Wielomiany kilku zmiennych rozwiązujące równania jednorodne. Wielomian, jego postać standardowa, stopień i współczynniki wyrazów

Po przestudiowaniu jednomianów przechodzimy do wielomianów. W tym artykule dowiesz się o wszystkich niezbędnych informacjach wymaganych do wykonania na nich działań. Zdefiniujemy wielomian wraz z towarzyszącymi definicjami terminu wielomianowego, to znaczy swobodnego i podobnego, rozważymy wielomian w postaci standardowej, wprowadzimy stopień i nauczymy się go znajdować oraz pracować z jego współczynnikami.

Wielomian i jego pojęcia - definicje i przykłady

Definicja wielomianu została podana w 7 zajęcia po przestudiowaniu jednomianów. Przyjrzyjmy się jego pełnej definicji.

Definicja 1

Wielomian Obliczana jest suma jednomianów, a sam jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu.

Z definicji wynika, że ​​przykłady wielomianów mogą być różne: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z i tak dalej. Z definicji mamy to 1+x, za 2 + b 2 i wyrażenie x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x są wielomianami.

Przyjrzyjmy się kolejnym definicjom.

Definicja 2

Członkowie wielomianu nazywane są jego jednomianami składowymi.

Rozważmy przykład, w którym mamy wielomian 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, składający się z 4 wyrazów: 3 x 4, − 2 x y, 3 i - y 3. Taki jednomian można uznać za wielomian, który składa się z jednego wyrazu.

Definicja 3

Wielomiany zawierające 2, 3 trójmiany mają odpowiednią nazwę - dwumianowy I trójmian.

Wynika z tego wyrażenie formy x+y– jest dwumianem, a wyrażenie 2 x 3 q − q x x x + 7 b jest trójmianem.

Zgodnie z programem szkolnym pracowaliśmy z dwumianem liniowym w postaci a · x + b, gdzie a i b to pewne liczby, a x to zmienna. Rozważmy przykłady dwumianów liniowych postaci: x + 1, x · 7, 2 − 4 z przykładami trójmianów kwadratowych x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Aby przekształcić i rozwiązać, należy znaleźć i przynieść podobne terminy. Na przykład wielomian w postaci 1 + 5 x - 3 + y + 2 x ma podobne wyrazy 1 i - 3, 5 x i 2 x. Dzielą się one na specjalną grupę zwaną podobnymi członkami wielomianu.

Definicja 4

Podobne wyrazy wielomianu są podobnymi terminami występującymi w wielomianie.

W powyższym przykładzie mamy, że 1 i - 3, 5 x i 2 x są podobnymi wyrazami wielomianu lub podobnymi wyrazami. Aby uprościć wyrażenie, znajdź i skróć podobne terminy.

Wielomian postaci standardowej

Wszystkie jednomiany i wielomiany mają swoje własne nazwy.

Definicja 5

Wielomian postaci standardowej jest wielomianem, w którym każdy zawarty w nim wyraz ma jednomian w postaci standardowej i nie zawiera wyrazów podobnych.

Z definicji jasno wynika, że ​​wielomiany postaci standardowej można redukować, na przykład 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a wpis ma standardową formę. Wyrażenia 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z i 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nie są wielomianami postaci standardowej, ponieważ pierwszy z nich ma podobne wyrazy w forma 3 · x 2 i − x 2, a drugi zawiera jednomian postaci x · y 3 · x · z 2, który różni się od wielomianu standardowego.

Jeśli wymagają tego okoliczności, czasami wielomian sprowadza się do postaci standardowej. Pojęcie wolnego terminu wielomianu jest również uważane za wielomian w postaci standardowej.

Definicja 6

Swobodny wyraz wielomianu jest wielomianem w postaci standardowej, który nie ma części dosłownej.

Innymi słowy, gdy wielomian w postaci standardowej ma liczbę, nazywa się go członkiem swobodnym. Wtedy liczba 5 jest wyrazem wolnym wielomianu x 2 z + 5, a wielomian 7 a + 4 a b + b 3 nie ma terminu wolnego.

Stopień wielomianu - jak go znaleźć?

Definicja stopnia samego wielomianu opiera się na definicji wielomianu w postaci standardowej oraz na stopniach jednomianów będących jego składnikami.

Definicja 7

Stopień wielomianu postaci standardowej nazywany jest największym ze stopni zawartych w jego zapisie.

Spójrzmy na przykład. Stopień wielomianu 5 x 3 − 4 jest równy 3, gdyż jednomiany wchodzące w jego skład mają odpowiednio stopnie 3 i 0, a większy z nich ma odpowiednio stopień 3. Definicja stopnia z wielomianu 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x jest równa największej z liczb, czyli 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 i 1, co oznacza 5 .

Należy dowiedzieć się, w jaki sposób znajduje się sam stopień.

Definicja 8

Stopień wielomianu dowolnej liczby jest stopniem odpowiedniego wielomianu w postaci standardowej.

Kiedy wielomian nie jest zapisany w postaci standardowej, ale trzeba znaleźć jego stopień, należy go zredukować do postaci standardowej, a następnie znaleźć wymagany stopień.

Przykład 1

Znajdź stopień wielomianu 3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12.

Rozwiązanie

Najpierw przedstawmy wielomian w postaci standardowej. Otrzymujemy wyrażenie w postaci:

3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12 = = (3 za 12 - 2 za 12 - za 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = - 2 · za 2 · b 2 · do 2 + y 2 · z 2

Otrzymując wielomian o postaci standardowej, zauważamy, że wyraźnie wyróżniają się dwa z nich - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Aby znaleźć stopnie, liczymy i stwierdzamy, że 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4. Jak widać, największy z nich to 6. Z definicji wynika, że ​​6 to stopień wielomianu − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , a zatem wartość pierwotna.

Odpowiedź: 6 .

Współczynniki wyrazów wielomianowych

Definicja 9

Kiedy wszystkie wyrazy wielomianu są jednomianami postaci standardowej, wówczas w tym przypadku mają nazwę współczynniki wyrazów wielomianowych. Inaczej mówiąc, można je nazwać współczynnikami wielomianu.

Rozważając przykład, widać, że wielomian postaci 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 zawiera 4 wielomiany: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x i 7 z odpowiadającymi im współczynnikami 2, - 0, 5, 3 i 7. Oznacza to, że 2, − 0, 5, 3 i 7 uważa się za współczynniki wyrazów danego wielomianu w postaci 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Podczas konwersji należy zwrócić uwagę na współczynniki przed zmiennymi.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Z kilku zmiennych. Przypomnijmy najpierw pojęcie wielomianu i definicje z nim związane.

Definicja 1

Wielomian-- jest sumą jednomianów.

Definicja 2

Wyrazy wielomianowe-- to są wszystkie jednomiany zawarte w wielomianie.

Definicja 3

Wielomian w postaci standardowej to wielomian składający się z jednomianów w postaci standardowej, który nie ma podobnych wyrazów.

Definicja 4

Stopień wielomianu postaci standardowej-- największy stopień stopni jednomianów w nim zawartych.

Wprowadźmy teraz bezpośrednio definicję wielomianu w dwóch zmiennych.

Definicja 5

Wielomian, którego wyrazy mają tylko dwie różne zmienne, nazywany jest wielomianem składającym się z dwóch zmiennych.

Przykład: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Na dwumianach można wykonywać następujące operacje: dwumiany można dodawać i odejmować od siebie, mnożyć między sobą, a także mnożyć przez jednomian i podnosić do dowolnej potęgi.

Suma wielomianów dwóch zmiennych

Rozważmy sumę dwumianów na przykładzie

Przykład 1

Dodajmy dwumiany $(xy)^5+(3x)^5$ i $(3x)^5-(xy)^5$

Rozwiązanie.

Pierwszym krokiem jest zapisanie tych wielomianów jako sumy:

\[\lewo((xy)^5+(3x)^5\prawo)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Rozwińmy nawiasy:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Odpowiedź:$(6x)^5$.

Różnica wielomianów dwóch zmiennych

Przykład 2

Odejmij od dwumianu $(xy)^5+(3x)^5$ dwumian $(3x)^5-(xy)^5$

Rozwiązanie.

Pierwszym krokiem jest zapisanie tych wielomianów jako różnicy:

\[\lewo((xy)^5+(3x)^5\prawo)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Rozwińmy nawiasy:

Przypomnijmy, że jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus, to po otwarciu nawiasów znaki w nawiasach zmienią się na przeciwne.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Przedstawmy podobne terminy i w rezultacie otrzymamy:

\[(2xy)^5\]

Odpowiedź:$(2xy)^5$.

Iloczyny jednomianu i wielomianu w dwóch zmiennych

Mnożenie jednomianu przez wielomian zawsze daje w wyniku wielomian.

Schemat mnożenia jednomianu przez wielomian

• powstaje dzieło.
• Nawiasy otwierają się. Aby otworzyć nawiasy podczas mnożenia, należy pomnożyć każdy jednomian przez każdy element wielomianu i dodać je do siebie.
• liczby są grupowane z liczbami, które są między sobą tymi samymi zmiennymi.
• liczby są mnożone i dodawane są potęgi odpowiednich identycznych zmiennych.

Przykład 3

Pomnóż jednomian $x^2y$ przez wielomian $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Rozwiązanie.

Skomponujmy kawałek:

Rozwińmy nawiasy:

Mnożąc otrzymujemy:

Odpowiedź:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Iloczyn dwóch wielomianów z dwiema zmiennymi

Zasada mnożenia wielomianu przez wielomian: Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu, dodać otrzymane iloczyny i otrzymany wielomian sprowadzić do standardu formularz.

Pojęcie wielomianu

Definicja 1

Jednomian- są to liczby, zmienne, ich potęgi i iloczyny.

Definicja 2

Wielomian-- jest sumą jednomianów.

Przykład: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definicja 4

Standardowa forma jednomianu-- zapisanie jednomianu jako iloczynu liczby i potęg naturalnych zmiennych wchodzących w skład jednomianu.

Definicja 5

Wielomian postaci standardowej jest wielomianem składającym się z jednomianów o postaci standardowej, który nie ma podobnych członków.

Definicja 6

Potęga jednomianu-- suma wszystkich potęg zmiennych wchodzących w skład jednomianu.

Definicja 7

Stopień wielomianu postaci standardowej-- największy stopień stopni jednomianów w nim zawartych.

Dla pojęcia wielomianu kilku zmiennych można wyróżnić przypadki szczególne: dwumianowy i trójmianowy.

Definicja 8

Dwumianowy- wielomian składający się z dwóch wyrazów.

Przykład: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Definicja 9

Trójmian- wielomian składający się z trzech wyrazów.

Przykład: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Na wielomianach można wykonywać następujące operacje: wielomiany można dodawać i odejmować od siebie, mnożyć między sobą, a także mnożyć przez jednomian.

Suma wielomianów

Wielomiany można dodawać do siebie. Rozważ następujący przykład.

Przykład 1

Dodajmy wielomiany $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ i $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Pierwszym krokiem jest zapisanie tych wielomianów jako sumy:

\[\lewo((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\prawo)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozwińmy nawiasy:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Widzimy, że suma tych dwóch wielomianów również dała wielomian.

Różnica wielomianów

Przykład 2

Odejmij wielomian $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ od wielomianu $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Pierwszym krokiem jest zapisanie tych wielomianów jako różnicy:

\[\lewo((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\prawo)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Rozwińmy nawiasy:

Przypomnijmy, że jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus, to po otwarciu nawiasów znaki w nawiasach zmienią się na przeciwne.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Przedstawmy podobne terminy i w rezultacie otrzymamy:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Widzimy, że różnica między tymi dwoma wielomianami również dała wielomian.

Iloczyn jednomianu i wielomianu

Mnożenie jednomianu przez wielomian zawsze daje w wyniku wielomian.

Schemat mnożenia jednomianu przez wielomian.

• powstaje dzieło.
• Nawiasy otwierają się. Aby otworzyć nawiasy, podczas mnożenia należy pomnożyć każdy jednomian przez każdy element wielomianu i dodać je do siebie.
• liczby są grupowane z liczbami, które są między sobą tymi samymi zmiennymi.
• liczby są mnożone i dodawane są potęgi odpowiednich identycznych zmiennych.

Przykład 3

Pomnóż jednomian $(-m^2n)$ przez wielomian $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Rozwiązanie.

Skomponujmy kawałek:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Rozwińmy nawiasy:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Mnożąc, otrzymujemy.

Weźmy dwie litery X I y. Produkt gdzie A– liczba zwana jednomianem. Jego stopień jest k+l. Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. W przeciwieństwie do wielomianów z jedną zmienną, nie ma ogólnie przyjętego standardowego zapisu wielomianów z dużą liczbą zmiennych.
Podobnie jak wielomiany w jednej zmiennej, wielomiany w dwóch zmiennych można rozłożyć na czynniki. Ważnym rozwinięciem jest rozwinięcie różnicy N- stopnie naukowe, z których znasz n=2 I 3 :


Wzory te można łatwo uogólnić na dowolne N:

Suma N- stopnie można łatwo rozszerzyć w przypadku gdy N dziwne. Termin ten można przedstawić jako i skorzystaj ze wzoru na rozwinięcie różnicy N- stopni.

Wielomiany symetryczne
Wśród wielomianów dwóch zmiennych ważną rolę odgrywają wielomiany symetryczne, czyli wielomiany, które nie zmieniają się pod wpływem zmiany układu liter X I y.

Wielomian symetryczny- wielomian w n zmiennych, który nie zmienia się przy wszystkich permutacjach zmiennych w nim zawartych.

Przykłady

• Podstawowe wielomiany symetryczne - wielomiany postaci

specyficzny dla , czyli te:

Lekcja algebry i analiza rozpoczęła się w 11 klasie

„Wielomiany w kilku zmiennych”

Cele: Poszerzyć wiedzę o wielomianach z jedną zmienną i wielomianach z kilkoma zmiennymi, o technikach rozkładu wielomianów na czynniki.

Zadania:

Edukacyjny :

rozwinąć umiejętność przedstawienia wielomianu z kilkoma zmiennymi w postaci standardowej;

utrwalić umiejętności rozkładu wielomianu na czynniki na różne sposoby;

uczyć, jak zastosować kluczowe zadania nie tylko w znanych, ale zmodyfikowanych i nieznanych sytuacjach.

Rozwojowy

zapewniają warunki do rozwoju procesów poznawczych;

promować rozwój logicznego myślenia, obserwacji, umiejętności prawidłowego podsumowywania danych i wyciągania wniosków;

Cpromowanie rozwoju umiejętności stosowania wiedzy w niestandardowych warunkach

Edukacyjny :

stworzyć warunki do zaszczepiania szacunku dla dziedzictwa kulturowego i historycznego nauk matematycznych;

promowanie umiejętności czytania i pisania wśród uczniów.

Typ lekcji: lekcja na temat uczenia się nowego tematu

Sprzęt: komputer, projektor, ekran, arkusze ćwiczeń.

Plan lekcji:

1. Moment organizacyjny: wystąpienie wprowadzające nauczyciela, (1 min.)
2. Aktualizacja wiedzy podstawowej. (6 minut):

3. Studiowanie nowego tematu. (7 minut)
4. Utrwalenie zdobytej wiedzy. (15 minut)

5.Wykorzystanie materiału historycznego. (3 minuty)

6. Monitorowanie wyników konsolidacji pierwotnej – praca samodzielna (5 min)

6. Podsumowanie lekcji. Odbicie. (2 minuty)

7. Zadanie domowe, instrukcja jego wykonania (1 min.)

Podczas zajęć

1. Wprowadzenie nauczyciela

Istotny jest temat „Wielomiany” (wielomiany w jednej zmiennej, wielomiany w kilku zmiennych), umiejętność dzielenia wielomianu przez wielomian z „kątem”, twierdzenie Bezouta, następstwo twierdzenia Bezouta, zastosowanie schematu Hornera przy rozwiązywaniu równania wyższych stopni pozwolą Ci poradzić sobie z najbardziej złożonymi zadaniami USE dla kursu licealnego.

Nie ma co bać się popełniać błędów, rady, aby uczyć się na błędach innych, są bezużyteczne, można uczyć się tylko na własnych błędach. Bądź aktywny i uważny.

2.Aktualizacja wiedzy podstawowej

Pracuj na arkuszach (uwzględniaj na różne sposoby). Pracuj w parach

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

o +4 (x + y) + bx

x y + xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + topór

cb + 3a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 do

P 2 x + p x 2

2 ac - 4 p.n.e

3x 2 + 3x 3 y

6a 2 b + 3 ab 2

9x 2 – 4 lata 2

16 m 2 – 9 rz 2

X 3 +y 3

A 3 – 8 lat 3

M 2 +3m -18

2x 2 + 3x+1

3 lata 2 + 7 lat – 6

3a 2 + 7 za + 2

7n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

A 2 +5 ab +4 b 2

C 2 - 4 cb + 3 b 2

(Weryfikacja równorzędna w celu oceny)

Czy wszystko jest jasne? Jakie problemy napotkałeś?

Jak to przedstawić w formie dzieła???

A 2 +5 ok +4 B 2

C 2 - 4 cb + 3 B 2

Powróćmy do tego zagadnienia nieco później.

3. Studiowanie nowego tematu.

Jak możemy nazwać wyrażenia, które rozłożyliśmy na czynniki?Wielomian z kilkoma zmiennymi)

Postać standardowa wielomianu z kilkoma zmiennymi

5 xx – 2 y X y 2 + (- 3 y ) + 45 xxyy Czy można to nazwać wielomianem postaci standardowej? Przedstaw go w standardowej formie.5 X 2 – 2 X y 3 + 45 X 2 y 2

(Rozróżnij wielomiany z jedną zmienną iwielomiany z kilkoma zmiennymi, reprezentują wielomian w postaci standardowej, reprezentują wielomian jako iloczyn))

Leżałeświelomiany czynnikowe w kilku zmiennych. Wymień te metody.(slajd)

Wielomiany wyższych stopni z jedną zmienną rozłożono na czynniki według schematu Hornera, dzieląc przez róg, korzystając z twierdzenia Bezouta.

Konsultanci w zarządzie tłumaczą to na dwa sposoby

. A 2 +5 ok +4 B 2

C 2 - 4 cb + 3 B 2

Wniosek nauczyciela: metoda nieoczywista, ale interesująca.

4. Utrwalenie zdobytej wiedzy

(Praca w grupach nr 2.2 podręcznika, jeśli to możliwe, rozkładaj na czynniki na dwa sposoby, nr 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Wykorzystanie materiału historycznego.

Opowieści uczniów o Bezu, Gornerze

Połącz się z nowoczesnością

Niezależna praca

1 opcja

Opcja 2

Biorąc pod uwagę wielomian F ( X ; y )= yx 5 y 2 X 2 + X 3 y 4 xy 2 -2 X 4 y(-1) y 5 – y 3 y 3 X 4 +15 X 4 yx 3 y 2 + X 2 y 2 ( X 5 y- X 2 y 4 )

Dan wielomian f(a;b)= A 2 b(a 3 nocleg ze śniadaniem 2 A 2 )+4a 3 (-1)b 2 A 2 -2aba 4 b+ 7ab 0 A 4 B 2 -3a 3 kochanie 2

A) Sprowadź ten wielomian do postaci standardowej.

B) Ustal, czy podany wielomian jest jednorodny.

B) Ustal, czy podany wielomian jest jednorodny.

C) Jeżeli wielomian ten jest jednorodny, określ jego stopień.

(Sprawdź na slajdach) wystaw sobie ocenę

7. Zadanie domowe, instrukcja jego wykonanianr 2.1; nr 2.4(c, d); Nr 2.7 (b) dla każdegoNr 2.11 (a, b) Wyprowadź wzór na skrócone mnożenie „Kwadrat sumy trójmianu”, rozkład na czynniki X N - y N Dla N - naturalny.- dla chcących Algebra i początki analizy część 2. Książka problemowa dla klasy 11. Autorzy: A. G. Mordkovich, P. V. Semenov;

8. Podsumowanie lekcji. Odbicie

Kroki lekcji

Czas, min

Działalność nauczyciela

Działalność studencka

Metody, techniki i formy szkolenia

Przewidywany rezultat działań edukacyjnych

Wsparcie dydaktyczne i metodyczne