Урок1. Как построить график функции y = f(x-l), если известен график функции y = f(x) Параллельный перенос графиков функций

Урок «Как построить график функции у = f (x + l )+ m , если известен график функции у = f (x ).

8А класс. Учитель Бобунова В.В. МОУ СОШ №1 г.Пугачев Саратовская область

Базовый учебник

Цель урока : повторить правила построения графиков функций у=(х+l) и у=f(x)+m, если известен график функции у= f (x ); рассмотреть правило построения графика функции у= f(х+ l )+ m , если известен график функции у= f (x ); развивать умение строить графики различных функций.

Задачи:

образовательные:

научить учащихся строить график функции у =f(x+l)+m, если известен график функции у =f(x); научить применять эти способы при выполнение упражнений; совершенствовать умение строить графики функций у=f(x)+m и у=(х+l) , если известен график функции у=f(x);

р азвивающие:

развивать ИКТ-компетентность учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий с помощью ЭОР; развивать умение обосновывать свое решение; развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать;

в оспитательные:

развивать умение вести индивидуальную, групповую дискуссию;

формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в паре, этичного поведения.

Тип урока - изложение нового материала.

Методы обучения: иллюстративно-словесный (иллюстративно-словесный и частично-поисковый).

Формы работы - индивидуальная (фронтальная, работа в парах)

Оборудование : Компьютер, мультимедийный проектор, экран, мультимедийная презентация к уроку, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент , проверка домашнего задания. Учитель сканирует домашнее задание одного из учеников, показывает его классу, учащиеся проверяют свои работы.
2. Индивидуальная работа .
Четырем ученикам раздаются карточки для индивидуальной работы у доски.

Карточка 1
Построить графики данных функций:
, , .

3. Актуализация знаний. Работа с графиками функций. Напишите уравнение графика функции,изображенного на рисунке (слайды1-5). При проверке задания вспомнить уже изученные правила построения графиков функций у= f (x + l ) и у=f(x)+m f(x) .

4. Объяснение нового материала.

Задание классу : на одной координатной плоскости построить штриховой линией графики следующих функций: у=х 2 , у=(х-2) 2 , у=х 2 -3.
Затем предлагается учащимся самостоятельно построить сплошной линией график функции у = (х-2) 2 -3 . Происходит обсуждение построения данного графика и ученикам предлагается сформулировать правило построения графика функции у=f(x+l)+m , если известен график функции f (x ) .
Чтобы построить график функции у= f (x + l )+ m , если известен график функции у=f(х) , надо график функции у= f (x ) сдвинуть по оси x на / l / единиц вправо, если l или влево, если l >0 , а затем сдвинуть получивший график по оси у на /m/ единиц наверх, если m >0 , вниз, если m .

Задание классу. В какую точку переместится вершина параболы, заданной уравнением:

1.у=(х+1)²-2

2. у =(х-7)²-4

3.у=4(х-2)²+8

4. у=0,5(х-3,5)²+6

Вопрос классу : «Обязательно ли строить три графика для построения графика функции у = f (x + l )+ m ? »
После обсуждения делается вывод: «Фактически графиком функции у =(х - 2) 2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х 2 ,
только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).Следовательно для ее построения нужно перенести систему координат в точку (2;-3), в новой системе координат построить график функции у=х 2 .

5. Закрепление нового материала.

Фронтальная работа с полным проговариванием правила построения. Построить график функции у = 0,5(х-5) 2 -7

Самостоятельная работа(в парах).

1.Построить график функции у=2(х+3) 2 +1.

2.Построить график функции у=√х+6+4.

3. № 21.16(в)

Дополнительное задание.

4.Решите графически уравнение -3=х, используя график в упражнении №21.16(в).

5. Решите графически систему уравнений

VI . Итог урока

Ребята давайте подведем итог урока. Что же мы сегодня повторили, закрепили, узнали нового на уроке. (Учащиеся рассказывают основные моменты урока) А что вам показалось самым сложным при построении графиков?

Вы показали хорошие знания. Молодцы! Оценки …

VII .Домашнее задание. п.12,№21.7; 21.16(а);21.20(б). Дополнительное задание : построить график функции у=х 2 -4х+6. Это творческое задание, построить график квадратичной функции исходя из имеющихся знаний по преобразованиям графиков функций.

Литература.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.|; Под ред. А. Г. Мордковича. - 12-е изд., испр. - М. : Мнемозина, 2010.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гагаринская основная общеобразовательная школа»

Учитель математики

Хамбалова Масхуда Загфаровна

Конспект урока алгебры. 8 класс

УМК «Алгебра 8» А.Г. Мордковича,

Тема: Как построить график функции y = f ( x + l )+ m , если известен график

функции y = f ( x )

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны

1) знать следующие темы: «Функция, ее свойства и график», «Функция , ее свойства и график», «Функция, ее свойства и график», «Функция», «Линейная функция», « Как построить график функции y = f ( x + l ) y = f ( x )», «Как построить график функции y = f ( x )+ m , если известен график функции y = f ( x )».

2) уметь работать с графиками таких функций.

Цель: y = f ( x + l )+ m , если известен график функции y = f ( x ) и формирование умений применять его при решении задач.

Задачи:

образовательные:

Повторить алгоритмы построение графиков функций y = f ( x + l ) , y = f ( x )+ m ;

Повторить графики функций , y = kx , .

Формировать умения строить графики функций с помощью параллельного переноса вдоль осей координат графиков элементарных функций;

Применять знания о свойствах функций;

Готовить к сдаче ГИА.

развивающие: развивать познавательные способности учащихся, внимание, память, логическое мышление, сообразительность, грамотную математическую речь, навыки самостоятельной работы;

воспитательные: воспитание интереса к познавательному процессу, культуры построения графиков функций и оформления заданий, упорства в достижении цели, аккуратности при выполнении заданий.

Тип урока: Изучение нового материала

Технологии: информационно- коммуникационные, проблемного обучения; развивающего обучения, здоровьесберегающие.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа на интерактивной доске, работа с учебником, самостоятельная работа.

Оборудование: учебный комплект «Алгебра 8» А.Г. Мордковича, тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, интерактивная доска, презентация по теме урока, диск « под ред. А.Г. Мордковича»

План урока

п/п

Этап урока

Время (мин.)

Задачи этапа

Организационный момент

Проверить готовность учащихся к уроку, сообщить тему, цели, этапы урока, создать эмоциональный настрой на работу.

Актуализация опорных знаний

Повторить алгоритмы построения графиков функций y = f ( x + l ) , y = f ( x )+ m ;

Повторить графики функций , y = kx , .

Создание проблемной ситуации

Поиск путей решения проблемы

Изучение нового материала

Создание алгоритма построения графика функции y = f ( x + l )+ m , если известен график функции y = f ( x )

Физкультминутка

Снять эмоциональное и мышечное напряжение, увеличить двигательную активность, поддержать высокий уровень работоспособности

Закрепление

Построение графиков функций по алгоритму

Итог урока

Обобщение знаний, полученных на уроке

Домашнее задание

Инструктаж по домашнему заданию

Рефлексия

Инструктаж по рефлексии

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (формирование мотивации работы учащихся).

Учитель:

Приветствует учащихся,

Проверяет готовность к уроку,

Объявляет тему « Как построить график функции y = f ( x + l )+ m , если известен график функции y = f ( x )»

Объявляет цели урока,

Озвучивает план работы (слайды 1,2):

Ученики определяют свою готовность к выполнению работы (слайд 3)

II. Актуализация опорных знаний

Задания выносятся на интерактивную доску. Учащиеся отвечают на вопросы, поясняют выбор ответа. (слайды

III. Создание проблемной ситуации

Ученик записывает на доске уравнения функций, изображенных на рисунках 1), 2), 4). Сталкивается с проблемой: на рисунке 3) изображен график параболы, для которого выполнен сдвиг вдоль осей координат вправо и вниз. С такими графиками еще не работали. Выдвигается предположение, какие шаги нужно предпринять, чтобы построить график.

IV . Изучение нового материала

Задание. Постройте график функции y = ( x -2) 2 – 3.

Учащиеся предлагают варианты построения графика.

А) 1) y = x 2 , 2) сдвиг вправо на 2 ед., 3) сдвиг вниз на 3 ед.

Б) 1) y = x 2 , 2) сдвиг вниз на 3 ед., 3) сдвиг вправо на 2 ед.

В) 1) y = x 2 , 2) сдвиг вправо на 2 ед. и вниз на 3 ед.

Один ученик выполняет построения на доске по плану А .

Остальные учащиеся делятся на две группы, одна их которых выполняет построение по плану Б, вторая – по плану В.

Результаты построений сравниваются, делается вывод и выбор наиболее рационального способа.

Читают в учебнике на стр. 117-118 (§ 21) алгоритмы построения графика функции y = f ( x + l )+ m , если известен график функции y = f ( x ) .

V . Физкультминутка

VI . Закрепление

Ученики выполняют № 21.2 (а) , 21.4(а, б) самостоятельно , опираясь на таблицу, с последующей проверкой с помощью диска « Электронное сопровождение курса «Алгебра. 8 класс» под ред. А.Г. Мордковича» (§ 21) .

VII . Итог урока

Что нового вы узнали сегодня?

Чему научились?

Сможете ли вы сами без посторонней помощи выполнить домашнюю работу?

VIII . Домашнее задание

IX . Рефлексия Учащиеся оценивают свою деятельность на уроке и сравнивают результаты с теми, что были в начале урока.

В этом видеоуроке будет рассмотрен вопрос графического представления функции y = f(x + l), при условии, что график функции y = f(x) известен заранее.

Для полноты понимания, объяснения будут сопровождаться визуальным дополнением. Для этого построим графики функций у = х 2 и у = (х + 3) 2 в одной системе координат. Первая из функций уже была рассмотрена в наших видеоуроках ранее, и мы знаем, что ее график - это парабола. Для функции у = (х + 3) 2 , подставляя значения аргумента х, рассчитываем координаты точек, по которым и строим график. Соединив точки плавной кривой, мы видим, что график являет собой параболу. Можно заметить, что этот график имеет такой же вид, что и в случае у = х 2 , однако в этом случае он перемещен влево на три единицы по оси абсцисс. Соответственно, наблюдается и смещение вершины параболы в положение (- 3; 0), а не в начале координат, как это наблюдаем у параболы равенства у = х 2 . Ось симметрии также смещена, и соответствует линии в положении х = - 3, а не х = 0, как это мы можем наблюдать в случае графика уравнения у = х 2 .

Когда мы изображаем, как демонстрирует видео, графики функций у = x 2 и у = (х - 2) 2 в одной координатной сетке, можно заметить, что второй график похож на первый с той лишь особенностью, что наблюдается смещение по оси абсцисс вправо на 2 позиции. Как это выглядит воочию, вы можете увидеть в предложенном видеоматериале.

После просмотра этого примера становится ясно, что графически решения функций данного типа происходят по тому же алгоритму.

Еще один пример, который предлагает наше видео, - это равенство у = -2 (х - 4) 2 . Ее графиком также является парабола вида y = - 2x 2 , претерпевшая сдвиг, то есть параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на четыре единицы. С самим графиком вас познакомит это видео.

Исходя из изложенного выше, можно сделать следующие выводы:

1) Для того чтобы начертить график функции типа у = f(x + l), в случае если l - это положительное число, заданное условием, необходимо переместить график равенства по оси х влево на l единиц масштаба;

2) Для того, чтобы построить график функции у = f(x - l), где число l - это заданное положительное число, то нужно график функции у = f(x) просто сдвинуть вдоль оси х на l единиц масштаба вправо.

То есть, если знак числа l положительный, то смещаем в направлении убывания значений по оси абсцисс, а если отрицательный, то в сторону увеличения.

Пример 1. Используя полученные в видеоматериале знания, необходимо построить график функции y = - 3 / (x+5)

Для решения этой задачи сначала строим гиперболу для равенства y = -3/x, после этого сдвигаем полученный график вдоль оси абсцисс влево на 5 единиц масштаба. В результате чего у нас получился требуемый график - это гипербола с асимптотами х=-5 и у = 0. Сам график вы видели при просмотре предложенного видео.

Следующий пример состоит в следующем: необходимо построить график функции у = |х+2|. Суть решения данной задачи имеет такой же алгоритм, что и в предыдущем случае. Сначала строим график функции у = |х|, а затем сдвигаем его на две единицы масштаба влево.

В дополнение следует сказать, что при построении графика функции вида у = f(x + l), в случае если l - это любое число, отличительное от нуля, то есть как положительное, так и отрицательное. При решении задач функций мы рассчитывали координаты точек, по которым и строили графики, не обращая внимания на знак возле некоего числа l, которое присутствовало в наших функциях, а просто отмечали сдвиг графика в той или иной мере. Однако следует отметить, что направление сдвига все же определялось именно знаком числа l: в случае, когда значение числа l было положительным, график сдвигался влево, а в случае, когда число l было меньше нуля, график сдвигался вправо.

>>Математика:Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)

Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)

График функции у = f(x + 1) + т можно получить из графика функции у - f{x) последовательным применением тех преобразований, о которых мы говорили в § 10 и 11.

Пример 1. Построить график функции у = (х - 2) 2 - 3.

Решение. Осуществим построение по этапам.

Первый этап. Построим график функции у - х 2 (пунктирная линия на рис. 54).

Второй этап . Сдвинув параболу у = х 2 на 2 единицы вправо, получим график функции у = (х - 2) 2 (сплошная черная линия на рис. 54).

Третий этап. Сдвинув параболу у = (х - 2) 2 на 3 единицы вниз, получим график функции у = (х - 2) 2 - 3 (цветная линия на рис. 54).

Замечание. Математику, который привык быть экономным в своих действиях, такое решение не очень понравится, хотя оно абсолютно правильное.

Он спросит: зачем мне строить три графика , когда я могу обойтись построением только одного графика? Ведь фактически графиком функции у = (х - 2) 2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х 2 , только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).

Поэтому, продолжит математик, я сделаю так: перейду к вспомогательной системе координат с началом в точке (2; -3). Для этого построю (пунктиром) прямые х = 2 и у=-3 (рис 55). В этой вспомогательной системе координат воспользуюсь шаблоном параболы у = х 2 (математики обычно в таких случаях выражаются по-другому, они говорят: «привяжем функцию у = х 2 к новой системе координат») и получу в итоге требуемый график (рис.56)

Попробуем воспользоваться советом математика при решении следующего примера.

Пример 2. Построить график функции у = - 2(х + З) 2 + 1.

Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-3; 1) (пунктирные прямые х = -3, у = 1 на рис. 57).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

Оборудование: интерактивная доска, проектор, презентация к уроку.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

у = x 2 и у = x 2 +1. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вверх. (Слайд 10.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = x 2 – 1. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вниз. (Слайд 11.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = (x – 1) 2 . Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вправо. (Слайд 12.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = (x + 1) 2 . Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу влево. (Слайд 13.)

С помощью учителя учащиеся формулируют правило построения графика функции у = f (x + l) и графика функции у = f (x) + m с помощью сдвига графика функции у = f (x) . (Слайды 14-18. Анимация сдвигов графиков на слайдах помогает лучшему восприятию правила.)

Затем рассматривается вариант построения графика функции у = f (x + l) и графика функции у = f (x) + m с помощью сдвига графика функции у = f (x) , если известен график функции у = f (x) с помощью сдвига осей координат. (Слайды 19-23. Анимация сдвигов осей координат на слайдах помогает лучшему восприятию правила построения графиков.)

Правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m записываются в тетрадь.

4. Закрепление материала

№ 19.6, № 20.6, № 19.11(в), № 19.12(в), № 19.13(в), № 19.14(в), № 20.11(в), № 20.12(в), № 20.13(в), № 20.14(в).

5. Домашнее задание

Параграф 19, 20 учебника, № 19.5, № 20.5, № 19.11–19.14(а), № 20.11–20.14(а).

6. Подведение итогов урока