Wielokąty. Przewodnik wizualny (2019)

Wierzchołki wielokąta i jego odcinki są bokami wielokąta. Wierzchołki wielokąta - strona nr 1/1

Geometria 8. klasa K.K.Kurginyan część 1* (z gwiazdką).
Wielokąt.

Definicja: Wielokąt to figura geometryczna składająca się z płaskiej, zamkniętej linii przerywanej bez samoprzecięć. Nazywa się wierzchołki linii łamanej szczyty wielokąt i segmenty są imprezy wielokąt.

Nazywa się wierzchołki wielokąta sąsiedni, jeśli są końcami jednego z jego boków. Nazywa się odcinki linii łączące nieprzylegające wierzchołki wielokąta przekątne .

Narożnik zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku jest kątem przylegającym do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku. Ogólnie rzecz biorąc, kąt zewnętrzny jest różnicą między 180° a kątem wewnętrznym i może przyjmować wartości od -180° do 180°. Suma kątów zewnętrznych wielokąta wynosi 360°.

Wielokąt wypukły.
Wielokątnazywa się wypukłym, jeśli:
DefinicjaI - dla dowolnych dwóch punktów znajdujących się w nim odcinek łączący je leży całkowicie w nim.

DefinicjaII - każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż 180°.

DefinicjaIII - wszystkie jego przekątne leżą całkowicie wewnątrz niego.

DefinicjaIV – leży po jednej stronie każdej linii prostej przechodzącej przez jej dwa sąsiednie wierzchołki.
Suma kątów N -gon.
Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi (n-2)∙180°.
Suma kątów niewypukłego n-kąta jest również równa (n-2)∙180°. (Dowód jest podobny, ale wykorzystuje dodatkowo lemat, że dowolny wielokąt można pociąć po przekątnej na trójkąty).
Liczba przekątnych N -gon.*

Twierdzenie: Liczba przekątnych dowolnego n-kątu wynosi n(n-3)2.

Dowód: Niech n będzie liczbą wierzchołków wielokąta, obliczmy p liczbą możliwych różnych przekątnych. Każdy wierzchołek jest połączony przekątnymi ze wszystkimi innymi wierzchołkami, z wyjątkiem dwóch sąsiednich i, oczywiście, samego siebie. Zatem z jednego wierzchołka można narysować n-3 przekątnych; Pomnóżmy to przez liczbę wierzchołków (n-3)∙n, jednak każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie (raz na każdy koniec, zatem musimy podzielić przez 2) - stąd p= n(n-3)2.

Zadanie*: Który wielokąt wypukły ma o 25 przekątnych więcej niż boków?

25+n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Rozłóżmy na czynniki

n 2 -25-5n -25 = 0

n=-5 nie spełnia,

ponieważ nie istnieje

taki wielokąt

n = 10 spełnia

Odpowiedź: Dekagon.

Kształty o równych przekątnych.*

Na powierzchni istnieją dwa regularne wielokąty z wszystkie przekątne są równe między sobą - to kwadrat I pięciokąt foremny (pięciokąt). Kwadrat ma dwie identyczne przekątne, które przecinają się pod kątem prostym w środku. Regularny pięciokąt ma pięć identycznych przekątnych, które razem tworzą wzór pięcioramiennej gwiazdy (pentagramu).

W kosmosie jest tylko jeden właściwy wielościan (nie wielokąt), Który wszystkie przekątne są równe między sobą - to regularny ośmiościan (oktaedr). W ośmiościanie trzy przekątne przecinające się parami prostopadle w środku. Wszystkie przekątne ośmiościanu są przestrzenne (ośmiościan nie ma przekątnych ścian, ponieważ ma ściany trójkątne).

Oprócz ośmiościanu istnieje inny wielościan foremny, który wszystkie przekątne przestrzenne są równe między sobą - to sześcian (sześcian), oprócz przestrzennych sześcian ma przekątne ścian. Sześcian ma cztery identyczne przekątne przestrzenne, które przecinają się w środku. Kąt między przekątnymi sześcianu wynosi albo arccos (1/3) ≈ 70,5° (dla pary przekątnych pociągniętych do sąsiednich wierzchołków) albo arccos (–1/3) ≈ 109,5° (dla pary przekątnych pociągniętych do nie -sąsiadujące wierzchołki).

Czworoboki.
Każdy czworokąt ma cztery wierzchołki, cztery boki i dwie przekątne.

Dwie niesąsiadujące strony nazywane są stronami przeciwległymi.

Dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki nazywane są przeciwległymi.
1.Równoległobok jest czworokątem, którego przeciwne strony są równoległe parami.
Właściwości równoległoboku:
1) Przeciwległe boki równoległoboku są równe. AB=DC, AD=BC.

2) Przeciwne kąty równoległoboku są równe. A=C, B=D.

3) Przekątne równoległoboku przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia. AO=OC, BO=OD.

4) Suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem wynosi 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Suma wszystkich kątów wynosi 360°. A+B+C+D=360°.

6)* Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa dwukrotności sumy kwadratów jego dwóch sąsiednich boków: AC 2 + BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).

Problem 1*: Znajdź przekątną równoległoboku, jeśli wiadomo, że długość jednej przekątnej wynosi AC = 9 cm, a boki AD = 7 cm i AB = 4 cm.

Rozwiązanie: Podstawiając wartości do wzoru otrzymujemy:

81+BD 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, zatem druga przekątna wynosi BD = 7 cm Odpowiedź: 7 cm.
Problem 2*: Znajdź przekątną równoległoboku, jeśli wiadomo, że długość jednej przekątnej wynosi BD=10 cm, a boki AD=8 cm i AB=2 cm.

Rozwiązanie: Warunki zadania nie są prawdziwe, ponieważ suma dwóch boków trójkąta jest zawsze większa niż trzeci bok. Odpowiedź: problem nie ma rozwiązań (znaczenie).

Zadanie 3*: a) Znajdź bok równoległoboku, jeśli wiadomo, że długość przekątnych wynosi BD = 6 cm, AC = 8, a jeden bok AB = 5 cm b) Jak nazywa się ten równoległobok.
Zadanie 4**: Suma długości przekątnych równoległoboku wynosi 12 cm, a iloczyn 32 znajdź wartość sumy kwadratów wszystkich jego boków.
Problem 5**: Znajdź największy obwód równoległoboku, którego przekątne wynoszą 6 cm i 8 cm.

Rozwiązanie: Udowodnijmy to spośród wszystkich równoległoboków o danych przekątnych największy obwód ma romb .

Rzeczywiście, niech A I B są długościami sąsiednich boków równoległoboku oraz i są długościami jego przekątnych (patrz rys. 2). Zatem obwód równoległoboku wynosi: P = 2(A + B).

Z równości wyrażającej twierdzenie o sumie kwadratów przekątnych równoległoboku wynika, że ​​dla wszystkich równoległoboków o danych przekątnych suma kwadratów boków jest wartością stałą.

Zgodnie z nierównością średniej arytmetycznej i średniej kwadratowej:  , a równość osiąga się t. i t. t., gdy A = B. Oznacza to, że równoległobok o największym obwodzie jest rombem. Znajdź bok tego rombu: =5(cm). Odpowiedź: 20 cm.

2. Prostokąt jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są proste.
Definicja 2: Jest to czworokąt mający wszystkie kąty proste.

Definicja 3: Jest to równoległobok z jednym kątem prostym.

Definicja 4: Jest to równoległobok, którego kąty są równe.
Właściwości prostokąta: +
1) Przekątne prostokąta są równe.

2)* Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów boków. AC 2 = AB 2 + DC 2

Zadanie 1: Najkrótszy bok prostokąta ma długość 5 cm, przekątne przecinają się pod kątem 60°. Znajdź przekątne prostokąta.
Zadanie 2: Najkrótszy bok prostokąta ma długość 24, przekątne przecinają się pod kątem 120°. Znajdź przekątne i najdłuższy bok prostokąta.
Zadanie 3*: Bok prostokąta ma długość 3 cm, przekątna wynosi 5 cm. Znajdź drugi bok prostokąta.
Zadanie 4*: Bok prostokąta wynosi 6 cm, przekątna 10 cm Znajdź obszar prostokąta.

3.Romb jest równoległobokiem, w którym wszystkie boki są równe.
Definicja 2: Jest to czworokąt mający wszystkie boki równe.
Właściwości rombu: takie same właściwości jak równoległobok +
1) Przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe (AC ⊥ BD).

2) Przekątne rombu dzielą jego kąty na pół (czyli przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠ CDB).

3)*Suma kwadratów przekątnych jest równa kwadratowi boku pomnożonemu przez 4 (konsekwencja tożsamości równoległoboku). AC 2 + BD 2 = 4 AB 2
Zadanie 1: Przekątne rombu wynoszą 6 i 8 cm Znajdź bok rombu.
Zadanie 2: Bok rombu ma długość 10 cm, a jeden z kątów ma miarę 60. Znajdź małą przekątną rombu.
4. Kwadrat jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są równe 90 i wszystkie boki są równe.
Definicja 2: Jest to równoległobok, w którym wszystkie kąty i boki są sobie równe.

Definicja 3: Jest to czworokąt, w którym wszystkie kąty i boki są sobie równe.

Definicja 4: To jest romb z jednym kątem prostym.

Definicja 5: To jest romb, którego kąty są równe.

Definicja 6: Jest to prostokąt o wszystkich bokach równych.
Właściwości kwadratu: takie same właściwości jak równoległobok +
1) Przekątne kwadratu są równe.

2) Przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe (AC ⊥ BD).

3) Przekątne kwadratu dzielą jego kąty na pół (czyli przekątne kwadratu są dwusiecznymi jego kątów - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ CDB=45).

4)* Kwadrat przekątnej jest równy dwukrotności kwadratu boku. AC 2 = 2 AB 2

5. Trapez jest czworokątem, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe.
Boki równoległe nazywane są podstawami, a pozostałe dwa bokami bocznymi.

Trapez nazywa się równoramiennym, jeśli jego boki są równe.

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty.
Zadanie: Udowodnić, że trapez nie może być jednocześnie prostokątem i równoramiennym.

Właściwości wielokątów

Wielokąt to figura geometryczna, zwykle definiowana jako zamknięta linia łamana bez samoprzecięć (wielokąt prosty (rys. 1a)), ale czasami dopuszcza się samoprzecięcia (wtedy wielokąt nie jest prosty).

Wierzchołki wielokąta nazywane są wierzchołkami wielokąta, a odcinki nazywane są bokami wielokąta. Wierzchołki wielokąta nazywane są sąsiadującymi, jeśli są końcami jednego z jego boków. Odcinki łączące nieprzylegające wierzchołki wielokąta nazywane są przekątnymi.

Kąt (lub kąt wewnętrzny) wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w tym wierzchołku i kąt jest obliczany na podstawie boku wielokąta. W szczególności kąt może przekraczać 180°, jeśli wielokąt nie jest wypukły.

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego w danym wierzchołku to kąt przylegający do kąta wewnętrznego wielokąta w tym wierzchołku. Ogólnie rzecz biorąc, kąt zewnętrzny jest różnicą między 180° a kątem wewnętrznym. Dla > 3 każdy wierzchołek -gonu ma 3 przekątne, więc całkowita liczba przekątnych -gonu jest równa.

Wielokąt z trzema wierzchołkami nazywa się trójkątem, z czterema - czworokątem, z pięcioma - pięciokątem itp.

Wielokąt z N zwane wierzchołkami N- kwadrat.

Wielokąt płaski to figura składająca się z wielokąta i skończonej części obszaru przez niego ograniczonego.

Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli spełniony jest jeden z następujących (równoważnych) warunków:

• 1. leży po jednej stronie dowolnej linii prostej łączącej sąsiednie wierzchołki. (tj. przedłużenia boków wielokąta nie przecinają się z pozostałymi bokami);
• 2. jest przecięciem (tj. częścią wspólną) kilku półpłaszczyzn;
• 3. każdy odcinek, którego końce znajdują się w punktach należących do wielokąta, należy w całości do niego.

Wielokąt wypukły nazywa się foremnym, jeśli wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe, na przykład trójkąt równoboczny, kwadrat i pięciokąt.

Mówi się, że wielokąt wypukły jest opisany na okręgu, jeśli wszystkie jego boki stykają się z jakimś okręgiem

Wielokąt foremny to wielokąt, w którym wszystkie kąty i wszystkie boki są równe.

Właściwości wielokątów:

1 Każda przekątna wypukłego kąta, gdzie >3, rozkłada go na dwa wypukłe wielokąty.

2 Suma wszystkich kątów trójkąta wypukłego jest równa.

D-vo: Twierdzenie udowodnimy metodą indukcji matematycznej. Przy = 3 jest to oczywiste. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla -gonu, gdzie <, i udowodnij to dla -gon.

Niech będzie danym wielokątem. Narysujmy przekątną tego wielokąta. Zgodnie z twierdzeniem 3 wielokąt rozkłada się na trójkąt i trójkąt wypukły (ryc. 5). Na podstawie hipotezy indukcyjnej. Z drugiej strony, . Dodanie tych równości i uwzględnienie tego (- kątownik wewnętrzny ) I (- kątownik wewnętrzny ), otrzymamy Kiedy otrzymamy: .

3 Wokół dowolnego wielokąta foremnego można opisać okrąg i tylko jeden.

D-vo: Niech to będzie wielokąt foremny i dwusieczne kątów, i (ryc. 150). Ponieważ zatem * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Udowodnijmy to O = OA 2 = O =… = OA P . Trójkąt O zatem równoramienny O= O. Zatem zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów O = O. Podobnie zostało to udowodnione O = O itp. A więc o co chodzi O jest w równej odległości od wszystkich wierzchołków wielokąta, a więc okrąg ze środkiem O promień O jest opisany na wielokącie.

Udowodnimy teraz, że istnieje tylko jeden okrąg opisany. Rozważmy na przykład trzy wierzchołki wielokąta: A 2 , . Ponieważ tylko jeden okrąg przechodzi przez te punkty, to wokół wielokąta … Nie możesz opisać więcej niż jednego okręgu.

• 4 W dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg i tylko w jeden.
• 5 Okrąg wpisany w wielokąt foremny dotyka boków wielokąta w ich środkach.
• 6 Środek okręgu opisanego na wielokącie foremnym pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w ten sam wielokąt.
• 7 Symetria:

Mówią, że figura ma symetrię (symetryczną), jeśli istnieje taki ruch (nie identyczny), który przekłada tę figurę na siebie.

• 7.1. Ogólny trójkąt nie ma osi ani środków symetrii; jest asymetryczny. Trójkąt równoramienny (ale nie równoboczny) ma jedną oś symetrii: dwusieczną prostopadłą do podstawy.
• 7.2. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii (dwusieczne prostopadłe do boków) i symetrię obrotową wokół środka z kątem obrotu 120°.

7.3 Każdy regularny n-kąt ma n osi symetrii i wszystkie przechodzą przez jego środek. Ma również symetrię obrotową wokół środka z kątem obrotu.

Kiedy nawet N Niektóre osie symetrii przechodzą przez przeciwległe wierzchołki, inne przez środki przeciwległych boków.

Za dziwne N każda oś przechodzi przez górę i środek przeciwnej strony.

Środek wielokąta foremnego o parzystej liczbie boków jest jego środkiem symetrii. Wielokąt foremny o nieparzystej liczbie boków nie ma środka symetrii.

8 Podobieństwo:

Z podobieństwem i -gon przechodzi w -gon, półpłaszczyzna w półpłaszczyznę, a zatem wypukła N-kąt staje się wypukły N-gon.

Twierdzenie: Jeżeli boki i kąty wielokątów wypukłych spełniają równość:

gdzie jest współczynnik podium

wtedy te wielokąty są podobne.

• 8.1 Stosunek obwodów dwóch podobnych wielokątów jest równy współczynnikowi podobieństwa.
• 8.2. Stosunek pól dwóch wypukłych wielokątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

twierdzenie o obwodzie trójkąta wielokątnego

Temat: wielokąty - klasa 8:

Nazywa się linię sąsiadujących ze sobą odcinków, które nie leżą na tej samej linii prostej linia przerywana.

Końce segmentów są szczyty.

Każdy segment jest połączyć.

A wszystkie sumy długości odcinków składają się na sumę długość linia przerywana Na przykład AM + ME + EK + KO = długość linii przerywanej

Jeśli segmenty są zamknięte, to to wielokąt(patrz wyżej) .

Nazywa się łącza w wielokącie imprezy.

Suma długości boków - obwód wielokąt.

Wierzchołki leżące po jednej stronie są sąsiedni.

Nazywa się odcinek łączący niesąsiadujące ze sobą wierzchołki po przekątnej.

Wielokąty zwany według liczby boków: pięciokąt, sześciokąt itp.

Wszystko wewnątrz wielokąta jest wewnętrzna część samolotu i wszystko, co jest na zewnątrz - zewnętrzna część samolotu.

Notatka! Na zdjęciu poniżej- to NIE jest wielokąt, ponieważ na jednej prostej znajdują się dodatkowe punkty wspólne dla odcinków niesąsiadujących ze sobą.

Wielokąt wypukły leży po jednej stronie każdej linii prostej. Aby to ustalić mentalnie (lub za pomocą rysunku), kontynuujemy każdą stronę.

W wielokącie tyle kątów, ile boków.

W wypukłym wielokącie suma wszystkich kątów wewnętrznych równy (n-2)*180°. n to liczba kątów.

Nazywa się wielokąt prawidłowy, jeśli wszystkie jego boki i kąty są równe. Zatem obliczenia jego kątów wewnętrznych przeprowadza się za pomocą wzoru (gdzie n to liczba kątów): 180° * (n-2) / n

Poniżej znajdują się wielokąty, suma ich kątów i wartość jednego kąta.

Kąty zewnętrzne wielokątów wypukłych oblicza się w następujący sposób:

​​​​​​​

Istnieją różne punkty widzenia na temat tego, co jest uważane za wielokąt. Na szkolnym kursie geometrii stosowana jest jedna z poniższych definicji.

Definicja 1

Wielokąt

jest figurą złożoną z segmentów

tak, że sąsiednie segmenty(czyli sąsiadujące segmenty ze wspólnym wierzchołkiem, na przykład A1A2 i A2A3) nie leżą na tej samej prostej, a odcinki niesąsiadujące ze sobą nie mają punktów wspólnych.

Definicja 2

Prosty zamknięty wielokąt nazywany jest wielokątem.

Zwrotnica

są nazywane wierzchołki wielokąta, segmenty

— boki wielokąta.

Nazywa się sumą długości wszystkich boków obwód wielokąta.

Nazywa się wielokąt, który ma n wierzchołków (a więc i boków). n - kwadrat.

Nazywa się wielokąt leżący w tej samej płaszczyźnie płaski. Kiedy ludzie mówią o wielokącie, jeśli nie zaznaczono inaczej, mają na myśli płaski wielokąt.

Nazywa się dwa wierzchołki należące do tego samego boku wielokąta sąsiedni. Na przykład A1 i A2, A5 i A6 są sąsiadującymi wierzchołkami.

Segment łączący dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki nazywa się przekątna wielokąta.

Dowiedzmy się, ile przekątnych ma wielokąt.

Z każdego z n wierzchołków wielokąta wychodzi n-3 przekątnych

(w sumie jest n wierzchołków. Nie liczymy samego wierzchołka oraz dwóch sąsiednich wierzchołków, które nie tworzą z tym wierzchołkiem przekątnej. Dla np. wierzchołka A1 nie bierzemy pod uwagę samego wierzchołka A1 oraz sąsiednich wierzchołków A2 i A3).

Zatem każdemu z n wierzchołków odpowiada n-3 przekątnych. Ponieważ jedna przekątna odnosi się do dwóch wierzchołków jednocześnie, aby obliczyć liczbę przekątnych wielokąta, iloczyn n(n-3) należy podzielić na pół.

Dlatego n - trójkąt ma

przekątne.

Dowolny wielokąt dzieli płaszczyznę na dwie części - wewnętrzne i zewnętrzne obszary wielokąta. Figura składająca się z wielokąta i jego wewnętrznego obszaru nazywana jest również wielokątem.

Definicja

Górny róg

Wierzchołek kąta to punkt, z którego pochodzą oba promienie.

Wierzchołek kąta to punkt, z którego pochodzą oba promienie; gdzie spotykają się dwa segmenty; gdzie przecinają się dwie linie; gdzie to dowolna kombinacja promieni, odcinków i linii tworzących dwa (proste) „boki”, które zbiegają się w jednym punkcie.

Wierzchołek wielościanu wielokątnego

W wielokącie wierzchołek nazywa się „wypukłym”, jeśli kąt wewnętrzny wielokąta jest mniejszy niż π radianów (180° to dwa kąty proste). W przeciwnym razie wierzchołek nazywany jest „wklęsłym”.

Mówiąc bardziej ogólnie, wierzchołek wielościanu jest wypukły, jeśli przecięcie wielościanu z wystarczająco małą kulą mającą wierzchołek jako środek jest figurą wypukłą; w przeciwnym razie wierzchołek jest wklęsły.

Wierzchołki wielościanu są powiązane z wierzchołkami grafu, ponieważ wielościan jest grafem, którego wierzchołki odpowiadają wierzchołkom wielościanu, a zatem wykres wielościanu można uznać za jednowymiarowy uproszczony kompleks, którego wierzchołki są wierzchołki grafu. Jednak w teorii grafów wierzchołki mogą mieć mniej niż dwie krawędzie incydentne, co zwykle nie jest dozwolone w przypadku wierzchołków geometrycznych. Istnieje także związek pomiędzy wierzchołkami geometrycznymi a wierzchołkami krzywej, punktami ekstremów jej krzywizny – wierzchołki wielokąta są w pewnym sensie punktami o nieskończonej krzywiźnie, a jeśli wielokąt aproksymuje się gładką krzywą, to punkty o skrajnej krzywiźnie będzie znajdować się w pobliżu wierzchołków wielokąta. Jednakże aproksymacja wielokąta za pomocą gładkiej krzywej daje dodatkowe wierzchołki w punktach minimalnej krzywizny.

Wierzchołki mozaik płaskich

"Uszy"

„Usta”

Główny szczyt x ja (\ displaystyle x_ (i)) prosty wielokąt P (\ displaystyle P) zwane „ustami”, jeśli są przekątne [ x ja - 1 , x ja + 1 ] (\ displaystyle) leży na zewnątrz P (\ displaystyle P).

Liczba wierzchołków wielościanu

Każda powierzchnia trójwymiarowego wielościanu wypukłego ma charakterystykę Eulera:

V - mi + fa = 2 , (\ displaystyle VE + F = 2,)

Gdzie V (\ displaystyle V)- liczba wierzchołków, mi (\ displaystyle E)- liczba krawędzi i F (\ displaystyle F)- liczba twarzy. Równość ta znana jest jako równanie Eulera. Na przykład sześcian ma 12 krawędzi i 6 ścian, a zatem 8 wierzchołków: 8 - 12 + 6 = 2 (\ displaystyle 8-12 + 6 = 2) .

Szczyty w grafice komputerowej

W grafice komputerowej obiekty są często przedstawiane jako wielościany trójkątne, w których wierzchołkom obiektu kojarzone są nie tylko trzy współrzędne przestrzenne, ale także inne informacje graficzne niezbędne do prawidłowej konstrukcji obrazu obiektu, takie jak kolor, współczynnik odbicia, tekstura i normalne wierzchołki. Te właściwości są używane podczas konstruowania obrazu za pomocą