Trygonometria z 0. Trygonometria

Dawno, dawno temu w szkole był osobny kurs do nauki trygonometrii. Certyfikat obejmował oceny z trzech dyscyplin matematycznych: algebry, geometrii i trygonometrii.

Następnie w ramach reformy edukacja szkolna trygonometria przestała istnieć jako odrębny przedmiot. W nowoczesna szkoła Pierwsza znajomość trygonometrii następuje na kursie geometrii w ósmej klasie. Bardziej dogłębna nauka tego przedmiotu jest kontynuowana na kursie algebry w 10. klasie.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa podaje się najpierw w geometrii poprzez relację boków trójkąta prostokątnego.

Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.

Cosinus Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego.

Cotangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

Definicje te mają zastosowanie wyłącznie do kątów ostrych (0° do 90°).

Na przykład,

w trójkącie ABC, gdzie ∠C=90°, BC to ramię przeciwne do kąta A, AC to ramię sąsiadujące z kątem A, AB to przeciwprostokątna.

Zajęcia z algebry dla klasy 10 wprowadzają definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dla dowolnego kąta (w tym ujemnego).

Rozważmy okrąg o promieniu R ze środkiem w początku - punkt O(0;0). Oznaczmy punkt przecięcia okręgu z dodatnim kierunkiem osi odciętej jako P 0 .

W geometrii kąt uważa się za część płaszczyzny ograniczonej dwoma promieniami. Przy tej definicji kąt zmienia się od 0° do 180°.

W trygonometrii kąt jest uważany za wynik obrotu promienia OP 0 wokół punktu początkowego O.

Jednocześnie zgodzili się rozważyć obrót belki w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jako dodatni kierunek przechodzenia, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara jako ujemny (zgodność ta wiąże się z prawdziwym ruchem Słońca wokół Ziemi).

Na przykład, gdy promień OP 0 zostanie obrócony wokół punktu O o kąt α w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, punkt P 0 przejdzie do punktu P α,

przy obrocie o kąt α zgodnie z ruchem wskazówek zegara – do punktu F.

Przy tej definicji kąt może przyjmować dowolną wartość.

Jeżeli będziemy dalej obracać belkę OP 0 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to przy obrocie o kąt α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, gdzie n jest liczbą całkowitą (n∈ Ζ), przejdźmy ponownie do punktu P α:

Kąty mierzy się w stopniach i radianach.

1° to kąt równy 1/180 miary stopnia rozwiniętego kąta.

1 radian to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu:

∠AOB=1 rad.

Symbole radianów zwykle nie są zapisywane. W protokole nie można pominąć oznaczenia stopnia.

Na przykład,

Punkt P α , otrzymany z punktu P 0 przez obrót promienia OP 0 wokół punktu O o kąt α w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ma współrzędne P α (x; y).

Upuśćmy prostopadłą P α A z punktu P α do osi odciętej.

W trójkącie prostokątnym OP α A:

P α A - noga przeciwna do kąta α,

OA - noga przylegająca do kąta α,

OP α jest przeciwprostokątną.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym mamy:

Zatem w przypadku okręgu o środku w początku dowolnego promienia sinus kąt α jest stosunkiem rzędnej punktu P α do długości promienia.

Cosinus kąt α jest stosunkiem odciętej punktu P α do długości promienia.

Tangens kąt α jest stosunkiem rzędnej punktu P α do jego odciętej.

Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej punktu P α do jego rzędnej.

Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu zależą tylko od wartości α i nie zależą od długości promienia R (wynika to z podobieństwa okręgów).

Dlatego wygodnie jest wybrać R=1.

Okrąg o środku w początku i promieniu R=1 nazywa się kołem jednostkowym.

Definicje

1) Zatoka kąt α nazywany jest rzędną punktu P α (x;y) okręgu jednostkowego:

2) Cosinus kąt α nazywany jest odciętą punktu P α (x;y) okręgu jednostkowego:

3) Tangens kąt α jest stosunkiem rzędnych punktu P α (x;y) do jego odciętej, czyli stosunkiem sinα do cosα (gdzie cosα≠0):

4) Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej punktu P α (x;y) do jego rzędnej, czyli stosunku cosα do sinα (gdzie sinα≠0):

Wprowadzone w ten sposób definicje pozwalają uwzględnić nie tylko funkcje trygonometryczne kątów, ale także funkcje trygonometryczne argumentów liczbowych (jeśli uznamy sinα, cosα, tanα i ctgα za odpowiadające im funkcje trygonometryczne kąta w α radianach, czyli sinus liczby α jest sinusem kąta w α radianach, cosinus liczby α jest cosinusem kąta w α radianach itd.).

Własności funkcji trygonometrycznych są studiowane jako odrębny temat na kursie algebry w klasach 10 lub 11. Funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w fizyce.

Kategoria: |

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” zawiera wszystkie potrzebne tematy pomyślne zakończenie Jednolity egzamin państwowy z matematyki na 60-65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy w matematyce. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.

Na tej lekcji porozmawiamy o tym, jak powstaje potrzeba wprowadzenia funkcji trygonometrycznych i dlaczego się je bada, co musisz zrozumieć w tym temacie i gdzie po prostu musisz się w tym polepszyć (co to jest technika). Pamiętaj, że technika i zrozumienie to dwie różne rzeczy. Zgadzam się, jest różnica: nauczyć się jeździć na rowerze, czyli zrozumieć, jak to zrobić, lub zostać zawodowym kolarzem. Porozmawiamy konkretnie o zrozumieniu, o tym, dlaczego potrzebne są funkcje trygonometryczne.

Istnieją cztery funkcje trygonometryczne, ale wszystkie można wyrazić w postaci jednej, używając tożsamości (równości, które je łączą).

Formalne definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkątach prostokątnych (rys. 1).

Zatoka Kąt ostry trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej.

Cosinus Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.

Tangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego.

Cotangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

Ryż. 1. Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Definicje te mają charakter formalny. Bardziej poprawne jest stwierdzenie, że istnieje tylko jedna funkcja, na przykład sinus. Gdyby nie były one tak potrzebne (nie tak często stosowane) w technologii, nie byłoby wprowadzonych tak wielu różnych funkcji trygonometrycznych.

Na przykład cosinus kąta jest równy sinusowi tego samego kąta po dodaniu (). Ponadto cosinus kąta można zawsze wyrazić poprzez sinus tego samego kąta aż do znaku, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej (). Tangens kąta to stosunek sinusa do cosinusa lub odwróconego cotangensa (ryc. 2). Niektórzy w ogóle nie używają cotangensu, zastępując go . Dlatego ważne jest, aby zrozumieć i móc pracować z jedną funkcją trygonometryczną.

Ryż. 2. Zależność pomiędzy różnymi funkcjami trygonometrycznymi

Ale po co w ogóle takie funkcje były potrzebne? Jakie problemy praktyczne służą do rozwiązywania? Spójrzmy na kilka przykładów.

Dwie osoby ( A I W) wypchnij samochód z kałuży (rys. 3). Człowiek W może popchnąć samochód na bok, choć jest mało prawdopodobne, że pomoże A. Z drugiej strony kierunek jego wysiłków może się stopniowo zmieniać (ryc. 4).

Ryż. 3. W pcha samochód na bok

Ryż. 4. W zaczyna zmieniać kierunek swoich wysiłków

Oczywiste jest, że ich wysiłki będą najskuteczniejsze, gdy popchną samochód w jednym kierunku (ryc. 5).

Ryż. 5. Najskuteczniejszy wspólny kierunek wysiłku

Ile W pomaga popchnąć maszynę w takim stopniu, że kierunek jej siły jest zbliżony do kierunku siły, z jaką działa A, jest funkcją kąta i wyraża się poprzez jego cosinus (ryc. 6).

Ryż. 6. Cosinus jako cecha efektywności wysiłku W

Jeśli pomnożymy wielkość siły, z jaką W, na cosinus kąta otrzymujemy rzut jego siły na kierunek siły, z jaką działa A. Im bliższy będzie kąt pomiędzy kierunkami sił, tym skuteczniejszy będzie wynik wspólnych działań. A I W(ryc. 7). Jeśli popchną samochód z taką samą siłą w przeciwne strony, samochód pozostanie na miejscu (ryc. 8).

Ryż. 7. Skuteczność wspólnych wysiłków A I W

Ryż. 8. Kierunek przeciwny działanie sił A I W

Ważne jest, aby zrozumieć, dlaczego możemy zastąpić kąt (jego udział w wyniku końcowym) cosinusem (lub inną funkcją trygonometryczną kąta). W rzeczywistości wynika to z następującej własności podobne trójkąty. Ponieważ w rzeczywistości mówimy, co następuje: kąt można zastąpić stosunkiem dwóch liczb (przeciwprostokątna boczna lub boczna). Byłoby to niemożliwe, gdyby np. dla tego samego kąta różnych trójkątów prostokątnych stosunki te były różne (rys. 9).

Ryż. 9. Równe stosunki boków w podobnych trójkątach

Na przykład, gdyby stosunek i stosunek były różne, to nie bylibyśmy w stanie wprowadzić funkcji tangensa, ponieważ dla tego samego kąta w różnych trójkątach prostokątnych tangens byłby inny. Ale ze względu na to, że stosunki długości nóg podobnych trójkątów prostokątnych są takie same, wartość funkcji nie będzie zależała od trójkąta, co oznacza, że ​​​​kąt ostry i wartości jego funkcji trygonometrycznych są jeden na jednego.

Załóżmy, że znamy wysokość określonego drzewa (ryc. 10). Jak zmierzyć wysokość pobliskiego budynku?

Ryż. 10. Ilustracja stanu z przykładu 2

Znajdujemy taki punkt, że linia poprowadzona przez ten punkt i szczyt domu przejdzie przez szczyt drzewa (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja rozwiązania problemu z przykładu 2

Możemy zmierzyć odległość tego punktu od drzewa, odległość od niego do domu i znamy wysokość drzewa. Z proporcji można znaleźć wysokość domu: .

Proporcja jest równością stosunku dwóch liczb. W tym przypadku równość stosunku długości nóg podobnych trójkątów prostokątnych. Co więcej, stosunki te są równe pewnej mierze kąta, która jest wyrażona funkcją trygonometryczną (z definicji jest to styczna). Stwierdzamy, że dla każdego kąta ostrego wartość jego funkcji trygonometrycznej jest inna. Oznacza to, że sinus, cosinus, tangens, cotangens są tak naprawdę funkcjami, ponieważ każdemu kątowi ostremu odpowiada dokładnie jedna wartość każdego z nich. Dzięki temu można je dalej badać i wykorzystywać ich właściwości. Wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów zostały już obliczone, można je wykorzystać (można je znaleźć z tablic Bradisa lub za pomocą dowolnego kalkulator inżynierski). Ale nie zawsze możemy rozwiązać problem odwrotny (na przykład używając wartości sinusa do przywrócenia miary odpowiadającego mu kąta).

Niech sinus pewnego kąta będzie równy lub w przybliżeniu (ryc. 12). Jaki kąt będzie odpowiadał tej wartości sinusoidalnej? Oczywiście ponownie możemy skorzystać z tabeli Bradisa i znaleźć jakąś wartość, ale okazuje się, że nie będzie to jedyna (rys. 13).

Ryż. 12. Znajdowanie kąta na podstawie wartości jego sinusa

Ryż. 13. Polisemia odwrotnych funkcji trygonometrycznych

W konsekwencji, rekonstruując wartość funkcji trygonometrycznej kąta, powstaje wielowartościowy charakter odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Może się to wydawać trudne, ale w rzeczywistości każdego dnia spotykamy się z podobnymi sytuacjami.

Jeśli zasłonisz okna i nie wiesz, czy na zewnątrz jest jasno, czy ciemno, albo znajdziesz się w jaskini, to kiedy się obudzisz, trudno powiedzieć, czy jest pierwsza w nocy, czy w nocy, czy następnego dnia (ryc. 14). Tak naprawdę, jeśli zapytasz nas „Która jest godzina?”, Musimy szczerze odpowiedzieć: „Godzina plus pomnożona przez gdzie”

Ryż. 14. Ilustracja polisemii na przykładzie zegara

Możemy stwierdzić, że jest to okres (przerwa, po której zegar będzie wskazywał tę samą godzinę, co obecnie). Funkcje trygonometryczne również mają okresy: sinus, cosinus itp. Oznacza to, że ich wartości powtarzają się po pewnej zmianie argumentu.

Gdyby na planecie nie było zmiany dnia i nocy ani pory roku, nie moglibyśmy używać czasu okresowego. Przecież lata liczymy tylko rosnąco, ale dni mają godziny i każdy nowy dzień liczenie zaczyna się od nowa. Podobnie jest z miesiącami: jeśli teraz jest styczeń, to za kilka miesięcy znów nadejdzie styczeń itd. Zewnętrzne punkty odniesienia pomagają nam w okresowym liczeniu czasu (godziny, miesiące), np. obrotu Ziemi wokół własnej osi oraz zmiany położenia Słońca i Księżyca na niebie. Gdyby Słońce zawsze wisiało w tej samej pozycji, to do obliczenia czasu liczylibyśmy sekundy (minuty) od momentu rozpoczęcia tego obliczenia. Data i godzina mogłyby wówczas brzmieć następująco: miliard sekund.

Wniosek: brak trudności w zakresie niejednoznaczności funkcje odwrotne NIE. Rzeczywiście mogą istnieć opcje, jeśli dla tego samego sinusa istnieją różne znaczenia kąt (ryc. 15).

Ryż. 15. Przywracanie kąta z wartości jego sinusa

Zwykle przy rozwiązywaniu problemów praktycznych zawsze pracujemy w standardowym zakresie od do . W tym zakresie dla każdej wartości funkcji trygonometrycznej istnieją tylko dwie odpowiadające wartości miary kąta.

Rozważmy ruchomy pas i wahadło w postaci wiadra z otworem, z którego wylewa się piasek. Wahadło się kołysze, taśma się porusza (ryc. 16). W rezultacie piasek pozostawi ślad w postaci wykresu funkcji sinus (lub cosinus), która nazywa się falą sinusoidalną.

Tak naprawdę wykresy sinusa i cosinusa różnią się od siebie jedynie punktem odniesienia (jeśli narysujesz jeden z nich, a następnie wymazasz osie współrzędnych, nie będziesz w stanie określić, który wykres został narysowany). Dlatego nie ma sensu nazywać wykresu cosinusa wykresem (po co wymyślać osobną nazwę dla tego samego wykresu)?

Ryż. 16. Ilustracja sformułowania problemu w przykładzie 4

Wykres funkcji może również pomóc zrozumieć, dlaczego funkcje odwrotne będą miały wiele wartości. Jeśli wartość sinusa jest stała, tj. narysuj linię prostą równoległą do osi odciętych, a następnie na przecięciu otrzymamy wszystkie punkty, w których sinus kąta jest równy danemu. Oczywiste jest, że takich punktów będzie nieskończona liczba. Podobnie jak w przykładzie z zegarem, gdzie wartość czasu różniła się o , tylko tutaj wartość kąta będzie się różnić o wartość (rys. 17).

Ryż. 17. Ilustracja polisemii dla sinusa

Jeśli weźmiemy pod uwagę przykład zegara, wówczas punkt (koniec zgodny z ruchem wskazówek zegara) porusza się po okręgu. Funkcje trygonometryczne można zdefiniować w ten sam sposób - nie uwzględniaj kątów w trójkącie prostokątnym, ale kąt między promieniem okręgu a dodatnim kierunkiem osi. Liczba okręgów, przez które przejdzie punkt (uzgodniliśmy, że ruch będzie liczony w prawo ze znakiem minus, a przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ze znakiem plus), to jest okres (ryc. 18).

Ryż. 18. Wartość sinusa na okręgu

Zatem funkcja odwrotna jest jednoznacznie zdefiniowana w pewnym przedziale. Dla tego przedziału możemy obliczyć jego wartości, a całą resztę uzyskać ze znalezionych wartości, dodając i odejmując okres funkcji.

Spójrzmy na inny przykład okresu. Samochód porusza się po drodze. Wyobraźmy sobie, że jej koło wjechało w farbę lub kałużę. Czasami na drodze mogą pojawić się ślady farby lub kałuże (Rysunek 19).

Ryż. 19. Ilustracja z epoki

Na kursie szkolnym jest sporo wzorów trygonometrycznych, ale w zasadzie wystarczy zapamiętać tylko jeden (ryc. 20).

Ryż. 20. Wzory trygonometryczne

Wzór na podwójny kąt można również łatwo wyprowadzić z sinusa sumy, podstawiając (podobnie cosinus). Można również wyprowadzić formuły produktów.

W rzeczywistości trzeba bardzo mało pamiętać, ponieważ przy rozwiązywaniu problemów formuły te zostaną zapamiętane same. Oczywiście ktoś będzie zbyt leniwy, aby dużo decydować, ale wtedy nie będzie potrzebował tej techniki, a zatem samych formuł.

A ponieważ formuły nie są potrzebne, nie ma potrzeby ich zapamiętywania. Wystarczy zrozumieć ideę, że funkcje trygonometryczne to funkcje używane do obliczania na przykład mostów. Prawie żaden mechanizm nie może obejść się bez ich użycia i obliczeń.

1. Często pojawia się pytanie, czy przewody mogą być absolutnie równoległe do ziemi. Odpowiedź: nie, nie mogą, ponieważ jedna siła działa w dół, a inne działają równolegle - nigdy się nie zrównoważą (ryc. 21).

2. Łabędź, rak i szczupak ciągną wózek w tej samej płaszczyźnie. Łabędź leci w jednym kierunku, raki w drugim, a szczupak w trzecim (ryc. 22). Ich moce można zrównoważyć. Równowagę tę można obliczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych.

3. Most wantowy (ryc. 23). Funkcje trygonometryczne pomagają obliczyć liczbę kabli, sposób ich ułożenia i naprężenia.

Ryż. 23. Most wantowy

Ryż. 24. „Most strunowy”

Ryż. 25. Most Bolszoja Obuchowskiego

Linki do strony ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Matematyka klasa 6:

Geometria 8. klasa:

- -
Zwykle, gdy chcą kogoś przestraszyć STRASZNĄ MATEMATYKĄ, jako przykład podają wszelkiego rodzaju sinusy i cosinusy, jako coś bardzo złożonego i obrzydliwego. Ale w rzeczywistości jest to piękna i interesująca sekcja, którą można zrozumieć i rozwiązać.
Temat zaczyna się w 9 klasie i nie zawsze za pierwszym razem wszystko jest jasne, jest wiele subtelności i trików. Próbowałem coś powiedzieć na ten temat.

Wprowadzenie do świata trygonometrii:
Zanim rzucisz się do formuł, musisz zrozumieć z geometrii, czym są sinus, cosinus itp.
Sinus kąta- stosunek strony przeciwnej (kąta) do przeciwprostokątnej.
Cosinus- stosunek sąsiedniej do przeciwprostokątnej.
Tangens- strona przeciwna do strony sąsiedniej
Cotangens- sąsiadujący z przeciwnikiem.

Teraz rozważ okrąg o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie współrzędnych i zaznacz na nim jakiś kąt alfa: (przynajmniej niektóre zdjęcia można kliknąć)
-
-
Cienkie czerwone linie są prostopadłe od punktu przecięcia okręgu i kąta prostego na osiach wół i oy. Czerwone x i y to wartość współrzędnych x i y na osiach (szare x i y mają tylko wskazać, że są to osie współrzędnych, a nie tylko linie).
Należy zauważyć, że kąty są obliczane od dodatniego kierunku osi wołu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Znajdźmy dla tego sinus, cosinus itp.
grzech a: przeciwna strona jest równa y, przeciwprostokątna jest równa 1.
grzech a = y / 1 = y
Aby było całkowicie jasne, skąd wzięły się y i 1, dla przejrzystości ułóżmy litery i spójrzmy na trójkąty.
- -
AF = AE = 1 - promień okręgu.
Zatem AB = 1 jako promień. AB - przeciwprostokątna.
BD = CA = y - jako wartość dla oh.
AD = CB = x - jako wartość według o.
grzech a = BD / AB = y / 1 = y
Następny jest cosinus:
cos a: sąsiedni bok - AD = x
sałata a = AD / AB = x / 1 = x

Wyprowadzamy również tangens i cotangens.
tg a = y / x = grzech a / cos a
łóżko a = x / y = cos a / grzech a
Nagle otrzymaliśmy wzór na tangens i cotangens.

Cóż, przyjrzyjmy się konkretnie, jak to rozwiązać.
Na przykład a = 45 stopni.
Dostajemy prawy trójkąt pod jednym kątem 45 stopni. Dla niektórych od razu jest jasne, że jest to trójkąt równoboczny, ale i tak to opiszę.
Znajdźmy trzeci kąt trójkąta (pierwszy to 90, drugi to 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Jeśli dwa kąty są równe, to ich boki są równe i tak to brzmiało.
Wygląda więc na to, że jeśli dodamy dwa takie trójkąty jeden na drugim, otrzymamy kwadrat o przekątnej równej promieniowi = 1. Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że przekątna kwadratu o boku a jest równa a korzenie dwóch.
Teraz myślimy. Jeśli 1 (przeciwprostokątna, czyli przekątna) jest równa bokowi kwadratu razy pierwiastek z dwóch, wówczas bok kwadratu powinien być równy 1/sqrt(2), a jeśli pomnożymy licznik i mianownik tego ułamka przez pierwiastek z dwóch otrzymujemy sqrt(2)/2 . A ponieważ trójkąt jest równoramienny, to AD = AC => x = y
Znajdowanie naszych funkcji trygonometrycznych:
grzech 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Musisz pracować z innymi wartościami kąta w ten sam sposób. Tylko trójkąty nie będą równoramienne, ale boki można równie łatwo znaleźć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
W ten sposób otrzymujemy tabelę wartości funkcji trygonometrycznych pod różnymi kątami:
-
-
Co więcej, ten stół jest oszukujący i bardzo wygodny.
Jak skomponować go samodzielnie, bez żadnych kłopotów: Narysuj taką tabelę i wpisz w kratki liczby 1 2 3.
-
-
Teraz z tych 1 2 3 bierzesz pierwiastek i dzielisz przez 2. Okazuje się, że jest to tak:
-
-
Teraz przekreślamy sinus i zapisujemy cosinus. Jego wartościami są lustrzany sinus:
-
-
Równie łatwo jest wyznaczyć styczną - należy podzielić wartość linii sinus przez wartość linii cosinus:
-
-
Wartość cotangens jest odwróconą wartością stycznej. W rezultacie otrzymujemy coś takiego:
- -

Uwaga ta tangens nie istnieje na przykład w P/2. Pomyśl dlaczego. (Nie można dzielić przez zero.)

O czym musisz tutaj pamiętać: sinus to wartość y, cosinus to wartość x. Tangens to stosunek y do x, a cotangens jest jego przeciwieństwem. więc aby wyznaczyć wartości sinusów/cosinusów wystarczy narysować tabelkę którą opisałem powyżej oraz okrąg z osiami współrzędnych (wygodnie jest patrzeć na wartości pod kątami 0, 90, 180, 360).
- -

Cóż, mam nadzieję, że potrafisz rozróżnić mieszkanie:
- -
Znak sinusa, cosinusa itp. zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt. Chociaż absolutnie prymitywne myślenie logiczne doprowadzi cię do prawidłowej odpowiedzi, jeśli weźmiesz pod uwagę, że w drugiej i trzeciej ćwiartce x jest ujemne, a y jest ujemne w trzeciej i czwartej. Nic strasznego ani przerażającego.

Myślę, że nie byłoby grzechem wspomnieć formuły redukcyjne ala duchy, jak wszyscy słyszą, w czym jest ziarno prawdy. Nie ma żadnych formuł jako takich, bo są niepotrzebne. Sam sens tej całej akcji: Bez problemu znajdziemy wartości kątów tylko dla pierwszej ćwiartki (30 stopni, 45, 60). Funkcje trygonometryczne są okresowe, więc możemy przeciągnąć dowolny duży kąt do pierwszej ćwiartki. Wtedy od razu odnajdziemy jego znaczenie. Samo przeciągnięcie nie wystarczy – trzeba pamiętać o znaku. Do tego właśnie służą formuły redukcyjne.
Mamy więc duży kąt, a raczej więcej niż 90 stopni: a = 120. I musimy znaleźć jego sinus i cosinus. Aby to zrobić, rozłożymy 120 na kąty, z którymi możemy pracować:
grzech a = grzech 120 = grzech (90 + 30)
Widzimy, że kąt ten leży w drugiej ćwiartce, sinus jest tam dodatni, dlatego znak + przed sinusem zostaje zachowany.
Aby pozbyć się 90 stopni, zamieniamy sinus na cosinus. Cóż, jest to zasada, o której musisz pamiętać:
grzech (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Możesz też sobie to wyobrazić w inny sposób:
grzech 120 = grzech (180 - 60)
Aby pozbyć się 180 stopni, nie zmieniamy funkcji.
grzech (180 - 60) = grzech 60 = sqrt(3) / 2
Otrzymaliśmy tę samą wartość, więc wszystko się zgadza. Teraz cosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, więc stawiamy znak minus. I zmieniamy funkcję na przeciwną, ponieważ musimy usunąć 90 stopni.
cos (90 + 30) = - grzech 30 = - 1 / 2
Lub:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Co musisz wiedzieć, umieć i robić, aby przenieść kąty na pierwszą ćwiartkę:
- rozłożyć kąt na zrozumiałe terminy;
-uwzględnij, w której ćwiartce znajduje się kąt i postaw odpowiedni znak, jeśli funkcja w tej ćwiartce jest ujemna lub dodatnia;
-pozbądź się niepotrzebnych rzeczy:
*jeśli chcesz pozbyć się 90, 270, 450 i pozostałych 90+180n, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, wówczas funkcja jest odwracana (sinus do cosinus, styczna do cotangens i odwrotnie);
*jeśli chcesz pozbyć się 180 i pozostałych 180+180n, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, wówczas funkcja się nie zmienia. (Jest tu jedna cecha, ale trudno ją wyjaśnić słowami, ale cóż).
To wszystko. Nie sądzę, że konieczne jest zapamiętywanie samych formuł, jeśli możesz zapamiętać kilka zasad i łatwo z nich skorzystać. Nawiasem mówiąc, te wzory są bardzo łatwe do udowodnienia:
-
-
Kompilują też kłopotliwe tabele, wtedy wiemy:
-
-

Podstawowe równania trygonometrii: trzeba je znać bardzo, bardzo dobrze, na pamięć.
Podstawowa tożsamość trygonometryczna(równość):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Jeśli nie wierzysz, lepiej sprawdzić to sam i przekonać się na własne oczy. Zastąp wartości różnych kątów.
Ta formuła jest bardzo, bardzo przydatna, zawsze o niej pamiętaj. za jego pomocą możesz wyrazić sinus przez cosinus i odwrotnie, co czasami jest bardzo przydatne. Ale, jak w przypadku każdej innej formuły, musisz wiedzieć, jak sobie z tym poradzić. Zawsze pamiętaj, że znak funkcji trygonometrycznej zależy od ćwiartki, w której znajduje się kąt. Dlatego podczas wyodrębniania korzenia musisz znać ćwiartkę.

Styczna i cotangens: Te wzory wyprowadziliśmy już na samym początku.
tg a = grzech a / cos a
łóżko a = cos a / grzech a

Iloczyn stycznej i cotangensu:
tg a * ctg a = 1
Ponieważ:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - ułamki są anulowane.

Jak widać, wszystkie formuły są grą i kombinacją.
Oto dwa kolejne, otrzymane poprzez podzielenie przez cosinus i sinus kwadrat pierwszego wzoru:
-
-
Należy pamiętać, że dwa ostatnie wzory można stosować z ograniczeniem wartości kąta a, ponieważ nie można dzielić przez zero.

Formuły dodawania: udowadnia się za pomocą algebry wektorowej.
- -
Rzadko używany, ale trafny. Na skanie znajdują się wzory, ale mogą być one nieczytelne lub forma cyfrowa jest łatwiejsza do zauważenia:
- -

Wzory na kąt podwójny:
Uzyskuje się je na podstawie wzorów na dodawanie, np. cosinus kąta podwójnego to cos 2a = cos (a + a) - czy coś Ci to przypomina? Po prostu zastąpili bettę alfa.
- -
Dwa kolejne wzory wyprowadzono z pierwszego podstawienia sin^2(a) = 1 - cos^2(a) i cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinus podwójnego kąta jest prostszy i jest używany znacznie częściej:
- -
A szczególni zboczeńcy potrafią wyznaczyć tangens i cotangens kąta podwójnego, biorąc pod uwagę, że tan a = sin a / cos a itd.
-
-

Dla wyżej wymienionych osób Wzory na potrójny kąt: wyprowadza się je przez dodanie kątów 2a i a, ponieważ znamy już wzory na kąty podwójne.
-
-

Wzory na półkąt:
- -
Nie wiem, jak je wyprowadzić, a dokładniej, jak to wyjaśnić... Jeśli napiszemy te wzory, zastępując główną tożsamość trygonometryczną a/2, to odpowiedź będzie zbieżna.

Wzory na dodawanie i odejmowanie funkcji trygonometrycznych:
-
-
Otrzymuje się je ze wzorów dodawania, ale nikogo to nie obchodzi. Nie zdarzają się często.

Jak rozumiesz, wciąż jest mnóstwo formuł, których wypisywanie jest po prostu bezcelowe, bo i tak nie będę w stanie napisać o nich nic odpowiedniego, a suche formuły można znaleźć wszędzie, a one są grą z wcześniejszymi, istniejącymi formułami. Wszystko jest szalenie logiczne i precyzyjne. Powiem ci to na koniec o metodzie kąta pomocniczego:
Konwersja wyrażenia a cosx + b sinx do postaci Acos(x+) lub Asin(x+) nazywana jest metodą wprowadzenia kąta pomocniczego (lub dodatkowego argumentu). Metoda służy do rozwiązywania równania trygonometryczne, przy szacowaniu wartości funkcji, w problemach ekstremalnych i co ważne, należy pamiętać, że niektórych problemów nie da się rozwiązać bez wprowadzenia kąta pomocniczego.
Bez względu na to, jak próbowałeś wyjaśnić tę metodę, nic z tego nie wyszło, więc musisz to zrobić sam:
-
-
Straszna rzecz, ale przydatna. Jeśli rozwiążesz problemy, powinno się udać.
Stąd na przykład: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Następne w kursie są wykresy funkcji trygonometrycznych. Ale to wystarczy na jedną lekcję. Biorąc pod uwagę, że w szkole uczą tego przez sześć miesięcy.

Napisz swoje pytania, rozwiązuj problemy, poproś o skany niektórych zadań, wymyśl, wypróbuj.
Zawsze twój, Dan Faradaya.

Już w 1905 roku rosyjscy czytelnicy mogli przeczytać w książce Williama Jamesa „Psychologia” jego rozumowanie na temat: „Dlaczego uczenie się na pamięć jest tak złym sposobem uczenia się?”

„Wiedza zdobyta poprzez proste uczenie się na pamięć jest prawie nieuchronnie całkowicie zapominana bez śladu. Wręcz przeciwnie, materiał mentalny, przyswajany przez pamięć stopniowo, dzień po dniu, w powiązaniu z różnymi kontekstami, skojarzony skojarzeniowo z innymi zdarzeniami zewnętrznymi i wielokrotnie poddawany dyskusji, tworzy taki system, wchodzi w takie powiązanie z innymi aspektami naszego życia. intelekt, łatwo zostaje przywrócony w pamięci dzięki masie zewnętrznych okoliczności, co pozostaje trwałym nabytkiem przez długi czas.”

Od tego czasu minęło ponad 100 lat, a słowa te pozostają niezwykle aktualne. Przekonujesz się o tym każdego dnia, pracując z dziećmi w wieku szkolnym. Ogromne luki w wiedzy są tak duże, że można postawić tezę: szkolny kurs matematyki w ujęciu dydaktycznym i psychologicznym nie jest systemem, ale rodzajem urządzenia, które pobudza pamięć krótkotrwałą i w ogóle nie dba o pamięć długoterminową .

Znajomość szkolnego kursu matematyki oznacza opanowanie materiału z każdego z obszarów matematyki, aby móc w każdej chwili zaktualizować którykolwiek z nich. Aby to osiągnąć należy systematycznie kontaktować się z każdym z nich, co czasami nie zawsze jest możliwe ze względu na duże obciążenie pracą na lekcji.

Istnieje inny sposób długotrwałego zapamiętywania faktów i formuł - są to sygnały referencyjne.

Trygonometria to jeden z dużych działów matematyki szkolnej, którego uczy się na kursie geometrii w klasach 8, 9 oraz algebry w klasie 9, algebry i analizy elementarnej w klasie 10.

Największa ilość materiału badanego w trygonometrii przypada na 10. klasę. Większości materiału z trygonometrii można się nauczyć i zapamiętać okrąg trygonometryczny(okrąg o promieniu jednostkowym, którego środek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych). Dodatek 1.ppt

Są to następujące pojęcia trygonometrii:

• definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta;
• pomiar kąta radianowego;
• dziedzina definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych
• wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych wartości argumentu numerycznego i kątowego;
• okresowość funkcji trygonometrycznych;
• parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych;
• zwiększanie i zmniejszanie funkcji trygonometrycznych;
• wzory redukcyjne;
• wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych;
• rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych;
• rozwiązywanie prostych nierówności;
• podstawowe wzory trygonometrii.

Rozważmy przestudiowanie tych pojęć na okręgu trygonometrycznym.

1) Definicja sinusa, cosinusa, tangensa i kotangensa.

Po zapoznaniu się z pojęciami koła trygonometrycznego (okrąg o promieniu jednostkowym mającym środek w początku), promienia początkowego (promień okręgu w kierunku osi Ox) oraz kąta obrotu, uczniowie samodzielnie uzyskują definicje dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu na okręgu trygonometrycznym, korzystając z definicji z geometrii przebiegu, czyli biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną równą 1.

Cosinus kąta to odcięta punktu na okręgu, gdy początkowy promień zostanie obrócony o zadany kąt.

Sinus kąta jest rzędną punktu na okręgu, gdy promień początkowy zostanie obrócony o zadany kąt.

2) Radianowy pomiar kątów na okręgu trygonometrycznym.

Po wprowadzeniu radiacyjnej miary kąta (1 radian to kąt środkowy, który odpowiada długości łuku równej długości promienia okręgu), uczniowie dochodzą do wniosku, że radialna miara kąta wynosi wartość liczbowa kąt obrotu po okręgu, równa długości odpowiedni łuk podczas obracania promienia początkowego o dany kąt. .

Okrąg trygonometryczny dzieli się na 12 równych części poprzez średnicę koła. Wiedząc, że kąt jest wyrażony w radianach, można określić miarę w radianach dla kątów będących wielokrotnościami .

W podobny sposób uzyskuje się radiacyjne pomiary kątów, wielokrotności:

3) Dziedzina definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych.

Czy zgodność między kątami obrotu a wartościami współrzędnych punktu na okręgu będzie funkcją?

Każdy kąt obrotu odpowiada pojedynczemu punktowi na okręgu, co oznacza, że ​​ta zgodność jest funkcją.

Uzyskanie funkcji

Na okręgu trygonometrycznym widać, że dziedziną definicji funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a zakres wartości wynosi .

Wprowadźmy pojęcia linii stycznych i cotangensów na okręgu trygonometrycznym.

1) Niech Wprowadźmy linię pomocniczą równoległą do osi Oy, na której wyznaczane są styczne dla dowolnego argumentu liczbowego.

2) Podobnie otrzymujemy linię kotangentów. Niech y=1, wtedy . Oznacza to, że wartości cotangensów wyznacza się na linii prostej równoległej do osi Wółu.

Na okręgu trygonometrycznym można łatwo określić dziedzinę definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych:

dla stycznej -

dla cotangensu -

4) Wartości funkcji trygonometrycznych na okręgu trygonometrycznym.

Noga przeciwna do kąta w jest równa połowie przeciwprostokątnej, czyli drugiej nogi zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Oznacza to, że definiując sinus, cosinus, tangens, cotangens, możliwe jest określenie wartości kątów będących wielokrotnościami lub radianami. Wartości sinus wyznacza się wzdłuż osi Oy, cosinus wzdłuż osi Ox, natomiast wartości tangensa i cotangensu można wyznaczyć za pomocą dodatkowych osi równoległych odpowiednio do osi Oy i Ox.

Tabelaryczne wartości sinusa i cosinusa znajdują się na odpowiednich osiach w następujący sposób:

Wartości tabelaryczne tangensa i cotangensu -

5) Okresowość funkcji trygonometrycznych.

Na okręgu trygonometrycznym widać, że wartości sinusa i cosinusa powtarzają się w każdym radianie, a tangens i cotangens - w każdym radianie.

6) Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych.

Właściwość tę można uzyskać porównując wartości dodatnich i przeciwnych kątów obrotu funkcji trygonometrycznych. Rozumiemy to

Oznacza to, że cosinus jest funkcją parzystą, wszystkie pozostałe funkcje są nieparzyste.

7) Rosnące i malejące funkcje trygonometryczne.

Okrąg trygonometryczny pokazuje, że funkcja sinus rośnie i maleje

Rozumując podobnie, otrzymujemy przedziały rosnących i malejących funkcji cosinusa, stycznej i cotangensa.

8) Wzory redukcyjne.

Za kąt przyjmujemy mniejszą wartość kąta na okręgu trygonometrycznym. Wszystkie wzory uzyskujemy poprzez porównanie wartości funkcji trygonometrycznych na ramionach wybranych trójkątów prostokątnych.

Algorytm stosowania formuł redukcyjnych:

1) Określ znak funkcji przy obrocie o zadany kąt.

Podczas skręcania za róg funkcja zostaje zachowana po obróceniu o kąt - liczba całkowita, liczba nieparzysta, kofunkcja (

9) Wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Wprowadźmy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, korzystając z definicji funkcji.

Każda wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu na okręgu trygonometrycznym odpowiada tylko jednej wartości kąta obrotu. Oznacza to, że dla funkcji dziedziną definicji jest zakres wartości - Dla funkcji dziedziną definicji jest zakres wartości. Podobnie otrzymujemy dziedzinę definicji i zakres wartości funkcji odwrotnych dla cosinusa i cotangensu.

Algorytm znajdowania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

1) znalezienie wartości argumentu odwrotnej funkcji trygonometrycznej na odpowiedniej osi;

2) znalezienie kąta obrotu promienia początkowego, biorąc pod uwagę zakres wartości odwrotnej funkcji trygonometrycznej.

Na przykład:

10) Rozwiązywanie prostych równań na okręgu trygonometrycznym.

Aby rozwiązać równanie postaci, znajdujemy punkty na okręgu, których rzędne są równe i zapisujemy odpowiadające im kąty, biorąc pod uwagę okres funkcji.

Do równania znajdujemy punkty na okręgu, których odcięte są równe i zapisujemy odpowiadające im kąty, biorąc pod uwagę okres funkcji.

Podobnie dla równań postaci Wartości wyznaczane są na liniach stycznych i cotangensów oraz rejestrowane są odpowiadające im kąty obrotu.

Wszystkich pojęć i wzorów trygonometrycznych uczniowie uczą się sami pod wyraźnym kierunkiem nauczyciela, korzystając z koła trygonometrycznego. W przyszłości ten „okrąg” będzie dla nich sygnałem odniesienia lub czynnik zewnętrzny do odtwarzania w pamięci pojęć i wzorów trygonometrycznych.

Badanie trygonometrii na okręgu trygonometrycznym pomaga:

• wybór optymalnego stylu komunikacji na danej lekcji, organizacja współpracy edukacyjnej;
• cele lekcje stają się osobiście ważne dla każdego ucznia;
• nowy materiał opiera się osobiste doświadczenie działania, myślenie, odczucia ucznia;
• lekcja obejmuje różne formy pracy oraz sposoby zdobywania i przyswajania wiedzy;
• istnieją elementy wzajemnego i samodzielnego uczenia się;