A4 b4 skrócony wzór na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie – Hipermarket Wiedzy

Skrócone wzory na mnożenie.

Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Aby uprościć wyrażenia, rozłożyć wielomiany i sprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie, które musisz znać na pamięć.

Niech a, b R. Następnie:

1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2

2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.

za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.

za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)

7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)

Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład 1.

Obliczać

a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Przykład 2.

Obliczać

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy

Przykład 3.

Uprość wyrażenie

(x - y) 2 + (x + y) 2

Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:

(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)

Aby uprościć wielomiany algebraiczne, istnieją skrócone wzory na mnożenie. Nie ma ich zbyt wiele i łatwo je zapamiętać, ale trzeba je zapamiętać. Zapis używany we wzorach może mieć dowolną formę (liczbową lub wielomianową).

Nazywa się pierwszą skróconą formułę mnożenia różnica kwadratów. Polega na odjęciu kwadratu jednej liczby od kwadratu drugiej liczby, co jest równe różnicy między tymi liczbami, a także ich iloczynowi.

za 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Spójrzmy na to dla jasności:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 do 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Druga formuła dotyczy suma kwadratów. Wygląda na to, że suma dwóch wielkości do kwadratu jest równa kwadratowi pierwszej wielkości, dodaje się do niej podwójny iloczyn pierwszej wielkości pomnożony przez drugą, dodaje się do nich kwadrat drugiej wielkości.

(a + b) 2 = za 2 +2ab + b 2

Dzięki tej formule znacznie łatwiej jest obliczyć kwadrat dużej liczby, bez użycia technologii komputerowej.

Na przykład: kwadrat 112 będzie równy
1) Najpierw rozbijmy 112 na liczby, których kwadraty są nam znane
112 = 100 + 12
2) Wynik wpisujemy w nawiasach kwadratowych
112 2 = (100+12) 2
3) Stosując wzór, otrzymujemy:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Trzecia formuła to kwadratowa różnica. Co oznacza, że dwie wielkości odjęte od siebie w kwadracie są równe, ponieważ od pierwszej wielkości do kwadratu odejmujemy podwójny iloczyn pierwszej wielkości pomnożony przez drugą, dodając do nich kwadrat drugiej wielkości.

(a + b) 2 = za 2 - 2ab + b 2

gdzie (a - b) 2 równa się (b - a) 2. Aby to udowodnić, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Nazywa się czwarty wzór na skrócone mnożenie sześcian sumy. To brzmi tak: dwie sumy ilości w sześcianie są równe sześcianowi 1 wielkości, dodaje się potrójny iloczyn 1 wielkości do kwadratu pomnożonej przez 2-gą ilość, do tego dodaje się potrójny iloczyn 1 ilości pomnożonej przez kwadrat 2 ilości plus druga ilość w kostce.

(a+b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Piąty, jak już zrozumiałeś, nazywa się kostka różnicowa. Który znajduje różnice między wielkościami, ponieważ od pierwszego zapisu w sześcianie odejmujemy potrójny iloczyn pierwszego zapisu w kwadracie pomnożony przez drugi, do nich dodaje się potrójny iloczyn pierwszego zapisu pomnożony przez kwadrat drugiego zapis minus drugi zapis w sześcianie.

(a-b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Szósty nazywa się - suma kostek. Suma kostek jest równa iloczynowi obu wyrazów pomnożonego przez częściowy kwadrat różnicy, ponieważ w środku nie ma podwójnej wartości.

za 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Innym sposobem wyrażenia sumy kostek jest wywołanie iloczynu w dwóch nawiasach.

Siódmy i ostatni nazywa się różnica sześcianów(można to łatwo pomylić ze wzorem na kostkę różnicową, ale to są różne rzeczy). Różnica kostek jest równa iloczynowi różnicy dwóch wielkości pomnożonej przez częściowy kwadrat sumy, ponieważ w środku nie ma podwójnej wartości.

za 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

I tak jest tylko 7 wzorów na skrócone mnożenie, są one do siebie podobne i łatwe do zapamiętania, jedyne co ważne to nie pomylić się w znakach. Są one również przeznaczone do stosowania w odwrotnej kolejności, a podręczniki zawierają sporo takich zadań. Bądź ostrożny, a wszystko się ułoży.

Jeśli masz pytania dotyczące formuł, napisz je w komentarzach. Chętnie odpowiemy!

Jeśli jesteś na urlopie macierzyńskim, ale chcesz dorobić. Wystarczy kliknąć link Biznes internetowy z Oriflame. Wszystko jest tam napisane i pokazane ze szczegółami. To będzie interesujące!

Mnożenie wielomianu przez wielomian

! Do pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny.

Bądź ostrożny! Każdy termin ma swój własny znak.

Skrócone wzory na mnożenie Wielomiany to zazwyczaj 7 (siedem) typowych przypadków mnożenia wielomianów.

Definicje iSkrócone wzory na mnożenie. Tabela

Tabela 2. Definicje skróconych wzorów na mnożenie (kliknij, aby powiększyć)

Trzy skrócone wzory na mnożenie kwadratów

1. Wzór na sumę kwadratową.

Kwadrat sumy dwa wyrażenia są równe kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Aby lepiej zrozumieć wzór, uprośćmy najpierw wyrażenie (rozwińmy wzór o kwadrat sumy)

Teraz rozłóżmy na czynniki (zwiń formułę)

Kolejność działań przy faktoringu:

określ, które jednomiany zostały podniesione do kwadratu ( 5 I 3 m);
sprawdź, czy ich iloczyn podwójny znajduje się w środku wzoru (2 5 3m = 30 m);
zapisz odpowiedź (5 + 3 m) 2.

2. Wzór na różnicę kwadratową

Kwadratowa różnica dwa wyrażenia są równe kwadratowi pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Najpierw uprośćmy wyrażenie (rozwińmy formułę):

I odwrotnie, rozłóżmy to na czynniki (zwiń formułę):

3. Wzór na różnicę kwadratową

Iloczyn sumy dwóch wyrażeń i ich różnicy jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Zwińmy formułę (wykonaj mnożenie)

Teraz rozwińmy formułę (uwzględnijmy ją)

Cztery skrócone wzory na mnożenie kostek

4. Wzór na sześcian sumy dwóch liczb

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugie wyrażenie.

Kolejność działań podczas „zwijania” formuły:

znajdź jednomiany pokrojone w kostkę (tutaj 4x I 1 );
sprawdź średnie warunki pod kątem zgodności z formułą;
zapisz odpowiedź.

5. Wzór na sześcian różnicy dwóch liczb

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego wyrażenia minus sześcian drugie wyrażenie.

6. Wzór na sumę kostek

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.

I z powrotem:

7. Różnica we wzorze kostek

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między pierwszym i drugim wyrażeniem oraz częściowego kwadratu sumy tych wyrażeń.

Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Tabela

Przykład zastosowania wzorów w praktyce (obliczenie ustne).

Zadanie: Znajdź pole kwadratu o boku a = 71 cm.

Rozwiązanie: S = za 2 . Korzystając ze wzoru na sumę kwadratową, mamy

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Odpowiedź: 5041 cm2

Wyrażenie ( A + B) 2 jest kwadrat sumy takty muzyczne A I B. Z definicji stopnia wyrażenie ( A + BA + B)(A + B). Zatem z kwadratu sumy możemy to wywnioskować

(A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + ok + ok + B 2 = A 2 + 2ok + B 2 ,

to znaczy kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotny iloczyn pierwszej liczby i drugiej liczby plus kwadrat drugiej liczby.

wzór na sumę kwadratową

(A + B) 2 = A 2 + 2ok + B 2

Wielomian A 2 + 2ok + B 2 nazywa się rozwinięciem sumy kwadratowej.

Ponieważ A I B oznaczają dowolne liczby lub wyrażenia, wówczas reguła daje nam możliwość, w skrócie, podniesienia do kwadratu dowolnego wyrażenia, które można uznać za sumę dwóch wyrazów.

Przykład. Wyrażenie kwadratowe 3 X 2 + 2xy.

Rozwiązanie: Aby nie dokonywać dodatkowych przekształceń, skorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Powinniśmy otrzymać sumę kwadratów pierwszej liczby, dwukrotność iloczynu pierwszej liczby oraz drugiej i kwadratu drugiej liczby:

(3X 2 + 2xy) 2 = (3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2

Teraz, korzystając z zasad mnożenia i potęgowania jednomianów, upraszczamy powstałe wyrażenie:

(3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9X 4 + 12X 3 y + 4X 2 y 2

Kwadratowa różnica

Wyrażenie ( A - B) 2 jest kwadratowa różnica takty muzyczne A I B. Wyrażenie ( A - B) 2 jest iloczynem dwóch wielomianów ( A - B)(A - B). Zatem z kwadratu różnicy możemy to wywnioskować

(A - B) 2 = (A - B)(A - B) = A 2 - ok - ok + B 2 = A 2 - 2ok + B 2 ,

to znaczy kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

Z reguły wynika, że suma wzór na różnicę kwadratową, bez przekształceń pośrednich, będzie wyglądać następująco:

(A - B) 2 = A 2 - 2ok + B 2

Wielomian A 2 - 2ok + B 2 nazywa się rozwinięciem różnicy kwadratowej.

Zasada ta dotyczy skróconej kwadratury wyrażeń, które można wyrazić jako różnicę dwóch liczb.

Przykład. Przedstaw kwadrat różnicy w postaci trójmianu:

(2A 2 - 5ok 2) 2

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratową, znajdujemy:

(2A 2 - 5ok 2) 2 = (2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ok 2) + (5ok 2) 2

Przekształćmy teraz wyrażenie na wielomian standardowy:

(2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ok 2) + (5ok 2) 2 = 4A 4 - 20A 3 B 2 + 25A 2 B 4

Różnica kwadratów

Wyrażenie A 2 - B 2 jest różnica kwadratów takty muzyczne A I B. Wyrażenie A 2 - B 2 to skrótowy sposób pomnożenia sumy dwóch liczb przez ich różnicę:

(A + B)(A - B) = A 2 + ok - ok - B 2 = A 2 - B 2 ,

to znaczy iloczyn sumy dwóch liczb i ich różnicy jest równy różnicy kwadratów tych liczb.

Z reguły wynika, że suma wzór na różnicę kwadratową wygląda tak:

A 2 - B 2 = (A + B)(A - B)

Zasada ta dotyczy skróconego mnożenia wyrażeń, które można przedstawić: jedno jako sumę dwóch liczb, a drugie jako różnicę tych samych liczb.

Przykład. Zamień iloczyn na dwumian:

(5A 2 + 3)(5A 2 - 3)

Rozwiązanie:

(5A 2 + 3)(5A 2 - 3) = (5A 2) 2 - 3 2 = 25A 4 - 9

W przykładzie zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów od prawej do lewej, czyli otrzymaliśmy prawą stronę wzoru i przeliczyliśmy go na lewą stronę:

(A + B)(A - B) = A 2 - B 2

W praktyce wszystkie trzy omówione formuły stosuje się zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej, w zależności od sytuacji.

Jednym z pierwszych tematów studiowanych na kursie algebry są skrócone wzory na mnożenie. W klasie 7 używa się ich w najprostszych sytuacjach, gdy trzeba rozpoznać jeden ze wzorów w wyrażeniu i rozłożyć na czynniki wielomian lub odwrotnie, szybko podnieść do kwadratu lub sześcianu sumę lub różnicę. W przyszłości FSU będzie wykorzystywane do szybkiego rozwiązywania nierówności i równań, a nawet do obliczania niektórych wyrażeń numerycznych bez użycia kalkulatora.

Jak wygląda lista formuł?

Istnieje 7 podstawowych wzorów, które pozwalają szybko pomnożyć wielomiany w nawiasach.

Czasami lista ta zawiera także rozwinięcie czwartego stopnia, które wynika z przedstawionych tożsamości i ma postać:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Wszystkie równości mają parę (suma - różnica), z wyjątkiem różnicy kwadratów. Nie podano wzoru na sumę kwadratów.

Pozostałe równości są łatwe do zapamiętania:

Należy pamiętać, że FSU działają w każdym przypadku i dla dowolnych wartości A I B: mogą to być dowolne liczby lub wyrażenia całkowite.

W sytuacji, gdy nagle nie będziesz mógł zapamiętać, jaki znak stoi przed danym wyrazem we wzorze, możesz otworzyć nawiasy i uzyskać taki sam efekt, jak po zastosowaniu wzoru. Na przykład, jeśli pojawił się problem podczas stosowania kostki różnicowej FSU, musisz zapisać oryginalne wyrażenie i wykonaj mnożenie jeden po drugim:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

W rezultacie po sprowadzeniu wszystkich wyrazów podobnych otrzymano taki sam wielomian jak w tabeli. Te same manipulacje można wykonać w przypadku wszystkich innych FSU.

Zastosowanie FSU do rozwiązywania równań

Na przykład musisz rozwiązać równanie zawierające wielomian stopnia 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

W program szkolny uniwersalne techniki rozwiązywania równań sześciennych nie są brane pod uwagę, a takie zadania są najczęściej rozwiązywane w większej liczbie proste metody(na przykład przez faktoryzację). Jeśli zauważymy, że lewa strona tożsamości przypomina sześcian sumy, to równanie można zapisać w prostszej formie:

(x + 1)³ = 0.

Pierwiastek takiego równania oblicza się ustnie: x = -1.

Nierówności rozwiązuje się w podobny sposób. Można na przykład rozwiązać nierówność x³ – 6x² + 9x > 0.

Przede wszystkim należy uwzględnić wyrażenie. Najpierw musisz wyjąć to z nawiasów X. Następnie zauważ, że wyrażenie w nawiasach można przekonwertować na kwadrat różnicy.

Następnie musisz znaleźć punkty, w których wyrażenie przyjmuje wartości zerowe i zaznaczyć je na osi liczbowej. W konkretnym przypadku będą to 0 i 3. Następnie korzystając z metody przedziałowej określ, w jakich przedziałach x będzie odpowiadał warunek nierówności.

FSU mogą być przydatne podczas występów niektóre obliczenia bez pomocy kalkulatora:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Dodatkowo, rozkładając wyrażenia na czynniki, można łatwo redukować ułamki zwykłe i upraszczać różne wyrażenia algebraiczne.

Przykładowe zadania dla klas 7-8

Podsumowując, przeanalizujemy i rozwiążemy dwa zadania dotyczące zastosowania skróconych wzorów mnożenia w algebrze.

Zadanie 1. Uprość wyrażenie:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Rozwiązanie. Warunki zadania wymagają uproszczenia wyrażenia, czyli otwarcia nawiasów, wykonania operacji mnożenia i potęgowania, a także doprowadzenia wszystkich podobne terminy. Podzielmy warunkowo wyrażenie na trzy części (w zależności od liczby wyrazów) i otwórzmy po kolei nawiasy, używając tam, gdzie to możliwe, FSU.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(suma kwadratowa);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(różnica kwadratów);
W ostatnim terminie musisz pomnożyć: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Podstawmy otrzymane wyniki do pierwotnego wyrażenia:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Biorąc pod uwagę znaki, otworzymy nawiasy i przedstawimy podobne określenia:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Zadanie 2. Rozwiąż równanie zawierające niewiadomą k do potęgi 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Rozwiązanie. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie FSU i metody grupowania. Konieczne jest przesunięcie ostatniego i przedostatniego wyrazu na prawą stronę tożsamości.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Wspólny czynnik pochodzi z prawej i lewej strony (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Wszystko przenosi się na lewą stronę równania, tak aby 0 pozostało po prawej stronie:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Ponownie konieczne jest usunięcie wspólnego czynnika:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Z pierwszego otrzymanego czynnika możemy wyprowadzić k. Zgodnie z krótkim wzorem na mnożenie drugi czynnik będzie identycznie równy (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Ponieważ iloczyn jest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z jego czynników wynosi zero, znalezienie wszystkich pierwiastków równania nie jest trudne:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Na podstawie ilustrujących przykładów możesz zrozumieć, jak zapamiętywać formuły, ich różnice, a także rozwiązywać kilka praktycznych problemów za pomocą FSU. Zadania są proste i ich wykonanie nie powinno sprawić żadnych trudności.