Wykres funkcji y = sin x. Wykres funkcji y \u003d sin x „Techniczna Szkoła Technologii Usług Yoshkar-Ola”

Jak wykreślić funkcję y = sin x? Najpierw rozważmy wykres sinusa na przedziale.

Bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek notatnika. Zaznaczamy jednostkę na osi Oy.

Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada trzem komórkom.

Na osi Wół zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio, odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.

Przy takim wyborze pojedynczego segmentu wykres przedstawiony na kartce zeszytu w ramce odpowiada w jak największym stopniu wykresowi funkcji y=sin x.

Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:

Wynikowe punkty są zaznaczone na płaszczyźnie współrzędnych:

Ponieważ y=sin x jest funkcją nieparzystą, wykres sinusoidalny jest symetryczny względem punktu początkowego - punktu O(0;0). Biorąc pod uwagę ten fakt, kontynuujemy kreślenie wykresu po lewej stronie, a następnie punkty -π:

Funkcja y=sin x jest okresowa z okresem T=2π. Dlatego wykres funkcji, wzięty na przedziale [-π; π], powtarza się nieskończoną ilość razy w prawo iw lewo.

Rozciągnięcie wykresu y=sinx wzdłuż osi y. Podana jest funkcja y=3sinx. Aby zbudować jego wykres, musisz rozciągnąć wykres y=sinx tak, aby E(y): (-3; 3).

Zdjęcie 7 z prezentacji „Wykres funkcji” do lekcji algebry na temat "Wykres funkcji"

Wymiary: 960 x 720 pikseli, format: jpg. Aby pobrać obrazek do lekcji algebry za darmo, kliknij prawym przyciskiem myszy na obrazek i kliknij "Zapisz obrazek jako...". Aby wyświetlić zdjęcia na lekcji, możesz również bezpłatnie pobrać pełną prezentację „Zbuduj wykres funkcji.ppt” ze wszystkimi zdjęciami w archiwum zip. Rozmiar archiwum - 327 KB.

Pobierz prezentację

Wykres funkcji

"Graph the function" - Treść: Rozciągnięcie wykresu y=sinx wzdłuż osi y. Podana jest funkcja y=3sinx. Podana jest funkcja y=sinx+1. Podana jest funkcja y=3cosx. Sporządź wykres funkcji. Wykres funkcji y= m*cos x. Wypełniał: Kadet 52. grupy studyjnej Aleksiej Levin. Przesunięcia wykresu y=cosx w pionie. Aby przejść do przykładowych zadań, kliknij l. przycisk myszy.

„Układ współrzędnych w przestrzeni” - Rygiel jest zamknięty. Wysokość, szerokość, głębokość. Prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni. Współrzędne punktu w przestrzeni. Praca M. Eschera odzwierciedla ideę wprowadzenia w przestrzeni prostokątnego układu współrzędnych. Ox to oś odciętych, Oy to oś rzędnych, Oz to oś aplikacji. Posłuchaj sfer sonatowych z Pitagorasem, Atomy liczą się długo, jak Demokryt.

"Płaszczyzna współrzędnych klasy 6" - U. Matematyka klasa 6. 1. Znajdź i zapisz współrzędne punkty A,B, C, D: . . Płaszczyzna współrzędnych. -3. jeden.

„Funkcje i ich wykresy” - Przykłady funkcji nieparzystych: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Jeśli k? 0 i b? 0, to y = kx + b. Funkcja jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczby rzeczywiste. Funkcja liniowa postaci y = kx nazywamy proporcjonalnością bezpośrednią. Moc. y = sinx. Okresowość.

„Badania funkcji” - Funkcje. Dorokhova Yu.A. Pamiętajmy... Plan pracy lekcji. Korzystając ze schematu badania funkcji wykonaj zadanie: s. 24; nr 296 (a; b), nr 299 (a; b). Czy wiesz, że... Cel lekcji: Zastosowanie pochodnej. Ćwiczenie. Prace weryfikacyjne: Wykonaj ustnie: Dla funkcji f (x) \u003d x3 określ D (f), parzystość, wzrost, spadek.

„Zwiększanie i zmniejszanie funkcji” - Zwiększanie i zmniejszanie funkcji. Spójrzmy na przykład funkcji rosnących i malejących. Ze względu na okresowość funkcji sinus, dowód jest wystarczający do przeprowadzenia dla odcinka [-?/2; ?/2]. Rozważmy jeszcze jeden przykład. Jeśli -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Łącznie w temacie jest 25 prezentacji

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja y=sin(x). Definicje i właściwości”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:

• Własności funkcji Y=sin(X).
• Wykres funkcji.
• Jak zbudować wykres i jego skalę.
• Przykłady.

właściwości sinusoidalne. Y=grzech(X)

Chłopaki, spotkaliśmy się już z funkcjami trygonometrycznymi argumentu liczbowego. Pamiętasz je?

Przyjrzyjmy się bliżej funkcji Y=sin(X)

Zapiszmy kilka właściwości tej funkcji:
1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2) Funkcja jest nieparzysta. Przypomnijmy sobie definicję funkcji nieparzystej. Funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli równość jest prawdziwa: y(-x)=-y(x). Jak pamiętamy ze wzorów duchów: sin(-x)=-sin(x). Definicja jest spełniona, więc Y=sin(X) jest funkcją nieparzystą.
3) Funkcja Y=sin(X) rośnie na przedziale i maleje na przedziale [π/2; π]. Gdy poruszamy się po pierwszej ćwiartce (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), rzędna wzrasta, a gdy poruszamy się po drugiej ćwiartce, maleje.

4) Funkcja Y=sin(X) jest ograniczona od dołu i od góry. Ta właściwość wynika z faktu, że
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmniejsza wartość funkcji to -1 (dla x = - π/2+ πk). Największa wartość funkcji to 1 (dla x = π/2+ πk).

Użyjmy właściwości 1-5, aby wykreślić funkcję Y=sin(X). Zbudujemy nasz wykres sekwencyjnie, stosując nasze właściwości. Zacznijmy budować wykres na segmencie.

Szczególną uwagę należy zwrócić na wagę. Na osi rzędnych wygodniej jest wziąć pojedynczy segment równy 2 komórkom, a na osi odciętej - pojedynczy segment (dwie komórki), który należy wziąć równy π / 3 (patrz rysunek).

Wykreślanie funkcji sinus x, y=sin(x)

Obliczmy wartości funkcji na naszym segmencie:

Zbudujmy wykres dla naszych punktów, biorąc pod uwagę trzecią właściwość.

Tabela przeliczeniowa dla formuł duchów

Użyjmy drugiej właściwości, która mówi, że nasza funkcja jest nieparzysta, co oznacza, że ​​może być odzwierciedlona symetrycznie względem początku:

Wiemy, że sin(x+2π) = sin(x). Oznacza to, że na przedziale [-π; π] wykres wygląda tak samo jak na odcinku [π; 3π] lub lub [-3π; - pi] i tak dalej. Pozostaje nam dokładnie przerysować wykres z poprzedniego rysunku na całej osi x.

Wykres funkcji Y=sin(X) nazywamy sinusoidą.

Napiszmy jeszcze kilka właściwości zgodnie ze skonstruowanym wykresem:
6) Funkcja Y=sin(X) rośnie na dowolnym odcinku postaci: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k jest liczbą całkowitą i maleje na dowolnym odcinku postaci: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k jest liczbą całkowitą.
7) Funkcja Y=sin(X) jest funkcją ciągłą. Spójrzmy na wykres funkcji i upewnijmy się, że nasza funkcja nie ma przerw, oznacza to ciągłość.
8) Zakres wartości: segment [- 1; jeden]. Widać to również wyraźnie na wykresie funkcji.
9) Funkcja Y=sin(X) jest funkcją okresową. Spójrzmy jeszcze raz na wykres i zobaczmy, że funkcja przyjmuje te same wartości w pewnych odstępach czasu.

Przykłady problemów z sinusem

1. Rozwiąż równanie sin(x)= x-π

Rozwiązanie: Zbudujmy 2 wykresy funkcji: y=sin(x) i y=x-π (patrz rysunek).
Nasze wykresy przecinają się w jednym punkcie A(π; 0), to jest odpowiedź: x = π

2. Wykreśl funkcję y=sin(π/6+x)-1

Rozwiązanie: Pożądany wykres otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=sin(x) o π/6 jednostek w lewo i 1 jednostkę w dół.

Rozwiązanie: Zbudujmy wykres funkcji i rozważmy nasz odcinek [π/2; 5π/4].
Z wykresu funkcji wynika, że ​​największe i najmniejsze wartości osiągane są na końcach odcinka, odpowiednio w punktach π/2 i 5π/4.
Odpowiedź: sin(π/2) = 1 to największa wartość, sin(5π/4) = najmniejsza wartość.

Problemy sinusowe do samodzielnego rozwiązania

• Rozwiąż równanie: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Wykreśl funkcję y=sin(π/3+x)-2
• Wykreśl funkcję y=sin(-2π/3+x)+1
• Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) na odcinku
• Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) na odcinku [-π/3; 5π/6]

Odkryliśmy, że zachowanie funkcji trygonometrycznych i funkcji y = grzech x w szczególności, na całej osi liczbowej (lub dla wszystkich wartości argumentu) X) jest całkowicie zdeterminowany jego zachowaniem w przedziale 0 < X < π / 2 .

Dlatego przede wszystkim wykreślimy funkcję y = grzech x dokładnie w tym przedziale.

Zróbmy poniższą tabelę wartości naszej funkcji;

Zaznaczając odpowiednie punkty na płaszczyźnie współrzędnych i łącząc je płynną linią, otrzymujemy krzywą pokazaną na rysunku

Otrzymaną krzywą można również skonstruować geometrycznie bez kompilowania tabeli wartości funkcji y = grzech x .

1. Pierwsza ćwiartka okręgu o promieniu 1 jest podzielona na 8 równych części.Rzędnymi punktów podziału okręgu są sinusy odpowiednich kątów.

2. Pierwsza ćwiartka koła odpowiada kątom od 0 do π / 2 . Dlatego na osi X Weź segment i podziel go na 8 równych części.

3. Narysujmy proste linie równoległe do osi X, a z punktów podziału przywracamy prostopadłe do przecięcia z liniami poziomymi.

4. Połącz punkty przecięcia delikatną linią.

Spójrzmy teraz na interwał π / 2 < X < π .
Każda wartość argumentu X z tego przedziału można przedstawić jako

x = π / 2 + φ

gdzie 0 < φ < π / 2 . Zgodnie z formułami redukcyjnymi

grzech( π / 2 + φ ) = cos φ = grzech ( π / 2 - φ ).

Punkty osi X z odciętymi π / 2 + φ oraz π / 2 - φ symetryczne względem siebie względem punktu osi X z odciętymi π / 2 , a sinusy w tych punktach są takie same. Pozwala to uzyskać wykres funkcji y = grzech x w przedziale [ π / 2 , π ] po prostu wyświetlając symetrycznie wykres tej funkcji w przedziale względem linii prostej X = π / 2 .

Teraz korzystam z nieruchomości nieparzysta funkcja y \u003d grzech x,

grzech(- X) = -sin X,

łatwo jest wykreślić tę funkcję w przedziale [- π , 0].

Funkcja y \u003d sin x jest okresowa z okresem 2π ;. Dlatego, aby zbudować cały wykres tej funkcji, wystarczy okresowo kontynuować krzywą pokazaną na rysunku po lewej i prawej stronie z kropką 2π .

Powstała krzywa nazywa się sinusoida . To jest wykres funkcji y = grzech x.

Rysunek dobrze ilustruje wszystkie te właściwości funkcji y = grzech x , które wcześniej zostały przez nas sprawdzone. Przypomnij sobie te właściwości.

1) funkcja y = grzech x zdefiniowany dla wszystkich wartości X , tak aby jego domeną był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2) Funkcja y = grzech x ograniczony. Wszystkie przyjmowane wartości mieszczą się w przedziale od -1 do 1, łącznie z tymi dwiema liczbami. Dlatego zakres tej funkcji jest określony przez nierówność -1 < w < 1. Kiedy X = π / 2 + 2k π funkcja trwa najwyższe wartości, równy 1 i przy x = - π / 2 + 2k π - najmniejsze wartości równe - 1.

3) Funkcja y = grzech x jest nieparzysta (sinusoida jest symetryczna względem początku).

4) Funkcja y = grzech x okresowo z okresem 2 π .

5) W interwałach 2n π < x < π + 2n π (n jest dowolną liczbą całkowitą) jest dodatnia i w przedziałach π + 2k π < X < 2π + 2k π (k jest dowolną liczbą całkowitą) jest ujemne. Dla x = k π funkcja dochodzi do zera. Dlatego te wartości argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazywane są zerami funkcji y = grzech x

6) W odstępach - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcjonować y = grzech x wzrasta monotonicznie i interwałowo π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π zmniejsza się monotonicznie.

Zwróć szczególną uwagę na zachowanie funkcji y = grzech x blisko punktu X = 0 .

Na przykład grzech 0,012 ≈ 0,012; grzech (-0,05) ≈ -0,05;

grzech2° = grzech π 2 / 180=grzech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Należy jednak zauważyć, że dla dowolnych wartości x

| grzech x| < | x | . (1)

Rzeczywiście, niech promień okręgu pokazanego na rysunku będzie równy 1,
a / AOB = X.

Wtedy grzech x= AC. Ale AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Długość tego łuku jest oczywiście równa X, ponieważ promień okręgu wynosi 1. Czyli dla 0< X < π / 2

grzech x< х.

Stąd, ze względu na niezwykłość funkcji y = grzech x łatwo to pokazać, kiedy - π / 2 < X < 0

| grzech x| < | x | .

Wreszcie w x = 0

| grzech x | = | x |.

Tak więc dla | X | < π / 2 udowodniono nierówność (1). W rzeczywistości ta nierówność dotyczy również | x | > π / 2 ze względu na fakt, że | | grzech X | < 1, a π / 2 > 1

Ćwiczenia

1. Zgodnie z harmonogramem funkcji y = grzech x ustalić: a) grzech 2; b) grzech 4; c) grzech (-3).

2. Funkcja harmonogramu y = grzech x określić, która liczba z przedziału
[ - π / 2 , π / 2 ] ma sinus równy: a) 0,6; b) -0,8.

3. Zaplanowana funkcja y = grzech x określić, które liczby mają sinus,
równy 1 / 2 .

4. Znajdź w przybliżeniu (bez używania tabel): a) sin 1°; b) grzech 0,03;
c) grzech (-0,015); d) grzech (-2°30").

„Wyższa Szkoła Technologii Usługowych im. Yoshkara-Oli”

Budowanie i badanie wykresu funkcja trygonometryczna y=sinx w arkuszu kalkulacyjnymSM przewyższać

/rozwój metodologiczny/

Joszkar - Ola

Temat. Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznejtak = sinx w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel

Rodzaj lekcji– zintegrowany (zdobywanie nowej wiedzy)

Cele:

Cel dydaktyczny - zbadać zachowanie wykresów funkcji trygonometrycznejtak= sinxw zależności od współczynników przy użyciu komputera

Poradniki:

1. Znajdź zmianę na wykresie funkcji trygonometrycznej tak= grzech x w zależności od współczynników

2. Pokazać wprowadzenie technologii komputerowych w nauczaniu matematyki, integrację dwóch przedmiotów: algebry i informatyki.

3. Kształtowanie umiejętności posługiwania się technologią komputerową na lekcjach matematyki

4. Wzmocnij umiejętności badania funkcji i kreślenia ich wykresów

Rozwijanie:

1. Rozwijanie zainteresowania poznawczego uczniów dyscyplinami naukowymi oraz umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy w sytuacjach praktycznych

2. Rozwiń umiejętność analizowania, porównywania, podkreślania najważniejszej rzeczy

3. Przyczynić się do poprawy ogólnego poziomu rozwoju uczniów

wychowawcy :

1. Pielęgnuj niezależność, dokładność, pracowitość

2. Rozwijaj kulturę dialogu

Formy pracy na lekcji -łączny

Sprzęt i sprzęt dydaktyczny:

1. Komputery

2. Projektor multimedialny

4. Materiały informacyjne

5. Slajdy prezentacji

Podczas zajęć

I. Organizacja początku lekcji

Powitanie studentów i gości

· Przygotuj się do lekcji

II. Wyznaczanie celów i aktualizacja tematu

Przestudiowanie funkcji i zbudowanie jej wykresu zajmuje dużo czasu, trzeba wykonać wiele kłopotliwych obliczeń, to nie jest wygodne, na ratunek przychodzą technologie komputerowe.

Dzisiaj dowiemy się, jak budować wykresy funkcji trygonometrycznych w środowisku arkusza kalkulacyjnego MS Excel 2007.

Tematem naszej lekcji jest „Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznej” tak= sinx w arkuszu kalkulacyjnym"

Z przebiegu algebry znamy schemat badania funkcji i konstruowania jej wykresu. Pamiętajmy, jak to zrobić.

slajd 2

Schemat badania funkcji

1. Dziedzina funkcji (D(f))

2. Obszar wartości funkcji Е(f)

3. Definicja parytetu

4. Okresowość

5. Zera funkcji (y=0)

6. Przedziały stałego znaku (y>0, y<0)

7. Przedziały monotoniczności

8. Ekstrema funkcji

III. Podstawowa asymilacja nowego materiału edukacyjnego

Otwórz MS Excel 2007.

Wykreślmy funkcję y=sin x

Drukowanie w arkuszu kalkulacyjnymSM przewyższać 2007

Wykres tej funkcji zostanie zbudowany na odcinku xЄ [-2π; 2π]

Wartości argumentu przyjmiemy krok po kroku , aby wykres był bardziej dokładny.

Ponieważ edytor pracuje z liczbami, zamieńmy radiany na liczby, wiedząc o tym P 3,14 . (tabela tłumaczeń w ulotce).

1. Znajdź wartość funkcji w punkcie x \u003d -2P. Co do reszty, edytor automatycznie oblicza odpowiednie wartości funkcji dla odpowiednich wartości argumentu.

2. Teraz mamy tabelę z wartościami argumentów i funkcji. Mając te dane, musimy wykreślić tę funkcję za pomocą Kreatora wykresów.

3. Aby zbudować wykres, należy wybrać żądany zakres danych, wiersze z wartościami argumentów i funkcjami

4..jpg" szerokość = "667" wysokość = "236 src = ">

Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 5)

Wniosek. Wykres funkcji postaci y=sinx+k otrzymujemy z wykresu funkcji y=sinx stosując przesunięcie równoległe wzdłuż osi y o k jednostek

Jeśli k >0, to wykres jest przesuwany w górę o k jednostek

Jeśli k<0, то график смещается вниз на k единиц

Budowa i badanie funkcji widokuy=k*sinx,k- stały

Zadanie 2. W pracy Arkusz2 funkcje wykresu w jednym układzie współrzędnych tak= sinx tak=2* sinx, tak= * sinx, na przedziale (-2π; 2π) i zobacz, jak zmienia się wykres.

(Aby nie ustawiać ponownie wartości argumentu, skopiujmy istniejące wartości. Teraz musisz ustawić formułę i zbudować wykres z wynikowej tabeli.)

Porównujemy otrzymane wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie się wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na przedziale (-2π; 2π) i zobacz, jak zmienia się wykres.

Porównujemy otrzymane wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie się wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 11)

Wniosek. Wykres funkcji postaci y \u003d sin (x + k) uzyskuje się z wykresu funkcji y \u003d sinx przy użyciu przesunięcia równoległego wzdłuż osi OX o k jednostek

Jeśli k >1, to wykres przesuwa się w prawo wzdłuż osi OX

Jeśli 0

IV. Pierwotna konsolidacja nabytej wiedzy

Zróżnicowane karty z zadaniem budowania i badania funkcji za pomocą wykresu

	Y=6*grzech(x)	Y=1-2 grzechX	Y=- grzech(3x+)
1. Domena
2. Zakres wartości
3. Parytet
4. Okresowość
5. Przedziały stałości
6. lukimonotonia
Funkcja wzrasta
Funkcjonować malejący
7. Ekstrema funkcji
Minimum
Maksymalny

V. Organizacja pracy domowej

Wykreśl funkcję y=-2*sinх+1 , zbadaj i sprawdź poprawność konstrukcji w środowisku arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel. (slajd 12)

VI. Odbicie