Znaczenie geometryczne i mechaniczne pierwszej pochodnej. Mechaniczne znaczenie pochodnej Fizyczne lub mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej

Karta instrukcji nr 20

Takyryby/Temat: « Druga pochodna i jej znaczenie fizyczne».

Maksaty/ Cel:

Potrafić znaleźć równanie stycznej, a także tangens kąta nachylenia stycznej do osi OX. Potrafić znaleźć szybkość zmian funkcji i przyspieszenie.

Stwarzaj warunki do kształtowania umiejętności porównywania i klasyfikowania badanych faktów i pojęć.

Kształtowanie odpowiedzialnej postawy w pracy edukacyjnej, woli i wytrwałości w osiąganiu końcowych rezultatów w znalezieniu równania stycznego, a także w znalezieniu szybkości zmian funkcji i przyspieszenia.

Materiał teoretyczny:

(Wyprowadzone znaczenie geometryczne)

Równanie styczne do wykresu funkcji to:

Przykład 1: Znajdźmy równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie z nieprzyzwoitością 2.

Odpowiedź: y = 4x-7

Współczynnik kątowy k stycznej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą x o jest równy f / (x o) (k= f / (x o)). Kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie jest równy

arctg k = arctg f / (x o), tj. k= f / (x o)= tg

Przykład 2: Pod jakim kątem przebiega sinusoida przecina oś x w początku układu współrzędnych?

Kąt, pod jakim wykres danej funkcji przecina oś x, jest równy nachyleniu a stycznej poprowadzonej w tym punkcie do wykresu funkcji f(x). Znajdźmy pochodną: Biorąc pod uwagę geometryczne znaczenie pochodnej, mamy: i a = 60°. Odpowiedź: =60 0 .

Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, to jej pochodna jest funkcją . Funkcja z kolei może mieć pochodną, ​​którą nazywamy pochodna drugiego rzędu funkcje (lub druga pochodna) i są oznaczone symbolem .

Przykład 3: Znajdź drugą pochodną funkcji: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną tej funkcji f”(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Następnie znajdujemy drugą pochodną otrzymanej pierwszej pochodnej

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Odpowiedź: f""x) = 6x-8.

(Mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej)

Jeżeli punkt porusza się prostoliniowo i podane jest prawo jego ruchu, to przyspieszenie punktu jest równe drugiej pochodnej toru po czasie:

Prędkość ciała materialnego jest równa pierwszej pochodnej drogi, czyli:

Przyspieszenie ciała materialnego jest równe pierwszej pochodnej prędkości, czyli:

Przykład 4: Ciało porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Wyznacz jego prędkość i przyspieszenie w czasie t = 3 s. (Odległość mierzona jest w metrach, czas w sekundach).
Rozwiązanie
w (T) = S (T) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
A (T) = v΄ (T) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
w(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Odpowiedź: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Część praktyczna:

1 opcja	Opcja 2	Opcja 3	Opcja 4	Opcja 5
Znajdź tangens kąta nachylenia do osi x stycznej przechodzącej przez dany punkt M wykres funkcji f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie, w którym odcięta x 0.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Znajdź nachylenie stycznej do funkcji f w punkcie, w którym odcięta x 0.
Znajdź drugą pochodną funkcji:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Ciało porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x (t). Określ jego prędkość i przyspieszenie w tej chwili czas t. (Przemieszczenie mierzone jest w metrach, czas w sekundach).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Pytania kontrolne:

Jakie jest według ciebie fizyczne znaczenie pochodnej – czy jest to prędkość chwilowa czy średnia?

Jaki jest związek pomiędzy styczną poprowadzoną do wykresu funkcji przez dowolny punkt a pojęciem pochodnej?

Jaka jest definicja stycznej do wykresu funkcji w punkcie M(x 0 ;f(x 0))?

Jakie jest mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej?

Pochodna(funkcje w punkcie) - podstawowe pojęcie rachunku różniczkowego, charakteryzujące szybkość zmian funkcji (w danym punkcie). Definiuje się ją jako granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu jej argumentu w miarę, jak przyrost argumentu dąży do zera, jeżeli taka granica istnieje. Funkcję, która ma skończoną pochodną (w pewnym punkcie) nazywa się różniczkowalną (w tym punkcie).

Pochodna. Rozważmy pewną funkcję y = F (X ) w dwóch punktach X 0 i X 0 + : F (X 0) i F (X 0 +). Tutaj, poprzez oznacza niewielką zmianę w argumencie, zwaną przyrost argumentu; odpowiednio różnica między dwiema wartościami funkcji: F (X 0 + )  F (X 0 ) jest nazywany przyrost funkcji.Pochodna Funkcje y = F (X ) W punkcie X 0 zwany limitem:

Jeśli ta granica istnieje, to funkcja F (X ) jest nazywany różniczkowalne w tym punkcie X 0. Pochodna funkcji F (X ) oznacza się następująco:

Geometryczne znaczenie pochodnej. Rozważmy wykres funkcji y = F (X ):

Z rys. 1 widać, że dla dowolnych dwóch punktów A i B wykresu funkcji:

gdzie jest kątem nachylenia siecznej AB.

Zatem stosunek różnicy jest równy nachyleniu siecznej. Jeśli ustalisz punkt A i przesuniesz w jego stronę punkt B, wówczas będzie on zmniejszał się bez ograniczeń i zbliżał się do 0, a sieczna AB zbliża się do stycznej AC. Zatem granica stosunku różnicy jest równa nachyleniu stycznej w punkcie A. Wynika z tego: Pochodną funkcji w punkcie jest nachylenie stycznej do wykresu tej funkcji w tym punkcie. Co to jest znaczenie geometryczne pochodna.

Równanie styczne. Wyprowadźmy równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie A ( X 0 , F (X 0 )). Ogólnie równanie linii prostej ze współczynnikiem nachylenia F ’(X 0 ) ma postać:

y = F ’(X 0 ) · x + b .

Znaleźć B, Skorzystajmy z faktu, że styczna przechodzi przez punkt A:

F (X 0 ) = F ’(X 0 ) · X 0 +b ,

stąd, B = F (X 0 ) – F ’(X 0 ) · X 0 i zamiast tego zastępując to wyrażenie B, dostaniemy równanie styczne:

y =F (X 0 ) + F ’(X 0 ) · ( x – x 0 ) .

Mechaniczne znaczenie pochodnej. Rozważmy najprostszy przypadek: ruch punktu materialnego wzdłuż osi współrzędnych i podane jest prawo ruchu: współrzędna X ruchomy punkt - znana funkcja X (T) czas T. W przedziale czasowym od T 0 do T 0 + punkt przemieszcza się na odległość: X (T 0 + )  X (T 0) = , i ona Średnia prędkość jest równe: w A =  . Przy 0 średnia prędkość dąży do pewnej wartości, która nazywa się chwilowa prędkość w ( T 0 ) materialny punkt w czasie T 0. Ale z definicji pochodnej mamy:

stąd, w (T 0 ) = x” (T 0 ) , tj. prędkość jest pochodną współrzędnej Przez czas. Co to jest zmysł mechaniczny pochodna . Podobnie, przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie: A = v' (T).

8. Tabela instrumentów pochodnych i reguł różniczkowania

O tym, czym jest pochodna, rozmawialiśmy w artykule „Geometryczne znaczenie pochodnej”. Jeśli funkcja jest dana wykresem, jej pochodna w każdym punkcie jest równa tangensowi stycznej do wykresu funkcji. A jeśli funkcja jest podana wzorem, pomoże Ci tabela pochodnych i zasady różniczkowania, czyli zasady znajdowania pochodnej.

Niech będzie dany punkt materialny na płaszczyźnie. Prawo jego ruchu wzdłuż osi współrzędnych opisuje prawo $ x(t) $, gdzie $ t $ określa czas. Następnie w czasie od $ t_0 $ do $ t_0 + \Delta t $ punkt przechodzi drogę $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Okazało się, że Średnia prędkość taki punkt znajduje się według wzoru: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Jeśli $ \Delta t $ dąży do zera, wówczas wartość średniej prędkości będzie dążyć do wartości zwanej chwilowa prędkość w punkcie $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Definiując pochodną poprzez granicę, uzyskujemy związek prędkości z prawem ruchu toru punktu materialnego:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Przykłady rozwiązań

Przykład 1

Oblicz chwilową prędkość punktu materialnego w chwili $ t_0 = 1 $ poruszającego się zgodnie z prawem $ x(t) = t^2+3t-1 $

Rozwiązanie

Definiując mechaniczne znaczenie pochodnej, otrzymujemy prawo prędkości punktu materialnego: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Znając moment czasu $ t_0 = 1 $ z warunków problemowych, znajdujemy prędkość w tym momencie: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Ustaliliśmy, że chwilowa prędkość punktu w chwili $ t_0 = 1 $ jest równa $ v = 5 $ Jeśli nie możesz rozwiązać swojego problemu, wyślij go do nas. Dostarczymy szczegółowe rozwiązanie. Będziesz mógł zobaczyć postęp obliczeń i uzyskać informacje. Dzięki temu szybko otrzymasz ocenę od nauczyciela!

Odpowiedź

$$ v(t_0) = 5 $$

Przykład 2

Ruch punktu materialnego wynika z prawa $ x(t)=t^2-t+3 $. Znajdź, w którym momencie $ t_0 $ prędkość tego punktu będzie wynosić zero.

Rozwiązanie

Ponieważ prędkość jest pochodną prawa ruchu po torze:

Mechaniczne znaczenie pochodnej

Mechaniczną interpretację pochodnej po raz pierwszy podał I. Newton. Jest ona następująca: prędkość ruchu punktu materialnego w danym momencie jest równa pochodnej drogi po czasie, tj. Zatem, jeśli prawo ruchu punktu materialnego jest wyrażone równaniem, to aby znaleźć chwilową prędkość punktu w dowolnym momencie, należy znaleźć pochodną i podstawić do niej odpowiednią wartość t.

Pochodna drugiego rzędu i jej znaczenie mechaniczne

Otrzymujemy (równanie z tego, co zrobiono w podręczniku Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. „matematyka” s. 240):

Zatem, przyspieszenie ruchu prostoliniowego ciała w danym momencie jest równe drugiej pochodnej toru po czasie, obliczonej dla danego momentu. Takie jest mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej.

Definicja i geometryczne znaczenie różniczki

Definicja 4. Nazywa się główną część przyrostu funkcji, liniową względem przyrostu funkcji, liniową względem przyrostu zmiennej niezależnej mechanizm różnicowy funkcja i jest oznaczona przez d, tj. .

Różnicę funkcji geometrycznie reprezentuje przyrost rzędnej stycznej narysowanej w punkcie M (x; y) dla danych wartości x i?x.

Obliczenie mechanizm różnicowy - .

Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych - , przybliżona wartość przyrostu funkcji pokrywa się z jej różniczką.

Twierdzenie 1.Jeżeli funkcja różniczkowalna rośnie (maleje) w danym przedziale, to pochodna tej funkcji nie jest w tym przedziale ujemna (nie dodatnia).

Twierdzenie 2.Jeżeli funkcja pochodna jest dodatnia (ujemna) w pewnym przedziale, to funkcja w tym przedziale monotonicznie rośnie (monotonicznie maleje).

Sformułujmy teraz regułę znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji

1. Oblicz pochodną tej funkcji.

2. Znajdź punkty, w których wynosi zero lub nie istnieje. Punkty te nazywane są krytyczny dla funkcji

3. Korzystając ze znalezionych punktów, dzielimy dziedzinę definicji funkcji na przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak. Przedziały te są przedziałami monotoniczności.

4. Zbadaj znak na każdym ze znalezionych przedziałów. Jeśli w rozważanym przedziale, to w tym przedziale wzrasta; jeśli, to maleje w takim przedziale.

W zależności od uwarunkowań problemu regułę znajdowania przedziałów monotoniczności można uprościć.

Definicja 5. Punkt nazywa się maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji, jeśli nierówność zachodzi dla dowolnego x w pewnym sąsiedztwie punktu.

Jeśli jest maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji, to tak mówią (minimum) w tym punkcie. Funkcje maksymalne i minimalne łączą nazwę ekstremum funkcje i nazywane są punkty maksimum i minimum punkty ekstremalne (punkty ekstremalne).

Twierdzenie 3.(konieczny znak ekstremum). Jeżeli jest ekstremum funkcji i w tym punkcie istnieje pochodna, to jest ona równa zeru: .

Twierdzenie 4.(wystarczający znak ekstremum). Jeśli pochodna zmienia znak, gdy x przechodzi przez a, to a jest ekstremum funkcji.

Kluczowe punkty w badaniach pochodnych:

1. Znajdź pochodną.

2. Znajdź wszystkie punkty krytyczne z dziedziny definicji funkcji.

3. Ustaw znaki pochodnej funkcji przy przejściu przez punkty krytyczne i zapisz punkty ekstremalne.

4. Oblicz wartości funkcji w każdym skrajnym punkcie.

Niech materialny punkt M porusza się po linii prostej zgodnie z prawem S = f(t). Jak już wiadomo, pochodna S t równa prędkości punktu w danym czasie: S t '= V.

Niech za chwilę T prędkość punktu jest równa V i w tej chwili t +Dt – prędkość jest V+DV, czyli przez pewien okres czasu Dt prędkość zmieniona o kwotę D.V..

Współczynnik wyraża średnie przyspieszenie ruchu punktu w czasie Dt. Granica tego stosunku przy Dt®0 nazywa się przyspieszeniem punktu M W tym momencie T i jest oznaczony literą A: Więc, druga pochodna toru po czasie to wielkość przyspieszenia ruchu prostoliniowego punktu, tj. .

Różnice wyższego rzędu

Pozwalać y=f(x) funkcja różniczkowalna i jej argument X– zmienna niezależna. Wtedy jego pierwsza różniczka jest również funkcją X, możesz znaleźć różnicę tej funkcji.

Różniczka różniczki funkcji nazywana jest jej drugą różniczką (lub różniczką drugiego rzędu) i jest oznaczana przez: .

Różniczka drugiego rzędu danej funkcji jest równa iloczynowi drugiego rzędu tej funkcji przez kwadrat różniczki zmiennej niezależnej: .

Zastosowanie rachunku różniczkowego

Funkcja nazywa się rosnący (malejący)) w przerwie ( A; B), jeśli dla dowolnych dwóch punktówx 1 Ix 2 z określonego przedziału spełniającego nierówność, nierówność jest spełniona ().

Warunek konieczny zwiększenia (zmniejszenia): Jeżeli funkcja ma być różniczkowana na przedziale ( a, b) rośnie (maleje), to pochodna tej funkcji jest w tym przedziale nieujemna (niedodatnia).() .

Warunek wystarczający na zwiększenie (zmniejszenie):Jeżeli pochodna funkcji różniczkowalnej jest w pewnym przedziale dodatnia (ujemna), to funkcja rośnie (maleje) w tym przedziale.

Funkcjonować k(x) w tym punkcie x 1 To ma maksymalny, jeśli w ogóle X f(x 1)>f(x), Na X ¹x 1 .

Funkcjonować k(x) w tym punkcie x 1 To ma minimum, jeśli w ogóle X z pewnego sąsiedztwa punktu zachodzi nierówność: f(x 1) , Na X ¹x 1 .

Ekstremum funkcji nazywa się ekstremum lokalnym, ponieważ pojęcie ekstremum kojarzy się tylko z wystarczająco małym otoczeniem punktu x 1. Zatem na jednym przedziale funkcja może mieć kilka ekstremów i może się zdarzyć, że minimum w jednym punkcie będzie większe od maksimum w innym. Obecność maksimum lub minimum w danym punkcie przedziału nie oznacza, że ​​w tym punkcie funkcja k(x) przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w tym przedziale.

Warunek konieczny ekstremum: W punkcie ekstremalnym funkcji różniczkowalnej jej pochodna jest równa zeru.

Warunek wystarczający na ekstremum: Jeżeli pochodna funkcji różniczkowalnej w pewnym punkcie x 0 jest równa zeru i przy przejściu przez tę wartość zmienia swój znak, to liczba f (x 0) jest ekstremum funkcji i jeżeli znak zmienia się z plusa na minus, następnie maksimum, jeśli z minus na plus, to minimum.

Punkty, w których pochodna funkcji ciągłej jest równa zeru lub nie istnieje, nazywamy krytycznymi.

Zbadanie funkcji pod kątem ekstremum oznacza znalezienie wszystkich jej ekstremów. Zasada badania funkcji ekstremum:

1). Znajdź punkty krytyczne funkcji y = f(x) i wybrać z nich tylko te, które są punktami wewnętrznymi dziedziny definicji funkcji;

2). Zbadaj znak pochodnej f”(x) po lewej i prawej stronie każdego z wybranych punktów krytycznych;

3). Na podstawie warunku wystarczającego na ekstremum zapisz punkty ekstremów (jeśli występują) i oblicz w nich wartości funkcji.

W celu znalezienia najwyższą i najniższą wartość funkcji na segmencie należy wykonać kilka etapów:

1). Znajdź prądy krytyczne funkcji rozwiązując równanie f’(x)=0.

2). Jeśli punkty krytyczne przypadają na segment, konieczne jest znalezienie wartości w punktach krytycznych i na granicach przedziału. Jeżeli punkty krytyczne nie padają na segment (lub ich nie ma), to wartości funkcji znajdują się jedynie na granicach segmentu.

3). Z otrzymanych wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą i zapisz odpowiedź np. w postaci: ; .

Rozwiązywanie problemów

Przykład 2.1. Znajdź różniczkę funkcji: .

Rozwiązanie. Bazując na Własności 2 różniczki funkcji i definicji różniczki mamy:

Przykład 2.2. Znajdź różniczkę funkcji:

Rozwiązanie. Funkcję można zapisać jako: , . Następnie mamy:

Przykład 2.3. Znajdź drugą pochodną funkcji:

Rozwiązanie. Przekształćmy funkcję.

Znajdźmy pierwszą pochodną:

znajdźmy drugą pochodną:

.

Przykład 2.4. Znajdź różnicę drugiego rzędu funkcji .

Rozwiązanie. Znajdźmy różnicę drugiego rzędu na podstawie wyrażenia do obliczenia:

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną:

; znajdźmy drugą pochodną: .

Przykład 2.5. Znajdź współczynnik kątowy stycznej do krzywej narysowanej w punkcie z odciętą x=2 .

Rozwiązanie. Bazując na geometrycznym znaczeniu pochodnej, wiemy, że nachylenie jest równe pochodnej funkcji w punkcie, którego odcięta jest równa X . Znajdziemy .

Obliczmy współczynnik kątowy stycznej do wykresu funkcji.

Przykład 2.6. Populacja bakterii w danym momencie T (T mierzone w godzinach) sumy osoby. Znajdź tempo wzrostu bakterii. Znajdź tempo wzrostu bakterii w danym czasie t=5 godziny.

Rozwiązanie. Szybkość wzrostu populacji bakterii jest pierwszą pochodną względem czasu T: .

Jeśli t=5 godziny, zatem. Dlatego tempo wzrostu bakterii wyniesie 1000 osobników na godzinę.

Przykład 2.7. Reakcja organizmu na podany lek może wyrażać się wzrostem ciśnienia krwi, spadkiem temperatury ciała, zmianą częstości akcji serca lub innymi wskaźnikami fizjologicznymi. Stopień reakcji zależy od przepisanej dawki leku. Jeśli X wskazuje dawkę przepisanego leku i stopień reakcji Na opisane funkcją . Przy jakiej wartości X Czy reakcja jest maksymalna?

Rozwiązanie. Znajdźmy pochodną .

Znajdźmy punkty krytyczne: ⇒ . ⇒ W rezultacie mamy dwa punkty krytyczne: . Wartość nie spełnia warunków zadania.

Znajdźmy drugą pochodną . Obliczmy wartość drugiej pochodnej w . . Oznacza to - poziom dawki, który daje maksymalną odpowiedź.

Przykłady samodzielnego rozwiązania

Znajdź różniczkę funkcji:

1. .

2. .

3. .

4.

Znajdź drugie pochodne następujących funkcji:

6. .

Znajdź pochodne drugiego rzędu i napisz różniczki drugiego rzędu dla następujących funkcji:

9. .

11. Zbadaj funkcję ekstremum.

12. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie.

13. Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji, punkty maksymalne i minimalne oraz punkty przecięcia z osiami:

14. Prawo ruchu punktu ma postać . Wyznacz prawo prędkości i przyspieszenia tego punktu.

15. Równanie ruchu punktu ma postać (m). Znajdź 1) położenie punktu w momentach s i s; 2) średnią prędkość w czasie, jaki upłynął pomiędzy tymi momentami; 3) prędkości chwilowe w określonych momentach; 4) średnie przyspieszenie w określonym czasie; 5) przyspieszenia chwilowe w określonych momentach.

Praca domowa.

Ćwiczyć:

Znajdź różniczkę funkcji:

1. ;

2. ;

Znajdź pochodne drugiego rzędu funkcji:

4.

5.

Znajdź różnice drugiego rzędu

6. .

7. Punkt porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem. Oblicz prędkość i przyspieszenie w momentach i .

Znajdź przedziały funkcji rosnących i malejących:

9. .

10. Po podaniu glukozy podaje się jej zawartość we krwi ludzkiej, wyrażoną w odpowiednich jednostkach, po T będą godziny . Znajdź szybkość zmian poziomu glukozy we krwi w punkcie a) t =1 H; B) t =2 H.

Teoria.

1. Wykład na temat „Pochodne i różniczki funkcji kilku argumentów. Zastosowanie funkcji różniczkowej kilku argumentów.”

2. Lekcja 3 tego podręcznika.

3. Pawluszkow I.V. i inne s. 101-113, 118-121.

Lekcja 3. Pochodne i różniczki funkcji kilku argumentów

Trafność tematu: ta część matematyki jest szeroko stosowana w rozwiązywaniu szeregu stosowanych problemów, ponieważ wiele zjawisk fizycznych, biologicznych i chemicznych charakteryzuje się zależnością nie od jednej, ale od kilku zmiennych (czynników).

Cel lekcji: nauczyć się znajdować pochodne cząstkowe i różniczki funkcji kilku zmiennych.

Zadania docelowe:

znać: pojęcie funkcji dwóch zmiennych; pojęcie pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych; koncepcja różniczków całkowitych i cząstkowych funkcji kilku zmiennych;

potrafić: znajdować pochodne i różniczki funkcji kilku zmiennych.

Krótka informacja z kursu teoretycznego

Podstawowe koncepcje

Zmienna z nazywana jest funkcją dwóch argumentów x i y, jeśli niektórym parom wartości przypisano określoną wartość z zgodnie z jakąś regułą lub prawem. Funkcja dwóch argumentów jest oznaczona przez .

Funkcja jest określona jako powierzchnia w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni. Wykres funkcji dwóch zmiennych jest zbiorem punktów w trójwymiarowej przestrzeni x

Praca nazywa się częściowy mechanizm różnicowy funkcja z=f(x,y)by X i są wyznaczone.

Pełna funkcja różnicowa

Różniczką funkcji jest suma iloczynów pochodnych cząstkowych tej funkcji i przyrostu odpowiednich zmiennych niezależnych, tj. . Ponieważ I wtedy możemy napisać: Lub .