Gdy system ma tylko jedno rozwiązanie. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Jak wynika z Twierdzenie Cramera, przy rozwiązywaniu układu równania liniowe Mogą wystąpić trzy przypadki:

Przypadek pierwszy: układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie

(system jest spójny i określony)

Przypadek drugi: układ równań liniowych ma nieskończoną liczbę rozwiązań

(system jest spójny i niepewny)

** ,

te. współczynniki niewiadomych i wyrazy wolne są proporcjonalne.

Przypadek trzeci: układ równań liniowych nie ma rozwiązań

(system jest niespójny)

A więc system M równania liniowe z N zwane zmiennymi nie wspólne, jeśli nie ma jednego rozwiązania, i wspólny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. Nazywa się równoczesny układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie niektórzy i więcej niż jeden – niepewny.

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych metodą Cramera

Niech będzie dany system

.

Na podstawie twierdzenia Cramera

………….
,

Gdzie
-

wyznacznik systemu. Pozostałe wyznaczniki uzyskujemy zastępując kolumnę współczynnikami odpowiedniej zmiennej (nieznanej) o terminach dowolnych:

Przykład 2.

.

Zatem system jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy wyznaczniki

Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:

Zatem (1; 0; -1) jest jedynym rozwiązaniem tego układu.

Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora internetowego, zdecydowana metoda Kramera.

Jeśli w układzie równań liniowych nie ma zmiennych w jednym lub większej liczbie równań, to w wyznaczniku odpowiednie elementy są równe zeru! To jest następny przykład.

Przykład 3. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:

.

Rozwiązanie. Znajdujemy wyznacznik układu:

Przyjrzyj się uważnie układowi równań i wyznacznikowi układu i powtórz odpowiedź na pytanie, w jakich przypadkach jeden lub więcej elementów wyznacznika jest równe zero. Zatem wyznacznik nie jest równy zero, zatem układ jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy wyznaczniki niewiadomych

Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:

Zatem rozwiązaniem układu jest (2; -1; 1).

6. Ogólny układ liniowy równania algebraiczne. Metoda Gaussa.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie nadają się w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, Który w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi! Sam algorytm metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli metody Cramera i macierzowe wymagają znajomości wyznaczników, to do zastosowania metody Gaussa wystarczy znajomość działań arytmetycznych, co czyni ją przystępną nawet dla uczniów zajęcia podstawowe.

Na początek usystematyzujmy trochę wiedzy o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Mieć unikalne rozwiązanie.
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej uniwersalnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy, Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Oraz metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych W każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie układu), artykuł poświęcony jest sytuacjom z punktów nr 2-3. Zwracam uwagę, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszy system z zajęć Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiązać go metodą Gaussa.

Pierwszym krokiem jest zapisanie rozbudowana matryca systemu:
. Myślę, że każdy może zobaczyć, według jakiej zasady zapisywane są współczynniki. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego – jest po prostu przekreśleniem dla ułatwienia projektowania.

Odniesienie:Polecam pamiętać warunki algebra liniowa. Matryca systemu jest macierzą złożoną wyłącznie ze współczynników niewiadomych, w tym przykładzie macierzą układu: . Rozszerzona matryca systemu– jest to ta sama macierz układu plus kolumna wolnych terminów, w tym przypadku: . Dla uproszczenia każdą z macierzy można po prostu nazwać macierzą.

Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu należy wykonać z nią pewne działania, które są również nazywane elementarne przemiany.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce można przearanżować w niektórych miejscach. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezboleśnie zmienić układ pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeżeli w macierzy są (lub pojawiły się) proporcjonalne (w szczególnym przypadku - identyczne) wiersze, to należy usuwać Wszystkie te wiersze pochodzą z macierzy, z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, więc wystarczy zostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać. Nie będę oczywiście rysować, linia zerowa to linia, w której wszystkie zera.

4) Wiersz macierzy może być mnożyć (dzielić) na dowolny numer niezerowy. Rozważmy na przykład macierz . W tym przypadku wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż ułatwia dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale tak naprawdę nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu macierzy można dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera. Spójrzmy na naszą macierz na praktycznym przykładzie: . Najpierw opiszę bardzo szczegółowo transformację. Pomnóż pierwszą linię przez –2: , I do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2: . Teraz pierwszą linię można podzielić „wstecz” przez –2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – nie uległo zmianie. Zawsze zmienia się linia DO KTÓREGO JEST DODAWANA Ut.

W praktyce oczywiście nie piszą tego tak szczegółowo, ale piszą krótko:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2. Wiersz jest zwykle mnożony ustnie lub w wersji roboczej, a proces obliczeń w myślach przebiega mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linijkę: »

„Pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę tę na górze przez –2: , a pierwszą dodaję do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Na górze mnożę -1 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiej linii: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Na górze mnożę -5 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: »

Proszę dokładnie zrozumieć ten przykład i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście nadal będziemy pracować nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: uważane za manipulacje nie można używać, jeśli zaproponowano ci zadanie, w którym macierze są podawane „same w sobie”. Na przykład w przypadku „klasycznego” operacje na macierzach W żadnym wypadku nie należy przestawiać czegokolwiek wewnątrz macierzy!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozebrany na kawałki.

Napiszmy rozszerzoną macierz układu i użycia elementarne przemiany doprowadźmy to do widok schodkowy:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. I jeszcze raz: dlaczego mnożymy pierwszą linię przez –2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugiej linii.

(2) Podziel drugą linię przez 3.

Cel przekształceń elementarnych – sprowadź macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, po prostu zaznaczają „schody” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok krokowy” nie jest całkowicie teoretyczny, zarówno z naukowego, jak i z punktu widzenia naukowego literatura edukacyjna często się to nazywa widok trapezowy Lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz system należy „rozwinąć” w przeciwnym kierunku - proces ten nazywa się od dołu do góry odwrotność metody Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważmy pierwsze równanie układu i podstawmy do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, gdy metoda Gaussa wymaga rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy rozszerzoną macierz układu:

Teraz od razu narysuję wynik, do którego dojdziemy podczas rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci krokowej za pomocą elementarnych przekształceń. Gdzie zacząć?

Najpierw spójrz na liczbę w lewym górnym rogu:

Powinien prawie zawsze tu być jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, wystarczy –1 (a czasami inne liczby), ale jakoś tradycyjnie tak się złożyło, że zwykle umieszczano je w tym miejscu. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona aż do końca rozwiązania. To już jest łatwiejsze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera otrzymujemy stosując „trudną” transformację. Najpierw zajmujemy się drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby na pierwszym miejscu pojawiło się zero? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie przeprowadzamy (znowu w myślach lub na szkicu) dodawanie, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:

Wynik zapisujemy w drugiej linii:

W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). I do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –3:

Wynik zapisujemy w trzeciej linii:

W praktyce czynności te najczęściej wykonywane są ustnie i spisywane w jednym kroku:

Nie trzeba liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wpisywania” wyników spójny i zwykle jest tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę i stopniowo się zaciągamy - KONSEKWENTNIE i UWAŻNIE:


Omówiłem już proces myślowy samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe do zrobienia; dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby w niej są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie dzielimy trzecią linię przez –2, bo im mniejsza liczba, tym prostsze rozwiązanie:

NA końcowy etap elementarne transformacje musisz uzyskać tutaj kolejne zero:

Do tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –2:


Spróbuj sam wymyślić tę akcję - pomnóż w myślach drugą linię przez –2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną akcją jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano równoważny układ równań liniowych:

Fajny.

Teraz wchodzi w grę odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie słowa „zet” jest już znane, a zatem:

I na koniec pierwsze równanie: . „Igrek” i „zet” są znane, to tylko kwestia drobiazgów:

Odpowiedź:

Jak wielokrotnie podkreślano, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.

Przykład 2

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, próbka finalnego projektu i odpowiedź na koniec lekcji.

Warto zauważyć, że Twój postęp decyzji może nie pokrywać się z moim procesem decyzyjnym, i jest to cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy go tam mieć. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. zrobiłem to:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

(2) Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

(4) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 2.

(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. To znaczy, jeśli mamy coś takiego jak poniżej i odpowiednio , to z dużym prawdopodobieństwem można powiedzieć, że przy przekształceniach elementarnych popełniono błąd.

My obciążamy odwrotnie, przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że odwrotny skok działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:

Odpowiedź: .

Przykład 4

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowany. Nie ma problemu, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części przyjrzymy się niektórym cechom algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach układu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? Mówiłem już o tym punkcie na zajęciach. Reguła Cramera. Metoda matrycowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość łatwy przykład, ponieważ pierwsza kolumna ma już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych transformacji.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy „kroki” albo –1, albo +1. Czy mogą być tam inne numery? W niektórych przypadkach mogą. Rozważ system: .

Tutaj, w lewym górnym „kroku”, mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a druga to dwa i sześć. A te dwa w lewym górnym rogu będą nam odpowiadać! W pierwszym kroku należy wykonać następujące przekształcenia: dodać do drugiej linii pierwszą linię pomnożoną przez –1; do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W ten sposób uzyskamy wymagane zera w pierwszej kolumnie.

Lub inny konwencjonalny przykład: . Tutaj trójka w drugim „kroku” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: dodać drugą linię do trzeciej linii, pomnożoną przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale ma jedną osobliwość. Rozwiązywania układów innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) można śmiało nauczyć się dosłownie za pierwszym razem – mają one bardzo rygorystyczny algorytm. Ale żeby mieć pewność co do metody Gaussa, trzeba ją opanować i rozwiązać przynajmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może pojawić się zamieszanie i błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Za oknem deszczowa jesienna pogoda.... A więc dla każdego, kto chce więcej złożony przykład dla rozwiązania niezależnego:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, stosując metodę Gaussa.

Takie zadanie nie jest w praktyce tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, zrozumie algorytm intuicyjnego rozwiązania takiego systemu. W zasadzie wszystko jest takie samo – jest tylko więcej akcji.

Na lekcji omówione zostaną przypadki, gdy układ nie ma rozwiązań (niespójny) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci krokowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1. Uwaga! W tym przypadku możesz ulec pokusie, aby odjąć pierwszą linię od trzeciej; zdecydowanie odradzam jej odejmowanie – ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu złóż!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Druga i trzecia linia zostały zamienione miejscami. Uwaga, że na „stopniach” zadowalamy się nie tylko jednym, ale także –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Odwracać:

Odpowiedź: .

Przykład 4: Rozwiązanie: Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Wykonane konwersje:
(1) Do pierwszego wiersza dodano drugi wiersz. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Pierwsza linia pomnożona przez 7 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 6 została dodana do trzeciej linii.

Z drugim „krokiem” wszystko się pogarsza, „kandydatami” do tego są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jednego, albo –1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
(4) Do drugiej linii dodano trzecią linię pomnożoną przez –3.
Otrzymano wymagany przedmiot w drugim kroku. .
(5) Druga linia została dodana do trzeciej linii i pomnożona przez 6.

W ramach zajęć Metoda Gaussa I Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy niejednorodne układy równań liniowych, Gdzie wolny członek(który zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden z równań była różna od zera.
A teraz, po dobrej rozgrzewce z ranga matrycy, będziemy nadal udoskonalać technikę elementarne przemiany NA jednorodny układ równań liniowych.
Sądząc po pierwszych akapitach, materiał może wydawać się nudny i przeciętny, jednak wrażenie to jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwoju technik technicznych będzie ich wiele nowe informacje, więc staraj się nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.

Rozwiązanie. A= . Znajdźmy r(A). Ponieważ matryca A zatem ma porządek 3x4 najwyższy porządek minors jest równe 3. Co więcej, wszystkie minory trzeciego rzędu są równe zeru (sprawdź to sam). Oznacza, r(A)< 3. Возьмем главный podstawowe drobne = -5-4 = -9 ≠ 0. Zatem r(A) =2.

Rozważmy matryca Z = .

Mała trzecia zamówienie ≠ 0. Zatem r(C) = 3.

Ponieważ r(A) ≠ r(C) , to układ jest niespójny.

Przykład 2. Wyznaczanie zgodności układu równań

Rozwiąż ten układ, jeśli okaże się, że jest spójny.

Rozwiązanie.

A = , C = . Jest oczywiste, że r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Ponieważ detC = 0, to r(C)< 4. Rozważmy drobny trzeci zamówienie, znajdujący się w lewym górnym rogu macierzy A i C: = -23 ≠ 0. Zatem r(A) = r(C) = 3.

Numer nieznany w układzie n=3. Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie. W tym przypadku czwarte równanie reprezentuje sumę pierwszych trzech i można je zignorować.

Według wzorów Cramera otrzymujemy x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda matrycowa. Metoda Gaussa

system N równania liniowe Z N niewiadome można rozwiązać metoda matrycowa zgodnie ze wzorem X = A -1 B (przy Δ ≠ 0), które otrzymuje się z (2) poprzez pomnożenie obu części przez A -1.

Przykład 1. Rozwiąż układ równań

metoda macierzowa (w podrozdziale 2.2 układ ten został rozwiązany za pomocą wzorów Cramera)

Rozwiązanie. Δ = 10 ≠ 0 A = - macierz niezdegenerowana.

= (sprawdź to sam, dokonując niezbędnych obliczeń).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Odpowiedź: .

Z praktycznego punktu widzenia metoda i wzory macierzowe Kramera wiążą się z dużą ilością obliczeń, dlatego preferowane jest Metoda Gaussa, która polega na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych. W tym celu układ równań sprowadza się do równoważnego układu z rozszerzoną macierzą trójkątną (wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zeru). Działania te nazywane są ruchem do przodu. Z powstałego układu trójkątnego zmienne znajdują się za pomocą kolejnych podstawień (odwrotnie).

Przykład 2. Rozwiązać układ metodą Gaussa

(Powyżej układ ten został rozwiązany za pomocą wzoru Cramera i metody macierzowej).

Rozwiązanie.

Bezpośredni ruch. Zapiszmy rozszerzoną macierz i korzystając z elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci trójkątnej:

~ ~ ~ ~ .

Dostajemy system

Ruch odwrotny. Z ostatniego równania, które znajdujemy X 3 = -6 i podstaw tę wartość do drugiego równania:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Odpowiedź: .

2.5. Ogólne rozwiązanie układu równań liniowych

Niech będzie dany układ równań liniowych = b ja(I=). Niech r(A) = r(C) = r, tj. system współpracuje. Dowolny element podrzędny rzędu r inny niż zero to podstawowe drobne. Bez utraty ogólności założymy, że moll bazowy znajduje się w pierwszych r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) wierszach i kolumnach macierzy A. Odrzucając ostatnią równania m-r systemów piszemy system skrócony:

co jest równoznaczne z oryginałem. Nazwijmy niewiadome x 1 ,….x r podstawowe i x r +1 ,…, x r uwolnij i przesuń wyrazy zawierające wolne niewiadome na prawą stronę równań układu obciętego. Otrzymujemy układ ze względu na niewiadome podstawowe:

które dla każdego zestawu wartości wolnych niewiadomych x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r ma tylko jedno rozwiązanie x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), znalezione na podstawie reguły Cramera.

Odpowiednie rozwiązanie skrócony, a zatem oryginalny układ ma postać:

X(C 1 ,…, C n-r) = - ogólne rozwiązanie układu.

Jeśli w rozwiązaniu ogólnym podajemy kilka niewiadomych swobodnych wartości liczbowe, wówczas otrzymujemy rozwiązanie układu liniowego, zwane cząstkowym.

Przykład.

Rozwiązanie Ustal kompatybilność i znajdź ogólne rozwiązanie systemu . A = .

, C = Więc Jak= r(C) = 2 (przekonaj się sam), to pierwotny układ jest spójny i ma nieskończoną liczbę rozwiązań (ponieważ r< 4).

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych jest jednym z głównych problemów algebry liniowej. To zadanie ma istotne znaczenie zastosowana wartość przy rozwiązywaniu problemów naukowo-technicznych, ponadto pomaga w realizacji wielu algorytmów z zakresu matematyki obliczeniowej, fizyki matematycznej i przetwarzaniu wyników badań eksperymentalnych.

Układ liniowych równań algebraicznych nazywa się układem równań postaci: (1)

Gdzie – nieznany; - wolni członkowie.

Rozwiązywanie układu równań(1) wywołać dowolny zbiór liczb, który po umieszczeniu w systemie (1) zamiast niewiadomych przekształca wszystkie równania układu na prawidłowe równości liczbowe.

Układ równań nazywa się wspólny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, oraz nie wspólne, jeśli nie ma rozwiązań.

Nazywa się równoczesny układ równań niektórzy, jeśli ma jedno unikalne rozwiązanie, oraz niepewny, jeśli ma co najmniej dwa różne rozwiązania.

Nazywa się te dwa układy równań równowartość Lub równowartość, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.

Nazywa się system (1). jednorodny, jeśli wolne warunki wynoszą zero:

System jednorodny jest zawsze spójny – ma rozwiązanie (może nie jedyny).

Jeśli w systemie (1), to mamy system N równania liniowe z N nieznany: Gdzie – nieznany; – współczynniki niewiadomych, - wolni członkowie.

Układ liniowy może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć żadnego rozwiązania.

Rozważmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Jeśli wtedy system ma unikalne rozwiązanie;

Jeśli wówczas układ nie ma rozwiązań;

Jeśli wówczas układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Przykład. System ma unikalne rozwiązanie pary liczb

Układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Na przykład rozwiązaniami danego układu są pary liczb itp.

Układ nie ma rozwiązań, ponieważ różnica dwóch liczb nie może przyjmować dwóch różnych wartości.

Definicja. Wyznacznik drugiego rzędu zwane wyrażeniem postaci:

.

Wyznacznik jest oznaczony symbolem D.

Takty muzyczne A 11, …, A 22 nazywane są elementami wyznacznika.

Przekątna utworzona przez elementy A 11 ; A 22 są wezwani główny przekątna utworzona przez elementy A 12 ; A 21 − strona

Zatem wyznacznik drugiego rzędu jest równy różnicy między iloczynami elementów przekątnych głównej i wtórnej.

Pamiętaj, że odpowiedzią jest liczba.

Przykład. Obliczmy wyznaczniki:

Rozważmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi: Gdzie X 1, X 2 – nieznany; A 11 , …, A 22 – współczynniki dla niewiadomych, B 1 , B 2 – bezpłatne członkostwo.

Jeśli układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi ma jednoznaczne rozwiązanie, to można je znaleźć za pomocą wyznaczników drugiego rzędu.

Definicja. Wyznacznik złożony ze współczynników niewiadomych nazywa się wyznacznik systemu: D= .

Kolumny wyznacznika D zawierają odpowiednio współczynniki dla X 1 i o godz , X 2. Przedstawmy dwa dodatkowy kwalifikator, które otrzymuje się z wyznacznika układu poprzez zastąpienie jednej z kolumn kolumną wolnych terminów: D 1 = D 2 = .

Twierdzenie 14(Kramer, dla przypadku n=2). Jeżeli wyznacznik D układu jest różna od zera (D¹0), to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, które znajduje się za pomocą wzorów:

Formuły te nazywane są Wzory Cramera.

Przykład. Rozwiążmy układ korzystając z reguły Cramera:

Rozwiązanie. Znajdźmy liczby

Odpowiedź.

Definicja. Wyznacznik trzeciego rzędu zwane wyrażeniem postaci:

Elementy A 11; A 22 ; A 33 – tworzą główną przekątną.

Takty muzyczne A 13; A 22 ; A 31 – tworzą boczną przekątną.

Zapis z plusem obejmuje: iloczyn elementów na głównej przekątnej, pozostałe dwa wyrazy to iloczyn elementów znajdujących się na wierzchołkach trójkątów o podstawach równoległych do głównej przekątnej. Warunki ujemne są tworzone według tego samego schematu w odniesieniu do przekątnej wtórnej.

Przykład. Obliczmy wyznaczniki:

Gdzie – nieznany; – współczynniki niewiadomych, - wolni członkowie.

W przypadku rozwiązania unikalnego układ 3 równań liniowych z trzema niewiadomymi można rozwiązać za pomocą wyznaczników trzeciego rzędu.

Wyznacznik układu D ma postać:

Wprowadźmy trzy dodatkowe determinanty:

Twierdzenie 15(Kramer, dla przypadku n=3). Jeżeli wyznacznik D układu jest różna od zera, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, które znajduje się za pomocą wzorów Cramera:

Przykład. Rozwiążmy system zgodnie z regułą Cramera.

Rozwiązanie. Znajdźmy liczby

Skorzystajmy ze wzorów Cramera i znajdźmy rozwiązanie pierwotnego układu:

Odpowiedź.

Należy zauważyć, że twierdzenie Cramera ma zastosowanie, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych i gdy wyznacznik układu D jest różny od zera.

Jeśli wyznacznik układu jest równy zero, to w tym przypadku układ może albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Przypadki te są badane oddzielnie.

Zwróćmy uwagę tylko na jeden przypadek. Jeżeli wyznacznik układu jest równy zeru (D=0) i choć jedna z wyznaczników dodatkowych jest różna od zera, to układ nie ma rozwiązań, czyli jest niespójny.

Twierdzenie Cramera można uogólnić na system N równania liniowe z N nieznany: Gdzie – nieznany; – współczynniki niewiadomych, - wolni członkowie.

Jeżeli wyznacznik układu równań liniowych z niewiadomymi wówczas jedyne rozwiązanie układu znajduje się przy użyciu wzorów Cramera:

Dodatkowy kwalifikator oblicza się z wyznacznika D, jeżeli zawiera on kolumnę współczynników dla niewiadomych x ja zastąp kolumną wolnych członków.

Należy zauważyć, że wyznaczniki D, D 1 , … , D N mieć porządek N.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych

Jedną z najczęstszych metod rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych −Metoda Gaussa. Metoda ta jest uogólnieniem metody podstawieniowej i polega na sekwencyjnym eliminowaniu niewiadomych, aż pozostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.

Metoda polega na przekształceniach układu równań liniowych, w wyniku czego otrzymujemy układ równoważny układowi pierwotnemu. Algorytm metody składa się z dwóch etapów.

Pierwszy etap nazywa się prosto Metoda Gaussa. Polega na sekwencyjnym eliminowaniu niewiadomych z równań. Aby to zrobić, w pierwszym kroku podziel pierwsze równanie układu przez (w przeciwnym razie przestaw równania układu). Oznaczają współczynniki powstałego zredukowanego równania, mnożą je przez współczynnik i odejmując od drugiego równania układu, eliminując w ten sposób z drugiego równania (zerowanie współczynnika).

Zrób to samo z pozostałymi równaniami i uzyskaj nowy układ, w którym we wszystkich równaniach, począwszy od drugiego, współczynniki dla , zawierają tylko zera. Oczywiście powstały nowy system będzie równoważny systemowi oryginalnemu.

Jeżeli nie wszystkie nowe współczynniki dla , są równe zeru, można je w ten sam sposób wykluczyć z trzeciego i kolejnych równań. Kontynuując tę ​​operację dla następujących niewiadomych, układ zostaje doprowadzony do tzw. postaci trójkątnej:

Tutaj symbole wskazują współczynniki liczbowe i wolne terminy, które zmieniły się w wyniku przekształceń.

Z ostatniego równania układu pozostałe niewiadome wyznacza się w sposób jednoznaczny, a następnie metodą sekwencyjnego podstawienia.

Komentarz. Czasami w wyniku przekształceń w którymkolwiek z równań wszystkie współczynniki i prawa strona zwracają się do zera, czyli równanie zamienia się w tożsamość 0=0. Eliminując takie równanie z układu, zmniejsza się liczba równań w stosunku do liczby niewiadomych. Taki system nie może mieć jednego rozwiązania.

Jeśli w procesie stosowania metody Gaussa dowolne równanie zmieni się w równość w postaci 0 = 1 (współczynniki dla niewiadomych zwrócą się do 0, a prawa strona przyjmie wartość niezerową), to oryginalny system nie ma rozwiązania, ponieważ taka równość jest fałszywa dla dowolnych nieznanych wartości.

Rozważmy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:

(2)

Gdzie – nieznany; – współczynniki niewiadomych, - wolni członkowie.

Układy równań są szeroko stosowane w sektorze gospodarczym do matematycznego modelowania różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów związanych z zarządzaniem i planowaniem produkcji, tras logistycznych (problem transportu) lub rozmieszczenia sprzętu.

Układy równań wykorzystuje się nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów wyznaczania wielkości populacji.

Układ równań liniowych to dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.

Równanie liniowe

Równania w postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny składnik równania.
Rozwiązanie równania poprzez jego wykreślenie będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniami wielomianu.

Rodzaje układów równań liniowych

Za najprostsze przykłady uważa się układy równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.

Rozwiązać układ równań - oznacza to znalezienie wartości (x, y), przy których układ zamienia się w prawdziwą równość lub ustalenie, że odpowiednie wartości x i y nie istnieją.

Para wartości (x, y), zapisana jako współrzędne punktu, nazywana jest rozwiązaniem układu równań liniowych.

Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma żadnego rozwiązania, nazywa się je równoważnymi.

Jednorodne układy równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ jest heterogeniczny.

Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.

W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych; może ich być tyle, ile potrzeba.

Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań

Nie ma ogólnej metody analitycznej rozwiązywania takich układów; wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. Szkolny kurs matematyki szczegółowo opisuje takie metody jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metody graficzne i macierzowe, rozwiązanie metodą Gaussa.

Głównym zadaniem nauczania metod rozwiązywania problemów jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętywanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania określonej metody

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych programu dla klasy 7 szkoła średnia dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest szerzej studiowane na pierwszych latach studiów wyższych.

Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową

Działania metody podstawieniowej mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej za pomocą drugiej. Wyrażenie podstawiamy do pozostałego równania, a następnie sprowadzamy do postaci z jedną zmienną. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w systemie

Podajmy rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych klasy 7 metodą podstawieniową:

Jak widać na przykładzie zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Powstałe wyrażenie, podstawione w miejsce X do 2. równania układu, pozwoliło otrzymać w 2. równaniu jedną zmienną Y . Rozwiązanie tego przykładu jest łatwe i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie otrzymanych wartości.

Nie zawsze możliwe jest rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone i wyrażenie zmiennej w kategoriach drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Gdy w systemie są więcej niż 3 niewiadome, rozwiązywanie przez podstawienie również jest niepraktyczne.

Rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych niejednorodnych:

Rozwiązanie wykorzystujące dodawanie algebraiczne

Szukając rozwiązań układów metodą dodawania, równania dodaje się termin po wyrazie i mnoży przez różne liczby. Ostateczny cel operacje matematyczne to równanie z jedną zmienną.

Do zastosowań tę metodę wymagana jest praktyka i obserwacja. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą dodawania, gdy występują 3 lub więcej zmiennych, nie jest łatwe. Dodawanie algebraiczne jest wygodne w użyciu, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i dziesiętne.

Algorytm rozwiązania:

1. Pomnóż obie strony równania przez określoną liczbę. W rezultacie operacja arytmetyczna jeden ze współczynników zmiennej musi być równy 1.
2. Dodaj wynikowe wyrażenie termin po terminie i znajdź jedną z niewiadomych.
3. Podstaw uzyskaną wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Metoda rozwiązania poprzez wprowadzenie nowej zmiennej

Nową zmienną można wprowadzić, jeżeli układ wymaga rozwiązania nie więcej niż dwóch równań; liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.

Metodę tę stosuje się w celu uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie rozwiązuje się dla wprowadzonej niewiadomej, a otrzymaną wartość wykorzystuje się do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.

Przykład pokazuje, że wprowadzając nową zmienną t, możliwe było sprowadzenie pierwszego równania układu do standardowego trójmianu kwadratowego. Wielomian można rozwiązać, znajdując dyskryminator.

Wartość dyskryminatora należy znaleźć ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D jest pożądanym wyróżnikiem, b, a, c są współczynnikami wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, zatem D=100. Jeśli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to jest jedno rozwiązanie: x = -b / 2*a.

Rozwiązanie dla powstałych układów można znaleźć metodą addycji.

Wizualna metoda rozwiązywania układów

Nadaje się do 3 układów równań. Metoda polega na konstruowaniu wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu na osi współrzędnych. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą rozwiązaniem ogólnym układu.

Metoda graficzna ma wiele niuansów. Przyjrzyjmy się kilku przykładom rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.

Jak widać na przykładzie, dla każdej prostej skonstruowano dwa punkty, arbitralnie wybrano wartości zmiennej x: 0 i 3. Na podstawie wartości x znaleziono wartości dla y: 3 i 0. Na wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) i połączono je linią.

Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

Poniższy przykład wymaga znalezienia graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Jak widać na przykładzie układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.

Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy układ ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest skonstruowanie grafu.

Macierz i jej odmiany

Macierze służą do zwięzłego pisania układu równań liniowych. Macierz to specjalny rodzaj tabeli wypełnionej liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.

Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor jest macierzą jednokolumnową z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jedynkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywa się tożsamością.

Macierz odwrotna to macierz, po pomnożeniu, przez którą pierwotna zamienia się w macierz jednostkową; taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.

Zasady przekształcania układu równań w macierz

W odniesieniu do układów równań współczynniki i wyrazy wolne równań zapisuje się jako liczby macierzowe; jedno równanie odpowiada jednemu wierszowi macierzy.

Mówi się, że wiersz macierzy jest niezerowy, jeśli przynajmniej jeden element wiersza jest różny od zera. Dlatego jeśli w którymkolwiek z równań liczba zmiennych jest różna, wówczas w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.

Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y - tylko w drugiej.

Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.

Opcje znajdowania macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 jest macierzą odwrotną, a |K| jest wyznacznikiem macierzy. |K| nie może być równe zero, wówczas układ ma rozwiązanie.

Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa; wystarczy pomnożyć elementy przekątne przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz skorzystać ze wzoru lub pamiętać, że musisz wziąć po jednym elemencie z każdego wiersza i każdej kolumny, aby w pracy nie powtarzały się numery kolumn i rzędów elementów.

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą macierzową

Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala na ograniczenie uciążliwych wpisów przy rozwiązywaniu układów z dużą liczbą zmiennych i równań.

W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor. x n to zmienne, a b n to terminy wolne.

Rozwiązywanie układów metodą Gaussa

W matematyce wyższej metodę Gaussa bada się łącznie z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywa się metodą rozwiązań Gaussa-Cramera. Metody te służą do znajdowania zmiennych układów o dużej liczbie równań liniowych.

Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań metodą podstawienia i dodawania algebraicznego, ale jest bardziej systematyczna. Na zajęciach szkolnych stosuje się rozwiązanie metodą Gaussa dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest sprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie jest wyrażeniem z 2 niewiadomymi, natomiast 3 i 4 z 3 i 4 zmiennymi.

Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.

W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania metodą Gaussa opisano w następujący sposób:

Jak widać na przykładzie, w kroku (3) otrzymano dwa równania: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie któregokolwiek z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.

Twierdzenie 5, o którym mowa w tekście, stwierdza, że ​​jeśli jedno z równań układu zostanie zastąpione równaniem równoważnym, wówczas powstały układ będzie również równoważny pierwotnemu.

Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla uczniów szkoła średnia, ale jest jednym z najciekawszych sposobów rozwijania pomysłowości dzieci zapisanych do zaawansowanych programów nauczania na lekcjach matematyki i fizyki.

Aby ułatwić rejestrację, obliczenia zwykle wykonuje się w następujący sposób:

Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisuje się w postaci macierzy, gdzie każdemu wierszowi macierzy odpowiada jedno z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie wskazują numery równań w układzie.

Najpierw zapisz macierz, z którą będziesz pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane z jednym z wierszy. Wynikową macierz zapisuje się po znaku „strzałki” i kontynuuje wykonywanie niezbędnych czynności operacje algebraiczne aż do osiągnięcia rezultatu.

Wynikiem powinna być macierz, w której jedna z przekątnych jest równa 1, a wszystkie pozostałe współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz jest zredukowana do postaci jednostkowej. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.

Ta metoda rejestrowania jest mniej uciążliwa i pozwala nie rozpraszać się wypisywaniem wielu niewiadomych.

Swobodne korzystanie z dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody mają charakter stosowany. Niektóre metody znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, inne istnieją w celach edukacyjnych.

Znajdowanie rozwiązań układu liniowego
Przenośne aplikacje Windows na Bodrenko.com

§2. Znajdowanie rozwiązań układu liniowego

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego ustanawia warunek konieczny i wystarczający kompatybilności układu liniowego, ale nie daje sposobu na znalezienie rozwiązań dla tego układu.
W tej części znajdziemy rozwiązania układu liniowego (3.1). Najpierw rozważymy najprostszy przypadek kwadratowego układu równań liniowych z niezerową wyznacznikiem macierzy głównej, a następnie przejdziemy do znalezienia zbioru wszystkich rozwiązań ogólnego układu liniowego postaci (3.1).
1. Kwadratowy układ równań liniowych z niezerowym wyznacznikiem macierzy głównej. Niech będzie dany kwadratowy układ równań liniowych

z niezerową wyznacznikiem Δ macierzy głównej

Udowodnijmy, że taki system ma i to w dodatku unikalne rozwiązanie, i znajdźmy to rozwiązanie. Najpierw udowodnimy, że system (3.10) może mieć tylko jedno rozwiązanie (to znaczy udowodnimy jednoznaczność rozwiązania systemu (3.10) przy założeniu jego istnienia).
Załóżmy, że istnieje n liczb x 1, x 2,..., x n takich, że po podstawieniu tych liczb do układu (3.10) wszystkie równania tego układu staną się tożsamościami (tj. układ ma jakieś rozwiązanie ( 3.10) x 1, x 2,..., x n). Następnie mnożąc tożsamości (3.10) odpowiednio przez dopełnienia algebraiczne A 1j , A 2j ,..., A nj elementy kolumny j-ro wyznacznika Δ macierzy (3.11) i następnie dodając otrzymane tożsamości, otrzymujemy otrzymać (dla dowolnej liczby j, równej 1, 2,..., n)

Biorąc pod uwagę, że suma iloczynów elementów i-tej kolumny przez odpowiednie uzupełnienia algebraiczne elementów kolumny j-ro jest równa zeru dla i ≠ j i równa wyznacznikowi Δ macierzy (3.11) dla i = j (patrz własność 4° z paragrafu 4 §2 rozdz. 1), otrzymujemy z ostatniej równości

x jot Δ = b 1 ZA 1j + b 2 ZA 2j + ... + b n ZA nj . (3.12)

Oznaczmy symbolemΔ J (B I ) (lub, krócej, symbolΔ J ) wyznacznik otrzymany z wyznacznikaΔ macierz główną (3.11) zastępując jej j-tą kolumnę kolumną wolnych terminów b 1 , B 2 ,...,B N (zachowując wszystkie pozostałe kolumny bez zmiany Δ ).
Zauważmy, że po prawej stronie (3.12) znajduje się właśnie wyznacznik Δ j (b i) (aby to sprawdzić, wystarczy zapisać rozwinięcie wyznacznika Δ j (b i) po elementach i-tej kolumny) , i ta równość przyjmuje postać

Δ x j = Δ j (3.13)

Ponieważ wyznacznik Δ macierzy (3.11) jest różny od zera, równości (3.13) są równoważne związkom

Udowodniliśmy to jeśli rozwiązanie x 1 , X 2 ,...,X N układ (3.10) z wyznacznikiemΔ istnieje macierz główna (3.11) różna od zera, to rozwiązanie to jest jednoznacznie określone wzorami (3.14).
Wywoływane są formuły (3.14). Formuły Cramera.
Podkreślmy jeszcze raz, że wzory Cramera dotychczas otrzymywaliśmy przy założeniu istnienia rozwiązania i udowadnialiśmy jego jednoznaczność.
Pozostaje udowodnić istnienie rozwiązania układu (3.10). Aby to zrobić, na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego wystarczy udowodnić, że rząd macierzy głównej (3.11) jest równy rządowi macierzy rozszerzonej (istnienie rozwiązania można wykazać w inny sposób układu (3.10), polegającego na sprawdzeniu, że liczby x 1, x 2,..,x n , określone wzorami Cramera (3.14), zamieniają wszystkie równania układu (3.10) na tożsamości)

ale to jest oczywiste, gdyż ze względu na relację Δ ≠ 0 rząd macierzy głównej jest równy n, a rząd macierzy rozszerzonej (3.15) zawierającej n wierszy nie może być większy od liczby n, a zatem jest równy rangi macierzy głównej.
To całkowicie to potwierdza kwadratowy układ równań liniowych (3.10) z wyznacznikiem macierzy głównej różnym od zera ma ponadto jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami Cramera (3.14).

Udowodnione przez nas stwierdzenie można jeszcze prościej ustalić, stosując metodę macierzową. W tym celu zastępujemy (jak w paragrafie 1 § 1) układ (3.10) odpowiadającym mu równaniem macierzowym

AX = B, (3.16)

gdzie A jest główną macierzą układu (3.11), a X i B są kolumnami,

z czego pierwszy jest do ustalenia, a drugi jest podany.
Ponieważ wyznacznik Δ macierzy A jest różny od zera, istnieje macierz odwrotna A -1 (patrz akapit 7, §2, rozdział 1).
Załóżmy, że istnieje rozwiązanie układu (3.10), tj. istnieje kolumna X, która zamienia równanie macierzowe (3.16) w tożsamość. Mnożąc wskazaną tożsamość po lewej stronie przez macierz odwrotną A -1, którą będziemy mieli

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

Weźmy teraz pod uwagę, że ze względu na kombinacyjną właściwość iloczynu trzech macierzy (patrz akapit 2, § 1, rozdział 1) oraz ze względu na relację A -1 A = E, gdzie E jest macierzą jednostkową (patrz akapit 7, §2, rozdział 1 ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, więc otrzymujemy z (3.17)

X = A -1 V. (3.18)

Rozszerzając równość (3.18) i biorąc pod uwagę postać macierzy odwrotnej (patrz wzór A.41) z paragrafu 7 §2 rozdz. 1) otrzymujemy wzory Cramera dla elementów kolumny X.
Udowodniliśmy więc, że jeśli istnieje rozwiązanie równania macierzowego (3.16), to jest ono jednoznacznie określone przez relację (3.18), równoważną wzorom Cramera.
Łatwo sprawdzić, że kolumna X określona zależnością (3.18) jest faktycznie rozwiązaniem równania macierzowego (3.16),
tj. po podstawieniu do tego równania zamienia je w tożsamość. W rzeczywistości, jeśli kolumna X jest określona przez równość (3.18), to AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Jeśli więc wyznacznik Δ macierzy A jest różny od zera (to znaczy, jeśli ta macierz nie jest osobliwa), to istnieje ponadto jednoznaczne rozwiązanie równania macierzy (3.16), określone zależnością ( 3.18), odpowiednik wzorów Cramera.
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie kwadratowego układu równań liniowych

z niezerową wyznacznikiem macierzy głównej

Od

wówczas, na mocy wzorów Cramera, jedyne rozwiązanie rozważanego układu ma postać x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4.
Główne znaczenie wzorów Cramera polega na tym, że dostarczają one wyraźnego wyrażenia do rozwiązywania kwadratowego układu równań liniowych (z niezerowym wyznacznikiem) w kategoriach współczynników równań i wolnych wyrazów. Praktyczne zastosowanie wzorów Cramera wiąże się z dość uciążliwymi obliczeniami (aby rozwiązać układ n równań z n niewiadomymi, należy obliczyć wyznacznik (n + 1) n-tego rzędu). Do tego należy dodać, że jeśli współczynniki równań i wyrazów wolnych są jedynie przybliżonymi wartościami dowolnych mierzonych wielkości fizycznych lub są zaokrąglane w procesie obliczeniowym, wówczas zastosowanie wzorów Cramera może prowadzić do dużych błędów, a w niektórych przypadkach jest niewłaściwe.
W §4 rozdziału 4 zostanie przedstawiona metoda regularyzacji ze względu na A.N. Tichonowa i pozwala znaleźć rozwiązanie układu liniowego z dokładnością odpowiadającą dokładności określenia macierzy współczynników równania i kolumny wyrazów dowolnych, a w rozdz. 6 daje wyobrażenie o tzw. metodach iteracyjnych rozwiązań systemy liniowe, umożliwiając rozwiązanie tych układów za pomocą kolejnych przybliżeń niewiadomych.
Podsumowując, zauważamy, że w tym podrozdziale wykluczyliśmy z rozważań przypadek, w którym zanika wyznacznik Δ macierzy głównej układu (3.10). Sprawa ta zostanie opisana w ogólna teoria układy m równań liniowych z n niewiadomymi, przedstawione w następnym akapicie.
2. Znalezienie wszystkich rozwiązań ogólnego układu liniowego. Rozważmy teraz ogólny układ m równań liniowych z n niewiadomymi (3.1). Załóżmy, że układ ten jest niesprzeczny i rząd jego macierzy głównej i rozszerzonej jest równy liczbie r. Bez utraty ogólności możemy założyć, że podstawa macierzy głównej (3.2) znajduje się w lewym górnym rogu tej macierzy (przypadek ogólny sprowadza się do tego przypadku poprzez przestawienie równań i niewiadomych w układzie (3.1).
Następnie pierwsze r wierszy zarówno macierzy głównej (3.2), jak i macierzy rozszerzonej (3.8) są wierszami bazowymi tych macierzy (ponieważ rangi macierzy głównej i rozszerzonej są równe r, mniejsza podstawa macierzy głównej będzie jednocześnie bazą mniejszą rozszerzonej macierzy) oraz zgodnie z Twierdzeniem 1.6 na podstawie drobnej każdy z wierszy rozszerzonej macierzy (1.8), zaczynając od (r + 1)-tego rzędu, jest liniową kombinacją pierwszych r wierszy tej macierzy.
W ujęciu układu (3.1) oznacza to, że każde z równań tego układu, zaczynając od równania (r + 1), jest kombinacją liniową (tj. konsekwencją) pierwszych r równań tego układu ( tj. każde rozwiązanie pierwszych r równań układu (3.1) zamienia w tożsamości wszystkie kolejne równania tego układu).
Wystarczy więc znaleźć wszystkie rozwiązania tylko pierwszych r równań układu (3.1). Rozważmy pierwsze r równań układu (3.1), zapisując je w postaci

Jeśli podamy niewiadomym x r+1 ,...,x n zupełnie dowolne wartości c r+1 ,...,c n , to układ (1.19) zamieni się w kwadratowy układ r równań liniowych dla r niewiadomych x 1 , x 2 , ..., x r , a wyznacznikiem macierzy głównej tego układu jest niezerowa mniejsza podstawa macierzy (3.2). Dzięki wynikom poprzedniego akapitu układ ten (3.19) ma jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami Cramera, tj. dla dowolnie wybranego c r+1 ,...,c n istnieje unikalny zbiór r liczb c 1 ,.. .,c r , zamieniając wszystkie równania układu (3.19) na tożsamości i określone wzorami Cramera.
Aby zapisać to unikalne rozwiązanie, zgadzamy się oznaczać symbolem M j (d i) wyznacznik uzyskany z podstawy minorowej M macierzy (3.2) poprzez zastąpienie jej kolumny j-ro kolumną liczb d 1, d 2, ...,d i,..., d r (przy zachowaniu wszystkich pozostałych kolumn M bez zmian). Następnie pisząc rozwiązanie układu (3.19) korzystając ze wzorów Cramera i wykorzystując liniową właściwość wyznacznika, otrzymujemy

Wzory (3.20) wyrażają wartości niewiadomych x j = c j (j = 1, 2,......, r) poprzez współczynniki niewiadomych, terminy swobodne i dowolnie określone parametry z r+1,. ..., z nr.
Udowodnijmy to wzory (3.20) zawierają dowolne rozwiązanie układu (3.1). Rzeczywiście, niech c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n będzie dowolnym rozwiązaniem określonego układu . Jest to wówczas rozwiązanie układu (3.19). Ale z układu (3.19) wielkości c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r wyznaczane są jednoznacznie poprzez wielkości c (0) r+1 , ...,c (0 ) n i dokładnie według wzorów Cramera (3.20). Zatem z r+1 =c (0) r+1, ..., Z N =c (0) N wzory (3.20) dają nam dokładnie rozważane rozwiązanie c (0) 1 , C (0) 2 ,...,C (0) R , C (0) r+1, ...,C (0) N .
Komentarz. Jeśli stopień r macierzy głównej i rozszerzonej układu (3.1) jest równy liczbie niewiadomych n, to w tym przypadku relacje (3.20) zamieniają się we wzory

zdefiniowanie unikalnego rozwiązania systemu (3.1). Zatem układ (3.1) ma rozwiązanie jednoznaczne (tj. jest określone) pod warunkiem, że stopień r jego macierzy głównej i rozszerzonej jest równy liczbie niewiadomych n (i mniejszy lub równy liczbie równań m).
Przykład. Znajdźmy wszystkie rozwiązania układu liniowego

Łatwo sprawdzić, że rząd zarówno macierzy głównej, jak i rozszerzonej tego układu jest równy dwa (czyli układ ten jest zgodny) i możemy założyć, że moll podstawowy M znajduje się w lewym górnym rogu macierzy głównej , tj. . Ale potem, odrzucając dwa ostatnie równania i arbitralnie ustawiając 3 i 4, otrzymamy system

x 1 - x 2 = 4 - do 3 + do 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

z czego na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy wartości

x 1 = do 1 = 6 - 3/2 do 3 - do 4, x 2 = do 2 = 2 - 1/2 do 3 - 2c 4. (3.22)

A więc cztery liczby

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4, c 3, c 4) (3.23)

dla dowolnie podanych wartości c 3 i c 4 tworzą one rozwiązanie układu (3.21), a linia (3.23) zawiera wszystkie rozwiązania tego układu.

3. Własności zbioru rozwiązań układ jednorodny. Rozważmy teraz jednorodny układ m równań liniowych z n niewiadomymi (3.7), zakładając jak wyżej, że macierz (3.2) ma rangę równą r oraz że baza minor M znajduje się w lewym górnym rogu tej matryca. Ponieważ tym razem wszystkie b i są równe zeru, zamiast wzorów (3.20) otrzymujemy następujące wzory:

wyrażanie wartości niewiadomych x j = c j (j = 1, 2,..., r) poprzez współczynniki niewiadomych i dowolnie podane wartości c r+1 ,...,c n. Ze względu na to, co zostało udowodnione w poprzednim akapicie wzory (3.24) zawierają dowolne rozwiązanie układu jednorodnego (3.7).
Upewnijmy się teraz, że zbiór wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (3.7) tworzy przestrzeń liniową.
Niech X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) i X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) - dwa arbitralne decyzje układ jednorodny (3.7), a λ jest dowolne prawdziwa liczba. Z uwagi na fakt, że każde rozwiązanie układu jednorodnego (3.7) jest elementem przestrzeni liniowej A n wszystkich uporządkowanych zbiorów n liczb, wystarczy udowodnić, że każdy z dwóch zbiorów

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,..., λ x (1) n)

jest również rozwiązaniem układu jednorodnego (3.7).
Rozważmy dowolne równanie układu (3.7), na przykład i-te równanie, i w miejsce niewiadomych podstawimy do tego równania elementy wskazanych zbiorów. Biorąc pod uwagę, że X 1 i X 2 są rozwiązaniami układu jednorodnego, będziemy mieli

a to oznacza, że ​​zbiory X 1 + X 2 i λ X 1 są rozwiązaniami układu jednorodnego (3.7).
Zatem zbiór wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (3.7) tworzy przestrzeń liniową, którą oznaczamy symbolem R.
Znajdźmy wymiar tej przestrzeni R i skonstruujmy w niej bazę.
Udowodnijmy, że przy założeniu, że rząd macierzy układu jednorodnego (3.7) jest równy r, przestrzeń liniowa R wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (3.7) jest izomorficzna z przestrzenią liniową A nr-r wszystkie uporządkowane zbiory liczb (n - r).(przestrzeń Am wprowadzono w Przykładzie 3, Sekcja 1, Sekcja 1, Rozdział 2).

Powiążmy każde rozwiązanie (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) układu jednorodnego (3.7) z elementem (c r+1 ,...,c n) układu przestrzeń A nr-r Ponieważ liczby c r+1 ,...,c n można wybierać dowolnie i przy każdym wyborze korzystając ze wzorów (3.24) jednoznacznie wyznaczają rozwiązanie układu (3.7), to ustalona zgodność jest równa jeden do jednego. Następnie zauważamy, że jeśli elementy c (1) r+1 ,...,c (1) n i c (2) r+1 ,...,c (2) n przestrzeni A nr-r odpowiadają elementom (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) i (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) przestrzeni R, to ze wzorów (3.24) wynika od razu, że element (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) odpowiada elementowi (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + do (2) r , do (1) r+1 + do (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) i element (λ do (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) dowolnemu rzeczywistemu λ odpowiada element (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ c (1 ) n). Dowodzi to, że ustalona zgodność jest izomorfizmem.
Zatem przestrzeń liniowa R wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (3.7) z n niewiadomymi i rzędem macierzy głównej równym r jest izomorficzna z przestrzenią A nr-r i dlatego ma wymiar n - r.
Dowolny zbiór (n - r) liniowo niezależnych rozwiązań układu jednorodnego (3.7) tworzy (na mocy Twierdzenia 2.5) bazę w przestrzeni R wszystkich rozwiązań i nazywany jest podstawowym zbiorem rozwiązań układu jednorodnego (3.7) .
Aby skonstruować podstawowy zestaw rozwiązań, możesz zacząć od dowolnej bazy w przestrzeni A nr-r. Zbiór rozwiązań układu (3.7) odpowiadający tej bazie, ze względu na izomorfizm, będzie liniowo niezależny i dlatego będzie zbiorem podstawowym.
Szczególną uwagę zwrócono na podstawowy zbiór rozwiązań układu (3.7), który odpowiada najprostszej bazie e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,. .., 0), ... , mi n-r = (0, 0, 0,..., 1) spacje A nr-r i zwany normalnym podstawowym zbiorem rozwiązań układu jednorodnego (3.7).
Przy przyjętych powyżej założeniach o randze i położeniu podstawy mniejszej, na mocy wzorów (3.24), podstawowy zbiór normalny rozwiązań układu jednorodnego (3.7) ma postać:

Z definicji bazy dowolne rozwiązanie X układu jednorodnego (3.7) można przedstawić w postaci

X= do 1 x 1 + do 2 x 2 + ... + do n-r X n-r , (3.26)

gdzie C 1, C 2, ..., C n-r są pewnymi stałymi. Ponieważ wzór (3.26) zawiera dowolne rozwiązanie układu jednorodnego (3.7), wzór ten daje ogólne rozwiązanie rozpatrywanego układu jednorodnego.
Przykład. Rozważ jednorodny układ równań:

odpowiadający układowi niejednorodnemu (3.21), analizowanemu w przykładzie na końcu poprzedniego akapitu. Tam dowiedzieliśmy się, że rząd r macierzy tego układu jest równy dwa i jako podstawę przyjęliśmy moll w lewym górnym rogu określonej macierzy.
Powtarzając rozumowanie przeprowadzone na końcu poprzedniego akapitu, zamiast wzorów (3.22) otrzymujemy zależności

do 1 = - 3/2 do 3 - do 4, do 2 = - 1/2 do 3 - 2c 4,

obowiązuje dla dowolnie wybranych c 3 i c 4 . Korzystając z tych zależności (zakładając najpierw c 3 =1,c 4 =0, a następnie c 3 = 0,c 4 = 1) otrzymujemy normalny zbiór podstawowy dwóch rozwiązań układu (3.27):

X 1 = (-3/2, -1/2,1,0), X 2 = (-1, -2, 0,1). (3.28)

gdzie C 1 i C 2 są dowolnymi stałymi.
Na zakończenie tej sekcji ustalimy powiązanie między rozwiązaniami niejednorodnego układu liniowego (3.1) i odpowiadającym mu układem jednorodnym (3.7) (z tymi samymi współczynnikami dla niewiadomych). Udowodnimy następujące dwa stwierdzenia.
1°. Suma dowolnego rozwiązania układu niejednorodnego (3.1) z dowolnym rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego (3.7) jest rozwiązaniem układu (3.1).
W rzeczywistości, jeśli c 1 ,...,c n jest rozwiązaniem układu (3.1), a d 1 ,...,d n jest rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego (3.7), to podstawiając dowolny (na przykład w i-tym) równaniu układu (3.1) zamiast nieznanych liczb c 1 + d 1 ,...,c n + d n , otrzymujemy

co było do okazania
2°. Różnica dwóch dowolnych rozwiązań układu niejednorodnego (3.1) jest rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego (3.7).
Faktycznie, jeśli c" 1 ,...,c" n i c" 1 ,...,c" n są dwoma dowolnymi rozwiązaniami układu (3.1), to podstawiając dowolne (na przykład w i- th) równanie układu (3.7) zamiast nieznanych liczb c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n otrzymujemy

co było do okazania
Z udowodnionych stwierdzeń wynika, że: Po znalezieniu jednego rozwiązania układu niejednorodnego (3.1) i dodaniu go do każdego rozwiązania odpowiedniego układu jednorodnego (3.7) otrzymujemy wszystkie rozwiązania układu niejednorodnego (3.1).
Innymi słowy, suma rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego (3.1) i rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu jednorodnego (3.7) daje ogólne rozwiązanie układu niejednorodnego (3.1).
Jako szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego (3.1) w sposób naturalny przyjmuje się właśnie to rozwiązanie (zakłada się jak wyżej, że szeregi macierzy głównej i rozszerzonej układu (3.1) są równe r oraz że podstawowy minor znajduje się w lewym górnym rogu tych macierzy)

co otrzymamy jeśli we wzorach (3.20) ustawimy wszystkie liczby c r+1 ,...,c n równe zero. Dodając to konkretne rozwiązanie do rozwiązania ogólnego (3.26) odpowiedniego układu jednorodnego, otrzymujemy następujące wyrażenie na rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego (3.1):

X= X 0 + do 1 X 1 + do 2 X 2 + ... + do n-r X n-r . (3.30)

W tym wyrażeniu X 0 oznacza konkretne rozwiązanie (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r są dowolnymi stałymi, a X 1 , X 2 ,... , X n-r są elementami normalnego zbioru podstawowego rozwiązań (3.25) odpowiadający układ jednorodny.
Zatem dla układu niejednorodnego (3.21), rozpatrywanego na końcu poprzedniego akapitu, szczególne rozwiązanie postaci (3.29) jest równe X 0 = (6,2,0, 0).
Dodając to konkretne rozwiązanie do rozwiązania ogólnego (3.28) odpowiedniego układu jednorodnego (3.27), otrzymujemy następujące rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego (3.21):

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2, -1/2,1,0) + C 2 (-1, -2, 0,1). (3.31)

Tutaj C 1 i C 2 są dowolnymi stałymi.
4. Uwagi końcowe dotyczące rozwiązywania układów liniowych. Metody rozwiązywania układów liniowych opracowane w poprzednich akapitach
opiera się na konieczności obliczenia rangi macierzy i znalezienia jej podstawy mniejszej. Po znalezieniu podstawy drobnej rozwiązanie sprowadza się do techniki obliczania wyznaczników i stosowania wzorów Cramera.
Aby obliczyć rząd macierzy, możesz skorzystać z następującej reguły: przy obliczaniu rangi macierzy należy przejść od małoletnich rzędów niższych do nieletnich rzędów wyższych; Co więcej, jeśli znaleziono już niezerową mollę M rzędu k, to jedynie minory rzędu (k + 1) graniczące(to znaczy zawierają w sobie mniejsze M) ten nieletni to M; jeśli wszystkie sąsiadujące niepełnoletnie rzędu (k + 1) są równe zeru, rząd macierzy jest równy k(właściwie we wskazanym przypadku wszystkie wiersze (kolumny) macierzy należą do liniowego kadłuba jej k wierszy (kolumn), na przecięciu których znajduje się mniejsze M, a wymiar wskazanego kadłuba liniowego wynosi równe k).
Wskażmy jeszcze inną zasadę obliczania rangi macierzy. Zauważ, że za pomocą wierszy (kolumn) macierzy możesz wykonać trzy podstawowe operacje, które nie zmieniają rangi tej macierzy: 1) permutacja dwóch wierszy (lub dwóch kolumn), 2) pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez dowolny niezerowy współczynnik, 3) dodanie do jednego wiersza (kolumny) dowolna kombinacja liniowa innych wierszy (kolumn) (te trzy operacje nie zmieniają rangi macierzy ze względu na to, że operacje 1) i 2) nie zmieniają maksymalnej liczby liniowo niezależnych wierszy (kolumn) macierzy, oraz operacja 3) ma tę właściwość, że rozpiętość liniowa wszystkich wierszy (kolumn) istniejąca przed wykonaniem tej operacji pokrywa się z obwiednią liniową wszystkich wierszy (kolumn) uzyskaną po wykonaniu tej operacji).
Powiemy, że macierz ||a ij || zawierająca m wierszy i n kolumn ma przekątna postaci, jeśli wszystkie jej elementy inne niż 11, a 22,.., a rr są równe zeru, gdzie r = min(m, n). Ranga takiej macierzy jest oczywiście równa r.
Upewnijmy się, że za pomocą trzech operacji elementarnych dowolną macierz

można sprowadzić do postaci diagonalnej(co pozwala nam obliczyć jego rangę).

Faktycznie, jeśli wszystkie elementy macierzy (3.31) są równe zeru, to macierz ta została już sprowadzona do postaci diagonalnej. Jeśli matka
żebra (3.31) mają elementy niezerowe, wówczas przestawiając dwa wiersze i dwie kolumny można zapewnić, że element a 11 jest niezerowy. Po pomnożeniu pierwszego wiersza macierzy przez 11 -1 zamienimy element a 11 na jeden. Odejmując dalej od kolumny j-ro macierzy (dla j = 2, 3,..., n) pierwszą kolumnę pomnożono przez a i1, a następnie odejmując od i-ta linia(dla i = 2, 3,..., n) pierwszy wiersz pomnożony przez i1, zamiast (3.31) otrzymujemy macierz o postaci:

Wykonując opisane już operacje na macierzy wziętej w ramce i postępując analogicznie, po skończonej liczbie kroków otrzymamy macierz diagonalną.
Przedstawione w poprzednich akapitach metody rozwiązywania układów liniowych, które ostatecznie wykorzystują aparat wzorów Cramera, mogą prowadzić do dużych błędów w przypadku, gdy wartości współczynników równań i wyrazów wolnych są podane w przybliżeniu lub gdy wartości te są zaokrąglane podczas procesu obliczeń.
Przede wszystkim dotyczy to przypadku, gdy macierz odpowiadająca wyznacznikowi głównemu (lub podrzędnemu) jest słabo uwarunkowane(tj. gdy „małym” zmianom elementów tej macierzy odpowiadają „duże” zmiany elementów macierzy odwrotnej). Oczywiście w tym przypadku rozwiązaniem będzie układ liniowy nietrwały(tj. „małe” zmiany wartości współczynników równań i wolnych terminów będą odpowiadać „dużym” zmianom w rozwiązaniu).
Zaobserwowane okoliczności powodują konieczność opracowania zarówno innych (różnych od wzorów Cramera) teoretycznych algorytmów znajdowania rozwiązań, jak i numerycznych metod rozwiązywania układów liniowych.
W §4 rozdziale 4 zapoznamy się z metoda regularyzacji A.N. Tichonowa znalezienie tzw normalna(tj. najbliżej początku) rozwiązanie układu liniowego.
W rozdziale 6 zostaną podane podstawowe informacje na temat tzw metody iteracyjne rozwiązania układów liniowych umożliwiające rozwiązywanie tych układów metodą kolejnych przybliżeń niewiadomych.