Uproszczone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie z przykładami

Skrócone wzory na mnożenie.

Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Aby uprościć wyrażenia, rozłóż wielomiany na czynniki, redukując wielomiany do widok standardowy stosowane są skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie, które musisz znać na pamięć.

Niech a, b R. Następnie:

1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2

2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.

za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.

za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)

7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład 1.

Obliczać

a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Przykład 2.

Obliczać

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy

Przykład 3.

Uprość wyrażenie

(x - y) 2 + (x + y) 2

Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)

Kiedy itp. Poniżej przyjrzymy się najpopularniejszym formułom i przeanalizujemy, jak je uzyskać.

Kwadrat sumy

Podnieśmy sumę dwóch jednomianów do kwadratu w następujący sposób: \((a+b)^2\). Podnoszenie do kwadratu to mnożenie samej liczby lub wyrażenia, czyli \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Teraz możemy po prostu otworzyć nawiasy, pomnożyć je w ten sam sposób i uzyskać podobne wyrazy. Otrzymujemy:

A jeśli pominiemy obliczenia pośrednie i napiszemy tylko wyrażenia początkowe i końcowe, otrzymamy ostateczny wzór:

Suma kwadratowa:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Większość uczniów uczy się tego na pamięć. A teraz wiesz, jak wyprowadzić tę formułę, a jeśli nagle zapomnisz, zawsze możesz to zrobić.
No dobrze, ale jak go używać i po co ta formuła jest potrzebna? Kwadrat sumy pozwala szybko zapisać wynik podniesienia sumy dwóch wyrazów do kwadratu. Spójrzmy na przykład.

Przykład . Rozwiń nawiasy: \((x+5)^2\)
Rozwiązanie :

Zwróć uwagę, o ile szybciej i przy mniejszym wysiłku wynik uzyskuje się w drugim przypadku. A kiedy opanujesz tę i inne formuły do ​​punktu automatyzmu, będzie to jeszcze szybsze: możesz po prostu od razu napisać odpowiedź. Dlatego nazywa się je ZREDUKOWANYMI wzorami na mnożenie. Dlatego zdecydowanie warto je poznać i nauczyć się je stosować.

Na wszelki wypadek zauważamy, że jako \(A\) I \(B\) Mogą być dowolne wyrażenia - zasada pozostaje ta sama. Na przykład:

Jeśli nagle nie rozumiesz niektórych przekształceń w dwóch ostatnich przykładach, powtórz temat.

Przykład . Konwertuj wyrażenie \((1+5x)^2-12x-1 \) na postać standardową.

Rozwiązanie :

Odpowiedź: \(25x^2-2x\).

Ważny! Konieczne jest nauczenie się używania formuł nie tylko w kierunku „do przodu”, ale także w kierunku „odwrotnym”.

Przykład . Oblicz wartość wyrażenia \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) bez kalkulatora.

Rozwiązanie :

Odpowiedź: \(250 000\).

Kwadratowa różnica

Powyżej znaleźliśmy wzór na sumę jednomianów. Znajdźmy teraz wzór na różnicę, czyli na \((a-b)^2\):

W bardziej zwięzłej formie mamy:

Różnica kwadratowa: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Używa się go w taki sam sposób jak poprzedni.

Przykład . Uprość wyrażenie \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) i znajdź jego wartość w \(a=\frac(17)(8)\).

Rozwiązanie :

Odpowiedź: \(8\).

Różnica kwadratów

Zajmowaliśmy się więc sytuacjami iloczynu dwóch nawiasów z plusem i dwóch nawiasów z minusem. Pozostały przypadek to iloczyn identycznych nawiasów z różnymi znakami. Zobaczmy, co się stanie:

Otrzymaliśmy formułę:

Różnica kwadratów \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Ta formuła jest jedną z najczęściej używanych podczas pracy.

Przykład . Skróć ułamek \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

Rozwiązanie :

Odpowiedź: \(x+3\).

Przykład .Rozłóż na czynniki \(25x^4-m^(10) t^6\).
Rozwiązanie :

Oto trzy podstawowe formuły, które musisz znać Koniecznie! Istnieją również wzory z kostkami (patrz wyżej), warto je również zapamiętać lub móc szybko je wyprowadzić. Zauważmy też, że w praktyce często w jednym zadaniu spotyka się kilka takich formuł jednocześnie – jest to normalne. Wystarczy nauczyć się zauważać formuły i stosować je ostrożnie, a wszystko będzie dobrze.

Przykład (zaawansowany!) .Zmniejsz ułamek.
Rozwiązanie :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Na pierwszy rzut oka jest to cichy horror i nic nie da się z tym zrobić (nie rozważamy poważnie opcji „połóż się i umrzyj”). Spróbujmy jednak zamienić dwa ostatnie wyrazy licznika i dodać nawiasy (dla przejrzystości).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Teraz przekształćmy trochę terminy w nawiasie: \(4xy\) zapisujemy jako \(2 x 2y\), i \(4y^2\) jako \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		Przyjrzyjmy się teraz bliżej i zauważmy, że w nawiasie mamy wzór na kwadratową różnicę, który ma \(a=x\), \(b=2y\). Zwijamy się wzdłuż niego do postaci nawiasów w kwadracie. Jednocześnie reprezentujemy dziewięć jako \(3\) do kwadratu.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		Jeszcze raz uważnie przyglądamy się licznikowi... pomyślmy... pomyślmy... i zwróćmy uwagę na wzór na różnicę kwadratów, który ma \(a=(x-2y)\), \(b=3\) . Rozkładamy go na iloczyn dwóch nawiasów.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		A teraz redukujemy drugi nawias licznika i cały mianownik.
		Odpowiedź jest gotowa.

Treść lekcji

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń

Istnieje wiele przypadków, w których mnożenie wielomianu przez wielomian można znacznie uprościć. Tak jest na przykład (2 X+ 3y) 2 .

Wyrażenie (2 X+ 3y) 2 jest mnożeniem dwóch wielomianów, z których każdy jest równy (2 X+ 3y)

(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y)

Otrzymaliśmy pomnożenie wielomianu przez wielomian. Wykonajmy to:

(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y) = 4X 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2

Oznacza to, że wyrażenie (2 X+ 3y) 2 równa się 4X 2 + 12xy + 9y 2

(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2

Rozwiążmy podobny przykład, który jest prostszy:

(a+b) 2

Wyrażenie ( a+b) 2 jest mnożeniem dwóch wielomianów, z których każdy jest równy ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Zróbmy to mnożenie:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = A 2 + ok + ok + B 2 = A 2 + 2ok + B 2

To znaczy wyrażenie (a+b) 2 równa się A 2 + 2ok + B 2

(a+b) 2 = A 2 + 2ok + B 2

Okazuje się, że w tym przypadku ( a+b) 2 można rozszerzyć na dowolne A I B. Pierwszy przykład, który rozwiązaliśmy, a mianowicie (2 X+ 3y) 2 można rozwiązać za pomocą tożsamości (a+b) 2 = A 2 + 2ok + B 2 . Aby to zrobić, musisz zastąpić zmienne A I B odpowiadające terminy z wyrażenia (2 X+ 3y) 2 . W tym przypadku zmienna A odpowiada elementowi 2 X i zmienna B odpowiada elementowi 3 y

A = 2X

B = 3y

I wtedy możemy użyć tożsamości (a+b) 2 = A 2 + 2ok + B 2 , ale zamiast zmiennych A I B musisz zastąpić wyrażenia 2 X i 3 y odpowiednio:

(2X+ 3y) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2

Tak jak ostatnim razem otrzymaliśmy wielomian 4X 2 + 12xy+ 9y 2 . Rozwiązanie jest zwykle spisywane krótko, dokonując wszystkich elementarnych przekształceń w umyśle:

(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2

Tożsamość (a+b) 2 = A 2 + 2ok + B 2 zwany wzorem na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Formułę tę można odczytać w następujący sposób:

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Rozważmy wyrażenie (2 + 3) 2. Można to obliczyć na dwa sposoby: dodając w nawiasach i podnosząc uzyskany wynik do kwadratu, lub korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Pierwszy sposób:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Drugi sposób:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Przykład 2. Konwertuj wyrażenie (5 A+ 3) 2 do wielomianu.

Skorzystajmy ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

(a+b) 2 = A 2 + 2ok + B 2

(5+ 3) 2 = (5A) 2 + 2 × 5 × 3 + 3 2 = 25A 2 + 30A + 9

Oznacza, (5+ 3) 2 = 25A 2 + 30A + 9.

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia kwadratu wzoru na sumę. Powinniśmy uzyskać ten sam wynik:

(5+ 3) 2 = (5+ 3)(5+ 3) = 25A 2 + 15A + 15A + 9 = 25A 2 + 30A + 9

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń to: znaczenie geometryczne. Pamiętamy, że aby obliczyć pole kwadratu, musimy podnieść jego bok do potęgi drugiej.

Na przykład obszar kwadratu z bokiem A będzie równe A 2. Jeśli zwiększysz bok kwadratu o B, wówczas pole będzie równe ( a+b) 2

Rozważ następujący rysunek:

Wyobraźmy sobie, że bok kwadratu pokazany na tym rysunku jest powiększony o B. Kwadrat ma wszystkie boki równe. Jeśli jego bok zostanie powiększony o B, to pozostałe boki również wzrosną o B

Rezultatem jest nowy kwadrat, który jest większy niż poprzedni. Aby było to wyraźnie widoczne, uzupełnijmy brakujące boki:

Aby obliczyć pole tego kwadratu, możesz oddzielnie obliczyć zawarte w nim kwadraty i prostokąty, a następnie dodać wyniki.

Najpierw możesz obliczyć kwadrat o boku A- jego pole będzie równe A 2. Następnie możesz obliczyć prostokąty z bokami A I B- będą równi ok. Następnie możesz obliczyć kwadrat z boku B

Wynikiem jest następująca suma obszarów:

A 2 + ab+ab + B 2

Sumę pól identycznych prostokątów można zastąpić, mnożąc 2 ok, co będzie dosłownie oznaczać „powtórz dwukrotnie obszar prostokąta ab” . Algebraicznie uzyskuje się to poprzez rzutowanie podobne terminy ok I ok. Rezultatem jest wyrażenie A 2 + 2ok+ B 2 , co jest prawą stroną wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

(a+b) 2 = A 2 + 2ok+ B 2

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest następujący:

(a-b) 2 = A 2 − 2ok + B 2

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń wyprowadza się w taki sam sposób, jak wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Wyrażenie ( a-b) 2 jest iloczynem dwóch wielomianów, z których każdy jest równy ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Jeśli wykonasz to mnożenie, otrzymasz wielomian A 2 − 2ok + B 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = A 2 − ok− ok+ B 2 = A 2 − 2ok + B 2

Przykład 1. Konwertuj wyrażenie (7 X− 5) 2 do wielomianu.

Skorzystajmy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 2 = A 2 − 2ok + B 2

(7X− 5) 2 = (7X) 2 - 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25

Oznacza, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia wzoru na różnicę kwadratową. Powinniśmy uzyskać ten sam wynik:

(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń ma również znaczenie geometryczne. Jeśli obszar kwadratu z bokiem A równy A 2, następnie pole kwadratu, którego bok jest zmniejszony o B, będzie równe ( a-b) 2

Rozważ następujący rysunek:

Wyobraźmy sobie, że bok kwadratu pokazany na tym rysunku jest zmniejszony o B. Kwadrat ma wszystkie boki równe. Jeśli jedna strona zostanie zmniejszona o B, to pozostałe boki również zmniejszą się o B

Rezultatem jest nowy kwadrat, który jest mniejszy niż poprzedni. Na rysunku jest on zaznaczony na żółto. Jego bok jest równy A− B bo stara strona A zmniejszona o B. Aby obliczyć powierzchnię tego kwadratu, możesz skorzystać z pierwotnej powierzchni kwadratu A 2 odejmij pola prostokątów, które uzyskano w procesie zmniejszania boków starego kwadratu. Pokażmy te prostokąty:

Następnie możesz napisać następujące wyrażenie: stary kwadrat A 2 minus obszar ok minus obszar ( a-b)B

A 2 − ok − (a-b)B

Rozwińmy nawiasy w wyrażeniu ( a-b)B

A 2 − ab-ab + B 2

Przyjrzyjmy się podobnym terminom:

A 2 − 2ok + B 2

Rezultatem jest wyrażenie A 2 − 2ok + B 2 , co jest prawą stroną wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 2 = A 2 − 2ok + B 2

Na ogół nazywane są wzorami na sumę kwadratową i różnicę kwadratową skrócone wzory na mnożenie. Wzory te mogą znacznie uprościć i przyspieszyć proces mnożenia wielomianów.

Wcześniej powiedzieliśmy, że rozważając element wielomianu osobno, należy go rozpatrywać łącznie ze znakiem znajdującym się przed nim.

Jednak w przypadku stosowania skróconych wzorów na mnożenie znaku pierwotnego wielomianu nie należy uważać za znak samego tego terminu.

Na przykład, jeśli podano wyrażenie (5 X − 2y) 2 i chcemy skorzystać ze wzoru (a-b) 2 = A 2 − 2ok + B 2 , to zamiast tego B trzeba zastąpić 2 y, nie -2 y. Jest to cecha pracy z formułami, o której nie należy zapominać.

(5X − 2y) 2
A = 5X
B = 2y
(5X − 2y) 2 = (5X) 2 - 2 × 5 X× 2 y + (2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2

Jeśli podstawimy -2 y, to będzie to oznaczać, że różnicę w nawiasach pierwotnego wyrażenia zastąpiono sumą:

(5X − 2y) 2 = (5X + (−2y)) 2

i w tym przypadku musisz użyć nie wzoru na różnicę kwadratową, ale na sumę kwadratową:

(5X + (−2y) 2
A = 5X
B = −2y
(5X + (−2y)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (-2 y) + (−2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2

Wyjątkiem mogą być wyrażenia formy (X− (−y)) 2 . W tym przypadku skorzystaj ze wzoru (a-b) 2 = A 2 − 2ok + B 2 zamiast B należy zastąpić (- y)

(X− (−y)) 2 = X 2 - 2 × X× (− y) + (−y) 2 = X 2 + 2xy + y 2

Ale kwadratura wyrażeń formy X − (−y), wygodniej będzie zastąpić odejmowanie dodawaniem x+y. Wtedy oryginalne wyrażenie przyjmie postać ( x+y) 2 i możliwe będzie skorzystanie ze wzoru na kwadrat sumy, a nie na różnicę:

(x+y) 2 = X 2 + 2xy + y 2

Sześcian sumy i sześcian różnicy

Wzory na sześcian sumy dwóch wyrażeń i sześcian różnicy dwóch wyrażeń są następujące:

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ok 2 + B 3

(a-b) 3 = A 3 − 3A 2 B + 3ok 2 − B 3

Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń można odczytać w następujący sposób:

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugie wyrażenie.

Natomiast wzór na sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami można odczytać w następujący sposób:

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego wyrażenia minus sześcian drugie wyrażenie.

Rozwiązując problemy, zaleca się znać te formuły na pamięć. Jeśli nie pamiętasz, nie ma problemu! Możesz je usunąć samodzielnie. Wiemy już, jak to zrobić.

Sami wyprowadzamy wzór na sześcian sumy:

(a+b) 3

Wyrażenie ( a+b) 3 jest iloczynem trzech wielomianów, z których każdy jest równy ( A+ B)

(a+b) 3 = (A+ B)(A+ B)(A+ B)

Ale wyrażenie ( a+b) 3 można również zapisać jako (A+ B)(A+ B) 2

(a+b) 3 = (A+ B)(A+ B) 2

W tym przypadku współczynnik ( A+ B) 2 to kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Ta suma do kwadratu jest równa wyrażeniu A 2 + 2ok + B 2 .

Następnie ( a+b) 3 można zapisać jako (A+ B)(A 2 + 2ok + B 2) .

(a+b) 3 = (A+ B)(A 2 + 2ok + B 2)

A to jest mnożenie wielomianu przez wielomian. Wykonajmy to:

(a+b) 3 = (A+ B)(A 2 + 2ok + B 2) = A 3 + 2A 2 B + ok 2 + A 2 B + 2ok 2 + B 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ok 2 + B 3

Podobnie możesz wyprowadzić wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 3 = (a - B)(A 2 − 2ok + B 2) = A 3 − 2A 2 B + ok 2 − A 2 B + 2ok 2 − B 3 = A 3 − 3A 2 B+ 3ok 2 − B 3

Przykład 1. Przekształć wyrażenie ( X+ 1) 3 do wielomianu.

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ok 2 + B 3

(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2 × 1 + 3 × X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń

(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Przykład 2. Konwertuj wyrażenie (6A 2 + 3B 3) 3 w wielomian.

Skorzystajmy ze wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń:

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ok 2 + B 3

(6A 2 + 3B 3) 3 = (6A 2) 3 + 3 × (6 A 2) 2×3 B 3 + 3 × 6 A 2 × (3B 3) 2 + (3B 3) 3 = 216A 6 + 3 × 36 A 4×3 B 3 + 3 × 6 A 2×9 B 6 + 27B 9

Przykład 3. Konwertuj wyrażenie ( N 2 - 3) 3 w wielomian.

(a-b) = A 3 − 3A 2 B + 3ok 2 − B 3

(N 2 − 3) 3 = (N 2) 3 - 3 × ( N 2) 2 × 3 + 3 × N 2 × 3 2 - 3 3 = N 6 − 9N 4 + 27N 2 − 27

Przykład 4. Konwertuj wyrażenie (2X 2 − X 3) 3 w wielomian.

Skorzystajmy ze wzoru na sześcian różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) = A 3 − 3A 2 B + 3ok 2 − B 3

(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 - 3 × (2 X 2) 2× X 3 + 3 × 2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 - 3 × 4 X 4× X 3 + 3 × 2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9

Mnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę

Występują problemy, w których należy pomnożyć różnicę dwóch wyrażeń przez ich sumę. Na przykład:

(a-b)(a+b)

W tym wyrażeniu różnica dwóch wyrażeń A I B pomnożona przez sumę tych samych dwóch wyrażeń. Zróbmy to mnożenie:

(a-b)(a+b) = A 2 + ok − ok − B 2 = A 2 − B 2

To znaczy wyrażenie (a-b)(a+b) równa się A 2 − B 2

(a-b)(a+b) = A 2 − B 2

Widzimy, że mnożąc różnicę dwóch wyrażeń przez ich sumę, otrzymujemy różnicę kwadratów tych wyrażeń.

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i ich sumy jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Happening (a-b)(a+b) można rozdać każdemu A I B. Mówiąc najprościej, jeśli przy rozwiązywaniu problemu trzeba pomnożyć różnicę dwóch wyrażeń przez ich sumę, wówczas to mnożenie można zastąpić różnicą kwadratów tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2X − 5)(2X + 5)

W tym przykładzie różnica wyrażeń wynosi 2 X i 5 pomnożone przez sumę tych samych wyrażeń. Następnie według wzoru (a-b)(a+b) = A 2 − B 2 mamy:

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2

Obliczmy prawą stronę, otrzymamy 4 X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia wzoru (a-b)(a+b) = A 2 − B 2 . Otrzymamy ten sam wynik 4 X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (4X − 5y)(4X + 5y)

(a-b)(a+b) = A 2 − B 2

(4X − 5y)(4X + 5y) = (4X) 2 − (5y) 2 = 16X 2 − 25y 2

Przykład 3. Wykonaj mnożenie (2A+ 3B)(2A− 3B)

Skorzystajmy ze wzoru na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę:

(a-b)(a+b) = A 2 − B 2

(2+ 3B)(2a - 3B) = (2A) 2 − (3B) 2 = 4A 2 − 9B 2

W tym przykładzie suma wyrazów wynosi 2 A i 3 B zlokalizowano wcześniej niż różnica tych terminów. I w formule (a-b)(a+b) = A 2 − B 2 różnica jest zlokalizowana wcześniej.

Nie ma znaczenia, w jaki sposób czynniki są ułożone ( a-b) V ( a+b) we wzorze. Można je zapisać jako (a-b)(a+b) , Więc (a+b)(a-b) . Wynik nadal będzie równy A 2 − B 2, ponieważ iloczyn nie zmienia się w wyniku przestawienia czynników.

Zatem w tym przykładzie czynniki (2 + 3B) i (2 a - 3B) można zapisać jako (2+ 3B)(2a - 3B) , Więc (2a - 3B)(2+ 3B) . Wynik nadal będzie wynosić 4 A 2 − 9B 2 .

Przykład 3. Wykonaj mnożenie (7 + 3X)(3X − 7)

Skorzystajmy ze wzoru na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę:

(a-b)(a+b) = A 2 − B 2

(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49

Przykład 4. Wykonaj mnożenie (X 2 − y 3)(X 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = A 2 − B 2

(X 2 − y 3)(X 2 + y 3) = (X 2) 2 − (y 3) 2 = X 4 − y 6

Przykład 5. Wykonaj mnożenie (−5X− 3y)(5X− 3y)

W wyrażeniu (-5 X− 3y) wstawiamy -1 z nawiasów, wówczas oryginalne wyrażenie przyjmie następującą postać:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y)

Praca (5X + 3y)(5X − 3y) zastąp go różnicą kwadratów:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2)

W nawiasach podano różnicę kwadratów. Jeżeli tego nie zrobimy, okaże się, że −1 mnożymy tylko przez (5 X) 2 . A to doprowadzi do błędu i zmiany wartości pierwotnego wyrażenia.

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)

Teraz pomnóż −1 przez wyrażenie w nawiasach i uzyskaj wynik końcowy:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) =
−1(25X 2 − 9y 2) = −25X 2 + 9y 2

Mnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez częściowy kwadrat ich sumy

Istnieją problemy, w których należy pomnożyć różnicę dwóch wyrażeń przez częściowy kwadrat ich sumy. Ten kawałek wygląda tak:

(a-b)(A 2 + ok + B 2)

Pierwszy wielomian ( a-b) jest różnicą dwóch wyrażeń, a drugie jest wielomianem (A 2 + ok + B 2) jest częściowym kwadratem sumy tych dwóch wyrażeń.

Częściowy kwadrat sumy jest wielomianem postaci A 2 + ok + B 2 . Wygląda jak zwykła suma do kwadratu A 2 + 2ok + B 2

Na przykład wyrażenie 4X 2 + 6xy + 9y 2 jest niepełnym kwadratem sumy wyrażeń 2 X i 3 y .

Rzeczywiście, pierwszy termin wyrażenia 4X 2 + 6xy + 9y 2 , czyli 4 X 2 to kwadrat wyrażenia 2 X, ponieważ (2 X) 2 = 4X 2. Trzeci termin wyrażenia 4X 2 + 6xy + 9y 2 , czyli 9 y 2 to kwadrat wyrażenia 3 y, ponieważ (3 y) 2 = 9y 2. Członek w środku 6 xy, jest iloczynem wyrażeń 2 X i 3 y.

Pomnóżmy więc różnicę ( a-b) przez częściowy kwadrat sumy A 2 + ok + B 2

(a-b)(A 2 + ok + B 2) = A(A 2 + ab + b 2) − B(A 2 + ok + B 2) =
A 3 + A 2 B + ok 2 − A 2 B − ok 2 − B 3 = A 3 − B 3

To znaczy wyrażenie (a-b)(A 2 + ok + B 2) równa się A 3 − B 3

(a-b)(A 2 + ok + B 2) = A 3 − B 3

Ta tożsamość nazywa się wzorem na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez częściowy kwadrat ich sumy. Formułę tę można odczytać w następujący sposób:

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i niepełnego kwadratu ich sumy jest równy różnicy kostek tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2)

Pierwszy wielomian (2 X − 3y) jest różnicą dwóch wyrażeń 2 X i 3 y. Drugi wielomian 4X 2 + 6xy + 9y 2 jest to częściowy kwadrat sumy dwóch wyrażeń 2 X i 3 y. Dzięki temu można korzystać ze wzoru bez wykonywania długich obliczeń (a-b)(A 2 + ok + B 2) = A 3 − B 3 . W naszym przypadku mnożenie (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) można zastąpić różnicą kostek 2 X i 3 y

(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = (2X) 3 − (3y) 3 = 8X 3 − 27y 3

(a-b)(A 2 + ok+ B 2) = A 3 − B 3 . Otrzymamy ten sam wynik, ale rozwiązanie będzie dłuższe:

(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4X 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12X 2 y + 18xy 2 − 12X 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8X 3 − 27y 3

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (3 − X)(9 + 3X + X 2)

Pierwszy wielomian (3 - X) jest różnicą dwóch wyrażeń, a drugi wielomian jest częściowym kwadratem sumy tych dwóch wyrażeń. Dzięki temu możemy skorzystać ze wzoru (a-b)(A 2 + ok + B 2) = A 3 − B 3

(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3

Mnożenie sumy dwóch wyrażeń przez częściowy kwadrat ich różnicy

Istnieją problemy, w których należy pomnożyć sumę dwóch wyrażeń przez częściowy kwadrat ich różnicy. Ten kawałek wygląda tak:

(a+b)(A 2 − ok + B 2)

Pierwszy wielomian ( a+b (A 2 − ok + B 2) jest niepełnym kwadratem różnicy tych dwóch wyrażeń.

Częściowy kwadrat różnicy jest wielomianem postaci A 2 − ok + B 2 . Wygląda jak zwykły kwadrat różnicy A 2 − 2ok + B 2 z tą różnicą, że w nim iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia nie jest podwojony.

Na przykład wyrażenie 4X 2 − 6xy + 9y 2 jest niepełnym kwadratem różnicy wyrażeń 2 X i 3 y.

(2X) 2 − 2X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 − 6xy + 9y 2

Wróćmy do pierwotnego przykładu. Pomnóżmy sumę a+b przez częściowy kwadrat różnicy A 2 − ok + B 2

(a+b)(A 2 − ok + B 2) = A(A 2 − ab + b 2) + B(A 2 − ok + B 2) =
A 3 − A 2 B + ok 2 + A 2 B − ok 2 + B 3 = A 3 + B 3

To znaczy wyrażenie (a+b)(A 2 − ok + B 2) równa się A 3 + B 3

(a+b)(A 2 − ok + B 2) = A 3 + B 3

Ta tożsamość nazywa się wzorem na pomnożenie sumy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy. Formułę tę można odczytać w następujący sposób:

Iloczyn sumy dwóch wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2)

Pierwszy wielomian (2 X + 3y) jest sumą dwóch wyrażeń 2 X i 3 y i drugi wielomian 4X 2 − 6xy + 9y 2 jest to niepełny kwadrat różnicy tych wyrażeń. Dzięki temu można korzystać ze wzoru bez wykonywania długich obliczeń (a+b)(A 2 − ok + B 2) = A 3 + B 3 . W naszym przypadku mnożenie (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) można zastąpić sumą kostek 2 X i 3 y

(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = (2X) 3 + (3y) 3 = 8X 3 + 27y 3

Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład bez użycia wzoru (a+b)(A 2 − ok+ B 2) = A 3 + B 3 . Otrzymamy ten sam wynik, ale rozwiązanie będzie dłuższe:

(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4X 2 − 6xy + 9y 2) =
8X 3 − 12X 2 y + 18xy 2 + 12X 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8X 3 + 27y 3

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2)

Pierwszy wielomian (2 X+ y) jest sumą dwóch wyrażeń, a drugi wielomian (4X 2 − 2xy + y 2) jest niepełnym kwadratem różnicy tych wyrażeń. Dzięki temu możemy skorzystać ze wzoru (a+b)(A 2 − ok+ B 2) = A 3 + B 3

(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = (2X) 3 + y 3 = 8X 3 + y 3

Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład bez użycia wzoru (a+b)(A 2 − ok+ B 2) = A 3 + B 3 . Otrzymamy ten sam wynik, ale rozwiązanie będzie dłuższe:

(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = 2X(4X 2 − 2xy + y 2) + y(4X 2 − 2xy + y 2) =
8X 3 − 4X 2 y + 2xy 2 + 4X 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8X 3 + y 3

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszego nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Skrócone formuły mnożenia (MMF) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybkie wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy główne wzory na skrócone mnożenie, zgrupujemy je w tabelę, rozważymy przykłady użycia tych wzorów, a także zastanowimy się nad zasadami dowodu wzorów na skrócone mnożenie.

Po raz pierwszy temat FSU jest rozpatrywany w ramach kursu Algebra dla klasy 7. Poniżej znajduje się 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory na mnożenie

1. wzór na kwadrat sumy: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. wzór na różnicę kwadratową: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. wzór na kostkę sumy: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. wzór na kostkę różnicy: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. wzór na różnicę kwadratową: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. wzór na różnicę sześcianów: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla łatwości użycia lepiej nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Zestawmy je w tabeli i przedstawmy poniżej, otaczając je ramką.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę między kwadratami wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Odpowiednio szósta i siódma formuła mnożą sumę i różnicę wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana także skróconą tożsamością mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Podczas rozwiązywania praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory na mnożenie z zamienioną lewą i prawą stroną. Jest to szczególnie wygodne podczas rozkładu wielomianu na czynniki.

Dodatkowe skrócone wzory na mnożenie

Nie ograniczajmy się do kursu algebry z 7. klasy i dodawajmy do naszej tabeli FSU jeszcze kilka formuł.

Najpierw spójrzmy na wzór dwumianu Newtona.

za + b n = do n 0 · za n + do n 1 · za n - 1 · b + do n 2 · za n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianu, które pojawiają się w linii nr n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się ze wzoru:

do n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Jak widzimy, współczynnik FSF dla kwadratu i sześcianu różnicy oraz sumy jest szczególnym przypadkiem wzoru dwumianu Newtona dla odpowiednio n=2 i n=3.

Ale co, jeśli w sumie są więcej niż dwa wyrazy, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

za 1 + za 2 + . . + za n 2 = za 1 2 + za 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może być przydatny, jest wzór na różnicę między n-tymi potęgami dwóch wyrazów.

za n - b n = za - b za n - 1 + za n - 2 b + za n - 3 b 2 + . . + za 2 b n - 2 + b n - 1

Wzór ten zwykle dzieli się na dwa wzory - odpowiednio na potęgę parzystą i nieparzystą.

Dla wskaźników nawet 2m:

za 2 m - b 2 m = za 2 - b 2 za 2 m - 2 + za 2 m - 4 b 2 + za 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla wykładników nieparzystych 2m+1:

za 2 m + 1 - b 2 m + 1 = za 2 - b 2 za 2 m + za 2 m - 1 b + za 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Różnica kwadratów i różnica sześcianów, jak się domyślasz, są specjalnymi przypadkami tego wzoru odpowiednio dla n = 2 i n = 3. W przypadku różnicy kostek b zastępuje się także - b.

Jak czytać skrócone wzory na mnożenie?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdego wzoru, ale najpierw zrozumiemy zasadę czytania wzorów. Najwygodniej jest to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

za + b 2 = za 2 + 2 za b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń aib jest równy sumie kwadratu pierwszego wyrażenia, dwukrotności iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie pozostałe formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, potrójnemu iloczynowi kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie i potrójnemu iloczynowi kwadratu drugiego wyrażenia przez pierwsze wyrażenie.

Przejdźmy do przeczytania wzoru na różnicę kostek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia , minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty wzór a 2 - b 2 = a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Dla wygody wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazywane są odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Biorąc to pod uwagę, wzory na sumę i różnicę kostek można odczytać w następujący sposób:

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy.

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i częściowym kwadratem ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. W oparciu o właściwości mnożenia będziemy mnożyć części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

za - b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Aby podnieść wyrażenie do drugiej potęgi, należy je pomnożyć przez samo to wyrażenie.

a - b 2 = a - b a - b .

Rozwińmy nawiasy:

za - b za - b = za 2 - za b - b za + b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Formuła jest sprawdzona. Pozostałe FSU są udowodnione podobnie.

Przykłady zastosowań FSU

Celem stosowania skróconych wzorów na mnożenie jest szybkie i zwięzłe mnożenie oraz podnoszenie wyrażeń do potęg. Nie jest to jednak cały zakres stosowania FSU. Są szeroko stosowane w redukowaniu wyrażeń, redukowaniu ułamków i rozkładaniu na czynniki wielomianów. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSU

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2.

Zastosujmy wzór na sumę kwadratów i otrzymamy:

9 lat - (1 + 3 lata) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSU

Skróćmy ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Zauważamy, że wyrażeniem w liczniku jest różnica kostek, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Zmniejszamy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczyć wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń napiszmy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się złożone obliczenia można to zrobić szybko, używając skróconych wzorów na mnożenie i tabliczek mnożenia.

Inny ważny punkt- określenie kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekształcić na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Mnożenie wielomianu przez wielomian

! Do pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny.

Bądź ostrożny! Każdy termin ma swój własny znak.

Skrócone wzory na mnożenie Wielomiany to zazwyczaj 7 (siedem) typowych przypadków mnożenia wielomianów.

Definicje iSkrócone wzory na mnożenie. Tabela

Tabela 2. Definicje skróconych wzorów na mnożenie (kliknij, aby powiększyć)

Trzy skrócone wzory na mnożenie kwadratów

1. Wzór na sumę kwadratową.

Kwadrat sumy dwa wyrażenia są równe kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Aby lepiej zrozumieć wzór, uprośćmy najpierw wyrażenie (rozwińmy wzór o kwadrat sumy)

Teraz rozłóżmy na czynniki (zwiń formułę)

Kolejność działań przy faktoringu:

1. określ, które jednomiany zostały podniesione do kwadratu ( 5 I 3 m);
2. sprawdź, czy ich iloczyn podwójny znajduje się w środku wzoru (2 5 3m = 30 m);
3. zapisz odpowiedź (5 + 3 m) 2.

2. Wzór na różnicę kwadratową

Kwadratowa różnica dwa wyrażenia są równe kwadratowi pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Najpierw uprośćmy wyrażenie (rozwińmy formułę):

I odwrotnie, rozłóżmy to na czynniki (zwiń formułę):

3. Wzór na różnicę kwadratową

Iloczyn sumy dwóch wyrażeń i ich różnicy jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Zwińmy formułę (wykonaj mnożenie)

Teraz rozwińmy formułę (uwzględnijmy ją)

Cztery skrócone wzory na mnożenie kostek

4. Wzór na sześcian sumy dwóch liczb

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugie wyrażenie.

Kolejność działań podczas „zwijania” formuły:

1. znajdź jednomiany pokrojone w kostkę (tutaj 4x I 1 );
2. sprawdź średnie warunki pod kątem zgodności z formułą;
3. zapisz odpowiedź.

5. Wzór na sześcian różnicy dwóch liczb

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego wyrażenia minus sześcian drugie wyrażenie.

6. Wzór na sumę kostek

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.

I z powrotem:

7. Różnica we wzorze kostek

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między pierwszym i drugim wyrażeniem oraz częściowego kwadratu sumy tych wyrażeń.

Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Tabela

Przykład zastosowania wzorów w praktyce (obliczenie ustne).

Zadanie: Znajdź pole kwadratu o boku a = 71 cm.

Rozwiązanie: S = za 2 . Korzystając ze wzoru na sumę kwadratową, mamy

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Odpowiedź: 5041 cm2