Program do rozwiązywania nierówności liniowych, kwadratowych i ułamkowych nie tylko daje odpowiedź na problem, ale dostarcza szczegółowe rozwiązanie wraz z objaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania sprawdzający wiedzę z matematyki i/lub algebry.

Ponadto, jeśli w procesie rozwiązywania którejś z nierówności konieczne jest rozwiązanie np. równania kwadratowego, wówczas wyświetlane jest również jego szczegółowe rozwiązanie (zawarte jest w spoilerze).

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do egzaminu testy, rodzicom, aby monitorowali sposoby rozwiązywania nierówności przez swoje dzieci.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? praca domowa

na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Zasady wpisywania nierówności
Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.

Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.
Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.

Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.
Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem. Możesz na przykład wejść miejsca dziesiętne

w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2
Zasady wpisywania ułamków zwykłych.

Tylko liczba całkowita może pełnić rolę licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny. Przy wejściu ułamek liczbowy /
Licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: &
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu:
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5 lat +1/7 lat^2

Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Podczas wprowadzania wyrażeń można używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu nierówności najpierw upraszcza się wyrażenia. Na przykład:

Wybierz żądany znak nierówności i wprowadź wielomiany w pola poniżej.

Rozwiązać układ nierówności

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Układy nierówności z jedną niewiadomą. Przedziały numeryczne

W siódmej klasie zapoznałeś się z koncepcją systemu i nauczyłeś się rozwiązywać systemy równania liniowe z dwiema niewiadomymi. Następnie rozważymy układy nierówności liniowych z jedną niewiadomą. Zbiory rozwiązań układów nierówności można zapisać za pomocą przedziałów (przedziałów, półprzedziałów, odcinków, półprostych). Zapoznasz się także z notacją przedziałów liczbowych.

Jeżeli w nierównościach \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nieznana liczba x jest taka sama, to nierówności te rozpatrywane są łącznie i mówi się, że tworzą układ nierówności: $$ \left\ (\begin(tablica)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(tablica)\right $$.

Nawias klamrowy pokazuje, że należy znaleźć wartości x, dla których obie nierówności układu zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne. Układ ten jest przykładem układu nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

Rozwiązaniem układu nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której wszystkie nierówności układu zamieniają się w prawdziwe nierówności liczbowe. Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań tego układu lub stwierdzenie, że ich nie ma.

Nierówności \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) można zapisać jako nierówność podwójną: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Rozwiązaniami układów nierówności z jedną niewiadomą są różne zbiory liczbowe. Te zestawy mają nazwy. Zatem na osi liczb zbiór liczb x taki, że \(-2 \leq x \leq 3 \) jest reprezentowany przez odcinek o końcach w punktach -2 i 3.

-2

3

Jeśli \(a jest segmentem i jest oznaczone przez [a; b]

Jeśli \(a jest przedziałem i jest oznaczone przez (a; b)

Zbiory liczb \(x\) spełniające nierówności \(a \leq x są półprzedziałami i są oznaczone odpowiednio [a; b) i (a; b]

Nazywa się segmenty, przedziały, półprzedziały i półproste przedziały numeryczne.

Zatem przedziały liczbowe można określić w postaci nierówności.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x; y), która zamienia daną nierówność w rzeczywistą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu zbioru wszystkich jej rozwiązań. Zatem rozwiązaniami nierówności x > y będą np. pary liczb (5; 3), (-1; -1), ponieważ \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)

Rozwiązywanie układów nierówności

Nauczyłeś się już, jak rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Czy wiesz co to jest układ nierówności i rozwiązanie tego układu? Dlatego proces rozwiązywania układów nierówności z jedną niewiadomą nie sprawi Ci żadnych trudności.

A jednak przypomnijmy: aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność z osobna, a następnie znaleźć przecięcie tych rozwiązań.

Przykładowo pierwotny układ nierówności został zredukowany do postaci:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Aby rozwiązać ten układ nierówności, zaznacz rozwiązanie każdej nierówności na osi liczbowej i znajdź ich przecięcie:

-2

3

Przecięcie to odcinek [-2; 3] - jest to rozwiązanie pierwotnego układu nierówności.

Informacje wstępne

Definicja 1

Nierówność postaci $f(x) >(≥)g(x)$, w której $f(x)$ i $g(x)$ są całkowitymi wyrażeniami wymiernymi, nazywa się całą nierównością wymierną.

Przykładami całych nierówności wymiernych są nierówności liniowe, kwadratowe i sześcienne z dwiema zmiennymi.

Definicja 2

Wartość $x$, przy której spełniona jest nierówność z definicji $1$, nazywa się pierwiastkiem równania.

Przykład rozwiązania takich nierówności:

Przykład 1

Rozwiąż całą nierówność $4x+3 >38-x$.

Rozwiązanie.

Uprośćmy tę nierówność:

Otrzymaliśmy nierówność liniową. Znajdźmy jego rozwiązanie:

Odpowiedź: $(7,∞)$.

W tym artykule rozważymy następujące metody rozwiązywania całych nierówności racjonalnych.

Metoda faktoryzacji

Metoda ta będzie następująca: Zapisuje się równanie w postaci $f(x)=g(x)$. Równanie to sprowadza się do postaci $φ(x)=0$ (gdzie $φ(x)=f(x)-g(x)$). Następnie funkcja $φ(x)$ jest rozkładana na czynniki przy użyciu minimalnych możliwych potęg. Obowiązuje zasada: Iloczyn wielomianów jest równy zero, gdy jeden z nich jest równy zero. Następnie na osi liczbowej zaznacza się znalezione pierwiastki i konstruuje krzywą znaku. W zależności od znaku początkowej nierówności zapisuje się odpowiedź.

Oto przykłady rozwiązań w ten sposób:

Przykład 2

Rozwiąż przez faktoryzację. $y^2-9

Rozwiązanie.

Rozwiążmy równanie $y^2-9

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów mamy

Stosując regułę, że iloczyn czynników jest równy zero, otrzymujemy pierwiastki: $3$ i $-3$.

Narysujmy krzywą znaków:

Ponieważ początkowa nierówność ma znak „mniej niż”, otrzymujemy

Odpowiedź: $(-3,3)$.

Przykład 3

Rozwiąż przez faktoryzację.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Rozwiązanie.

Rozwiążmy następujące równanie:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Wyjmijmy z nawiasów wspólne czynniki z dwóch pierwszych wyrazów i dwóch ostatnich

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Wyjmijmy wspólny czynnik $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Korzystając z reguły, że iloczyn czynników jest równy zero, otrzymujemy:

$x+2=0 \ i \ x^2+3=0$

$x=-2$ i „bez korzeni”

Narysujmy krzywą znaków:

Ponieważ początkowa nierówność ma znak „większy lub równy”, otrzymujemy

Odpowiedź: $(-∞,-2]$.

Sposób wprowadzania nowej zmiennej

Metoda ta jest następująca: Napisz równanie w postaci $f(x)=g(x)$. Rozwiązujemy to w następujący sposób: wprowadzamy nową zmienną, aby otrzymać równanie, którego sposób rozwiązania jest już znany. Następnie rozwiązujemy go i wracamy do wymiany. Z niego znajdziemy rozwiązanie pierwszego równania. Następnie na osi liczbowej zaznacza się znalezione pierwiastki i konstruuje krzywą znaku. W zależności od znaku początkowej nierówności zapisuje się odpowiedź.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas dane osobowe pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W artykule rozważymy rozwiązywanie nierówności. Powiemy Ci jasno o jak skonstruować rozwiązanie nierówności z jasnymi przykładami!

Zanim zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności na przykładach, poznajmy podstawowe pojęcia.

Ogólne informacje o nierównościach

Nierówność to wyrażenie, w którym funkcje są połączone znakami relacji >, . Nierówności mogą być zarówno liczbowe, jak i dosłowne.
Nierówności z dwoma znakami stosunku nazywane są podwójnymi, z trzema - potrójnymi itp. Na przykład:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nierówności zawierające znak > lub lub - nie są ścisłe.
Rozwiązanie nierówności jest dowolną wartością zmiennej, dla której ta nierówność będzie prawdziwa.
"Rozwiąż nierówność" oznacza, że ​​musimy znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. Są różne metody rozwiązywania nierówności. Dla rozwiązania nierówności Używają osi liczbowej, która jest nieskończona. Na przykład, rozwiązanie nierówności x > 3 to przedział od 3 do +, a liczba 3 nie jest wliczona w ten przedział, dlatego punkt na prostej jest oznaczony pustym okręgiem, ponieważ nierówność jest ostra.
+
Odpowiedź będzie brzmiała: x (3; +).
Wartość x=3 nie jest uwzględniona w zestawie rozwiązań, dlatego nawias jest okrągły. Znak nieskończoności zawsze się wyróżnia nawias. Znak oznacza „przynależność”.
Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać nierówności na innym przykładzie ze znakiem:
x 2
-+
Wartość x=2 jest zawarta w zbiorze rozwiązań, zatem nawias ma kształt kwadratu, a punkt na prostej zaznaczony jest wypełnionym okręgiem.
Odpowiedź będzie brzmieć: x. Wykres zestawu rozwiązań pokazano poniżej.

Podwójne nierówności

Kiedy dwie nierówności są połączone słowem I, Lub, następnie powstaje podwójna nierówność. Podwójna nierówność, np
-3 I 2x + 5 ≤ 7
zwany połączony, bo używa I. Wpis -3 Nierówności podwójne można rozwiązać stosując zasady dodawania i mnożenia nierówności.

Przykład 2 Rozwiąż -3 Rozwiązanie Mamy

Zbiór rozwiązań (x|x ≤ -1 Lub x > 3). Rozwiązanie możemy również zapisać, korzystając z notacji przedziałowej i symbolu wspomnienia lub włączając oba zbiory: (-∞ -1] (3, ∞) Wykres zbioru rozwiązań pokazano poniżej.

Aby to sprawdzić, wykreślmy y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Zauważ, że dla (x|x ≤ -1 Lub x > 3), y 1 ≤ y 2 Lub y 1 > y 3 .

Nierówności o wartości bezwzględnej (moduł)

Nierówności czasami zawierają moduły. Do ich rozwiązania wykorzystywane są następujące właściwości.
Dla a > 0 i wyrażenia algebraicznego x:
|x| |x| > a jest równoważne x lub x > a.
Podobne stwierdzenia dla |x| ≤ a i |x| ≥ a.

Na przykład,
|x| |y| ≥ 1 odpowiada y ≤ -1 Lub y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 odpowiada -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Przykład 4 Rozwiąż każdą z poniższych nierówności. Narysuj zbiór rozwiązań.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Rozwiązanie
a) |3x + 2|

Zbiór rozwiązań to (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Zbiór rozwiązań to (x|x ≤ 2 Lub x ≥ 3) lub (-∞, 2] )