Rozwiązywanie układów równań metodą podstawieniową. Metoda podstawienia w rozwiązywaniu układów równań. Jak rozwiązać układ równań metodą podstawienia

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawieniową

Przypomnijmy sobie, czym jest układ równań.

Układ dwóch równań z dwiema zmiennymi to dwa równania zapisane pod sobą i połączone nawiasem klamrowym. Rozwiązanie układu polega na znalezieniu pary liczb, która rozwiąże jednocześnie pierwsze i drugie równanie.

Na tej lekcji zapoznamy się z taką metodą rozwiązywania układów, jak metoda podstawienia.

Spójrzmy na układ równań:

Można rozwiązać ten układ graficznie. W tym celu będziemy musieli skonstruować wykresy każdego z równań w jednym układzie współrzędnych, przekształcając je do postaci:

Następnie znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresów, który będzie rozwiązaniem układu. Ale metoda graficzna nie zawsze jest wygodna, ponieważ różni się niską dokładnością, a nawet niedostępnością. Spróbujmy przyjrzeć się bliżej naszemu systemowi. Teraz wygląda to tak:

Można zauważyć, że lewa strona równań jest równa, co oznacza, że prawa strona też musi być równa. Następnie otrzymujemy równanie:

Jest to znane równanie z jedną zmienną, które możemy rozwiązać. Przesuńmy nieznane terminy na lewą stronę, a znane na prawą, nie zapominając o zmianie znaków + i - podczas przenoszenia. Otrzymujemy:

Podstawmy teraz znalezioną wartość x do dowolnego równania układu i znajdźmy wartość y. W naszym systemie wygodniej jest zastosować drugie równanie y = 3 - x, po podstawieniu otrzymamy y = 2. Przeanalizujmy teraz wykonaną pracę. Po pierwsze, w pierwszym równaniu wyraziliśmy zmienną y za pomocą zmiennej x. Następnie powstałe wyrażenie - 2x + 4 podstawiono do drugiego równania zamiast zmiennej y. Następnie rozwiązaliśmy powstałe równanie z jedną zmienną x i ustaliliśmy jej wartość. Na koniec użyliśmy znalezionej wartości x, aby znaleźć inną zmienną y. Tutaj pojawia się pytanie: czy konieczne było wyrażenie zmiennej y z obu równań na raz? Oczywiście nie. Moglibyśmy wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej tylko w jednym równaniu układu i użyć jej zamiast odpowiedniej zmiennej w drugim. Co więcej, możesz wyrazić dowolną zmienną z dowolnego równania. Tutaj wybór zależy wyłącznie od wygody konta. Matematycy nazwali tę procedurę algorytmem rozwiązywania układów dwóch równań z dwiema zmiennymi metodą podstawienia. Oto jak to wygląda.

1. Wyraź jedną ze zmiennych za pomocą drugiej w jednym z równań układu.

2.Zastąp powstałe wyrażenie zamiast odpowiedniej zmiennej do innego równania układu.

3.Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną.

4.Podstaw znalezioną wartość zmiennej do wyrażenia otrzymanego w kroku pierwszym i znajdź wartość innej zmiennej.

5.Zapisz odpowiedź w postaci pary liczb znalezionych w trzecim i czwartym kroku.

Spójrzmy na inny przykład. Rozwiąż układ równań:

Tutaj wygodniej jest wyrazić zmienną y z pierwszego równania. Otrzymujemy y = 8 - 2x. Otrzymane wyrażenie należy zastąpić y w drugim równaniu. Otrzymujemy:

Zapiszmy to równanie osobno i rozwiążmy je. Najpierw otwórzmy nawiasy. Otrzymujemy równanie 3x - 16 + 4x = 5. Zbierzmy nieznane wyrazy po lewej stronie równania i znane po prawej i przedstawmy wyrazy podobne. Otrzymujemy równanie 7x = 21, stąd x = 3.

Teraz, używając znalezionej wartości x, możesz znaleźć:

Odpowiedź: para liczb (3; 2).

Zatem na tej lekcji nauczyliśmy się rozwiązywać układy równań z dwiema niewiadomymi w analityczny, dokładny sposób, bez uciekania się do wątpliwych metod graficznych.

Lista wykorzystanej literatury:

Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 1, Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego / A.G. Mordkowicz. – wyd. 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007.
Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, część 2, Książka problemów dla instytucji edukacyjnych / [A.G. Mordkovich i inni]; pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007.
JEJ. Tulchinskaya, Algebra 7. klasa. Ankieta Blitz: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących, wydanie 4, poprawione i rozszerzone, Moskwa, Mnemosyne, 2008.
Alexandrova L.A., Algebra 7. klasa. Tematyczne arkusze testowe w nowej formie dla uczniów szkół ogólnokształcących pod redakcją A.G. Mordkovich, Moskwa, „Mnemosyne”, 2011.
Aleksandrowa Los Angeles Algebra w klasie 7. Niezależne prace dla uczniów szkół ogólnokształcących pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie VI, stereotypowe, Moskwa, „Mnemosyne”, 2010.

Zwykle równania układu zapisuje się w kolumnie jedna pod drugą i łączy w nawiasach klamrowych

Układ równań tego typu, gdzie a, b, c- liczby i x, y- wywoływane są zmienne układ równań liniowych.

Podczas rozwiązywania układu równań stosuje się właściwości obowiązujące przy rozwiązywaniu równań.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawieniową

Spójrzmy na przykład

1) Wyraź zmienną w jednym z równań. Wyraźmy na przykład y w pierwszym równaniu otrzymujemy układ:

2) Zamiast tego podstawiamy do drugiego równania układu y wyrażenie 3x-7:

3) Rozwiąż powstałe drugie równanie:

4) Otrzymane rozwiązanie podstawiamy do pierwszego równania układu:

Układ równań ma unikalne rozwiązanie: parę liczb x=1, y=-4. Odpowiedź: (1; -4) , w nawiasie, na pierwszej pozycji wartość X, Na drugim - y.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą dodawania

Rozwiążmy układ równań z poprzedniego przykładu metoda dodawania.

1) Przekształć układ tak, aby współczynniki dla jednej ze zmiennych stały się przeciwne. Pomnóżmy pierwsze równanie układu przez „3”.

2) Dodaj równania układu termin po wyrazie. Przepisujemy drugie równanie układu (dowolne) bez zmian.

3) Otrzymane rozwiązanie podstawiamy do pierwszego równania układu:

Graficzne rozwiązywanie układu równań liniowych

Graficzne rozwiązanie układu równań z dwiema zmiennymi sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów wspólnych wykresów równań.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Dwie linie na płaszczyźnie mogą przecinać się w jednym punkcie, być równoległe lub pokrywać się. Odpowiednio układ równań może: a) mieć unikalne rozwiązanie; b) nie mają rozwiązań; c) mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

2) Rozwiązaniem układu równań jest punkt (jeśli równania są liniowe) przecięcia wykresów.

Graficzne rozwiązanie systemu

Metoda wprowadzania nowych zmiennych

Zmiana zmiennych może prowadzić do rozwiązania prostszego układu równań niż pierwotny.

Rozważ rozwiązanie układu

W takim razie przedstawmy zamiennik

Przejdźmy do zmiennych początkowych

Specjalne przypadki

Nie rozwiązując układu równań liniowych, można określić liczbę jego rozwiązań na podstawie współczynników odpowiednich zmiennych.

1 . PEŁNE IMIĘ I NAZWISKO. nauczyciele: ____Tkachuk Natalya Petrovna _________________________________________________________________________________________________

2. Ćwiczenia: _8 Data: .11.03________Przedmiot_-matematyka, lekcja nr 71 według harmonogramu:

3. Temat lekcji Rozwiązywanie układów przez podstawienie 4 . Miejsce i rola lekcji w studiowanym temacie :. Lekcja utrwalająca wiedzę. Cel lekcji :

Edukacyjne: rozwijanie wiedzy z zakresu rozwiązywania układów równań metodą podstawieniową. Wiedzieć/rozumieć: jeśli wykresy mają punkty wspólne, to układ ma rozwiązania; jeśli wykresy nie mają punktów wspólnych, to układ nie ma rozwiązań; algorytm rozwiązywania układów równań.Być w stanie rozwiązywać układy przez podstawienie Promowanie rozwoju umiejętności stosowania zdobytej wiedzy w niestandardowych (standardowych) warunkachRozwojowy: Promowanie rozwoju umiejętności uczniów w zakresie uogólniania zdobytej wiedzy, przeprowadzania analiz, syntez, porównań i wyciągania niezbędnych wniosków. Promowanie rozwoju umiejętności stosowania zdobytej wiedzy w niestandardowych i standardowych warunkach.Edukacyjny: Promuj rozwój twórczego podejścia do zajęć edukacyjnych

Charakterystyka etapów lekcji

Działalność

studenci

Samostanowienie.

Aktywuj aktywność poznawczą

Rozwiąż system

werbalny

Czołowy

Powitanie studentów. przeprowadzanie. Stworzenie sytuacji gotowości do lekcji, powodzenia na nadchodzącej lekcji.

Sprawdź gotowość do lekcji.

2. Aktualizowanie wiedzy.

Określ jakość i poziom opanowania wiedzy i umiejętności zdobytych na poprzednich lekcjach na ten temat

Dowiedz się, czy para liczb jest rozwiązaniem układu. x=5 y=9

Jakie operacje można wykonać na równaniach?

(pomnóż obie strony równania przez tę samą liczbę, podziel przez liczbę różną od zera....)

Praca grupowa

Czołowy. Guppovaya - analiza algorytmów rozwiązywania problemów;

W razie potrzeby zadaje pytania naprowadzające.

Odpowiadają na zadawane pytania.

3. Sformułowanie zadania edukacyjnego, cele lekcji.

Tworzenie

i rozwój umiejętności

zdefiniować i sformułować

problem, cel i temat

do studiowania linii

Jak rozwiązać układ równań metodą dodawania, podstawienia.

Którą metodę należy zastosować podczas rozwiązywania. ten system?

Praca grupowa.

Indywidualny.

Czołowy.

Jakie kroki podjęliśmy, aby poznać cenę zakupu?

Jaki temat będziemy studiować?

Wypowiadają się.

4. Etap aktualizacji wiedzy na dany temat

Promowanie rozwoju umiejętności rozróżniania i porównywania linii. Zapewnij warunki do rozwoju umiejętności wyrażania myśli w sposób kompetentny, jasny i dokładny.

№ 621

Znajdź względne położenie linii

2x+0,5y= 1,2 i x- 4y=0

Czy można określić, czy proste przecinają się, czy nie, na podstawie ich współczynników?

2. tworzyć równania prostych do siebie równoległych.

Praca z uczniem

Pracuj w parach z autotestem

Frontalny, indywidualny. warsztat rozwiązywania problemów

W razie potrzeby zadaje pytania naprowadzające. Rysuje podobieństwa z wcześniej przestudiowanym materiałem.

Zapewnia motywację do wykonania zaproponowanych zadań.

Prowadzi uczniów do wniosku o istnieniu formuł.

Rozwiązuj problemy, w razie potrzeby odpowiadaj na pytania nauczyciela. Ćwiczenie wykonaj w zeszycie.

Na zmianę komentuj, analizuj, identyfikuj przyczyny i rozwiązania.

5. Pracuj samodzielnie

zastosowanie zdobytej wiedzy. Aktualizowanie wiedzy i umiejętności w rozwiązywaniu problemów.

Kształcenie i rozwój umiejętności czytania liczb Planowanie działań w celu rozwiązania danego zadania, monitorowanie uzyskanego wyniku, korygowanie uzyskanego wyniku, samoregulacja

1 var –

2 wari

Niezależna praca. Sprawdzanie sąsiada.

"burza mózgów",

Monitoruje wykonanie pracy.

Zapewnia: indywidualną kontrolę; kontrola selektywna.

Zachęca do wyrażenia swojej opinii.

Rozwiązywać problemy. Przeprowadzić: samoocenę, wzajemną weryfikację; przedstawić wstępną ocenę.

6. Ocena lekcji, samoocena.

Kształtowanie i rozwijanie umiejętności analizowania i rozumienia swoich osiągnięć.

Umiejętność określenia poziomu opanowania materiału edukacyjnego.

Ocena wyników pośrednich i samoregulacja w celu zwiększenia motywacji do działań edukacyjnych

Ocena na każdym etapie

1. Czy potrafisz wykreślić równania liniowe?

2. Czy potrafisz określić, czy się przecinają, czy nie?

3. Czy znasz algorytm rozwiązywania układów równań?

4. jakie znasz metody rozwiązywania układów równań?

Praca grupowa.

Grupowe i indywidualne...

Zachęca do wyrażenia swojej opinii.

Przeprowadź: samoocenę i ocenę znajomego.

7. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.

Umiejętność korelowania celów i wyników własnych działań. Utrzymywanie zdrowego ducha rywalizacji w celu utrzymania motywacji do działań edukacyjnych; udział w zbiorowej dyskusji nad problemami.

s. 4.4 nr 623

Praca grupowa.

Frontal - Identyfikacja i sformułowanie celu poznawczego, refleksja nad sposobami i warunkami działania

Analiza i synteza obiektów

Zachęca do wyrażenia swojej opinii.

Daje uwagi na temat prac domowych; zadanie polegające na wyszukiwaniu cech w tekście...

Dzieci uczestniczą w dyskusji, analizują, rozmawiają. Zastanów się i zapisz swoje osiągnięcia.

Dziś na zajęciach dowiedziałam się...

W takim przypadku wygodnie jest wyrazić x w postaci y z drugiego równania układu i zastąpić otrzymane wyrażenie zamiast x w pierwszym równaniu:

Pierwsze równanie jest równaniem z jedną zmienną y. Rozwiążmy to:

5(7-3 lata)-2 lata = -16

Podstawiamy otrzymaną wartość y do wyrażenia x:

Odpowiedź: (-2; 3).

W tym systemie łatwiej jest wyrazić y w postaci x z pierwszego równania i zastąpić powstałe wyrażenie zamiast y w drugim równaniu:

Drugie równanie jest równaniem z jedną zmienną x. Rozwiążmy to:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

W wyrażeniu na y zamiast x podstawiamy x=1 i znajdujemy y:

Odpowiedź: (1; -5).

Tutaj wygodniej jest wyrazić y w postaci x z drugiego równania (ponieważ dzielenie przez 10 jest łatwiejsze niż dzielenie przez 4, -9 lub 3):

Rozwiążmy pierwsze równanie:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Podstaw x=2 i znajdź y:

Odpowiedź: (2; 1).

Przed zastosowaniem metody substytucyjnej należy uprościć ten system. Obie strony pierwszego równania można pomnożyć przez najniższy wspólny mianownik, w drugim równaniu otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne wyrażenia:

Otrzymaliśmy układ równań liniowych z dwiema zmiennymi. Teraz zastosujmy podstawienie. Wygodnie jest wyrazić a do b z drugiego równania:

Rozwiązujemy pierwsze równanie układu:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Pozostaje znaleźć wartość a:

Zgodnie z zasadami formatowania odpowiedź piszemy w nawiasach oddzielonych średnikiem w kolejności alfabetycznej.

Odpowiedź: (14; -3).

Wyrażając jedną zmienną za pomocą drugiej, czasami wygodniej jest pozostawić ją z określonym współczynnikiem.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwa lub więcej równań liniowych, dla których należy znaleźć wszystkie ich wspólne rozwiązania. Rozważymy układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ogólny widok układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiono na poniższym rysunku:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Tutaj x i y są nieznanymi zmiennymi, a1, a2, b1, b2, c1, c2 to liczby rzeczywiste. Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x,y) taka, że jeśli podstawimy te liczby do równań układu, to każde z równań układu zamieni się w prawdziwą równość. Rozważ jeden ze sposobów rozwiązania układu równań liniowych, a mianowicie metodę podstawienia.

Algorytm rozwiązania metodą podstawieniową

Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych metodą podstawieniową:

1. Wybierz jedno równanie (lepiej wybrać to, w którym liczby są mniejsze) i wyraź z niego jedną zmienną w kategoriach drugiej, np. x w kategoriach y. (możesz także użyć od y do x).

2. Zastąp wynikowe wyrażenie zamiast odpowiedniej zmiennej innym równaniem. W ten sposób otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą.

3. Rozwiąż powstałe równanie liniowe i uzyskaj rozwiązanie.

4. Podstawiamy otrzymane rozwiązanie do wyrażenia uzyskanego w pierwszym akapicie i uzyskujemy drugą niewiadomą z rozwiązania.

5. Sprawdź powstałe rozwiązanie.

Przykład

Aby było to bardziej jasne, rozwiążmy mały przykład.

Przykład 1. Rozwiąż układ równań:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Rozwiązanie:

1. Z pierwszego równania tego układu wyrażamy zmienną x. Mamy x= (12 -2*y);

2. Podstaw to wyrażenie do drugiego równania, otrzymamy 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4 lata - 3*y = -18;

3. Rozwiąż otrzymane równanie liniowe: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Zastąp uzyskany wynik wyrażeniem uzyskanym w pierwszym akapicie. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Sprawdzamy otrzymane rozwiązanie, w tym celu podstawiamy znalezione liczby do pierwotnego układu.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Otrzymaliśmy prawidłowe równości, dlatego znaleźliśmy rozwiązanie poprawnie.