Trygonometria dla początkujących. Trygonometria jest prosta i przejrzysta

W tej lekcji poznamy definicje funkcje trygonometryczne i ich główne własności, naucz się pracować z koło trygonometryczne, dowiedz się, co to jest okres funkcji i pamiętaj o różnych sposoby mierzenia kątów. Ponadto spójrzmy na używanie formuły redukcyjne.

Ta lekcja pomoże ci przygotować się do jednego z rodzajów zadań. W 7.

Przygotowanie do egzaminu z matematyki

Eksperyment

Lekcja 7Wprowadzenie do trygonometrii.

Teoria

Podsumowanie lekcji

Dziś zaczynamy dział, który dla wielu ma przerażającą nazwę, „Trygonometria”. Przekonajmy się od razu, że nie jest to osobny obiekt, podobny z nazwy do geometrii, jak sądzą niektórzy. Chociaż przetłumaczone z greckiego słowo „trygonometria” oznacza „pomiar trójkątów” i jest bezpośrednio związane z geometrią. Ponadto obliczenia trygonometryczne są szeroko stosowane w fizyce i technice. Ale zaczniemy od ciebie dokładnie od rozważenia, w jaki sposób podstawowe funkcje trygonometryczne są wprowadzane w geometrii za pomocą trójkąta prostokątnego.

Właśnie użyliśmy terminu "funkcja trygonometryczna" - oznacza to, że wprowadzimy całą klasę pewnych praw zgodności jednej zmiennej z drugą.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny, w którym dla wygody zastosowano standardowe oznaczenia boków i kątów, co widać na rysunku:

Rozważmy na przykład kąti wprowadź dla niego następujące akcje:

Stosunek przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej nazywany jest sinusem, tj.

Stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej nazywany jest cosinusem, tj. ;

Stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej nogi nazywa się styczną, tj. ;

Stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej nogi będzie nazywany kotangensem, tj. .

Wszystkie te działania pod kątem są nazywane funkcje trygonometryczne. Sam kąt w tym samym czasie jest zwykle nazywany argument funkcji trygonometrycznej i może być oznaczony na przykład przez x, jak to jest w zwyczaju w algebrze.

Ważne jest, aby od razu zrozumieć, że funkcje trygonometryczne zależą dokładnie od kąta w trójkąt prostokątny, a nie z jego boków. Łatwo to udowodnić, jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt podobny do tego, w którym długości boków będą różne, a wszystkie kąty i proporcje boków nie zmienią się, tj. funkcje trygonometryczne kątów również pozostaną niezmienione.

Po takim zdefiniowaniu funkcji trygonometrycznych może powstać pytanie: „Czy istnieje na przykład? W końcu rógnie może być w trójkącie prostokątnym» . Co dziwne, odpowiedź na to pytanie brzmi tak, a wartością tego wyrażenia jest , co jest tym bardziej zaskakujące, że wszystkie funkcje trygonometryczne są stosunkiem boków trójkąta prostokątnego, a długości boków są liczbami dodatnimi.

Ale nie ma w tym paradoksu. Faktem jest, że na przykład w fizyce przy opisywaniu niektórych procesów konieczne jest stosowanie funkcji trygonometrycznych kątów nie tylko dużych, ale także dużych i równych. W tym celu należy wprowadzić bardziej uogólnioną zasadę obliczania funkcji trygonometrycznych za pomocą tzw „jednostkowe koło trygonometryczne”.

Jest to okrąg o promieniu jednostkowym narysowanym tak, że jego środek znajduje się na początku płaszczyzny kartezjańskiej.

Aby zobrazować kąty w tym kole, konieczne jest uzgodnienie, gdzie je umieścić. Przyjmuje się, że wiązka kąta odniesienia przyjmuje dodatni kierunek osi odciętej, tj. oś x. Za kierunek osadzania narożników uważa się kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Na podstawie tych umów najpierw odłożyliśmy na bok ostry kąt. Właśnie dla takich kątów ostrych wiemy już, jak obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Okazuje się, że za pomocą przedstawionego koła można również obliczyć funkcje trygonometryczne, tylko wygodniej.

Wartości sinusa i cosinusa kąta ostrego są współrzędnymi punktu przecięcia boku tego kąta z jednostkowym okręgiem:

Można to napisać w tej formie:

Opierając się na fakcie, że współrzędne na odciętej pokazują wartość cosinusa, a współrzędne na rzędnej wartości sinusa kąta, wygodnie jest zmienić nazwy osi w układzie współrzędnych za pomocą okręgu jednostkowego, jak widać na rysunku:

Oś odciętych zmieniono na oś cosinus, a oś rzędnych na oś sinus.

Wskazana reguła wyznaczania sinusa i cosinusa jest uogólniona zarówno na kąty rozwarte, jak i na kąty od do. W tym przypadku sinusy i cosinusy mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Różnorodny znaki wartości tych funkcji trygonometrycznych w zależności od tego, na którą ćwiartkę przypada rozważany kąt, zwyczajowo przedstawia się go w następujący sposób:

Jak widać, znaki funkcji trygonometrycznych są określone przez dodatnie i ujemne kierunki ich odpowiednich osi.

Dodatkowo warto zwrócić uwagę na fakt, że skoro największa współrzędna punktu na koło jednostkowe a wzdłuż odciętej i wzdłuż rzędnej równa się jeden, a najmniejszy minus jeden, to wartości sinus i cosinus ograniczone do tych numerów:

Te zapisy są zwykle zapisywane w tej formie:

W celu wprowadzenia funkcji stycznej i kostycznej na okręgu trygonometrycznym należy przedstawić dodatkowe elementy: styczną do okręgu w punkcie A - z niego wyznacza się wartość stycznej kąta, a styczną do przy punkt B - z niego określa się wartość cotangensa kąta.

Jednak nie będziemy zagłębiać się w definicję stycznych i cotangensów po okręgu trygonometrycznym, ponieważ. można je łatwo obliczyć, znając wartości sinusa i cosinusa danego kąta, co już wiemy jak to zrobić. Jeśli chcesz nauczyć się obliczania tangensa i cotangensa w okręgu trygonometrycznym, powtórz program kursu algebry z 10 klasy.

Określ tylko obraz na kole znaki stycznych i cotangensów w zależności od kąta:

Zauważ, że podobnie jak w przypadku zakresów wartości sinus i cosinus, możesz określić zakresy wartości tangens i cotangens. W oparciu o ich definicję na okręgu trygonometrycznym, wartości tych funkcji nie są ograniczone:

Co jeszcze można napisać w ten sposób:

Oprócz kątów w zakresie od do okrąg trygonometryczny pozwala na pracę z kątami większymi, a nawet z kątami ujemnymi. Takie wartości kątów, choć wydają się bez znaczenia dla geometrii, są używane do opisu niektórych procesów fizycznych. Na przykład, jak odpowiedziałbyś na pytanie: Pod jakim kątem obróci się wskazówka zegara w ciągu dnia? W tym czasie ukończy dwa pełny obrót i za jednym obrotem minie, czyli za dzień zwróci się do . Jak widać, takie wartości mają dość praktyczne znaczenie. Znaki kątów służą do wskazania kierunku obrotu - jeden z kierunków jest mierzony kątami dodatnimi, a drugi ujemnymi. Jak można to uwzględnić w okręgu trygonometrycznym?

Na kole o takich kątach działają w następujący sposób:

1) Kąty większe niż , są wykreślane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z przekroczeniem punktu odniesienia tyle razy, ile jest to konieczne. Na przykład, aby zbudować kąt, musisz przejść przez dwa pełne obroty i więcej. Dla pozycji końcowej i wszystkich funkcji trygonometrycznych są obliczane. Łatwo zauważyć, że wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych for i for będą takie same.

2) Kąty ujemne są wykreślane dokładnie według tej samej zasady, co kąty dodatnie, tylko zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Już dzięki metodzie konstruowania dużych kątów można stwierdzić, że wartości sinusów i cosinusów kątów różniących się o są takie same. Jeśli przeanalizujemy wartości tangensów i cotangensów, to będą one takie same dla kątów różniących się o .

Takie minimalne liczby niezerowe, po dodaniu do argumentu, wartość funkcji nie zmienia się, nazywa się Kropka tę funkcję.

W ten sposób, Kropkasinus i cosinus to, a tangens i cotangens. A to oznacza, że bez względu na to, ile dodasz lub odejmiesz te okresy od rozważanych kątów, wartości funkcji trygonometrycznych się nie zmienią.

Na przykład, , itd.

Później powrócimy do bardziej szczegółowego wyjaśnienia i zastosowania tej własności funkcji trygonometrycznych.

Pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu istnieją pewne zależności, które są bardzo często używane i nazywają się podstawowe tożsamości trygonometryczne.

Wyglądają tak:

1) , tak zwana „jednostka trygonometryczna”

Zauważ, że na przykład notacja oznacza, że cała funkcja trygonometryczna jest podniesiona do kwadratu. Tych. może być reprezentowana w tej formie: . Ważne jest, aby zrozumieć, że nie jest to równe takiemu zapisowi, ponieważ w tym przypadku do kwadratu jest tylko argument, a nie cała funkcja, ponadto wyrażenia tego rodzaju są niezwykle rzadkie.

Istnieją dwa bardzo przydatne następstwa pierwszej tożsamości, które mogą być przydatne w rozwiązywaniu wielu rodzajów problemów. Po prostych przekształceniach możesz wyrazić sinus przez cosinus tego samego kąta i na odwrót:

Dwa możliwe znaki wyrażeń pojawiają się, ponieważ wyciągnięcie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego daje tylko wartości nieujemne, a sinus i cosinus, jak już widzieliśmy, mogą mieć również wartości ujemne. Co więcej, znaki tych funkcji najwygodniej określa się dokładnie za pomocą koła trygonometrycznego, w zależności od tego, jakie kąty są w nich obecne.

Pamiętajmy teraz, że pomiaru kątów można dokonać na dwa sposoby: w stopniach iw radianach. Wskażmy definicje jednego stopnia i jednego radiana.

jeden stopień- jest to kąt utworzony przez dwa promienie, które tworzą łuk równy okręgowi.

Jeden radian- jest to kąt utworzony przez dwa promienie, które są skrócone o łuk o długości równej promieniom.

Tych. są to tylko dwa różne sposoby mierzenia kątów, które są absolutnie równe. W opisie procesów fizycznych charakteryzujących się funkcjami trygonometrycznymi zwyczajowo posługujemy się radianową miarą kątów, więc też będziemy musieli się do niej przyzwyczaić.

Zwyczajowo mierzy się kąty w radianach w ułamkach liczby „pi”, na przykład lub. W takim przypadku można podstawić wartość liczby „pi”, która wynosi 3,14, ale rzadko się to robi.

Aby przekonwertować miarę kątów w stopniach na radiany wykorzystaj fakt, że kąt , z którego łatwo uzyskać ogólną formułę tłumaczenia:

Na przykład przekonwertujmy na radiany: .

Jest też przeciwieństwo formułakonwersja z radianów na stopnie:

Na przykład przekonwertujmy na stopnie: .

W tym temacie będziemy dość często używać radianowej miary kąta.

Teraz nadszedł czas, aby przypomnieć sobie, jakie konkretne wartości mogą dawać funkcje trygonometryczne pod różnymi kątami. Dla niektórych kątów, które są wielokrotnościami , istnieje tabela wartości funkcji trygonometrycznych. Dla wygody kąty podano w stopniach i radianach.

Te kąty są często spotykane w wielu problemach i pożądane jest, aby móc pewnie nawigować w tej tabeli. Wartości tangensa i cotangensa niektórych kątów nie mają sensu, co w tabeli zaznaczono myślnikami. Zastanów się, dlaczego tak jest, lub przeczytaj bardziej szczegółowo we wkładce do lekcji.

Ostatnią rzeczą, którą musimy znać podczas naszej pierwszej lekcji trygonometrii, jest: przekształcenie funkcji trygonometrycznych według tzw. formuł redukcyjnych.

Okazuje się, że jest pewien rodzaj wyrażenia dla funkcji trygonometrycznych, co jest dość powszechne i wygodnie uproszczone. Na przykład są to takie wyrażenia: itp.

Tych. porozmawiamy o funkcjach, które mają dowolny kąt jako argument, zamieniony na całą lub połowę części. Takie funkcje są uproszczone do argumentu, który jest równy dowolnemu kątowi dodawania lub odejmowania części. Na przykład, , a . Jak widać, wynikiem może stać się funkcja przeciwna, a funkcja może zmienić znak.

Dlatego zasady przekształcania takich funkcji można podzielić na dwa etapy. Najpierw należy określić, jaką funkcję uzyskamy po przekształceniu:

1) Jeśli dowolny argument zostanie zmieniony na liczbę całkowitą, funkcja się nie zmieni. Dotyczy to funkcji typu, gdzie dowolna liczba całkowita;

- -
Zwykle, gdy chcą przestraszyć kogoś straszną matematyką, jako przykład podaje się różne sinusy i cosinusy, jako coś bardzo złożonego i paskudnego. Ale w rzeczywistości jest to piękna i interesująca sekcja, którą można zrozumieć i rozwiązać.
Temat zaczyna się rozgrywać w 9 klasie i za pierwszym razem nie zawsze wszystko jest jasne, jest wiele subtelności i sztuczek. Próbowałem coś powiedzieć na ten temat.

Wprowadzenie do świata trygonometrii:
Zanim rzucisz się do formuł, musisz zrozumieć z geometrii, czym jest sinus, cosinus itp.
Sinus kąta- stosunek strony przeciwnej (kątowej) do przeciwprostokątnej.
Cosinus to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.
Tangens- strona przeciwna w sąsiedniej stronie
Cotangens- przylega do przeciwnej.

Rozważmy teraz okrąg o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie współrzędnych i zaznaczmy na nim jakiś kąt alfa: (obrazki są klikalne, przynajmniej niektóre z nich)
-
-
Cienkie czerwone linie to prostopadła od punktu przecięcia okręgu oraz kąt prosty na osiach x i y. Czerwone x i y są wartościami współrzędnych x i y na osiach (szare x i y służą tylko do wskazania, że są to osie współrzędnych, a nie tylko linie).
Należy zauważyć, że kąty są liczone od dodatniego kierunku osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Znajdujemy dla niego sinus, cosinus i tak dalej.
sin a: przeciwna strona to y, przeciwprostokątna to 1.
grzech a = y / 1 = y
Aby było całkowicie jasne, skąd wziąłem y i 1, dla jasności ułóżmy litery i rozważmy trójkąty.
- -
AF = AE = 1 - promień okręgu.
Dlatego AB = 1, jako promień. AB to przeciwprostokątna.
BD = CA = y - jako wartość oh.
AD \u003d CB \u003d x - jako wartość oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Dalsze cosinus:
cos a: sąsiednia strona - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Dedukujemy również styczna i cotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Już nagle wyprowadziliśmy formułę tangens i cotangens.

Cóż, spójrzmy, jak to jest rozwiązane pod określonymi kątami.
Na przykład a = 45 stopni.
Otrzymujemy trójkąt prostokątny o jednym kącie 45 stopni. Od razu wiadomo, że jest to trójkąt o różnych bokach, ale i tak go podpiszę.
Znajdź trzeci róg trójkąta (pierwszy 90, drugi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Jeśli dwa kąty są równe, to boki są równe, jak to brzmiało.
Okazuje się więc, że jeśli dodamy dwa takie trójkąty jeden na drugim, otrzymamy kwadrat o przekątnej równej promieniowi \u003d 1. Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że przekątna kwadratu o boku a jest równa do korzeni dwóch.
Teraz myślimy. Jeśli 1 (przeciwprostokątna czyli przekątna) jest równa boku kwadratu razy pierwiastek kwadratowy z 2, to bok kwadratu musi być równy 1/sqrt(2), a jeśli pomnożymy licznik i mianownik tego ułamka przez pierwiastek 2 otrzymujemy sqrt(2)/2 . A ponieważ trójkąt jest równoramienny, to AD = AC => x = y
Znajdowanie naszych funkcji trygonometrycznych:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Z resztą kątów musisz pracować w ten sam sposób. Tylko trójkąty nie będą równoramienne, ale boki są równie łatwe do znalezienia za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
W ten sposób otrzymujemy tabelę wartości funkcji trygonometrycznych pod różnymi kątami:
-
-
Co więcej, ten stół jest oszukańczy i bardzo wygodny.
Jak zrobić to samemu bez żadnych kłopotów: rysujesz taką tabelę i zapisujesz liczby 1 2 3 w komórkach.
-
-
Teraz z tych 1 2 3 wyciągasz korzeń i dzielisz przez 2. Okazuje się to tak:
-
-
Teraz przekreślamy sinus i zapisujemy cosinus. Jego wartości to lustrzany sinus:
-
-
Równie łatwo jest wyprowadzić tangens - należy podzielić wartość sinusa przez wartość cosinusa:
-
-
Wartość cotangensa to odwrócona wartość tangensa. W rezultacie otrzymujemy coś takiego:
- -

Notatka na przykład, że styczna nie istnieje w P/2. Pomyśl dlaczego. (Nie możesz dzielić przez zero.)

O czym tutaj pamiętać: sinus to wartość y, cosinus to wartość x. Tangens to stosunek y do x, a cotangens jest odwrotnie. tak więc, aby określić wartości sinusów / cosinusów, wystarczy narysować tabliczkę, którą opisałem powyżej i okrąg z osiami współrzędnych (wygodnie jest spojrzeć na wartości kąty 0, 90, 180, 360).
- -

Cóż, mam nadzieję, że możesz powiedzieć mieszkanie:
- -
Znak jego sinusa, cosinusa itp. zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt. Chociaż absolutnie prymitywne logiczne myślenie doprowadzi cię do prawidłowej odpowiedzi, jeśli weźmiesz pod uwagę, że x jest ujemne w drugim i trzecim kwartale, a y jest ujemne w trzecim i czwartym. Nic strasznego ani przerażającego.

Myślę, że nie byłoby zbytecznie wspominać formuły redukcyjne ala duchy, jak każdy słyszy, w których jest ziarno prawdy. Nie ma formuł jako takich na bezużyteczność. Samo znaczenie całej tej akcji: Z łatwością odnajdujemy wartości kątów tylko dla pierwszej ćwiartki (30 stopni, 45, 60). Funkcje trygonometryczne są okresowe, więc możemy przeciągnąć dowolny duży kąt do pierwszej ćwiartki. Wtedy od razu odkryjemy jego znaczenie. Ale samo przeciąganie nie wystarczy - trzeba pamiętać o znaku. Od tego są formuły castingowe.
Mamy więc duży kąt, a raczej więcej niż 90 stopni: a \u003d 120. I musisz znaleźć jego sinus i cosinus. Aby to zrobić, rozkładamy 120 na takie kąty, z którymi możemy pracować:
grzech a = grzech 120 = grzech (90 + 30)
Widzimy, że ten kąt leży w drugiej ćwiartce, sinus jest tam dodatni, dlatego znak + przed sinusem jest zachowany.
Aby pozbyć się 90 stopni, zmieniamy sinus na cosinus. Oto zasada do zapamiętania:
grzech (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
I możesz to sobie wyobrazić w inny sposób:
grzech 120 = grzech (180 - 60)
Aby pozbyć się 180 stopni nie zmieniamy funkcji.
grzech (180 - 60) = grzech 60 = sqrt(3) / 2
Otrzymaliśmy tę samą wartość, więc wszystko się zgadza. Teraz cosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, więc wstawiamy znak minus. I zmieniamy funkcję na przeciwną, ponieważ musimy usunąć 90 stopni.
cos (90 + 30) = - grzech 30 = - 1 / 2
Lub:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Co musisz wiedzieć, umieć zrobić i zrobić, aby przetłumaczyć rogi w pierwszym kwartale:
- rozłożyć kąt na strawne terminy;
- wziąć pod uwagę, w której ćwiartce znajduje się kąt i umieścić odpowiedni znak, jeśli funkcja w tej ćwiartce jest ujemna lub dodatnia;
-pozbądź się nadmiaru
*jeśli chcesz pozbyć się 90, 270, 450 i pozostałych 90+180n, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, to funkcja jest odwrócona (sinus na cosinus, tangens na cotangens i odwrotnie);
*jeśli chcesz pozbyć się 180 i pozostałych 180+180n, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, to funkcja się nie zmienia. (Jest tu jedna cecha, ale trudno to wytłumaczyć słowami, no dobrze).
To wszystko. Nie uważam za konieczne zapamiętywania samych formuł, kiedy można zapamiętać kilka zasad i łatwo z nich korzystać. Nawiasem mówiąc, te formuły są bardzo łatwe do udowodnienia:
-
-
I tworzą nieporęczne stoły, to wiemy:
-
-

Podstawowe równania trygonometrii: muszą być bardzo, bardzo dobrze znani na pamięć.
Podstawowa tożsamość trygonometryczna(równość):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Jeśli mi nie wierzysz, sprawdź sam i przekonaj się sam. Zastąp wartości różnych kątów.
Ta formuła jest bardzo, bardzo przydatna, zawsze o tym pamiętaj. dzięki niemu możesz wyrazić sinus przez cosinus i odwrotnie, co czasami jest bardzo przydatne. Ale, jak w przypadku każdej innej formuły, musisz być w stanie sobie z tym poradzić. Zawsze pamiętaj, że znak funkcji trygonometrycznej zależy od ćwiartki, w której znajduje się kąt. Dlatego podczas wyciągania korzenia musisz znać ćwiartkę.

Tangens i cotangens: formuły te wyprowadziliśmy już na samym początku.
tg a = grzech a / cos a
ctg a = cos a / grzech a

Iloczyn tangensa i cotangensa:
tg a * ctg a = 1
Dlatego:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - ułamki anulują się.

Jak widać, wszystkie formuły to gra i kombinacja.
Oto dwa kolejne, otrzymane z dzielenia przez cosinus kwadrat i sinus z pierwszego wzoru:
-
-
Należy pamiętać, że dwie ostatnie formuły mogą być używane z ograniczeniem wartości kąta a, ponieważ nie można dzielić przez zero.

Formuły dodawania: są udowodnione za pomocą algebry wektorowej.
- -
Używane są rzadko, ale trafnie. Na skanie znajdują się formuły, ale może on być nieczytelny lub postać cyfrowa jest łatwiejsza do zauważenia:
- -

Wzory podwójnego kąta:
Uzyskuje się je na podstawie wzorów dodawania, na przykład: cosinus podwójnego kąta to cos 2a = cos (a + a) - czy coś Ci to przypomina? Po prostu zastąpili wersję beta wersją alfa.
- -
Dwa poniższe wzory pochodzą z pierwszego podstawienia sin^2(a) = 1 - cos^2(a) i cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Z sinusem podwójnego kąta jest prostszy i jest używany znacznie częściej:
- -
A specjalni zboczeńcy mogą wyprowadzić tangens i cotangens podwójnego kąta, biorąc pod uwagę, że tg a \u003d sin a / cos a i tak dalej.
-
-

Dla powyższych osób Formuły potrójnego kąta: są one wyprowadzane przez dodanie kątów 2a i a, ponieważ znamy już wzory na kąt podwójny.
-
-

Wzory na pół kąta:
- -
Nie wiem, jak się je wyprowadza, a raczej jak to wyjaśnić… Jeśli napiszesz te formuły, zastępując podstawową tożsamość trygonometryczną przez a/2, to odpowiedź będzie zbieżna.

Wzory dodawania i odejmowania funkcji trygonometrycznych:
-
-
Uzyskuje się je z formuł dodatków, ale nikogo to nie obchodzi. Spotykaj się rzadko.

Jak rozumiesz, wciąż jest mnóstwo formuł, których lista jest po prostu bezsensowna, ponieważ nie będę w stanie napisać o nich czegoś adekwatnego, a suche formuły można znaleźć wszędzie i są one grą z poprzednimi istniejącymi formułami . Wszystko jest strasznie logiczne i dokładne. Po prostu powiem ci ostatni o metodzie kąta pomocniczego:
Przekształcenie wyrażenia a cosx + b sinx na postać Acos(x+) lub Asin(x+) nazywamy metodą wprowadzania kąta pomocniczego (lub dodatkowego argumentu). Metoda jest stosowana przy rozwiązywaniu równania trygonometryczne, przy szacowaniu wartości funkcji, w problemach ekstremów, a co ważne, niektórych problemów nie da się rozwiązać bez wprowadzenia kąta pomocniczego.
Jak Ty nie próbowałem wyjaśniać tej metody, nic z tego nie wyszło, więc musisz to zrobić sam:
-
-
To przerażające, ale przydatne. Jeśli rozwiązujesz problemy, powinno działać.
Stąd na przykład: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Dalej na kursie są wykresy funkcji trygonometrycznych. Ale wystarczy jedna lekcja. Biorąc pod uwagę, że uczy się tego w szkole przez sześć miesięcy.

Napisz swoje pytania, rozwiąż problemy, poproś o skany niektórych zadań, rozwiąż to, wypróbuj.
Zawsze twój, Dan Faraday.

W tej lekcji porozmawiamy o tym, jak powstaje potrzeba wprowadzenia funkcji trygonometrycznych i dlaczego są one badane, co musisz zrozumieć w tym temacie i gdzie wystarczy wypełnić rękę (co jest techniką). Zauważ, że technika i zrozumienie to dwie różne rzeczy. Zgadzam się, jest różnica: nauczyć się jeździć na rowerze, to znaczy zrozumieć, jak to zrobić, lub zostać zawodowym rowerzystą. Porozmawiamy o zrozumieniu, o tym, dlaczego potrzebujemy funkcji trygonometrycznych.

Istnieją cztery funkcje trygonometryczne, ale wszystkie można wyrazić za pomocą tożsamości (łączących je równości).

Formalne definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkątach prostokątnych (rys. 1).

Zatoka Ostry kąt trójkąta prostokątnego nazywa się stosunkiem przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

cosinus Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywa się stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

tangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywany jest stosunkiem nogi przeciwnej do nogi sąsiedniej.

Cotangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

Ryż. 1. Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Te definicje są formalne. Bardziej poprawne jest stwierdzenie, że istnieje tylko jedna funkcja, na przykład sinus. Gdyby nie były tak potrzebne (niezbyt często stosowane) w technice, nie wprowadzono by tylu różnych funkcji trygonometrycznych.

Na przykład cosinus kąta jest równy sinusowi tego samego kąta z dodatkiem (). Ponadto cosinus kąta można zawsze wyrazić w postaci sinusa tego samego kąta, aż do znaku, używając podstawowej tożsamości trygonometrycznej (). Tangens kąta to stosunek sinusa do cosinusa lub odwróconego cotangensa (ryc. 2). Niektórzy w ogóle nie używają cotangensa, zastępując go . Dlatego ważne jest, aby zrozumieć i móc pracować z jedną funkcją trygonometryczną.

Ryż. 2. Połączenie różnych funkcji trygonometrycznych

Ale dlaczego w ogóle potrzebujesz takich funkcji? Do jakich praktycznych problemów są wykorzystywane? Spójrzmy na kilka przykładów.

Dwoje ludzi ( ALE oraz W) wypchnąć samochód z kałuży (rys. 3). Człowiek W może popchnąć samochód na boki, ale raczej nie pomoże ALE. Z drugiej strony kierunek jego wysiłków może się stopniowo zmieniać (ryc. 4).

Ryż. 3. W pcha samochód na bok

Ryż. cztery. W zaczyna zmieniać kierunek

Oczywiste jest, że ich wysiłki będą najskuteczniejsze, gdy pchają samochód w jednym kierunku (rys. 5).

Ryż. 5. Najskuteczniejszy wspólny kierunek działań

Ile W pomaga pchać maszynę, o ile kierunek jej siły jest zbliżony do kierunku siły, z którą działa ALE, jest funkcją kąta i wyraża się w postaci cosinusa (rys. 6).

Ryż. 6. Cosinus jako cecha skuteczności wysiłków W

Jeśli pomnożymy wielkość siły z jaką W, na cosinus kąta otrzymujemy rzut jego siły na kierunek siły, z którą działa ALE. Im bliższy kąt między kierunkami sił do , tym skuteczniejszy będzie wynik wspólnych działań ALE oraz W(rys. 7). Jeśli popchną samochód z tą samą siłą w przeciwnych kierunkach, samochód pozostanie na swoim miejscu (rys. 8).

Ryż. 7. Skuteczność wspólnych wysiłków ALE oraz W

Ryż. osiem. przeciwny kierunek siły ALE oraz W

Ważne jest, aby zrozumieć, dlaczego możemy zastąpić kąt (jego udział w końcowym wyniku) cosinusem (lub inną funkcją trygonometryczną kąta). W rzeczywistości wynika to z takiej właściwości podobnych trójkątów. Ponieważ w rzeczywistości mówimy tak: kąt można zastąpić stosunkiem dwóch liczb (noga-hipoprostokątna lub noga-noga). Byłoby to niemożliwe, gdyby np. dla tego samego kąta różnych trójkątów prostokątnych stosunki te były różne (rys. 9).

Ryż. 9. Równe stosunki boków w podobnych trójkątach

Na przykład, gdyby stosunek i stosunek były różne, to nie moglibyśmy wprowadzić funkcji stycznej, ponieważ dla tego samego kąta w różnych trójkątach prostokątnych styczna byłaby inna. Ale ze względu na to, że stosunki długości ramion podobnych trójkątów prostokątnych są takie same, wartość funkcji nie będzie zależeć od trójkąta, co oznacza, że kąt ostry i wartości jego trygonometryczne funkcje są jeden do jednego.

Załóżmy, że znamy wysokość pewnego drzewa (ryc. 10). Jak zmierzyć wysokość pobliskiego budynku?

Ryż. 10. Ilustracja stanu z przykładu 2

Znajdujemy taki punkt, aby linia poprowadzona przez ten punkt i górę domu przechodziła przez wierzchołek drzewa (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja rozwiązania problemu z przykładu 2

Możemy zmierzyć odległość od tego punktu do drzewa, odległość od niego do domu i znamy wysokość drzewa. Z proporcji możesz znaleźć wysokość domu :.

Proporcja to stosunek dwóch liczb. W tym przypadku równość stosunku długości nóg podobnych trójkątów prostokątnych. Co więcej, te stosunki są równe pewnej mierze kąta, która jest wyrażona w funkcji trygonometrycznej (z definicji jest to tangens). Otrzymujemy, że dla każdego kąta ostrego wartość jego funkcji trygonometrycznej jest unikalna. Oznacza to, że sinus, cosinus, tangens, cotangens są w rzeczywistości funkcjami, ponieważ każdy kąt ostry odpowiada dokładnie jednej wartości każdego z nich. Dzięki temu można je dalej badać i wykorzystywać ich właściwości. Wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów zostały już obliczone, można je wykorzystać (można je znaleźć w tabelach Bradisa lub za pomocą dowolnego kalkulator inżynierski). Ale aby rozwiązać problem odwrotny (na przykład przez wartość sinusa, aby przywrócić miarę kąta, która mu odpowiada), nie zawsze możemy.

Niech sinus pewnego kąta będzie równy lub w przybliżeniu (ryc. 12). Jaki kąt będzie odpowiadał tej wartości sinusa? Oczywiście możemy ponownie skorzystać z tabeli Bradisa i znaleźć jakąś wartość, ale okazuje się, że nie będzie ona jedyna (rys. 13).

Ryż. 12. Znalezienie kąta przez wartość jego sinusa

Ryż. 13. Wielowartościowość odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Dlatego przy przywracaniu wartości funkcji trygonometrycznej kąta występuje polisemia odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Może się to wydawać skomplikowane, ale w rzeczywistości codziennie spotykamy się z podobnymi sytuacjami.

Jeśli zasłonisz okna i nie wiesz, czy na dworze jest jasno, czy ciemno, albo znajdziesz się w jaskini, to po przebudzeniu trudno powiedzieć, czy jest to teraz godzina dnia, nocy, czy następnego dnia (ryc. 14). W rzeczywistości, jeśli zapytasz nas „Która godzina?”, powinniśmy szczerze odpowiedzieć: „Godzina plus pomnóż przez gdzie”

Ryż. 14. Ilustracja polisemii na przykładzie zegara

Możemy wywnioskować, że - jest to okres (przedział, po którym zegar pokaże ten sam czas, co teraz). Funkcje trygonometryczne mają również okresy: sinus, cosinus itp. Oznacza to, że ich wartości są powtarzane po pewnej zmianie argumentacji.

Gdyby planeta nie miała zmiany dnia i nocy ani zmiany pór roku, nie moglibyśmy użyć czasu okresowego. W końcu liczymy tylko lata w porządku rosnącym, a doby są godziny i każdego dnia liczenie zaczyna się od nowa. Sytuacja jest taka sama z miesiącami: jeśli teraz jest styczeń, to w miesiącach styczeń znów nadejdzie i tak dalej. Zewnętrzne punkty odniesienia pomagają nam wykorzystać okresowe liczenie czasu (godziny, miesiące), na przykład obrót Ziemi wokół własnej osi i zmianę położenia Słońca i Księżyca na niebie. Gdyby Słońce zawsze wisiało w tej samej pozycji, to do obliczenia czasu liczylibyśmy liczbę sekund (minut) od zajścia tego obliczenia. Data i czas mogłyby wtedy brzmieć tak: miliard sekund.

Wniosek: nie ma trudności w zakresie niejednoznaczności funkcji odwrotnych. Rzeczywiście, mogą istnieć opcje, gdy dla tego samego sinusa istnieją różne wartości kątów (ryc. 15).

Ryż. 15. Przywrócenie kąta o wartość jego sinusa

Zwykle przy rozwiązywaniu praktycznych problemów zawsze pracujemy w standardowym zakresie od do . W tym zakresie dla każdej wartości funkcji trygonometrycznej występują tylko dwie odpowiadające wartości miary kąta.

Rozważ ruchomy pas i wahadło w postaci wiadra z otworem, z którego wypada piasek. Wahadło kołysze się, taśma porusza się (ryc. 16). W rezultacie piasek pozostawi ślad w postaci wykresu funkcji sinus (lub cosinus), zwanej falą sinusoidalną.

W rzeczywistości wykresy sinusa i cosinusa różnią się od siebie tylko w punkcie odniesienia (jeśli narysujesz jeden z nich, a następnie skasujesz osie współrzędnych, nie będziesz w stanie określić, który wykres został narysowany). Dlatego nie ma sensu nazywać wykresu kosinusowego (po co wymyślać osobną nazwę dla tego samego wykresu)?

Ryż. 16. Ilustracja opisu problemu w przykładzie 4

Z wykresu funkcji możesz również zrozumieć, dlaczego funkcje odwrotne będą miały wiele wartości. Jeśli wartość sinusa jest stała, tj. narysuj linię prostą równoległą do osi x, a następnie na przecięciu otrzymujemy wszystkie punkty, w których sinus kąta jest równy danemu. Jasne jest, że takich punktów będzie nieskończenie wiele. Podobnie jak w przykładzie z zegarem, gdzie wartość czasu różniła się o , tylko tutaj wartość kąta będzie się różnić o wielkość (rys. 17).

Ryż. 17. Ilustracja polisemii dla sinusa

Jeśli weźmiemy pod uwagę przykład zegara, to punkt (wskazówka końca godziny) porusza się po okręgu. W ten sam sposób można zdefiniować funkcje trygonometryczne - bierz pod uwagę nie kąty w trójkącie prostokątnym, ale kąt między promieniem okręgu a dodatnim kierunkiem osi. Liczba kół, które minie punkt (zgodziliśmy się liczyć ruch zgodnie z ruchem wskazówek zegara ze znakiem minus i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ze znakiem plus), to jest okres (ryc. 18).

Ryż. 18. Wartość sinusa na kole

Więc, funkcja odwrotna jest jednoznacznie określony w pewnym przedziale. Dla tego przedziału możemy obliczyć jego wartości, a całą resztę uzyskać ze znalezionych wartości, dodając i odejmując okres funkcji.

Rozważmy inny przykład okresu. Samochód porusza się po drodze. Wyobraź sobie, że jej koło wjechało w farbę lub w kałużę. Od czasu do czasu można zobaczyć ślady farby lub kałuże na drodze (Rysunek 19).

Ryż. 19. Ilustracja z epoki

W kursie szkolnym jest wiele wzorów trygonometrycznych, ale w zasadzie wystarczy zapamiętać tylko jeden (ryc. 20).

Ryż. 20. Wzory trygonometryczne

Formuła podwójnego kąta jest równie łatwa do wyprowadzenia z sinusa sumy przez podstawienie (podobnie dla cosinusa). Możesz także wyprowadzać formuły produktów.

W rzeczywistości musisz pamiętać bardzo mało, ponieważ przy rozwiązaniu problemów te formuły zostaną zapamiętane same. Oczywiście ktoś będzie zbyt leniwy, aby dużo decydować, ale wtedy nie będzie mu potrzebna ta technika, a co za tym idzie same formuły.

A ponieważ formuły nie są potrzebne, nie ma potrzeby ich zapamiętywania. Musisz tylko zrozumieć ideę, że funkcje trygonometryczne to funkcje, za pomocą których obliczane są na przykład mosty. Prawie żaden mechanizm nie może obejść się bez ich użycia i obliczeń.

1. Często pojawia się pytanie, czy przewody mogą być absolutnie równoległe do ziemi. Odpowiedź: nie, nie mogą, ponieważ jedna siła działa w dół, podczas gdy inne działają równolegle - nigdy się nie zrównoważą (ryc. 21).

2. Łabędź, raki i szczupak ciągną wózek w tym samym samolocie. Łabędź leci w jednym kierunku, raki w drugim, a szczupak w trzecim (ryc. 22). Ich moce mogą się równoważyć. Możesz obliczyć to równoważenie za pomocą funkcji trygonometrycznych.

3. Most wantowy (rys. 23). Funkcje trygonometryczne pomagają obliczyć liczbę bandaży, sposób ich ukierunkowania i naprężenia.

Ryż. 23. Most wantowy

Ryż. 24. „Most sznurkowy”

Ryż. 25. Wielki most Obuchowski

Linki do strony ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Matematyka klasa 6:

Klasa geometrii 8:

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W szkole przeznaczono osobny kurs na badanie trygonometrii. Certyfikat uzyskał oceny z trzech dyscyplin matematycznych: algebry, geometrii i trygonometrii.

Następnie w ramach reformy Edukacja szkolna trygonometria przestała istnieć jako odrębny przedmiot. W nowoczesna szkoła pierwsza znajomość trygonometrii pojawia się na kursie geometrii w 8 klasie. Głębsze studiowanie przedmiotu jest kontynuowane na kursie algebry w 10. klasie.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są po raz pierwszy podane w geometrii poprzez relacje boków trójkąta prostokątnego.

Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej.

cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej.

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym nazywany jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwnej.

Te definicje dotyczą tylko kątów ostrych (od 0º do 90°).

Na przykład,

w trójkącie ABC, gdzie ∠C=90°, BC to ramię przeciwne do kąta A, AC to ramię sąsiadujące z kątem A, AB to przeciwprostokątna.

W 10 klasie kursu algebry wprowadzane są definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla dowolnego kąta (w tym ujemnych).

Rozważmy okrąg o promieniu R wyśrodkowany na początku, w punkcie O(0;0). Punkt przecięcia okręgu z dodatnim kierunkiem osi x będzie oznaczony przez P 0 .

W geometrii kąt jest traktowany jako część płaszczyzny ograniczonej dwoma promieniami. Przy tej definicji wartość kąta waha się od 0° do 180°.

W trygonometrii kąt jest uważany za wynik obrotu promienia OP 0 wokół punktu początkowego O.

Jednocześnie zgodzili się uznać obrót wiązki przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jako kierunek dodatni obwodnicy, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara jako ujemny (ta umowa jest związana z rzeczywistym ruchem Słońca wokół Ziemi).

Na przykład, gdy belka OP 0 obraca się wokół punktu O pod kątem α w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, punkt P 0 przejdzie do punktu P α ,

podczas obracania o kąt α zgodnie z ruchem wskazówek zegara - do punktu F.

Przy tej definicji kąt może przyjąć dowolną wartość.

Jeśli nadal będziemy obracać belkę OP 0 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, przy skręcaniu o kąt α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, gdzie n jest liczbą całkowitą (n∈Ζ), ponownie dochodzimy do punktu P α:

Kąty są mierzone w stopniach i radianach.

1° to kąt równy 1/180 miary stopnia kąta prostego.

1 radian to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu:

∠AOB=1 rad.

Notacja w radianach zwykle nie jest zapisywana. Nie można pominąć oznaczenia stopnia w ewidencji.

Na przykład,

Punkt P α , uzyskany z punktu P 0 przez obrócenie wiązki OP 0 wokół punktu O pod kątem α w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ma współrzędne P α (x;y).

Spuśćmy prostopadłą P α A od punktu P α do osi x.

W trójkącie prostokątnym OP α A:

P α A jest nogą przeciwną do kąta α,

OA to ramię przylegające do kąta α,

OP α jest przeciwprostokątną.

PαA=y, OA=x, OPα=R.

Z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym mamy:

Tak więc w przypadku okręgu wyśrodkowanego na początku dowolnego promienia Zatoka kąt α jest stosunkiem rzędnej punktu P α do długości promienia.

cosinus kąt α jest stosunkiem odciętej punktu P α do długości promienia.

tangens kąt α jest stosunkiem rzędnej punktu P α do jego odciętej.

Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej punktu P α do jego rzędnej.

Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą tylko od wartości α i nie zależą od długości promienia R (wynika to z podobieństwa okręgów).

Dlatego wygodnie jest wybrać R=1.

Okrąg o środku w punkcie początkowym i promieniu R=1 nazywany jest okręgiem jednostkowym.

Definicje

1) Zatoka kąt α jest rzędną punktu P α (x; y) okręgu jednostkowego:

2) cosinus kąt α nazywamy odciętą punktu P α (x; y) okręgu jednostkowego:

3) tangens kąt α to stosunek rzędnej punktu P α (x; y) do jego odciętej, czyli stosunek sin α do cos α (gdzie cos α≠ 0):

4) Cotangens kąt α to stosunek odciętej punktu P α (x; y) do jego rzędnej, czyli stosunek cosα do sinα (gdzie sinα≠0):

Wprowadzone w ten sposób definicje pozwalają uwzględnić nie tylko funkcje trygonometryczne kątów, ale także funkcje trygonometryczne argumentów liczbowych (jeśli weźmiemy pod uwagę sinα, cosα, tgα i ctgα jako odpowiadające funkcje trygonometryczne kąta w α radianach, to znaczy, że sinus liczby α jest sinusem kąta w α radianach, cosinus α jest cosinusem kąta w α radianach itd.).

Własności funkcji trygonometrycznych są badane w trakcie algebry w 10 lub 11 klasie jako osobny temat. Funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w fizyce.

Rubryki: |