Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem szeregów. Rozwinięcie w szereg Taylora Przybliżone rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla zwykłego

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodne wszystkich rzędów na pewnym przedziale zawierającym punkt a, to można do niej zastosować wzór Taylora:
,
Gdzie r n– tzw. wyraz resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:
, gdzie liczba x mieści się pomiędzy x i a.

Zasady wprowadzania funkcji:

Jeśli dla jakiejś wartości X r n→0 o godz N→∞, to w granicy wzór Taylora staje się zbieżny dla tej wartości Seria Taylora:
,
Zatem funkcję f(x) można rozwinąć w szereg Taylora w rozpatrywanym punkcie x, jeżeli:
1) posiada pochodne wszystkich rzędów;
2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Gdy a = 0, otrzymujemy szereg tzw niedaleko Maclaurina:
,
Rozwinięcie najprostszych (elementarnych) funkcji w szereg Maclaurina:
Funkcje wykładnicze
, R=∞
Funkcje trygonometryczne
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcja actgx nie rozwija się w potęgach x, ponieważ ctg0=∞
Funkcje hiperboliczne


Funkcje logarytmiczne
, -1
Szereg dwumianowy
.

Przykład nr 1. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy f(x)= 2X.
Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w X=0
k(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f”(x) = 2X ln2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X w 2 2, F""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Podstawiając otrzymane wartości pochodnych do wzoru na szereg Taylora, otrzymujemy:

Promień zbieżności tego szeregu jest równy nieskończoności, dlatego rozwinięcie to obowiązuje dla -∞<X<+∞.

Przykład nr 2. Zapisz szereg Taylora w potęgach ( X+4) dla funkcji f(x)= mi X.
Rozwiązanie. Znajdowanie pochodnych funkcji e X i ich wartości w punkcie X=-4.
k(x)= np X, F(-4) = np -4 ;
f”(x)= np X, F"(-4) = np -4 ;
f""(x)= np X, F""(-4) = np -4 ;
…
f(n)(x)= np X, f(n)( -4) = np -4 .
Zatem wymagany szereg Taylora funkcji ma postać:

To rozwinięcie obowiązuje również dla -∞<X<+∞.

Przykład nr 3. Rozwiń funkcję k(x)= ln X w szeregu potęgowym ( X- 1),
(tj. w szeregu Taylora w sąsiedztwie punktu X=1).
Rozwiązanie. Znajdź pochodne tej funkcji.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy pożądany szereg Taylora:

Korzystając z testu d'Alemberta, możesz sprawdzić, że szereg jest zbieżny przy ½x-1½<1 . Действительно,

Szereg jest zbieżny, jeśli ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 otrzymujemy szereg przemienny spełniający warunki kryterium Leibniza. Gdy x=0 funkcja nie jest zdefiniowana. Zatem obszarem zbieżności szeregu Taylora jest przedział półotwarty (0;2).

Przykład nr 4. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy.
Rozwiązanie. W rozwinięciu (1) zastępujemy x przez -x 2, otrzymujemy:
, -∞

Przykład nr 5. Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina .
Rozwiązanie. Mamy
Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:

podstawiając we wzorze –x zamiast x, otrzymujemy:

Stąd znajdujemy: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otwierając nawiasy, przestawiając wyrazy szeregu i wprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy
. Szereg ten jest zbieżny w przedziale (-1;1), ponieważ jest otrzymywany z dwóch szeregów, z których każdy zbiega się w tym przedziale.

Komentarz .
Wzory (1)-(5) można także wykorzystać do rozwinięcia odpowiednich funkcji w szereg Taylora, tj. do rozwijania funkcji w dodatnich potęgach całkowitych ( Ha). W tym celu należy dokonać takich identycznych przekształceń na danej funkcji, aby otrzymać jedną z funkcji (1)-(5), w której zamiast X kosztuje k( Ha) m , gdzie k jest liczbą stałą, m jest dodatnią liczbą całkowitą. Często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej T=Ha i rozwiń wynikową funkcję względem t w szeregu Maclaurina.

Metoda ta opiera się na twierdzeniu o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szeregu potęgowym. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w sąsiedztwie tego samego punktu nie można otrzymać dwóch różnych szeregów potęgowych, które zbiegałyby się do tej samej funkcji, niezależnie od sposobu jej rozwinięcia.

Przykład nr 5a. Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina i wskaż obszar zbieżności.
Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
do podstawowego:

Ułamek 3/(1-3x) można uznać za sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego o mianowniku 3x, jeśli |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

z obszarem konwergencji |x|< 1/3.

Przykład nr 6. Rozwiń funkcję w szereg Taylora w pobliżu punktu x = 3.
Rozwiązanie. Problem ten można rozwiązać, jak poprzednio, korzystając z definicji szeregu Taylora, dla którego musimy znaleźć pochodne funkcji i ich wartości w X=3. Łatwiej będzie jednak skorzystać z istniejącego rozszerzenia (5):
=
Powstały szereg jest zbieżny przy –3

Przykład nr 7. Zapisz szereg Taylora w potęgach (x -1) funkcji ln(x+2) .
Rozwiązanie.


Szereg jest zbieżny w punkcie , lub -2< x < 5.

Przykład nr 8. Rozwiń funkcję f(x)=sin(πx/4) na szereg Taylora w pobliżu punktu x =2.
Rozwiązanie. Dokonajmy zamiany t=x-2:

Korzystając z rozwinięcia (3), w którym zamiast x podstawiamy π / 4 t, otrzymujemy:

Powstały szereg zbiega się do danej funkcji przy -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Zatem,
, (-∞

Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem szeregów potęgowych

Szeregi potęgowe są szeroko stosowane w obliczeniach przybliżonych. Za ich pomocą można z zadaną dokładnością obliczyć wartości pierwiastków, funkcji trygonometrycznych, logarytmów liczb i całek oznaczonych. Szeregów używa się także przy całkowaniu równań różniczkowych.
Rozważmy rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy:

Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji w danym punkcie X, należące do obszaru zbieżności wskazanego szeregu, w jego rozwinięciu pozostają pierwsze N członkowie ( N– liczba skończona), a pozostałe wyrazy odrzucamy:

Aby oszacować błąd otrzymanej wartości przybliżonej, należy oszacować resztę odrzuconą rn (x) . Aby to zrobić, użyj następujących technik:

• jeśli wynikowy szereg jest naprzemienny, wówczas stosowana jest następująca właściwość: w przypadku szeregu przemiennego spełniającego warunki Leibniza pozostała część szeregu w wartości bezwzględnej nie przekracza pierwszego odrzuconego wyrazu.
• jeśli dana seria ma znak stały, to szereg złożony z odrzuconych wyrazów porównuje się z nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.
• w ogólnym przypadku, aby oszacować resztę szeregu Taylora, można skorzystać ze wzoru Lagrange'a: a X ).

Przykład nr 1. Oblicz ln(3) z dokładnością do 0,01.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia gdzie x=1/2 (patrz przykład 5 w poprzednim temacie):

Sprawdźmy, czy resztę po pierwszych trzech wyrazach rozwinięcia możemy odrzucić; w tym celu obliczymy to za pomocą sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:

Możemy więc odrzucić tę resztę i otrzymać

Przykład nr 2. Oblicz z dokładnością do 0,0001.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z szeregu dwumianowego. Ponieważ 5 3 jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej 130, zaleca się reprezentowanie liczby 130 jako 130 = 5 3 +5.



gdyż już czwarty wyraz powstałego szeregu przemiennego spełniający kryterium Leibniza jest mniejszy od wymaganej dokładności:
, więc to i następujące po nim terminy można odrzucić.
Wielu praktycznie niezbędnych całek oznaczonych lub niewłaściwych nie można obliczyć za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, ponieważ jego zastosowanie wiąże się ze znalezieniem funkcji pierwotnej, która często nie ma wyrażenia w funkcjach elementarnych. Zdarza się również, że znalezienie funkcji pierwotnej jest możliwe, ale jest niepotrzebnie pracochłonne. Jeżeli jednak funkcję całkową rozwiniemy w szereg potęgowy, a granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu, wówczas możliwe jest przybliżone obliczenie całki z zadaną dokładnością.

Przykład nr 3. Oblicz całkę ∫ 0 1 4 sin (x) x z dokładnością do 10 -5 .
Rozwiązanie. Odpowiednia całka nieoznaczona nie może być wyrażona w funkcjach elementarnych, tj. reprezentuje „całkę nietrwałą”. Nie można tu zastosować wzoru Newtona-Leibniza. Obliczmy całkę w przybliżeniu.
Dzielenie wyraz po wyrazie serii grzechu X NA X, otrzymujemy:

Całkując ten szereg wyraz po wyrazie (jest to możliwe, gdyż granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu), otrzymujemy:

Otrzymany szereg spełnia bowiem warunki Leibniza i wystarczy suma dwóch pierwszych wyrazów, aby otrzymać pożądaną wartość z zadaną dokładnością.
W ten sposób znajdujemy
.

Przykład nr 4. Oblicz całkę ∫ 0 1 4 e x 2 z dokładnością do 0,001.
Rozwiązanie.
. Sprawdźmy, czy uda nam się odrzucić resztę po drugim wyrazie wynikowego szeregu.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Niech będzie wymagane znalezienie Y 2.35104 z dokładnością (z wadą). Uporządkujmy obliczenia w następujący sposób:

Najpierw znajdujemy przybliżony pierwiastek z dokładnością do 1 tylko z liczby całkowitej 2. Otrzymujemy 1 (a reszta to 1). Numer 1 piszemy w rdzeniu i stawiamy po nim przecinek. Teraz znajdujemy liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, do reszty 1 dodajemy liczby 3 i 5, znajdujące się na prawo od przecinka dziesiętnego, i kontynuujemy wyodrębnianie tak, jakbyśmy wyodrębniali pierwiastek z liczby całkowitej 235. Wynikową liczbę 5 zapisujemy w pierwiastku w miejscu dziesiątek. Nie potrzebujemy pozostałych cyfr liczby pierwiastkowej (104). Że wynikowa liczba 1,5 będzie naprawdę pierwiastkiem przybliżonym, z dokładnością do następcy; Jeśli

znaleźliśmy największy pierwiastek z liczby całkowitej z 235 z dokładnością do 1, wtedy otrzymalibyśmy 15, co oznacza

Dzieląc każdą z tych liczb przez 100, otrzymujemy;

w końcu

Załóżmy, że chcesz znaleźć przybliżony z wadą, z dokładnością. Znajdźmy liczbę całkowitą, następnie cyfry dziesiątek, a na końcu cyfry setne. Pierwiastkiem liczby całkowitej jest 15 liczb całkowitych. Aby otrzymać cyfrę dziesiątek, musimy, jak widzieliśmy, dodać jeszcze dwie cyfry do pozostałych 23, na prawo od przecinka dziesiętnego:

W naszym przykładzie te liczby w ogóle nie występują; wstaw zera w ich miejsce. Dodając je do reszty i kontynuując tak, jakbyśmy znajdowali pierwiastek z liczby całkowitej 24 800, znajdziemy cyfrę dziesiątych 7. Pozostaje znaleźć cyfrę setną. Aby to zrobić, do reszty 151 dodajemy jeszcze dwa zera i kontynuujemy wyodrębnianie, tak jakbyśmy znajdowali pierwiastek z liczby całkowitej 2 480000. Otrzymujemy 15,74. To, że liczba ta jest w rzeczywistości przybliżonym pierwiastkiem z 248 z dokładnością aż do wady, można zobaczyć na poniższym przykładzie. Gdybyśmy znaleźli największy pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej 2 480 000, otrzymalibyśmy 1574, co oznacza

Dzieląc każdą z tych liczb przez 10 000 (100^2), otrzymujemy:

Oznacza to, że 15,74 to ułamek dziesiętny, który nazwaliśmy przybliżonym pierwiastkiem z wadą z dokładnością do 248.

Reguła. Aby wyodrębnić z danej liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego pierwiastek przybliżony z niedoborem z dokładnością do itd., najpierw znajdź pierwiastek przybliżony z niedoborem z dokładnością do 1, wyodrębniając pierwiastek z liczby całkowitej (jeśli nie jest to tam wpisz w korzeniu 0 liczb całkowitych).

Następnie znajdują liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, dodaj dwie cyfry pierwiastka po prawej stronie przecinka dziesiętnego do reszty (jeśli ich nie ma, dodaj do reszty dwa zera) i kontynuuj wyodrębnianie, tak samo jak podczas wyodrębniania pierwiastka z liczby całkowitej. Wynikową liczbę zapisuje się u pierwiastka w miejscu dziesiątych.

Następnie znajdź liczbę setną. Aby to zrobić, do reszty dodaje się dwie liczby po prawej stronie tych, które właśnie zostały usunięte itp.

Zatem podczas wyodrębniania pierwiastka liczby całkowitej z ułamkiem dziesiętnym liczbę należy podzielić na krawędzie po dwie cyfry każda, zaczynając od przecinka, zarówno w lewo (w części całkowitej liczby), jak i w prawo ( w części ułamkowej).

1. Wyodrębnij dokładnie do korzeni:

2. Wyodrębniaj z precyzją

W ostatnim przykładzie zamieniliśmy ułamek y na ułamek dziesiętny, obliczając osiem miejsc po przecinku, aby utworzyć cztery ścianki potrzebne do znalezienia czterech miejsc po przecinku pierwiastka.

Walter A. Aue / flickr.com

Amerykańscy fizycy wyjaśnili wymiar czasoprzestrzeni, porównując odległość do źródła obliczoną na podstawie tłumienia fal grawitacyjnych i przesunięcia ku czerwieni promieniowania elektromagnetycznego. Naukowcy przeprowadzili takie obliczenia dla zdarzenia GW170817 i odkryli, że wymiar naszej czasoprzestrzeni jest w przybliżeniu równy D≈ 4,0 ± 0,1. Ponadto ustalili dolną granicę czasu życia grawitonu, który wynosił około 450 milionów lat. Przedruk artykułu jest opublikowany na arXiv.org.

Aktualizacja: w lipcu 2018 r. artykuł byłopublikowany w Journal of Cosmology and Astroarticle Physics.

Ogólna teoria względności i Model Standardowy opierają się na założeniu, że żyjemy w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Dokładniej, w wymiarze (3+1): 3 wymiary przestrzenne i jeden wymiar czasowy. Z drugiej strony naukowcy mają tendencję do powątpiewania w najbardziej podstawowe stwierdzenia. Może wymiar naszej czasoprzestrzeni nie jest dokładnie równy cztery, ale po prostu bardzo blisko tej wartości? Tak naprawdę istnieją teorie, według których nasza czasoprzestrzeń jest osadzona w przestrzeniach o wyższych wymiarach. Dlatego, ogólnie rzecz biorąc, należy udowodnić czterowymiarowość naszego świata, a nie przyjmować ją za oczywistość.

Zespół fizyków pod kierownictwem Davida Spergela ustalił dokładne ograniczenia wymiarów naszej czasoprzestrzeni, analizując niemal jednocześnie docierające do Ziemi fale grawitacyjne i elektromagnetyczne, emitowane podczas łączenia się dwóch gwiazd neutronowych. Z jednej strony odległość do źródła fali można określić na podstawie składowej elektromagnetycznej. Z drugiej strony można to obliczyć na podstawie tłumienia fal grawitacyjnych. Oczywiście obie te odległości muszą się pokrywać, co nakłada ograniczenia na różnicę między szybkością zaniku a szybkością przewidywaną przez ogólną teorię względności. Warto zauważyć, że dodatkowy błąd w odległości wyznaczonej z przesunięcia ku czerwieni wprowadza fakt, że wartości stałej Hubble’a, mierzone na podstawie prędkości cofania się galaktyk oraz na podstawie wahań kosmicznego mikrofalowego promieniowania tła, są z nawzajem. W tym artykule na wszelki wypadek naukowcy przeprowadzili obliczenia dla obu wartości, ale błąd w danych eksperymentalnych i tak przeważył tę różnicę.

W Ogólnej Teorii Względności natężenie fal grawitacyjnych maleje odwrotnie proporcjonalnie do pierwszej potęgi odległości od źródła: H ~ 1/R. Jednak w teoriach o większej liczbie wymiarów prawo to ulega modyfikacji i rozpad następuje szybciej: H ~ 1/Rγ, gdzie γ = ( D− 2)/2 i D- liczba pomiarów. Okazuje się, że energia fali zdaje się „wyciekać” w dodatkowe wymiary. Obliczając odległość „elektromagnetyczną” i „grawitacyjną” do gwiazd neutronowych, fizycy ustalili, że stopień zależności γ ≈ 1,00 ± 0,03, czyli wymiar naszej przestrzeni D≈ 4,0 ± 0,1.

Rozkład prawdopodobieństwa, w którym żyjemy D-przestrzeń wymiarowa. Linie o różnych kolorach odpowiadają różnym wartościom stałej Hubble'a stosowanej w obliczeniach

Z kolei w innym typie teorii alternatywnych grawitacja jest ekranowana – na małych odległościach zachowuje się tak samo, jak w teorii czterowymiarowej, a na dużych odległościach przypomina D-wymiarowy. Biorąc pod uwagę ograniczenia zdarzenia GW170817, fizycy określili minimalny promień ekranowania takich teorii – wynosił on około dwudziestu megaparseków. W tym przypadku źródło fal znajduje się w galaktyce NGC 4993 w odległości około czterdziestu megaparseków.

Wreszcie może wystąpić dodatkowe tłumienie fal grawitacyjnych, ponieważ grawitony są cząstkami niestabilnymi i ulegają rozpadowi podczas podróży od źródła do detektora. W oparciu o to założenie fizycy obliczyli dolną granicę czasu życia grawitonu. Okazało się, że nie może być on krótszy niż 4,5 × 10 8 lat.

Jednoczesne wykrywanie składników grawitacyjnych i elektromagnetycznych miało ogromny wpływ na alternatywne teorie grawitacji. Przykładowo pod koniec grudnia ubiegłego roku w Listy z przeglądu fizycznego W tym samym czasie ukazały się cztery artykuły poświęcone zdarzeniu GW170817 i ograniczeniom różnych kwantowych teorii grawitacji. Ponadto wydarzenie to nakłada bardzo rygorystyczne ograniczenia na prędkość grawitacji - teraz stosunek prędkości grawitacji do prędkości światła może różnić się od jedności nie więcej niż 3 × 10-15.

Dmitrij Trunin

Niech będzie wymagane znalezienie z dokładnością do (z wadą). Uporządkujmy obliczenia w następujący sposób:

Najpierw znajdujemy przybliżony pierwiastek, z dokładnością do 1, tylko z liczby całkowitej 2. Otrzymujemy 1 (a reszta to 1). Numer 1 piszemy w rdzeniu i stawiamy po nim przecinek. Teraz znajdujemy liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, do reszty 1 dodajemy liczby 3 i 5, znajdujące się na prawo od przecinka dziesiętnego, i kontynuujemy wyodrębnianie tak, jakbyśmy wyodrębniali pierwiastek z liczby całkowitej 235. Wynikową liczbę 5 zapisujemy w pierwiastku w miejscu dziesiątek. Nie potrzebujemy pozostałych cyfr liczby pierwiastkowej (104). To, że wynikowa liczba 1,5 będzie w rzeczywistości przybliżonym pierwiastkiem do wewnątrz , można zobaczyć na podstawie poniższych danych; jeśli mielibyśmy znaleźć największy pierwiastek z liczby całkowitej z 235 z dokładnością do 1, otrzymalibyśmy 15, co oznacza

Dzieląc każdą z tych liczb przez 100, otrzymujemy:

(Dodając liczbę 0,00104, podwójny znak ≤ powinien oczywiście zmienić się na znak<, а знак >pozostaje (od 0.00104< 0,01).)

Załóżmy, że chcemy znaleźć przybliżony z wadą, z dokładnością. Znajdźmy liczbę całkowitą, następnie cyfry dziesiątek, a na końcu cyfry setne. Pierwiastkiem liczby całkowitej jest 15 liczb całkowitych. Aby otrzymać cyfrę dziesiątek, musimy, jak widzieliśmy, dodać jeszcze dwie cyfry do pozostałych 23, na prawo od przecinka dziesiętnego:

W naszym przykładzie te liczby w ogóle nie występują; wstaw zera w ich miejsce. Dodając je do reszty i kontynuując tak, jakbyśmy szukali pierwiastka z liczby całkowitej 24800, znajdziemy cyfrę dziesiątych 7. Pozostaje znaleźć cyfrę setną. Aby to zrobić, do reszty 151 dodajemy jeszcze dwa zera i kontynuujemy wyodrębnianie, tak jakbyśmy znajdowali pierwiastek z liczby całkowitej 2480000. Otrzymujemy 15,74. To, że liczba ta jest w rzeczywistości przybliżonym pierwiastkiem z 248 z dokładnością aż do wady, można zobaczyć na poniższym przykładzie. Gdybyśmy znaleźli największy pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej 2480000, otrzymalibyśmy 1574, co oznacza

Dzieląc każdą z tych liczb przez 10000 (1002), otrzymujemy:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Oznacza to, że 15,74 to ułamek dziesiętny, który nazwaliśmy pierwiastkiem przybliżonym z wadą z dokładnością do 248.

Reguła. Aby wyodrębnić z danej liczby całkowitej lub z danego ułamka dziesiętnego przybliżony pierwiastek z niedoborem z dokładnością do pierwiastka ma 0 liczb całkowitych).

Następnie znajdują liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, dodaj dwie cyfry pokonanej liczby po prawej stronie przecinka dziesiętnego do reszty (jeśli ich nie ma, dodaj do reszty dwa zera) i kontynuuj ekstrakcję, tak jak podczas wyodrębniania pierwiastka z liczby całkowitej. Wynikową liczbę zapisuje się u pierwiastka w miejscu dziesiątych.

Następnie znajdź liczbę setną. Aby to zrobić, do reszty dodaje się dwie liczby po prawej stronie tych, które właśnie zostały usunięte itp.

Zatem podczas wyodrębniania pierwiastka liczby całkowitej z ułamkiem dziesiętnym liczbę należy podzielić na krawędzie po dwie cyfry każda, zaczynając od przecinka, zarówno w lewo (w części całkowitej liczby), jak i w prawo (w części ułamkowej).

Przykłady.

W ostatnim przykładzie zamieniliśmy ułamek zwykły na dziesiętny, obliczając osiem miejsc po przecinku, aby utworzyć cztery ścianki potrzebne do znalezienia czterech miejsc po przecinku pierwiastka.

9 września 2007 roku kierowca Logan Gomez wygrał Chicagoland 100 w IRL Indy Pro Series. Pokonał zdobywcę drugiego miejsca o 0,0005 sekundy, ustanawiając rekord ciasnego mety w światowych sportach motorowych. Jaki sprzęt pozwala mierzyć czas z taką dokładnością?

Na fali latarni morskiej We współczesnych wyścigach synchronizacja jest całkowicie automatyczna. Każdy samochód wyposażony jest w radiolatarnię, która emituje fale radiowe o unikalnej częstotliwości. Anteny umieszczone w ściśle określonych miejscach na torze odbierają jego sygnał i na podstawie częstotliwości określają, który samochód przejechał. Anteny są rozmieszczone po dwie obok siebie: mierząc czas potrzebny na przebycie odległości od jednej anteny do drugiej, komputer określa prędkość pojazdu. Na trasie można umieścić do 20 anten. Do kontrolowania prędkości w alei serwisowej wykorzystywane są specjalne anteny. Informacje z odbiorników radiowych trafiają do centrum pomiaru czasu, gdzie ponad 20 inżynierów na bieżąco monitoruje pracę komputerów. Na wszelki wypadek pomiar czasu powiela para fotokomórek na podczerwień zainstalowana na mecie

Tim Skorenko

To właśnie w serii Indycar wymagania czasowe są najbardziej rygorystyczne. Żadne inne mistrzostwa nie mogą pochwalić się pomiarem czasu z dokładnością do dziesięciu tysięcznych sekundy. Przeważająca liczba serii ograniczona jest do 0,001 s i to najczęściej wystarcza z rezerwą, ale zdarzają się też incydenty: np. podczas kwalifikacji do Grand Prix Europy 1997 w klasie Formuły 1 aż trzech pilotów udało się pokazać czas zbieżny z tysięczną sekundy, - 1.21.072. Pole position ostatecznie przypadło Jacquesowi Villeneuve’owi, który przejechał swoje najszybsze okrążenie przed pozostałymi.

W Formule 1 dokładność pomiaru czasu znacznie się zmieniała w czasie. W pierwszych mistrzostwach w 1950 roku wystarczyło 0,1 s, aby w pełni zarejestrować metę pilotów. W klasyfikacji mistrzostw nie było ani jednego wyścigu, w którym różnica między kierowcami była mniejsza niż sekunda. Dokładność do 0,1 sięga pierwszego Grand Prix w historii wyścigów samochodowych – Grand Prix Francji w 1906 roku, gdzie czas zwycięzcy Ferenca Schisza w Renault wyniósł 12 godzin 14 minut i 7,4 sekundy (nie ma sobie równych krótkie i łatwe dzisiejsze wyścigi, prawda?). W większości wyścigów rozgrywanych przed I wojną światową dokładność nie przekraczała 1 sekundy.

We współczesnych wyścigach synchronizacja jest całkowicie automatyczna. Każdy samochód wyposażony jest w radiolatarnię, która emituje fale radiowe o unikalnej częstotliwości. Anteny umieszczone w ściśle określonych miejscach na torze odbierają jego sygnał i na podstawie częstotliwości określają, który samochód przejechał. Anteny są rozmieszczone po dwie obok siebie: mierząc czas potrzebny na przebycie odległości od jednej anteny do drugiej, komputer określa prędkość pojazdu. Na trasie można umieścić do 20 anten. Do kontrolowania prędkości w alei serwisowej wykorzystywane są specjalne anteny. Informacje z odbiorników radiowych trafiają do centrum pomiaru czasu, gdzie ponad 20 inżynierów na bieżąco monitoruje pracę komputerów. Na wszelki wypadek pomiar czasu powiela para fotokomórek na podczerwień zainstalowana na mecie.

W Ameryce chronometrażyści byli znacznie bardziej postępowi. Powojenne wyścigi AAA (później CART) wymagały najczęściej dokładności pomiaru do 0,01. Było to spowodowane przede wszystkim konfiguracją torów i dużą ilością owali, w których odstępy między kierowcami są wyjątkowo małe. Niesamowita dokładność pomiaru czasu we współczesnym IRL wynika z tego samego czynnika: z siedemnastu rund mistrzostw w 2010 roku osiem rozgrywanych jest na owalach.

Incydenty i awarie

Pomiar czasu w wyścigach samochodowych jest nierozerwalnie związany z wiodącymi na świecie producentami zegarków i elektroniki: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines... Prawie wszyscy z nich są reprezentowani w różnych dyscyplinach sportowych jako oficjalni chronometrażyści. Błędy i niedokładności w pomiarze czasu są dziś praktycznie wykluczone. Od 1992 roku do dziś wspomniane Grand Prix Europy '97 stało się jedyną chronometryczną ciekawostką Formuły 1, a w Irlandii nawet takie zdarzenia są całkowicie niemożliwe.

Obecnie systemy pomiaru czasu Indycar i NASCAR uznawane są za jedne z najlepszych na świecie. Każdy tor jest wyposażony w taki sposób, że europejscy organizatorzy mogą tylko pozazdrościć. Odliczanie następuje z dokładnością do 0,0001 sekundy (dla Indycar), a widzowie na żywo w dowolnym momencie mogą uzyskać informacje o prędkości każdego samochodu na torze, czasie jego okrążenia oraz dowolnym sektorze okrążenia, przerwach w pelatonie z dokładnością do sektora itp. d. - ogólnie rzecz biorąc, maksymalna informacja. W wyścigu, w którym połowa sezonu rozgrywa się na owach, precyzyjne wyczucie czasu odgrywa ogromną rolę. Zwycięzcę często określa się na podstawie fotofiniszu.

Co dziwne, koncepcja „oficjalnego chronometrażysty” pojawiła się dopiero niedawno. To właśnie dzisiaj Tissot „przewodzi” światowym mistrzostwom wyścigów motocyklowych i żadna inna firma nie ma prawa się w to wtrącać. Zaledwie 30 lat temu każdy wyścig miał swoich chronometrażystów, „uzbrojonych” w sprzęt, który mogli kupić organizatorzy.

Przed II wojną światową, w niemal wszystkich seriach i klasach wyścigowych, pomiar czasu odbywał się ręcznie: na torze stały specjalnie przeszkolone osoby ze stoperami. Rejestrowali czas okrążenia następnego samochodu i zapisywali dane. Jednak zdarzały się też „przełomy”. W 1911 roku, podczas pierwszego wyścigu Indianapolis 500, inżynier Charlie Warner zaprojektował i wdrożył pierwszy w historii półautomatyczny system pomiaru czasu. Cienki drut był luźno rozciągnięty wzdłuż linii startu i mety i lekko uniesiony ponad powierzchnię cegły. Każda maszyna dociskała drut do podłoża, zwiększając jego napięcie. Do drutu przymocowano młotek stemplujący, który po pociągnięciu pozostawiał ślad atramentu na wolno pełzającej stopniowanej taśmie. Dokładność pomiaru osiągnęła 0,01 s! Sędzia mierzący czas ręcznie ustawiał numery samochodów naprzeciwko każdego punktu. System nie zapuścił korzeni z zabawnego powodu: w połowie wyścigu w samochodzie kierowcy Herba Little'a zerwał się przewód. Podczas gdy oni ciągnęli nowy (biegnąc przed pędzącymi samochodami), minęło co najmniej 20 okrążeń, podczas których utrzymywano przybliżony czas. Zwycięstwo w wyścigu przypadło Rayowi Harrownowi w Marmon, ale inny znany kierowca, Ralph Mulford, aż do śmierci był przekonany, że wygrał pierwszy w historii wyścig Indy 500.

Pomyślne wykorzystanie systemów półautomatycznych rozkwitło w latach trzydziestych XX wieku. W Indy 500 używano wówczas chronografów Stewart-Warner lub ogromnych chronografów Loughborough-Hayes.

We wczesnych latach serii NASCAR wyczucie czasu było absolutnie okropne. W niektórych wyścigach osoba siadała na mecie z papierem i ołówkiem i zapisywała: ten a taki jest pierwszy, ten a taki jest drugi. To prawda, że ​​dotyczyło to tylko torów żwirowych i błotnistych. Na torach wyścigowych było lepiej. W szczególności chronograf Streeter-Amet został użyty podczas wyścigu Elkhart Lake w 1951 r. Urządzenie to drukowało sekwencyjnie (z dokładnością do dziesiątych sekundy) na papierowej taśmie czas każdego przejeżdżającego samochodu, a zadaniem osoby było zapisanie samochodu liczby naprzeciwko każdej liczby.

W pełni automatyczny system pomiaru czasu został po raz pierwszy zastosowany w wyścigu o mistrzostwo USAC na torze Ontario Speedway w 1970 roku. Każdy samochód był wyposażony w nadajnik emitujący fale o własnej, unikalnej częstotliwości. Na linii startu-mety zainstalowano antenę, która rejestrowała częstotliwość oscylacji każdego nadajnika, resztę pracy wykonał komputer.

Profesjonalny chronometrażysta David McKinney, który w latach 60. pracował na różnych wyścigach w Australii i Nowej Zelandii, przekazał nam interesującą informację: „Jeśli najbardziej doświadczony chronometrażysta z najlepszym chronometrem potrafi dokładnie „złapać” jedną dziesiątą sekundy, to ma po prostu szczęście. ” wszystkie ręczne pomiary, jakie kiedykolwiek wykonano w wyścigach, można bezpiecznie uznać za przybliżone.

"Formuła 1"

W Europie systemy automatyczne pojawiły się znacznie później niż w Ameryce. W międzynarodowych serialach, takich jak Formuła 1, panowało zamieszanie i wahanie. Do późnych lat 70. pomiarem czasu podczas różnych zawodów Grand Prix zajmowały się zupełnie inne osoby, używając innego sprzętu i metod. Na wyścigach dowolnych rolę chronometrażystów pełniły najczęściej żony zawodników. Na przykład Norma Hill, żona dwukrotnego mistrza świata Grahama Hilla, jeździła z mężem na każde Grand Prix i osobiście mierzyła czasy jego okrążeń, dokładnie sprawdzając pracę sędziów.

W połowie lat 70. zmęczony ciągłym zamieszaniem i błędami zespół Ferrari zaczął przywozić na Grand Prix własny, precyzyjny sprzęt zakupiony w Ameryce. Jeden z mechaników największego rywala Ferrari, Lotusa, zapytał swojego szefa Colina Chapmana: „Dlaczego nie zrobimy tego samego?” „Czy naprawdę myślisz, że to sprawi, że nasze samochody będą jeździć szybciej?” – odpowiedział Chapman. Odpowiedź ta bardzo trafnie charakteryzuje podejście Europy do dokładności pomiaru czasu w tamtych latach. Jednak pod koniec lat 70. prawie wszystkie główne zespoły zawarły umowy z producentami zegarków i nosili ze sobą własne systemy pomiaru czasu. Po jednym z wyścigów magazyn Autosport napisał: „Zespoły publikują w oficjalnych raportach czasy z taką precyzją, że oficjalne dane organizatorów Grand Prix wyglądają, jakby wykonano je przy użyciu zegara Myszki Miki!”

Niezwykłe zdarzenia regularnie zdarzały się z powodu błędów w synchronizacji. Na przykład podczas deszczowego Grand Prix Kanady w 1973 roku po raz pierwszy na tor wjechał samochód bezpieczeństwa. Sędziowie mierzący czas byli zdezorientowani, pomyleni z czasami okrążeń i błędnie zsumowali czasy przed i za samochodem wyścigowym. Dzięki temu zwycięstwo świętowali kolejno Emerson Fittipaldi z Lotus, Jackie Oliver z Shadow i Peter Revson z McLarena. Zwycięstwo odniosło ten drugi – po kilkugodzinnych kłótniach.

Równie interesująca historia wydarzyła się podczas Grand Prix Szwecji w 1975 roku. Marcowy kolarz Vittorio Brambilla nie był najszybszy w pelatonie, ale to on wywalczył pole position w tym wyścigu. Stało się tak, ponieważ marcowy projektant Robin Heard po cichu minął bezpośrednio przed fotokomórką instrumentu rejestrującego na pół sekundy przed metą Brambilla. Jakimś cudem nikt tego nie zauważył, a urządzenie rejestrowało czas spaceru Hearda, a nie zawodnika.

Triumf technologii

Dzisiejsze wyścigi to święto zaawansowanych technologii. Na przykład seria NASCAR jako prawie ostatnia przeszła na nowoczesne metody pomiaru czasu, maksymalnie trzymając się tradycji. Ale dziś systemy pomiaru czasu NASCAR są uważane za jedne z najlepszych na świecie. Tissot, od czterech lat oficjalny chronometrażysta zagranicznej serii, wyposażył każdy tor w sposób, którego europejscy organizatorzy mogą tylko pozazdrościć. W wyścigu, w którym 34 z 36 rund sezonu rozgrywanych jest na owalach, precyzyjne wyczucie czasu odgrywa ogromną rolę.

Nie mniej poważne systemy stosowane są w mistrzostwach świata w wyścigach motocyklowych (Tissot jest także ich chronometrażystą). W przeciwieństwie do NASCAR, nie ma potrzeby stosowania skomplikowanych systemów monitorowania, aby określić, kto jest przed nami: motocykliści nie poruszają się w tak gęstym polu. Ponieważ jednak tory MotoGP mają tradycyjną europejską konfigurację, a nie owale, pojawia się również wiele trudności. Ustawienie granicznych czasów w niektórych miejscach trasy wymaga starannego przemyślenia (owale są po prostu geometrycznie podzielone na 4-8 części).

Dzisiejsza technologia komputerowa praktycznie eliminuje możliwość błędów pomiaru czasu w wyścigach samochodowych lub motocyklowych. Organizatorom Grand Prix od dawna zaprzątają głowę zupełnie inne problemy – bezpieczeństwo, ekologia itp. A „zbijacze czasu” pracują dla siebie i pracują. Można powiedzieć, że jak zegar.