Znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni. Przestrzenie liniowe
Nazywa się przestrzeń liniową V n-wymiarowy, jeśli istnieje w nim układ n wektorów liniowo niezależnych, a każdy układ złożony z większej liczby wektorów jest liniowo zależny. Nazywa się liczbę n wymiar (liczba wymiarów) przestrzeń liniowa V i jest oznaczone \operatorname(dim)V. Inaczej mówiąc, wymiar przestrzeni to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Jeśli taka liczba istnieje, wówczas przestrzeń nazywa się skończoną wymiarową. Jeśli dla kogokolwiek liczba naturalna n w przestrzeni V istnieje układ składający się z n liniowo niezależnych wektorów, wtedy taką przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarową (zapisz: \operatorname(dim)V=\infty). W dalszej części, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozważone zostaną przestrzenie skończenie wymiarowe.
Podstawa N-wymiarowa przestrzeń liniowa to uporządkowany zbiór n liniowo niezależnych wektorów ( wektory bazowe).
Twierdzenie 8.1 o rozwinięciu wektora w oparciu o bazę. Jeśli jest podstawą n-wymiarowej przestrzeni liniowej V, to dowolny wektor \mathbf(v)\in V można przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
i w dodatku w jedyny sposób, tj. szanse \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n są określone jednoznacznie. Innymi słowy, dowolny wektor przestrzeni można rozwinąć w bazę i to w wyjątkowy sposób.
Rzeczywiście, wymiar przestrzeni V jest równy n. System wektorowy \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n liniowo niezależne (jest to baza). Po dodaniu do podstawy dowolnego wektora \mathbf(v) otrzymujemy układ liniowo zależny \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(ponieważ układ ten składa się z (n+1) wektorów przestrzeni n-wymiarowej). Korzystając z właściwości 7 wektorów liniowo zależnych i liniowo niezależnych, otrzymujemy wniosek twierdzenia.
Wniosek 1. Jeśli \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n jest zatem podstawą przestrzeni V V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), tj. przestrzeń liniowa to liniowy rozpiętość wektorów bazowych.
W rzeczywistości, aby udowodnić równość V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dwa zbiory, wystarczy pokazać, że inkluzje V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) i są wykonywane jednocześnie. Rzeczywiście, z jednej strony, dowolna liniowa kombinacja wektorów w przestrzeni liniowej należy do samej przestrzeni liniowej, tj. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Natomiast zgodnie z Twierdzeniem 8.1 dowolny wektor przestrzenny można przedstawić w postaci liniowej kombinacji wektorów bazowych, tj. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Oznacza to równość rozważanych zbiorów.
Konsekwencja 2. Jeśli \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni liniowej V i dowolnego wektora \mathbf(v)\in V można przedstawić jako kombinację liniową (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, wówczas przestrzeń V ma wymiar n i układ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n jest jego podstawą.
Rzeczywiście, w przestrzeni V istnieje układ n liniowo niezależnych wektorów i układ dowolny \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n większej liczby wektorów (k>n) jest liniowo zależne, ponieważ każdy wektor z tego układu jest liniowo wyrażony w postaci wektorów \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Oznacza, \operatorname(dim) V=n I \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- podstawa V.
Twierdzenie 8.2 o dodawaniu układu wektorów do bazy. Dowolny liniowo niezależny układ k wektorów n-wymiarowej przestrzeni liniowej (1\leqslant k Rzeczywiście, niech będzie liniowo niezależnym układem wektorów w przestrzeni n-wymiarowej V~(1\leqslant k Uwagi 8.4 1. Podstawę przestrzeni liniowej wyznacza się niejednoznacznie. Na przykład, jeśli \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n jest podstawą przestrzeni V, a następnie układem wektorów \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n dla dowolnego \lambda\ne0 jest także bazą V . Liczba wektorów bazowych w różnych bazach tej samej przestrzeni skończenie wymiarowej jest oczywiście taka sama, ponieważ liczba ta jest równa wymiarowi przestrzeni. 2. W niektórych przestrzeniach, często spotykanych w zastosowaniach, jedna z możliwych podstaw, najwygodniejsza z praktycznego punktu widzenia, nazywana jest standardem. 3. Twierdzenie 8.1 pozwala nam powiedzieć, że baza to kompletny układ elementów przestrzeni liniowej w tym sensie, że dowolny wektor przestrzeni wyraża się liniowo w postaci wektorów bazowych. 4. Jeśli zbiór \mathbb(L) jest rozpiętością liniową \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), następnie wektory \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k nazywane są generatorami zbioru \mathbb(L) . Wniosek 1 z twierdzenia 8.1 ze względu na równość V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) pozwala nam powiedzieć, że podstawą jest minimalny układ generatora przestrzeń liniowa V, gdyż nie da się zmniejszyć liczby generatorów (usunąć ze zbioru przynajmniej jeden wektor). \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) bez naruszania równości V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Twierdzenie 8.2 pozwala nam powiedzieć, że podstawą jest maksymalny liniowo niezależny układ wektorów przestrzeń liniowa, gdyż podstawą jest liniowo niezależny układ wektorów i nie można go uzupełnić żadnym wektorem bez utraty liniowej niezależności. 6. Wniosek 2 z Twierdzenia 8.1 jest wygodny w użyciu do znalezienia podstawy i wymiaru przestrzeni liniowej. W niektórych podręcznikach przyjmuje się określenie podstawy, a mianowicie: układ liniowo niezależny \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n wektorów przestrzeni liniowej nazywamy bazą, jeśli dowolny wektor przestrzeni wyraża się liniowo w postaci wektorów \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Liczba wektorów bazowych określa wymiar przestrzeni. Oczywiście definicje te są równoważne definicjom podanym powyżej. Wskażmy wymiar i podstawę dla omówionych powyżej przykładów przestrzeni liniowych. 1. Zerowa przestrzeń liniowa \(\mathbf(o)\) nie zawiera liniowo niezależnych wektorów. Dlatego przyjmuje się, że wymiar tej przestrzeni wynosi zero: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Ta przestrzeń nie ma podstawy. 2. Przestrzenie V_1,\,V_2,\,V_3 mają odpowiednio wymiary 1, 2, 3. Rzeczywiście, dowolny niezerowy wektor przestrzeni V_1 tworzy liniowo niezależny układ (patrz punkt 1 Uwagi 8.2), a dowolne dwa niezerowe wektory przestrzeni V_1 są współliniowe, tj. liniowo zależny (patrz przykład 8.1). W konsekwencji \dim(V_1)=1, a podstawą przestrzeni V_1 jest dowolny niezerowy wektor. Podobnie udowodniono, że \dim(V_2)=2 i \dim(V_3)=3 . Podstawą przestrzeni V_2 są dowolne dwa niewspółliniowe wektory wzięte w określonej kolejności (jeden z nich uważany jest za pierwszy wektor bazowy, drugi za drugi). Podstawą przestrzeni V_3 są dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe (nie leżące w tych samych lub równoległych płaszczyznach) wektory, wzięte w określonej kolejności. Bazą standardową w V_1 jest wektor jednostkowy \vec(i) na prostej. Podstawa standardowa w V_2 jest podstawą \vec(i),\,\vec(j), składający się z dwóch wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych płaszczyzny. Za bazę uważa się bazę standardową w przestrzeni V_3 \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), złożony z trzech wektorów jednostkowych, parami prostopadłych, tworzących prawą potrójną. 3. Przestrzeń \mathbb(R)^n zawiera nie więcej niż n liniowo niezależnych wektorów. Właściwie, weźmy k kolumn z \mathbb(R)^n i utwórzmy z nich macierz o rozmiarach n\razy k. Jeżeli k>n, to kolumny są liniowo zależne zgodnie z Twierdzeniem 3.4 od rangi macierzy. Stąd, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant rz. W przestrzeni \mathbb(R)^n nie jest trudno znaleźć n liniowo niezależnych kolumn. Na przykład kolumny macierzy tożsamości \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. liniowo niezależne. Stąd, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Nazywa się przestrzeń \mathbb(R)^n n-wymiarowa rzeczywista przestrzeń arytmetyczna. Podany zbiór wektorów jest uważany za standardową bazę przestrzeni \mathbb(R)^n . Podobnie zostało to udowodnione \dim(\mathbb(C)^n)=n, dlatego nazywa się przestrzeń \mathbb(C)^n n-wymiarowa złożona przestrzeń arytmetyczna. 4. Przypomnijmy, że dowolne rozwiązanie układu jednorodnego Ax=o można przedstawić w postaci x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Gdzie r=\nazwa operatora(rg)A, A \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- podstawowy system rozwiązań. Stąd, \(Ax=o\)=\nazwa operatora(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), tj. podstawą przestrzeni \(Ax=0\) rozwiązań układu jednorodnego jest jego podstawowy układ rozwiązań, a wymiar przestrzeni \dim\(Ax=o\)=n-r, gdzie n jest liczbą niewiadomych oraz r jest rangą macierzy systemowej. 5. W przestrzeni M_(2\times3) macierzy o rozmiarze 2\times3 można wybrać 6 macierzy: \begin(zebrane)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(zebrane) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) równa macierzy zerowej tylko w trywialnym przypadku \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Czytając równość (8.5) od prawej do lewej, dochodzimy do wniosku, że dowolna macierz z M_(2\times3) jest wyrażona liniowo poprzez wybrane 6 macierzy, tj. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Stąd, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6 i macierze \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 stanowią podstawę (standard) tej przestrzeni. Podobnie zostało to udowodnione \dim(M_(m\razy n))=m\cdot n. 6. Dla dowolnej liczby naturalnej n w przestrzeni P(\mathbb(C)) wielomianów o zespolonych współczynnikach można znaleźć n elementów liniowo niezależnych. Na przykład wielomiany \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) są liniowo niezależne, ponieważ ich liniowa kombinacja a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) równy wielomianowi zerowemu (o(z)\equiv0) tylko w trywialnym przypadku a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Ponieważ ten układ wielomianów jest liniowo niezależny dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej l, przestrzeń P(\mathbb(C)) jest nieskończenie wymiarowa. Podobnie dochodzimy do wniosku, że przestrzeń P(\mathbb(R)) wielomianów o rzeczywistych współczynnikach ma wymiar nieskończony. Przestrzeń P_n(\mathbb(R)) wielomianów o stopniu nie większym niż n jest przestrzenią skończenie wymiarową. Rzeczywiście, wektory \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n tworzą (standardową) bazę tej przestrzeni, ponieważ są one liniowo niezależne i dowolny wielomian z P_n(\mathbb(R)) można przedstawić jako liniową kombinację tych wektorów: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Przykłady baz przestrzeni liniowych
które są liniowo niezależne. Rzeczywiście, ich kombinacja liniowa
7. Przestrzeń C(\mathbb(R)) funkcji ciągłych jest nieskończenie wymiarowa. Rzeczywiście, dla dowolnej liczby naturalnej n wielomianów 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), uważane za funkcje ciągłe, tworzą liniowo niezależne układy (patrz poprzedni przykład).
W kosmosie T_(\omega)(\mathbb(R)) dwumiany trygonometryczne (o częstotliwości \omega\ne0 ) oparte na rzeczywistych współczynnikach z jednomianów \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Są one liniowo niezależne, ponieważ są identyczne a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 możliwe tylko w trywialnym przypadku (a=b=0). Dowolna funkcja formularza f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t wyrażone liniowo poprzez podstawowe: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Przestrzeń \mathbb(R)^X funkcji rzeczywistych zdefiniowanych na zbiorze X, w zależności od dziedziny definicji X, może być skończenie wymiarowa lub nieskończenie wymiarowa. Jeśli X jest zbiorem skończonym, to przestrzeń \mathbb(R)^X jest zbiorem skończonym (na przykład X=\(1,2,\ldkropki,n\)). Jeśli X jest zbiorem nieskończonym, to przestrzeń \mathbb(R)^X jest nieskończenie wymiarowa (na przykład przestrzeń \mathbb(R)^N ciągów).
9. W przestrzeni \mathbb(R)^(+) podstawą może być dowolna liczba dodatnia \mathbf(e)_1 różna od jedności. Weźmy na przykład liczbę \mathbf(e)_1=2 . Dowolną liczbę dodatnią r można wyrazić poprzez \mathbf(e)_1 , tj. przedstawić w formie \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, gdzie \alpha_1=\log_2r . Zatem wymiar tej przestrzeni wynosi 1, a podstawą jest liczba \mathbf(e)_1=2.
10. Niech \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n jest podstawą rzeczywistej przestrzeni liniowej V. Zdefiniujmy liniowe funkcje skalarne na V poprzez ustawienie:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
W tym przypadku, ze względu na liniowość funkcji \mathcal(E)_i, dla dowolnego wektora otrzymujemy \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Zatem zdefiniowanych jest n elementów (kowektorów). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n koniuguj przestrzeń V^(\ast) . Udowodnijmy to \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- podstawa V^(\ast) .
Najpierw pokażemy, że system \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n liniowo niezależne. Rzeczywiście, weźmy kombinację liniową tych kowektorów (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= i przyrównujemy to do funkcji zerowej
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\w V.
Podstawiając do tej równości \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, otrzymujemy \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Dlatego układ elementów \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n przestrzeń V^(\ast) jest liniowo niezależna, ponieważ jest równa \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) jest to możliwe tylko w trywialnym przypadku.
Po drugie, udowadniamy, że dowolną funkcję liniową f\in V^(\ast) można przedstawić jako liniową kombinację kowektorów \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Rzeczywiście, dla dowolnego wektora \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n ze względu na liniowość funkcji f otrzymujemy:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
te. funkcja f jest reprezentowana jako kombinacja liniowa f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funkcje \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(takty muzyczne \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- współczynniki kombinacji liniowej). Dlatego system kowektorowy \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n jest bazą przestrzeni podwójnej V^(\ast) i \dim(V^(\ast))=\dim(V)(dla przestrzeni skończenie wymiarowej V ).
Jeśli zauważysz błąd, literówkę lub masz jakieś sugestie, napisz w komentarzach.
Kiedy zbadaliśmy pojęcia wektora n-wymiarowego i wprowadziliśmy operacje na wektorach, odkryliśmy, że zbiór wszystkich wektorów n-wymiarowych generuje przestrzeń liniową. W tym artykule omówimy najważniejsze powiązane pojęcia - wymiar i podstawę przestrzeni wektorowej. Rozważymy także twierdzenie o rozwinięciu dowolnego wektora w bazę i związek pomiędzy różnymi bazami przestrzeni n-wymiarowej. Przeanalizujmy szczegółowo rozwiązania typowych przykładów.
Nawigacja strony.
Pojęcie wymiaru przestrzeni wektorowej i bazy.
Pojęcia wymiaru i podstawy przestrzeni wektorowej są bezpośrednio związane z koncepcją liniowo niezależnego układu wektorów, dlatego w razie potrzeby zalecamy zapoznanie się z artykułem Zależność liniowa układu wektorów, właściwości zależności liniowej i niezależności .
Definicja.
Wymiar przestrzeni wektorowej jest liczbą równą maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wektorów w tej przestrzeni.
Definicja.
Baza przestrzeni wektorowej jest uporządkowanym zbiorem liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni, których liczba jest równa wymiarowi przestrzeni.
Przedstawmy pewne rozumowanie w oparciu o te definicje.
Rozważmy przestrzeń n-wymiarowych wektorów.
Pokażmy, że wymiar tej przestrzeni wynosi n.
Weźmy układ n wektorów jednostkowych postaci
Weźmy te wektory jako wiersze macierzy A. W tym przypadku macierz A będzie macierzą tożsamościową wymiaru n na n. Ranga tej macierzy wynosi n (w razie potrzeby zobacz artykuł). Dlatego układ wektorów 
jest liniowo niezależny i do tego układu nie można dodać ani jednego wektora bez naruszenia jego liniowej niezależności. Ponieważ liczba wektorów w systemie równa się n, zatem wymiar przestrzeni n-wymiarowych wektorów wynosi n, a wektory jednostkowe stanowią podstawę tej przestrzeni.
Z ostatniego stwierdzenia i definicji podstawy możemy to wywnioskować dowolny układ n-wymiarowych wektorów, w którym liczba wektorów jest mniejsza niż n, nie jest bazą.
Zamieńmy teraz pierwszy i drugi wektor układu . Łatwo pokazać, że powstały układ wektorów 
jest również podstawą n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Stwórzmy macierz, przyjmując wektory tego układu jako jego wiersze. Macierz tę można otrzymać z macierzy jednostkowej zamieniając pierwszy i drugi wiersz, stąd jej ranga będzie wynosić n. Zatem układ n wektorów jest liniowo niezależna i jest podstawą n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.
Jeśli przestawimy inne wektory układu , wtedy otrzymamy kolejną bazę.
Jeśli weźmiemy liniowo niezależny układ wektorów niejednostkowych, to jest on również podstawą n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.
Zatem, przestrzeń wektorowa o wymiarze n ma tyle baz, ile jest liniowo niezależnych układów n n-wymiarowych wektorów.
Jeśli mówimy o dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej (czyli o płaszczyźnie), to jej podstawą są dowolne dwa niewspółliniowe wektory. Podstawą przestrzeni trójwymiarowej są dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład.
Czy wektory są podstawą trójwymiarowej przestrzeni wektorowej?
Rozwiązanie.
Zbadajmy ten układ wektorów pod kątem zależności liniowej. W tym celu utwórzmy macierz, której wiersze będą współrzędnymi wektorów i znajdźmy jej rząd: 
Zatem wektory a, b i c są liniowo niezależne, a ich liczba jest równa wymiarowi przestrzeni wektorowej, dlatego są podstawą tej przestrzeni.
Odpowiedź:
Tak, są.
Przykład.
Czy układ wektorów może być podstawą przestrzeni wektorowej?
Rozwiązanie.
Ten układ wektorów jest liniowo zależny, ponieważ maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów trójwymiarowych wynosi trzy. W konsekwencji ten układ wektorów nie może być bazą trójwymiarowej przestrzeni wektorowej (choć podstawą jest podsystem pierwotnego układu wektorów).
Odpowiedź:
Nie, nie może.
Przykład.
Upewnij się, że wektory 
może być podstawą czterowymiarowej przestrzeni wektorowej.
Rozwiązanie.
Stwórzmy macierz, przyjmując oryginalne wektory jako jej wiersze: 
Znajdźmy: 
Zatem układ wektorów a, b, c, d jest liniowo niezależny, a ich liczba jest równa wymiarowi przestrzeni wektorowej, zatem a, b, c, d są jego podstawą.
Odpowiedź:
Oryginalne wektory są rzeczywiście podstawą przestrzeni czterowymiarowej.
Przykład.
Czy wektory stanowią podstawę przestrzeni wektorowej o wymiarze 4?
Rozwiązanie.
Nawet jeśli pierwotny układ wektorów jest liniowo niezależny, to liczba znajdujących się w nim wektorów nie jest wystarczająca, aby stanowić podstawę przestrzeni czterowymiarowej (baza takiej przestrzeni składa się z 4 wektorów).
Odpowiedź:
Nie, tak nie jest.
Rozkład wektora ze względu na bazę przestrzeni wektorowej.
Niech dowolne wektory są podstawą n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Jeśli dodamy do nich jakiś n-wymiarowy wektor x, wówczas powstały układ wektorów będzie liniowo zależny. Z właściwości zależności liniowej wiemy, że co najmniej jeden wektor układu liniowo zależnego jest wyrażany liniowo przez pozostałe. Innymi słowy, co najmniej jeden z wektorów układu liniowo zależnego jest rozszerzany na pozostałe wektory.
To prowadzi nas do bardzo ważnego twierdzenia.
Twierdzenie.
Dowolny wektor n-wymiarowej przestrzeni wektorowej można jednoznacznie rozłożyć na bazę.
Dowód.
Pozwalać - baza n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Dodajmy n-wymiarowy wektor x do tych wektorów. Wtedy powstały układ wektorów będzie liniowo zależny, a wektor x można liniowo wyrazić w postaci wektorów : , gdzie są pewne liczby. W ten sposób otrzymaliśmy rozwinięcie wektora x względem podstawy. Pozostaje udowodnić, że rozkład ten jest wyjątkowy.
Załóżmy, że istnieje inny rozkład, gdzie 
- kilka liczb. Od lewej i prawej strony ostatniej równości odejmijmy odpowiednio lewą i prawą stronę równości:
Ponieważ układ wektorów bazowych jest liniowo niezależny, to z definicji liniowej niezależności układu wektorów wynikająca równość jest możliwa tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zero. Zatem , co dowodzi jednoznaczności rozkładu wektorowego względem bazy.
Definicja.
Współczynniki nazywane są współrzędne wektora x w bazie .
Po zapoznaniu się z twierdzeniem o rozkładzie wektora na bazę zaczynamy rozumieć istotę wyrażenia „dostajemy n-wymiarowy wektor 
" Wyrażenie to oznacza, że rozpatrujemy wektor x n -wymiarowej przestrzeni wektorowej, którego współrzędne są określone w jakiejś bazie. Jednocześnie rozumiemy, że ten sam wektor x w innej bazie n-wymiarowej przestrzeni wektorowej będzie miał współrzędne inne niż .
Rozważmy następujący problem.
Dany jest nam układ n liniowo niezależnych wektorów w jakiejś bazie n-wymiarowej przestrzeni wektorowej 
i wektor . Następnie wektory są również podstawą tej przestrzeni wektorowej.
Musimy znaleźć współrzędne wektora x w bazie . Oznaczmy te współrzędne jako .
Wektor x w bazie ma pomysł. Zapiszmy tę równość w postaci współrzędnych:
Ta równość jest równoważna układowi n liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi :
Główna macierz tego układu ma postać 
Oznaczmy to literą A. Kolumny macierzy A reprezentują wektory liniowo niezależnego układu wektorów , więc rząd tej macierzy wynosi n, stąd jej wyznacznik jest niezerowy. Fakt ten wskazuje, że układ równań ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną metodą, na przykład lub.
W ten sposób zostaną znalezione potrzebne współrzędne wektor x w bazie .
Przyjrzyjmy się teorii na przykładach.
Przykład.
W niektórych podstawach trójwymiarowej przestrzeni wektorowej wektory 
Upewnij się, że układ wektorów jest również bazą tej przestrzeni i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora x.
Rozwiązanie.
Aby układ wektorów był podstawą trójwymiarowej przestrzeni wektorowej, musi być liniowo niezależny. Przekonajmy się o tym wyznaczając rząd macierzy A, której wiersze są wektorami. Znajdźmy rangę za pomocą metody Gaussa 
dlatego Rank(A) = 3, co pokazuje liniową niezależność układu wektorów.
Zatem wektory są podstawą. Niech wektor x ma w tej bazie współrzędne. Następnie, jak pokazaliśmy powyżej, związek między współrzędnymi tego wektora jest dany układem równań 
Podstawiając do niego wartości znane z warunku, otrzymujemy 
Rozwiążmy to metodą Cramera: 
Zatem wektor x w bazie ma współrzędne 
.
Odpowiedź:
Przykład.
Na jakiejś podstawie 
czterowymiarowej przestrzeni wektorowej dany jest liniowo niezależny układ wektorów 
Wiadomo, że 
. Znajdź współrzędne wektora x w bazie .
Rozwiązanie.
Ponieważ układ wektorów 
liniowo niezależny od warunku, to jest podstawą przestrzeni czterowymiarowej. Potem równość oznacza, że wektor x w bazie ma współrzędne. Oznaczmy współrzędne wektora x w bazie Jak .
Układ równań określający zależność pomiędzy współrzędnymi wektora x w podstawach I wygląda 
Podstawiamy do niego znane wartości i znajdujemy wymagane współrzędne: 
Odpowiedź:
.
Relacje pomiędzy bazami.
Niech będą dane dwa liniowo niezależne układy wektorów w jakiejś bazie n-wymiarowej przestrzeni wektorowej 
I
to znaczy są także podstawą tej przestrzeni.
Jeśli 
- współrzędne wektora w bazie , a następnie połączenie współrzędnych 
I jest dany przez układ równań liniowych (mówiliśmy o tym w poprzednim akapicie): 
, które w postaci macierzowej można zapisać jako 
Podobnie dla wektora możemy napisać 
Powyższe równości macierzowe można połączyć w jedną, która zasadniczo określa zależność między wektorami dwóch różnych baz 
Podobnie możemy wyrazić wszystkie wektory bazowe poprzez bazę 
:
Definicja.
Matryca 
zwany macierz przejścia z podstawy do bazy , to równość jest prawdziwa 
Mnożąc obie strony tej równości od prawej strony przez
dostajemy 
Znajdźmy macierz przejścia, ale nie będziemy szczegółowo rozwodzić się nad znajdowaniem macierzy odwrotnej i mnożenia macierzy (patrz artykuły i jeśli to konieczne): 
Pozostaje znaleźć związek między współrzędnymi wektora x w danych podstawach.
Niech więc wektor x ma współrzędne w bazie 
a w bazie wektor x ma wówczas współrzędne 
Ponieważ lewe strony dwóch ostatnich równości są takie same, możemy przyrównać prawe strony: 
Jeśli pomnożymy obie strony po prawej stronie przez
wtedy otrzymamy 
Po drugiej stronie 
(sam znajdź macierz odwrotną).
Dwie ostatnie równości dają nam wymagany związek pomiędzy współrzędnymi wektora x w podstawach i .
Odpowiedź:
Macierz przejść od bazy do bazy ma postać 
;
współrzędne wektora x w podstawach i są powiązane relacjami 
Lub .
Zbadaliśmy pojęcia wymiaru i podstawy przestrzeni wektorowej, nauczyliśmy się rozkładać wektor na bazę i odkryliśmy powiązanie między różnymi bazami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej poprzez macierz przejścia.
P I A– podzbiór L. Jeśli A sam w sobie stanowi przestrzeń liniową nad polem P dotyczące tych samych operacji co L, To A zwaną podprzestrzenią przestrzeni L.Zgodnie z definicją przestrzeni liniowej, tak że A była podprzestrzenią, w której należy sprawdzić wykonalność A operacje:
1) : 
;
2) 
: 
;
i sprawdź, czy operacje zostały wykonane A podlegają ośmiu aksjomatom. Jednak to drugie będzie zbędne (ze względu na to, że aksjomaty te obowiązują w L), tj. poniższe jest prawdą
Twierdzenie. Niech L będzie przestrzenią liniową nad ciałem P i 
. Zbiór A jest podprzestrzenią L wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące wymagania:
Oświadczenie. Jeśli L – N-wymiarowa przestrzeń liniowa i A zatem jego podprzestrzeń A jest również skończenie wymiarową przestrzenią liniową i jej wymiar nie przekracza N.
P 
przykład 1.
Czy podprzestrzeń przestrzeni wektorów segmentowych V 2 jest zbiorem S wszystkich wektorów płaskich, z których każdy leży na jednej z osi współrzędnych 0x lub 0y?
Rozwiązanie: Pozwalać 
, 
I 
, 
. Następnie 
. Zatem S nie jest podprzestrzenią 
.
Przykład 2. Jest liniową podprzestrzenią przestrzeni liniowej V 2 istnieje wiele wektorów segmentów płaskich S wszystkie wektory płaskie, których początek i koniec leżą na danej prostej l ten samolot?
Rozwiązanie.
mi 
wektor sli 
pomnóż przez liczbę rzeczywistą k, wtedy otrzymamy wektor 
, należąca również do S. If 
I 
są zatem dwoma wektorami z S 
(zgodnie z zasadą dodawania wektorów na linii prostej). Zatem S jest podprzestrzenią 
.
Przykład 3. Jest liniową podprzestrzenią przestrzeni liniowej V 2 wiele A wszystkie wektory płaskie, których końce leżą na danej prostej l, (zakładając, że początek dowolnego wektora pokrywa się z początkiem współrzędnych)?
R 
decyzja.
W przypadku, gdy linia prosta l zbiór nie przechodzi przez początek A liniowa podprzestrzeń przestrzeni V 2
nie jest, ponieważ 
.
W przypadku, gdy linia prosta l
przechodzi przez początek, zestaw A jest liniową podprzestrzenią przestrzeni V 2
,
ponieważ 
i przy mnożeniu dowolnego wektora 
do liczby rzeczywistej α
z pola R dostajemy 
. Zatem liniowe wymagania przestrzenne dla zestawu A zakończony.
Przykład 4. Niech będzie dany układ wektorów 
z przestrzeni liniowej L nad polem P. Udowodnić, że zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych 
z szansami 
z P jest podprzestrzenią L(to jest podprzestrzeń A nazywa się podprzestrzenią generowaną przez układ wektorów lub powłoka liniowa ten system wektorowy i oznaczone następująco: 
Lub 
).
Rozwiązanie. Rzeczywiście, ponieważ , to dla dowolnych elementów X,
y
A mamy: 
, 
, Gdzie 
, 
. Następnie
Od tego czasu 
, Dlatego 
.
Sprawdźmy, czy spełniony jest drugi warunek twierdzenia. Jeśli X– dowolny wektor z A I T– dowolny numer z P, To . Ponieważ 
I 
,, To 
, , Dlatego 
. Zatem zgodnie z twierdzeniem zbiór A– podprzestrzeń przestrzeni liniowej L.
W przypadku skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych sytuacja jest również odwrotna.
Twierdzenie. Dowolna podprzestrzeń A przestrzeń liniowa L nad polem 
jest rozpiętością liniową pewnego układu wektorów.
Rozwiązując problem znalezienia podstawy i wymiaru powłoki liniowej, stosuje się następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Liniowa podstawa powłoki 
pokrywa się z podstawą układu wektorowego. Wymiar powłoki liniowej pokrywa się z rangą układu wektorów.
Przykład 4. Znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni 
przestrzeń liniowa R 3
[
X]
, Jeśli 
, 
, 
, 
.
Rozwiązanie. Wiadomo, że wektory i ich rzędy (kolumny) współrzędnych mają te same właściwości (pod względem zależności liniowej). Tworzenie matrycy A=
z kolumn współrzędnych wektorów 
w podstawie 
.
Znajdźmy rząd macierzy A.
. M 3
=
. 
.
Dlatego ranga R(A)=
3. Zatem rząd układu wektorów wynosi 3. Oznacza to, że wymiar podprzestrzeni S wynosi 3, a jej podstawa składa się z trzech wektorów 
(ponieważ w tonacji podstawowej 
uwzględnione są współrzędne tylko tych wektorów).
Przykład 5. Udowodnić, że zbiór H arytmetyczne wektory przestrzenne 
, którego pierwsza i ostatnia współrzędna wynoszą 0, stanowi podprzestrzeń liniową. Znajdź jego podstawę i wymiar.
Rozwiązanie. Pozwalać 
.
Następnie , i . Stąd, 
dla każdego. Jeśli 
, 
, To . Zatem, zgodnie z twierdzeniem o podprzestrzeni liniowej, zbiór H jest liniową podprzestrzenią przestrzeni. Znajdźmy podstawę H. Rozważ następujące wektory z H: 
, 
, . Ten układ wektorów jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, niech tak będzie.
Układy liniowych równań jednorodnych
Oświadczenie o problemie. Znajdź bazę i określ wymiar przestrzeni rozwiązań liniowych układu
Plan rozwiązania.
1. Zapisz macierz systemu:
i stosując elementarne przekształcenia przekształcamy macierz do postaci trójkątnej, tj. do takiej postaci, gdy wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zero. Ranga macierzy układu jest równa liczbie liniowo niezależnych wierszy, czyli w naszym przypadku liczbie wierszy, w których pozostają niezerowe elementy:
Wymiar przestrzeni rozwiązań wynosi . Jeżeli , to układ jednorodny ma jedno rozwiązanie zerowe, jeżeli , to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
2. Wybierz zmienne podstawowe i wolne. Zmienne wolne są oznaczone przez . Następnie wyrażamy podstawowe zmienne w kategoriach wolnych, uzyskując w ten sposób ogólne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych.
3. Bazę przestrzeni rozwiązań układu zapisujemy, ustawiając kolejno jedną ze zmiennych wolnych na wartość jeden, a resztę na zero. Wymiar przestrzeni rozwiązań liniowych układu jest równy liczbie wektorów bazowych.
Notatka. Elementarne transformacje macierzy obejmują:
1. mnożenie (dzielenie) ciągu przez współczynnik niezerowy;
2. dodanie do dowolnej linii kolejnej linii pomnożonej przez dowolną liczbę;
3. przegrupowanie linii;
4. przekształcenia 1–3 dla kolumn (w przypadku rozwiązywania układów równań liniowych nie stosuje się elementarnych przekształceń kolumn).
Zadanie 3. Znajdź bazę i określ wymiar przestrzeni rozwiązań liniowych układu.
Zapisujemy macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadzamy ją do postaci trójkątnej:
Przypuszczamy, że wtedy
1. Niech podprzestrzeń L = L(A 1 , A 2 , …, i m) , to jest L– powłoka liniowa układu A 1 , A 2 , …, i m; wektory A 1 , A 2 , …, i m– układ generatorów tej podprzestrzeni. Następnie podstawa L jest podstawą układu wektorów A 1 , A 2 , …, i m, czyli podstawa układu generatorów. Wymiar L równy rangi układu generatorów.
2. Niech podprzestrzeń L jest sumą podprzestrzeni L 1 i L 2. Układ generowania podprzestrzeni dla sumy można otrzymać łącząc systemy generowania podprzestrzeni, po czym znajduje się podstawę sumy. Wymiar kwoty określa się według następującego wzoru:
ciemny(L 1 + L 2) = przyćmionyL 1 + przyćmionyL 2 – ciemny(L 1 Ç L 2).
3. Niech suma podprzestrzeni L 1 i L 2 jest proste, tzn L = L 1 Å L 2. Naraz L 1 Ç L 2 = {O) I ciemny(L 1 Ç L 2) = 0. Podstawa sumy bezpośredniej jest równa sumie podstaw wyrazów. Wymiar sumy bezpośredniej jest równy sumie wymiarów wyrazów.
4. Podajmy ważny przykład podprzestrzeni i rozmaitości liniowej.
Rozważmy system jednorodny M równania liniowe z N nieznany. Wiele rozwiązań M 0 tego systemu jest podzbiorem zbioru Rn i jest zamykany na dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę rzeczywistą. Oznacza to, że jest ich wiele M 0 – podprzestrzeń przestrzeni Rn. Podstawą podprzestrzeni jest podstawowy zbiór rozwiązań układu jednorodnego; wymiar podprzestrzeni jest równy liczbie wektorów w podstawowym zbiorze rozwiązań układu.
Wiele M wspólne rozwiązania systemowe M równania liniowe z N niewiadome są także podzbiorem zbioru Rn i równy sumie zbioru M 0 i wektor A, Gdzie A jest jakimś konkretnym rozwiązaniem oryginalnego układu i zbioru M 0 – zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych towarzyszącego temu układowi (różni się od pierwotnego jedynie wolnymi terminami),
M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.
Oznacza to, że wielu M jest liniową rozmaitością przestrzeni Rn z wektorem przesunięcia A i kierunek M 0 .
Przykład 8.6. Znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni określonej przez jednorodny układ równań liniowych:
Rozwiązanie. Znajdźmy ogólne rozwiązanie tego układu i jego podstawowego zestawu rozwiązań: 
Z 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Z 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Z 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Podstawę podprzestrzeni tworzą wektory Z 1 , Z 2 , Z 3, jego wymiar to trzy.
Koniec pracy -
Ten temat należy do działu:
Algebra liniowa
Uniwersytet Państwowy Kostroma imienia N. Niekrasowa..
Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:
Co zrobimy z otrzymanym materiałem:
Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:
| Ćwierkać |
Wszystkie tematy w tym dziale:
BBK 22.174ya73-5
M350 Wydane decyzją redakcji i rady wydawniczej KSU im. N. A. Nekrasova Recenzent A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU nazwany imieniem. N. A. Niekrasowa, 2013
Unia (lub suma)
Definicja 1.9. Suma zbiorów A i B jest zbiorem A È B, składającym się z tych i tylko tych elementów, które jednak należą
Przecięcie (lub produkt)
Definicja 1.10. Przecięciem zbiorów A i B jest zbiór A Ç B, na który składają się te i tylko te elementy, które należą do tego samego
Różnica
Definicja 1.11. Różnicą pomiędzy zbiorami A i B jest zbiór A B, składający się z tych i tylko tych elementów, które należą do zbioru A
Produkt kartezjański (lub produkt bezpośredni)
Definicja 1.14. Uporządkowana para (lub para) (a, b) to dwa elementy a, b wzięte w określonej kolejności. Pary (a1
Właściwości operacji na zbiorach
Właściwości operacji sumy, przecięcia i dopełnienia nazywane są czasami prawami algebry zbiorów. Wymieńmy główne właściwości operacji na zbiorach. Niech będzie dany zbiór uniwersalny U
Metoda indukcji matematycznej
Metodę indukcji matematycznej stosuje się do udowodnienia twierdzeń, przy formułowaniu których bierze się pod uwagę naturalny parametr n. Metoda indukcji matematycznej - metoda dowodzenia matematyki
Liczby zespolone
Pojęcie liczby jest jednym z głównych osiągnięć kultury ludzkiej. Najpierw pojawiły się liczby naturalne N = (1, 2, 3, …, n, …), następnie liczby całkowite Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), wymierne Q
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Wiadomo, że liczby ujemne wprowadzano w związku z rozwiązywaniem równań liniowych w jednej zmiennej. W poszczególnych zadaniach odpowiedź negatywną interpretowano jako wartość wielkości kierunkowej (
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Wektor można określić nie tylko za pomocą współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych, ale także za pomocą długości i
Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej
Wygodniej jest wykonywać dodawanie i odejmowanie w przypadku liczb zespolonych w formie algebraicznej oraz mnożenie i dzielenie w formie trygonometrycznej.
1. Mnożenie Niech będzie dane dwa k
Potęgowanie
Jeżeli z = r(cosj + i×sinj), to zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), gdzie n Î
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Z analizy matematycznej wiadomo, że e = , e jest liczbą niewymierną. Eile
Koncepcja relacji
Definicja 2.1. Relacja n-ary (lub n-ary) P w zbiorach A1, A2,…, An jest dowolnym podzbiorem
Własności relacji binarnych
Niech zostanie zdefiniowana relacja binarna P na niepustym zbiorze A, czyli P Í A2.
Definicja 2.9. Relacja binarna P na zbiorze
Relacja równoważności
Definicja 2.20. Relację binarną ƒ Í A ´ B nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B, jeśli dla dowolnego x
Ogólne pojęcia
Definicja 3.1. Macierz to prostokątna tabela liczb zawierająca m wierszy i n kolumn. Liczby m i n nazywane są porządkiem (lub
Dodawanie macierzy tego samego typu
Można dodawać tylko macierze tego samego typu.
Definicja 3.12. Suma dwóch macierzy A = (aij) i B = (bij), gdzie i = 1,
Właściwości dodawania macierzy
1) przemienność: „A, B: A + B = B + A; 2) łączność: „A, B, C: (A + B) + C = A
Mnożenie macierzy przez liczbę
Definicja 3.13. Iloczynem macierzy A = (aij) przez liczbę rzeczywistą k jest macierz C = (сij), dla której
Własności mnożenia macierzy przez liczbę
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
Mnożenie macierzy
Zdefiniujmy mnożenie dwóch macierzy; Aby to zrobić, konieczne jest wprowadzenie kilku dodatkowych pojęć.
Definicja 3.14. Macierze A i B nazywane są spójnymi
Własności mnożenia macierzy
1) Mnożenie macierzy nie jest przemienne: A×B ≠ B×A.
Właściwość tę można wykazać na przykładach.
Przykład 3.6. A)
Transpozycja macierzy
Definicja 3.16. Macierz At otrzymaną z danej przez zastąpienie każdego jej wiersza kolumną o tym samym numerze nazywamy transponowaną do danej macierzy A
Wyznaczniki macierzy drugiego i trzeciego rzędu
Każdej macierzy kwadratowej A rzędu n towarzyszy liczba, którą nazywamy wyznacznikiem tej macierzy. Oznaczenie: D, |A|, det A,
Definicja 4.6.
1. Dla n = 1 macierz A składa się z jednej liczby: |A| = a11.
2. Niech będzie znany wyznacznik macierzy rzędu (n – 1).
3. Zdefiniuj
Właściwości wyznaczników
W celu obliczenia wyznaczników rzędów większych niż 3 wykorzystuje się własności wyznaczników oraz twierdzenie Laplace'a.
Twierdzenie 4.1 (Laplace'a). Wyznacznik macierzy kwadratowej
Rozważmy inny sposób znalezienia rangi macierzy.
Definicja 5.4. Następujące przekształcenia nazywane są przekształceniami elementarnymi macierzy: 1. pomnóż
Pojęcie macierzy odwrotnej i metody jej znajdowania
Niech będzie dana macierz kwadratowa A. Definicja 5.7. Macierz A–1 nazywana jest odwrotnością macierzy A, jeśli A×A–1
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Rozważmy jeden ze sposobów znalezienia macierzy odwrotnej danej za pomocą dodatków algebraicznych. Niech będzie dana macierz kwadratowa A. 1. Znajdź wyznacznik macierzy |A|. UE
Znajdowanie macierzy odwrotnej za pomocą przekształceń elementarnych
Rozważmy inny sposób znalezienia macierzy odwrotnej za pomocą przekształceń elementarnych. Sformułujmy niezbędne pojęcia i twierdzenia.
Definicja 5.11. Matryca Według nazwy
Metoda Cramera
Rozważmy układ równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, czyli m = n, a układ ma postać:
Metoda macierzy odwrotnej
Metodę macierzy odwrotnej można zastosować do układów równań liniowych, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a wyznacznik macierzy głównej nie jest równy zero.
Macierzowa postać notacji systemowej
Metoda Gaussa
Aby opisać tę metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych, potrzebne są nowe pojęcia.
Definicja 6.7. Równanie postaci 0×
Opis metody Gaussa
Metoda Gaussa – metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych – polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych pierwotny układ sprowadza się do równoważnego układu schodkowego lub t
Badanie układu równań liniowych
Badanie układu równań liniowych oznacza, bez rozwiązywania układu, udzielenie odpowiedzi na pytanie: czy układ jest spójny, czy nie, a jeśli jest spójny, to ile ma rozwiązań? Odpowiedz na to w
Jednorodne układy równań liniowych
Definicja 6.11 Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli jego wolne wyrazy są równe zeru.
Jednorodny układ m równań liniowych
Własności rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
1. Jeżeli wektor a = (a1, a2, …, an) jest rozwiązaniem układu jednorodnego, to wektor k×a = (k×a1, k&t
1) Układ wektorów zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.
2) Układ wektorów jest liniowo zależny, jeśli którykolwiek z jego podukładów jest liniowo zależny.
Konsekwencja. Jeśli si
System wektorów jednostkowych
Definicja 7.13. Układ wektorów jednostkowych w przestrzeni Rn jest układem wektorów e1, e2, …, en
Dwa twierdzenia o zależności liniowej
Twierdzenie 7.1. Jeśli większy układ wektorów jest wyrażany liniowo przez mniejszy, wówczas większy układ jest liniowo zależny.
Sformułujmy to twierdzenie bardziej szczegółowo: niech a1
Podstawa i ranga systemu wektorowego
Niech S będzie układem wektorów w przestrzeni Rn; może być skończona lub nieskończona. S” jest podsystemem systemu S, S” Ì S. Dajmy dwa
Ranga systemu wektorowego
Podajmy dwie równoważne definicje rzędu układu wektorów.
Definicja 7.16. Rząd układu wektorów to liczba wektorów w dowolnej bazie tego układu.
Praktyczne wyznaczanie rangi i bazy układu wektorów
Z tego układu wektorów tworzymy macierz, układając wektory jako wiersze tej macierzy. Sprowadzamy macierz do postaci rzutowej za pomocą elementarnych przekształceń po rzędach tej macierzy. Na
Definicja przestrzeni wektorowej nad dowolnym ciałem
Niech P będzie dowolnym ciałem. Przykładami znanych nam pól są ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych.
Definicja 8.1. Zbiór V jest wywoływany
Najprostsze własności przestrzeni wektorowych
1) o – wektor (element) zerowy, jednoznacznie zdefiniowany w dowolnej przestrzeni wektorowej nad polem.
2) Dla każdego wektora О V istnieje unikat
Podprzestrzenie. Rozmaitości liniowe
Niech V będzie przestrzenią wektorową L × V (L jest podzbiorem V).
Definicja 8.2. Podzbiór L wektora pro
Przecięcie i suma podprzestrzeni
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem P, L1 i L2 jego podprzestrzeniami.
Rozważmy skończenie wymiarową przestrzeń wektorową V o wymiarze n, której podstawą są wektory e1, e2,…, en. Niech a będzie produktem
Współrzędne wektorowe w różnych bazach
Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią wektorową, w której dane są dwie podstawy: e1, e2, …, en – stara baza, e"1, e
Przestrzenie wektorów euklidesowych
Biorąc pod uwagę przestrzeń wektorową V nad ciałem liczb rzeczywistych. Przestrzeń ta może być albo skończoną wymiarową przestrzenią wektorową o wymiarze n, albo nieskończenie wymiarową
Iloczyn skalarny we współrzędnych
W przestrzeni wektorów euklidesowych V wymiaru n dana jest baza e1, e2, …, en. Wektory x i y są rozkładane na wektory
Pojęcia metryczne
W przestrzeniach wektorowych euklidesowych od wprowadzonego iloczynu skalarnego możemy przejść do pojęć normy wektorowej i kąta między wektorami.
Definicja 8.16. Norma (
Właściwości normy
1) ||a|| = 0 Û a = o.
2) ||la|| = |l|×||a||, ponieważ ||la|| =
Baza ortonormalna przestrzeni wektorów euklidesowych
Definicja 8.21. Bazę przestrzeni wektorów euklidesowych nazywamy ortogonalną, jeśli wektory bazowe są ortogonalne parami, to znaczy, jeśli a1, a
Proces ortogonalizacji
Twierdzenie 8.12. W każdej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortonormalna.
Dowód. Niech a1, a2
Iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej
Biorąc pod uwagę bazę ortonormalną e1, e2,…, en przestrzeni euklidesowej V. Ponieważ (ei, ej) = 0 dla i
Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni
V jest przestrzenią wektorową euklidesową, L jest jej podprzestrzenią.
Definicja 8.23. Mówi się, że wektor a jest ortogonalny do podprzestrzeni L, jeśli jest to wektor
Zależność pomiędzy współrzędnymi wektora i współrzędnymi jego obrazu
Operator liniowy j jest dany w przestrzeni V, a jego macierz M(j) znajduje się w jakiejś bazie e1, e2, …, en. Niech to będzie podstawą
Podobne matryce
Rozważmy zbiór Рn'n macierzy kwadratowych rzędu n z elementami z dowolnego ciała P. Na tym zbiorze wprowadzamy relację
Własności relacji podobieństwa macierzy
1. Refleksyjność. Każda macierz jest do siebie podobna, czyli A ~ A. 2. Symetria. Jeśli macierz A jest podobna do B, to B jest podobna do A, tj.
Własności wektorów własnych
Niech A będzie macierzą kwadratową. Można założyć, że jest to macierz jakiegoś operatora liniowego określonego w jakiejś bazie. Wiadomo, że w innej podstawie macierz operatora liniowego
Normalna postać Jordana
Definicja 10.5. Komórka Jordana rzędu k związana z liczbą l0 jest macierzą rzędu k, 1 ≤ k ≤ n,
Redukcja macierzy do postaci Jordana (normalnej).
Twierdzenie 10.3. Postać normalna Jordana jest wyznaczana jednoznacznie dla macierzy aż do rzędu ułożenia komórek Jordana na głównej przekątnej.
Pr
Formy dwuliniowe
Definicja 11.1. Forma dwuliniowa to funkcja (mapa) f: V ´ V ® R (lub C), gdzie V jest dowolnym wektorem
Właściwości form dwuliniowych
Dowolną formę dwuliniową można przedstawić jako sumę form symetrycznych i skośno-symetrycznych.
Przy wybranej bazie e1, e2,…, en w wektorze
Transformacja macierzy o postaci dwuliniowej przy przejściu do nowej bazy. Ranga postaci dwuliniowej
Niech dwie podstawy e = (e1, e2,…, en) i f = (f1, f2,
Kwadratowe kształty
Niech A(x, y) będzie symetryczną postacią dwuliniową zdefiniowaną na przestrzeni wektorowej V. Definicja 11.6
Sprowadzanie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej
Biorąc pod uwagę postać kwadratową (2) A(x, x) = , gdzie x = (x1
Prawo bezwładności form kwadratowych
Ustalono, że liczba niezerowych współczynników kanonicznych formy kwadratowej jest równa jej rangowi i nie zależy od wyboru niezdegenerowanej transformacji, za pomocą której postać A(x
Warunek konieczny i wystarczający znaku postaci kwadratowej
Oświadczenie 11.1. Aby postać kwadratowa A(x, x), określona w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej V, była znakooznaczna, należy
Warunek konieczny i wystarczający quasi-przemiennej formy kwadratowej
Oświadczenie 11.3. Aby forma kwadratowa A(x, x), zdefiniowana w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej V, była quasi-znakowa naprzemienna (tj.
Kryterium Sylwestra dla znaku określonego postaci kwadratowej
Niech postać A(x, x) w bazie e = (e1, e2, …, en) wyznacza macierz A(e) = (aij)
Wniosek
Algebra liniowa jest obowiązkową częścią każdego programu z matematyki wyższej. Każda inna sekcja zakłada obecność wiedzy, umiejętności i zdolności rozwiniętych w trakcie nauczania tej dyscypliny
Bibliografia
Podręcznik edukacyjno-metodyczny Redaktor i korektor G. D. Neganova Pisanie komputerowe: T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Zarządzanie jakością edukacji
Niewydolność podniebienno-gardłowa i sposoby jej eliminacji
Bajka Andersena „Królowa Śniegu” Pobierz prezentację do baśni „Królowa Śniegu”.