Główna właściwość ułamka algebraicznego: sformułowanie, dowód, przykłady zastosowań. Główna właściwość ułamka algebraicznego Ułamki i ich właściwości

Badając ułamki zwykłe, natrafiamy na pojęcia podstawowych właściwości ułamka. Aby rozwiązać przykłady ze zwykłymi ułamkami, konieczne jest uproszczone sformułowanie. Artykuł ten polega na rozważeniu ułamków algebraicznych i zastosowaniu do nich podstawowej właściwości, która zostanie sformułowana wraz z przykładami zakresu jej zastosowania.

Formułowanie i uzasadnienie

Główna właściwość ułamka ma postać:

Definicja 1

Gdy licznik i mianownik zostaną jednocześnie pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę, wartość ułamka pozostaje niezmieniona.

Oznacza to, że otrzymujemy, że a · m b · m = a b i a: m b: m = a b są równoważne, gdzie a b = a · m b · m i a b = a: m b: m są uważane za uczciwe. Wartości a, b, m są liczbami naturalnymi.

Dzielenie licznika i mianownika przez liczbę można przedstawić jako a · m b · m = a b . Jest to podobne do rozwiązania przykładu 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Podczas dzielenia stosuje się równość postaci a: m b: m = a b, wtedy 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Można to również przedstawić w postaci a · m b · m = a b, czyli 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Oznacza to, że główna właściwość ułamka a · m b · m = a b i a b = a · m b · m zostanie szczegółowo rozważona w przeciwieństwie do a: m b: m = a b i a b = a: m b: m.

Jeśli licznik i mianownik zawierają liczby rzeczywiste, to właściwość ma zastosowanie. Najpierw musisz udowodnić ważność zapisanej nierówności dla wszystkich liczb. Oznacza to, że udowodnij istnienie a · m b · m = a b dla wszystkich rzeczywistych a , b , m , gdzie b i m są wartościami niezerowymi, aby uniknąć dzielenia przez zero.

Dowód 1

Niech ułamek postaci a b zostanie uznany za część rekordu z, czyli a b = z, wówczas należy udowodnić, że a · m b · m odpowiada z, czyli udowodnić a · m b · m = z . Wtedy pozwoli nam to udowodnić istnienie równości a · m b · m = a b .

Linia ułamkowa reprezentuje znak dzielenia. Stosując połączenie z mnożeniem i dzieleniem stwierdzamy, że z a b = z po przekształceniu otrzymujemy a = b · z. Zgodnie z właściwościami nierówności liczbowych obie strony nierówności należy pomnożyć przez liczbę różną od zera. Następnie mnożymy przez liczbę m i otrzymujemy, że a · m = (b · z) · m. Ze względu na właściwość mamy prawo zapisać wyrażenie w postaci a · m = (b · m) · z. Oznacza to, że z definicji wynika, że a b = z. To już cały dowód wyrażenia a · m b · m = a b .

Równości postaci a · m b · m = a b i a b = a · m b · m mają sens wtedy, gdy zamiast a , b , m istnieją wielomiany, a zamiast b i m są one niezerowe.

Główna właściwość ułamka algebraicznego: gdy jednocześnie pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymamy wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Właściwość uważa się za ważną, ponieważ działania z wielomianami odpowiadają działaniom z liczbami.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład ułamka 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. Można dokonać konwersji do postaci 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

Dokonano mnożenia przez wielomian x 2 + 2 · x · y. W ten sam sposób główna właściwość pomaga pozbyć się x 2, obecnego w danym ułamku postaci 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) do postaci 5 x + 5 x 3 + 3. Nazywa się to uproszczeniem.

Główną właściwość można zapisać jako wyrażenia a · m b · m = a b i a b = a · m b · m, gdy a, b, m są wielomianami lub zwykłymi zmiennymi, a b i m muszą być niezerowe.

Obszary zastosowań podstawowej własności ułamka algebraicznego

Zastosowanie głównej właściwości jest istotne w przypadku redukcji ułamka do nowego mianownika lub zmniejszenia ułamka.

Definicja 2

Sprowadzenie do wspólnego mianownika polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez podobny wielomian w celu uzyskania nowego. Powstały ułamek jest równy pierwotnemu.

Oznacza to, że ułamek postaci x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 pomnożony przez x 2 + 1 i sprowadzony do wspólnego mianownika (x + 1) · (x 2 + 1 ) otrzyma postać x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Po wykonaniu operacji na wielomianach stwierdzamy, że ułamek algebraiczny przekształca się na x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Redukcję do wspólnego mianownika przeprowadza się również podczas dodawania lub odejmowania ułamków. Jeśli podane są współczynniki ułamkowe, to najpierw należy dokonać uproszczenia, które uprości wygląd i samo określenie wspólnego mianownika. Na przykład 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Zastosowanie właściwości przy redukcji ułamków odbywa się w 2 etapach: rozkład licznika i mianownika na czynniki w celu znalezienia wspólnego m, a następnie przejście do rodzaju ułamka a b, w oparciu o równość postaci a · m b · m = a b.

Jeżeli ułamek postaci 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 po rozwinięciu przekształcimy na x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, to oczywiste jest, że ogólny mnożnik będzie będzie wielomianem 4 x 2 - y. Wtedy możliwe będzie zmniejszenie ułamka zgodnie z jego główną właściwością. Rozumiemy to

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Ułamek jest uproszczony, wtedy przy zastępowaniu wartości konieczne będzie wiele wykonania mniej akcji niż przy zastąpieniu oryginału.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W matematyce ułamek to liczba składająca się z jednej lub więcej części (ułamków) jednostki. Ze względu na formę zapisu ułamki zwykłe dzielą się na zwykłe (np. \frac(5)(8)) i dziesiętne (np. 123,45).

Definicja. Ułamek zwykły (lub ułamek prosty)

Ułamek zwyczajny (prosty). nazywa się liczbą w postaci \pm\frac(m)(n), gdzie m i n są liczbami naturalnymi. Nazywa się liczbę m licznik ułamka ten ułamek, a liczba n jest jego mianownik.

Pozioma lub ukośnik oznacza znak podziału, czyli \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Ułamki zwykłe dzielą się na dwa typy: właściwe i niewłaściwe.

Definicja. Ułamki właściwe i niewłaściwe

Prawidłowy Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywa się ułamkiem. Na przykład \frac(9)(11) , ponieważ 9

Zło Ułamek, w którym moduł licznika jest większy lub równy modułowi mianownika, nazywa się. Taki ułamek jest liczbą wymierną o module większym lub równym jeden. Przykładem mogą być ułamki \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Oprócz ułamka niewłaściwego istnieje inna reprezentacja liczby, która nazywa się ułamkiem mieszanym (liczba mieszana). To nie jest zwykły ułamek.

Definicja. Ułamek mieszany (liczba mieszana)

Frakcja mieszana jest ułamkiem zapisanym jako liczba całkowita i ułamek właściwy i rozumiany jest jako suma tej liczby i ułamka. Na przykład 2\frac(5)(7)

(zapisane jako liczba mieszana) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (zapisane jako ułamek niewłaściwy)

Ułamek jest po prostu reprezentacją liczby. Ta sama liczba może odpowiadać różnym ułamkom zwykłym i dziesiętnym. Stwórzmy znak równości dwóch ułamków zwykłych.

Definicja. Znak równości ułamków

Dwa ułamki \frac(a)(b) i \frac(c)(d) to równy, jeśli a\cdot d=b\cdot c . Na przykład \frac(2)(3)=\frac(8)(12) ponieważ 2\cdot12=3\cdot8

Z tego atrybutu wynika główna właściwość ułamka.

Nieruchomość. Główna właściwość ułamka

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, otrzymamy ułamek równy podanemu.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Korzystając z podstawowej właściwości ułamka, możesz zamienić dany ułamek na inny ułamek równy podanemu, ale o mniejszym liczniku i mianowniku. To zastąpienie nazywa się redukcją ułamków. Na przykład \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tutaj licznik i mianownik podzielono najpierw przez 2, a potem jeszcze przez 2). Ułamek można skrócić wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik i mianownik nie są wzajemnie liczbami pierwszymi. Jeśli licznik i mianownik danego ułamka są wzajemnie pierwsze, to ułamka nie da się skrócić, np. \frac(3)(4) jest ułamkiem nieredukowalnym.

Zasady dotyczące ułamków dodatnich:

Z dwóch frakcji z tymi samymi mianownikami Ułamek, którego licznik jest większy, jest większy. Na przykład \frac(3)(15)

Z dwóch frakcji z tymi samymi licznikami Większy jest ułamek, którego mianownik jest mniejszy. Na przykład \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Aby porównać dwa ułamki zwykłe o różnych licznikach i mianownikach, należy przeliczyć oba ułamki tak, aby ich mianowniki były takie same. Ta transformacja nazywa się redukcją ułamków do wspólnego mianownika.

Temat ten jest dość ważny; cała dalsza matematyka i algebra opierają się na podstawowych własnościach ułamków. Właściwości rozważanych ułamków, pomimo ich znaczenia, są bardzo proste.

Rozumieć podstawowe własności ułamków Rozważmy okrąg.

Na okręgu widać 4 części lub są zacienione spośród ośmiu możliwych. Zapiszmy powstały ułamek \(\frac(4)(8)\)

W następnym okręgu widać, że jedna z dwóch możliwych części jest zacieniona. Zapiszmy powstały ułamek \(\frac(1)(2)\)

Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy, że w pierwszym przypadku, a w drugim przypadku mamy zacienioną połowę koła, więc powstałe ułamki są równe \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), czyli jest to ta sama liczba.

Jak to udowodnić matematycznie? To bardzo proste, zapamiętaj tabliczkę mnożenia i zapisz pierwszy ułamek na czynniki.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(czerwony) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(czerwony)(1) = \frac(1)(2)\)

Co my zrobiliśmy? Rozłożyliśmy licznik i mianownik \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), a następnie podzieliliśmy ułamki \(\frac(1 ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Cztery podzielone przez cztery daje 1, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę jest samą liczbą. To, co zrobiliśmy w powyższym przykładzie, nazywa się ułamki redukujące.

Spójrzmy na inny przykład i zmniejsz ułamek.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(czerwony) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Ponownie rozłożyliśmy licznik i mianownik i zredukowaliśmy te same liczby do liczników i mianowników. Oznacza to, że dwa podzielone przez dwa daje jeden, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę daje tę samą liczbę.

Główna właściwość ułamka.

Oznacza to główną właściwość ułamka:

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Można także podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę jednocześnie.
Spójrzmy na przykład:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Ułamki, które mają wspólne czynniki pierwsze w licznikach i mianownikach, nazywane są ułamkami zwykłymi frakcje redukowalne.

Przykład ułamka redukowalnego: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Jest również frakcje nieredukowalne.

Ułamek nieredukowalny to ułamek, który nie ma wspólnych czynników pierwszych w licznikach i mianownikach.

Przykład ułamka nieredukowalnego: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Każdą liczbę można wyrazić w postaci ułamka zwykłego, ponieważ każda liczba jest podzielna przez jeden. Na przykład:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Pytania do tematu:
Czy myślisz, że jakikolwiek ułamek można skrócić, czy nie?
Odpowiedź: nie, istnieją ułamki redukowalne i nieredukowalne.

Sprawdź, czy równość jest prawdziwa: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odpowiedź: napisz ułamek \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), tak, uczciwie.

Przykład 1:
a) Znajdź ułamek o mianowniku 15 równym ułamkowi \(\frac(2)(3)\).
b) Znajdź ułamek o liczniku 8, który jest równy temu ułamkowi \(\frac(1)(5)\).

Rozwiązanie:
a) Potrzebujemy liczby 15 w mianowniku. Teraz w mianowniku jest liczba 3. Jaką liczbę musimy pomnożyć przez liczbę 3, aby otrzymać 15? Pamiętajmy o tabliczce mnożenia 3⋅5. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków zwykłych i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(2)(3)\) do 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Potrzebujemy, aby liczba 8 znajdowała się w liczniku. Teraz w liczniku znajduje się liczba 1. Przez jaką liczbę powinniśmy pomnożyć liczbę 1, aby otrzymać 8? Oczywiście 1⋅8. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków zwykłych i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(1)(5)\) do 8. Otrzymujemy:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Przykład nr 2:
Znajdź nieredukowalny ułamek równy ułamkowi: a) \(\frac(16)(36)\), B) \(\frac(10)(25)\).

Rozwiązanie:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

B) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Przykład nr 3:
Zapisz liczbę w postaci ułamka zwykłego: a) 13 b)123

Rozwiązanie:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

B) \(123 = \frac(123) (1)\)

Frakcja- forma reprezentacji liczby w matematyce. Kreska ułamkowa oznacza operację dzielenia. Licznik ułamka ułamek nazywany jest dywidendą, oraz mianownik- rozdzielacz. Na przykład w ułamku licznik wynosi 5, a mianownik wynosi 7.

Prawidłowy Nazywa się ułamek, w którym moduł licznika jest większy niż moduł mianownika. Jeśli ułamek jest właściwy, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie pozostałe ułamki są zło.

Ułamek nazywa się mieszany, jeśli jest zapisana jako liczba całkowita i ułamek. Jest to to samo, co suma tej liczby i ułamka:

Główna właściwość ułamka

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie, czyli np.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka
Pomnóż licznik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego
Zamień mianowniki obu ułamków na ich iloczyn

Operacje na ułamkach

Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, których potrzebujesz

Dodaj nowe liczniki obu ułamków, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Odejmowanie. Aby odjąć jedną ułamek od drugiej, potrzebujesz

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Mnożenie. Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki.

Omówiono szczegółowo główna właściwość ułamka, podano jego sformułowanie, podano dowód i przykład wyjaśniający. Rozważane jest również zastosowanie podstawowej właściwości ułamka przy redukowaniu ułamków i redukowaniu ułamków do nowego mianownika.

Nawigacja strony.

Główna właściwość ułamka - przykłady sformułowań, dowodów i objaśnień

Spójrzmy na przykład ilustrujący podstawową właściwość ułamka. Załóżmy, że mamy kwadrat podzielony na 9 „dużych” kwadratów, a każdy z tych „dużych” kwadratów jest podzielony na 4 „małe” kwadraty. Zatem możemy również powiedzieć, że pierwotny kwadrat jest podzielony na 4 9 = 36 „małych” kwadratów. Pomalujmy 5 „dużych” kwadratów. W tym przypadku zacienionych zostanie 4,5=20 „małych” kwadratów. Oto rysunek odpowiadający naszemu przykładowi.

Zacieniona część to 5/9 pierwotnego kwadratu lub, co jest takie samo, 20/36 pierwotnego kwadratu, to znaczy ułamki 5/9 i 20/36 są równe: lub. Z tych równości, a także z równości 20=5,4, 36=9,4, 20:4=5 i 36:4=9 wynika, że i .

Aby skonsolidować zdemontowany materiał, rozważ rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Licznik i mianownik niektórych ułamek wspólny pomnożono przez 62, po czym licznik i mianownik powstałego ułamka podzielono przez 2. Czy otrzymany ułamek jest równy pierwotnemu?

Rozwiązanie.

Mnożenie licznika i mianownika ułamka przez dowolny Liczba naturalna, w szczególności przy 62, daje ułamek, który ze względu na podstawową właściwość ułamka jest równy pierwotnemu. Główna właściwość ułamka pozwala nam stwierdzić, że po podzieleniu licznika i mianownika powstałego ułamka przez 2 otrzymany ułamek będzie równy ułamkowi pierwotnemu.

Odpowiedź:

Tak, powstały ułamek jest równy pierwotnemu.

Zastosowanie podstawowej własności ułamka

Podstawową właściwość ułamka stosuje się głównie w dwóch przypadkach: po pierwsze, przy redukcji ułamków do nowego mianownika, a po drugie, przy redukcji ułamków.

Główna właściwość ułamka pozwala na redukcję ułamków, a w rezultacie przejście od ułamka pierwotnego do ułamka równego, ale z mniejszym licznikiem i mianownikiem. Skracanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez dowolny dodatni licznik i mianownik inny niż jeden (jeżeli nie ma takich wspólnych dzielników, to ułamek pierwotny jest nieredukowalny, czyli nie można go skrócić). W szczególności dzielenie przez zredukuje pierwotny ułamek do postaci nieredukowalnej.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik dla klasy V. instytucje edukacyjne.
Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i wygląd, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.