masą substancji promieniotwórczej, a t czasem, to zjawisko rozpadu promieniotwórczego w chwili t, pod warunkiem, że masa substancji promieniotwórczej maleje w czasie, charakteryzuje się funkcją m = m(t).

Średnią szybkość zaniku w czasie ∆t wyraża się stosunkiem

oraz chwilową szybkość zaniku w czasie t

ALGORYTM obliczania pochodnej

Pochodną funkcji y= f(x) można znaleźć korzystając ze schematu:

1. Nadajmy argumentowi x przyrost ∆x≠0 i znajdźmy zwiększoną wartość funkcji y+∆y= f(x+∆x).

2. Znajdź przyrost funkcji ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Stwórz relację

4. Znajdź granicę tego stosunku przy ∆x⇾0, tj.

(jeśli taki limit istnieje).

Podstawowe zasady różniczkowania

Pozwalać u=u(x) I v=v(x) – funkcje różniczkowalne w punkcie x.

1) (u  v)  = ty   w 

2) (UV)  = ty  v + UV 

(cu)  =cu 

3) , Jeśli w  0

Pochodna funkcji zespolonej

Twierdzenie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, oraz funkcja

jest różniczkowalna w odpowiednim punkcie, to funkcja zespolona jest różniczkowalna w punkcie x oraz:

te. pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po x.

Zadanie 1.

Problem 2 .

Problem 3 .

Problem 4 .

Problem 5 .

Problem 6 .

Problem 7 .

Problem 8 .

Podobne dokumenty

Pojęcie, granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, znajdowanie różniczki całkowitej. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów i ekstrema funkcji kilku zmiennych. Warunki konieczne istnienia ekstremum.

test, dodano 02.02.2014


Kąty i ich pomiar. Zgodność między kątami a szeregami liczbowymi. Znaczenie geometryczne funkcji trygonometrycznych. Własności funkcji trygonometrycznych. Podstawowa tożsamość trygonometryczna i konsekwencje z niej wynikające. Uniwersalne podstawienie trygonometryczne.

poradnik, dodano 18.04.2012


Istota pojęcia „pochodna”. Przyspieszenie jako druga pochodna funkcji opisującej ruch ciała. Rozwiązanie problemu wyznaczenia prędkości chwilowej punktu w danej chwili. Pochodna w reakcjach, jej rola i miejsce. Ogólny widok formuły.

prezentacja, dodano 22.12.2013


Kąty i ich pomiar, funkcje trygonometryczne kąta ostrego. Własności i znaki funkcji trygonometrycznych. Funkcje parzyste i nieparzyste. Odwrotne funkcje trygonometryczne. Rozwiązywanie prostych równań i nierówności trygonometrycznych za pomocą wzorów.

poradnik, dodano 30.12.2009


Wykonanie interpolacji z wykorzystaniem wielomianu Newtona. Doprecyzowanie wartości pierwiastka w zadanym przedziale w trzech iteracjach i znalezienie błędu obliczeniowego. Zastosowanie metod Newtona, Sampsona i Eulera w rozwiązywaniu problemów. Obliczanie pochodnej funkcji.

test, dodano 02.06.2011


Pojęcie pochodnej, jej znaczenie geometryczne i fizyczne, różniczka. Badanie funkcji i kreślenie wykresów. Faktoryzacja, upraszczanie wyrażeń. Rozwiązywanie nierówności, układy równań i dowodzenie tożsamości. Obliczanie granic funkcji.

test, dodano 16.11.2010


Definicja pochodnej funkcji, geometryczne znaczenie jej przyrostu. Znaczenie geometryczne danej zależności. Znaczenie fizyczne pochodnej funkcji w danym punkcie. Liczba, do której zmierza dany stosunek. Analiza przykładów obliczeń pochodnych.

prezentacja, dodano 18.12.2014


Przegląd tablicy pochodnych funkcji elementarnych. Pojęcie argumentu pośredniego. Zasady różniczkowania funkcji zespolonych. Metoda przedstawiania trajektorii punktu w postaci zmian jego rzutów wzdłuż osi. Różniczkowanie funkcji parametrycznie określonej.

test, dodano 11.08.2009


Historyczny przegląd powstawania trygonometrii jako nauki od starożytności do współczesności. Wprowadzenie pojęcia funkcji trygonometrycznych na lekcjach algebry i początki analizy z wykorzystaniem podręczników A.G. Mordkovich, M.I. Baszmakowa. Rozwiązania liniowych równań różniczkowych.

praca magisterska, dodana 07.02.2011


Historyczny przegląd powstawania trygonometrii jako nauki. Różne sposoby wprowadzenia pojęcia funkcji trygonometrycznych. Analiza podręczników szkolnych M.I. Bashmakov i A.G. Mordkovich na ten temat. Perspektywy wykorzystania materiału dydaktycznego.