Интегралы метод интегрирования по частям. Основные методы интегрирования

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла
к вычислению интеграла
, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида
,
,
, где
– многочлен,
– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен

.

2. Интегралы вида
,
,
,
,
, где
– многочлен.

В этом случае через
обозначают
, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида
,
, где
– числа.

В этом случае через обозначают
и применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.

Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.

Пример 26.

Найти интегралы методом по частям: а)
; б)
.

Решение.

б)

3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:
, где
– многочлен степени
,
– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной , если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е.
, в противном случае (если
) рациональная дробь называется неправильной .

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где
– целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ;

II.
;

III.
;

IV.
,

где ,,
,
,,,
– действительные числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов .

Интегрирование простейших дробей

Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.

I)
.

II) ,
.

III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду
, так как
, что также дает табличный интеграл.

;

IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой
, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.

Найти интегралы от простейших дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:

соответствует одна дробь вида;

– каждому множителю знаменателя
соответствует сумма дробей вида

соответствует дробь вида
;

– каждому квадратному множителю знаменателя
соответствует суммадробей вида

где – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.

Метод частных значений.

Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.

После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:

1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.

Найти интегралы от рациональных дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.

Исходный интеграл примет вид:
.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:

, получаем:

Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.

Тогда искомое разложение имеет вид:
.

=
.

б)
.

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

.

в)
.

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:

;
;

;
;

;
.

Тогда искомое разложение имеет вид:

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

Что такое интегрирование по частям? Чтобы освоить этот вид интегрирования, давайте для начала вспомним производную произведения:

${{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}"\cdot g+f\cdot {g}"$

Спрашивается: ну и при чем тут интегралы? А давайте теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Так и запишем:

$\int{{{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}\text{d}x=}\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

Но что такое первообразная от штриха? Это просто сама функция, которая стоит внутри штриха. Так и запишем:

$f\cdot g=\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

В данном уравнении предлагаю выразить слагаемое. Имеем:

$\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x=f\cdot g-\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

Это и есть формула интегрирования по частям . Таким образом, мы, по сути, меняем местами производную и функцию. Если изначально у нас был интеграл от штриха, умноженной на что-либо, то затем получается интеграл от нового чего-либо, умноженной на штрих. Вот и все правило. На первый взгляд данная формула может показаться сложной и бессмысленной, но, на самом деле, она может значительно упрощать вычисления. Сейчас посмотрим.

Примеры вычисления интегралов

Задача 1. Вычислите:

\[\int{\ln x\,\text{d}x}\]\[\]

Перепишем выражение, добавив перед логарифмом 1:

\[\int{\ln x\,\text{d}x}=\int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}\]

Мы имеем право сделать это, потому что ни число, ни функция не изменятся. Теперь сравним это выражение с тем, что у нас написано в формуле. В роли ${f}"$ выступает 1, так и запишем:

$\begin{align}& {f}"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow {g}"=\frac{1}{x} \\\end{align}$

Все эти функции есть в таблицах. Теперь, когда мы расписали все элементы, которые входят в наше выражение, перепишем данный интеграл по формуле интегрирования по частям:

\[\begin{align}& \int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}=x\ln x-\int{x\cdot \frac{1}{x}\text{d}x}=x\ln x-\int{\text{d}x}= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\end{align}\]

Все, интеграл найден.

Задача 2. Вычислите:

$\int{x{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x=\int{x\cdot {{e}^{-x}}\,\text{d}x}}$

Если в роли производной, от которой нам нужно будет сейчас найти первообразную, мы возьмем $x$, то получим${{x}^{2}}$, и итоговое выражение будет содержать ${{x}^{2}}{{\text{e}}^{-x}}$.

Очевидно, задача не упрощается, поэтому мы поменяем местами множители под знаком интеграла:

$\int{x\cdot {{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=\int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}$

А вот теперь вводим обозначения:

${f}"={{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow f=\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}$

Дифференцируем ${{\text{e}}^{-x}}$:

${{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\cdot {{\left(-x \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}$

Другими словами, сначала добавляется «минус», а затем обе стороны интегрируются:

\[\begin{align}& {{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow {{\text{e}}^{-x}}=-{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }} \\& \int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-\int{{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}+C \\\end{align}\]

Теперь разберёмся с функцией$g$:

$g=x\Rightarrow {g}"=1$

Считаем интеграл:

$\begin{align}& \int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}=x\cdot \left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)-\int{\left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)\cdot 1\cdot \text{d}x}= \\& =-x{{\text{e}}^{-x}}+\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-x{{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{-x}}+C=-{{\text{e}}^{-x}}\left(x+1 \right)+C \\\end{align}$

Итак, мы выполнили второе интегрирование по частям.

Задача 3. Вычислите:

$\int{x\cos 3x\,\text{d}x}$

Что в этом случае брать за${f}"$ , а что за$g$? Если в роли производной будет выступать$x$ , то при интегрировании возникнет$\frac{{{x}^{2}}}{2}$, и никуда у нас первый множитель не пропадет — будет $\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \cos 3x$. Поэтому опять поменяем множители местами:

$\begin{align}& \int{x\cos 3x\,\text{d}x}=\int{\cos 3x\cdot x\,\text{d}x} \\& {f}"=\cos 3x\Rightarrow f=\int{\cos 3x\,\text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3} \\& g=x\Rightarrow {g}"=1 \\\end{align}$

Переписываем наше исходное выражение и раскладываем его по формуле интегрирования по частям:

\[\begin{align}& \int{\cos 3x\cdot x\ \text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3}\cdot x-\int{\frac{\sin 3x}{3}\text{d}x}= \\& =\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int{\sin 3x\,\text{d}x}=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}+C \\\end{align}\]

Все, третья задача решена.

В заключение еще раз взглянем на формулу интегрирования по частям . Как мы выбираем, какой из множителей будет производной, а какой будет настоящей функцией? Критерий здесь всего один: элемент, который мы будем дифференцировать, должен давать либо «красивое» выражение, которое потом сократится, либо при дифференцировании вообще исчезать. На этом урок закончен.

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Для начала изменим вид функции на f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 .

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 · ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , а также правило ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Следовательно, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

У нас получилось следующее:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

причем C = C 1 + 3 2 C 2

Ответ: ∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Добавим еще одну переменную z = 2 x - 9 . Теперь нам нужно выразить x через z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 · z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Ответ: ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида x m (a + b x n) p , где значения m , n , p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Добавляем еще одну переменную z = k · x + b . У нас получается следующее:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫ f (k · x + b) d x = ∫ f (z) · d z k = 1 k · ∫ f (z) d z = = 1 k · F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Если же мы примем C 1 k = C и вернемся к исходной переменной x , то у нас получится:

F (z) k + C 1 k = 1 k · F k x + b + C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f (g (x)) d (g (x)) . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z = g (x) , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F (g (x)) + C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

c t g x d x = cos s d x sin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x · d x = d (sin x) , значит:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x , т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Допустим, что sin x = z , в таком случае ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Согласно таблице первообразных, ∫ d z z = ln z + C . Теперь вернемся к исходной переменной ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Ответ: ∫ с t g x d x = ln sin x + C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f (x) d x = u (x) · v " x d x = u (x) · d (v (x)) , после чего применяется формула ∫ u (x) · d (v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x) . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .

Решение

Допустим, что u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , в таком случае:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Когда мы вычисляем значение функции v (x) , прибавлять постоянную произвольную С не следует.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогда 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Ответ: ∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u (x) . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8 , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$, которые имеют непрерывные производные . Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

$d(u v)=u d v+v d u$

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$

Полученное равенство перепишем в виде:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Эта формула называется формулой интегрирования по частям . С ее помощью интеграл $\int u d v$ можно свести к нахождению интеграла $\int v d u$, который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1) $\int P_{n}(x) e^{k x} d x$ ; $\int P_{n}(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_{n}(x) \cos (k x) d x$

Здесь $P_{n}(x)$ - многочлен степени $n$, $k$ - некоторая константа. В данном случае в качестве функции $u$ берется многочлен, а в качестве $d v$ - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл $\int(x+1) e^{2 x} d x$

Решение.

$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}+C=$

$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$

Ответ. $\int(x+1) e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x^{2} \cos x d x$

Решение.

$=x^{2} \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Ответ. $\int x^{2} \cos x d x=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_{n}(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_{n}(x) \arccos x d x$ ; $\int P_{n}(x) \ln x d x$

Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в качестве $u$ оставшиеся сомножители.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \ln x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \arcsin x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

$=x \arcsin x-\int \frac{-t d t}{\sqrt{t^{2}}}=x \arcsin x+\int \frac{t d t}{t}=x \arcsin x+\int d t=$

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

Ответ. $\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

3) $\int e^{k x+b} \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^{k x+b} \cos (c x+f) d x$

В данном случае в качество $u$ берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция . Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int e^{2 x+1} \sin x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$=-e^{2 x+1} \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac{e^{2 x+1}}{2} d x=$

В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой "формулы интегрирования по частям". Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных . В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части .

Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы : многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, - и разобраться с каждой частью по отдельности. Отсюда и название: "интегрирование по частям". Применение этого метода основано на следующей теореме:

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл $\int v \; du$. Тогда на этом же промежутке существует и интеграл $\int u \; dv$, при этом верно следущее равенство:

\begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation}

Формулу (1) и называют "формулой интегрирования по частям". Иногда, применяя вышеуказанную теорему, говорят о использовании "метода интегрирования по частям". Нам будет важна суть этого метода, которую и рассмотрим на примерах. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Именно эти случаи и станут темой данной страницы. Пусть $P_n(x)$ - многочлен n-й степени. Введём два правила:

Правило №1

Для интегралов вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ принимаем $dv=P_n(x)dx$.

Правило №2

Для интегралов вида $\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$ - некоторое положительное число), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n(x) sh x \;dx$ принимаем $u=P_n(x)$.

Сразу отмечу, что указанные выше записи не нужно воспринимать буквально. Например, в интегралах вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$ не обязательно будет стоять именно $\ln x$. Там могут быть расположены и $\ln 5x$, и $\ln (10x^2+14x-5)$. Т.е. запись $\ln x$ нужно воспринимать как своего рода обобщение.

Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в примерах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части .

Пример №1

Найти $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.

Под интегралом расположен многочлен $3x+4$ и тригонометрическая функция $\cos (2x-1)$. Это классический случай для применения формулы , поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула требует, чтобы интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ был представлен в форме $\int u \; dv$. Нам нужно выбрать выражения для $u$ и для $dv$. Можно в качестве $u$ принять $3x+4$, тогда $dv=\cos (2x-1)dx$. Можно взять $u=\cos (2x-1)$, тогда $dv=(3x+4)dx$. Чтобы сделать правильный выбор обратимся к . Заданный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ подпадает под вид $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (многочлен $P_n(x)$ в нашем интеграле имеет вид $3x+4$). Согласно нужно выбрать $u=P_n(x)$, т.е. в нашем случае $u=3x+4$. Так как $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.

Однако недостаточно просто выбрать $u$ и $dv$. Нам еще понадобятся значения $du$ и $v$. Так как $u=3x+4$, то:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$

Теперь разберёмся с функцией $v$. Так как $dv=\cos(2x-1)dx$, то согласно определению неопределённого интеграла имеем: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала :

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. $$

Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций $v$, которое описывает формула $\frac{\sin(2x-1)}{2}+C$. Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо $C$ подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить $C=0$, получив при этом $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$.

Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$. Подставляя всё это в правую часть формулы будем иметь:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. $$

Осталось, по сути, только найти $\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx$. Вынося константу (т.е. $\frac{3}{2}$) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала , получим:

$$ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Итак, $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$. В сокращенном виде процесс решения записывают так:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Неопределённый интеграл по частям найден, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$.

Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.

Почему мы приняли именно $u=3x+4$ и $dv=\cos(2x-1)dx$? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$ интеграл тоже был бы найден!

Нет, если принять $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$, то ничего хорошего с этого не выйдет, - интеграл не упростится. Судите сами: если $u=\cos(2x-1)$, то $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. Кроме того, так как $dv=(3x+4)dx$, то:

$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac{3x^2}{2}+4x+C.$$

Приняв $C=0$, получим $v=\frac{3x^2}{2}+4x$. Подставим теперь в формулу найденные значения $u$, $du$, $v$ и $dv$:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) - \int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) +2\cdot\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx $$

И к чему мы пришли? Мы пришли к интегралу $\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$, который явно сложнее нежели исходный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$. Это говорит о том, что выбор $u$ и $dv$ был сделан неудачно. После применения формулы интегрирования по частям полученный интеграл должен быть проще исходного. Находя неопределенный интеграл по частям мы должны упрощать его, а не усложнять, поэтому если после применения формулы (1) интеграл усложнился, то выбор $u$ и $dv$ осуществлён некорректно.

Пример №2

Найти $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$.

Под интегралом расположен многочлен (т.е. $3x^4+4x-1$) и $\ln 5x$. Этот случай подпадает под , поэтому возьмём интеграл по частям. Заданный интеграл имеет такую же структуру, как и интеграл $\int P_n(x) \ln x\; dx$. Вновь, как и в примере №1, нам нужно выбрать какую-то часть подынтегрального выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ в качестве $u$, а какую-то часть - в качестве $dv$. Согласно , нужно выбрать $dv=P_n(x)dx$, т.е. в нашем случае $dv=(3x^4+4x-1)dx$. Если из выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ "изьять" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то останется $\ln 5x$ - это и будет функция $u$. Итак, $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. Для применения формулы нам понадобятся также $du$ и $v$. Так как $u=\ln 5x$, то:

$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac{1}{5x}\cdot 5 dx=\frac{1}{x}dx. $$

Теперь найдём функцию $v$. Так как $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то:

$$ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C. $$

Из всего найденного бесконечного множества функций $\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C$ нам нужно выбрать одну. А проще всего это сделать приняв $C=0$, т.е. $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$. Для применения формулы всё готово. Подставим в правую часть указанной формулы значения $u=\ln 5x$, $du=\frac{1}{x}dx$, $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$ и $dv=(3x^4+4x-1)dx$ будем иметь:

$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\ln 5x; \; du=\frac{1}{x}dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x. \end{aligned} \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)-\int \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot \frac{1}{x}dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x -\int \left (\frac{3x^4}{5}+2x-1 \right)dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac{3x^5}{25}+x^2-x \right)+C=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C. $$

Ответ : $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C$.

Пример №3

Найти $\int \arccos x \; dx$.

Этот интеграл имеет структуру $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, подпадающую под . Понимаю, что сразу возникнет резонный вопрос: "а где в заданном интеграле $\int\arccos x \; dx$ спрятали многочлен $P_n(x)$? Там же нет никакого многочлена, только арккосинус и всё!". Однако на самом деле под интегралом расположен не только арккосинус. Я представлю интеграл $\int arccos x \; dx$ в таком виде: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. Согласитесь, что от домножения на единицу подынтегральное выражение не изменится. Вот эта единица и есть $P_n(x)$. Т.е. $dv=1\cdot dx=dx$. А в качестве $u$ (согласно ) принимаем $\arccos x$, т.е. $u=\arccos x$. Значения $du$ и $v$, кои учавствуют в формуле , найдём так же, как и в предыдущих примерах:

$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. $$

Как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$ получим $v=x$. Подставляя все найденные параметры в формулу , будем иметь следующее:

$$ \int \arccos x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\arccos x; \; du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \right)= \arccos x \cdot x+\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\int (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C. $$

Ответ : $\int\arccos x \; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$.

Пример №4

Найти $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$.

В этом примере формулу интегрирования по частям придётся применять два раза. Интеграл $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$ имеет структуру $\int P_n(x) a^x \;dx$. В нашем случае $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. Согласно имеем: $u=3x^2+x$. Соответственно, $dv=e^{7x}dx$.

$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\\ v=\int e^{7x}\;dx=\frac{1}{7}\cdot \int e^{7x}\;d(7x)=\frac{1}{7}\cdot e^{7x}+C=\frac{e^{7x}}{7}+C. $$

Опять-таки, как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$, имеем: $v=\frac{e^{7x}}{7}$.

$$ \int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac{e^{7x}}{7}-\int \frac{e^{7x}}{7}\cdot (6x+1)dx= \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx. $$

Мы пришли к интегралу $\int (6x+1) e^{7x}\;dx$, который вновь необходимо брать по частям. Приняв $u=6x+1$ и $dv=e^{7x}dx$ будем иметь:

$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx=\left | \begin{aligned} & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \left ((6x+1)\cdot\frac{e^{7x}}{7} - \int\frac{e^{7x}}{7}\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\int\ e^{7x}\;dx=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\frac{e^{7x}}{7}+C=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C. $$

Полученный ответ можно и упростить, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые:

$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C. $$

Ответ : $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C$.

Пример №5

Найти $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx$.

Здесь, как и в предыдущем примере, интегрирование по частям применяется дважды. Подробные пояснения были даны ранее, поэтому приведу только решение:

$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac{\cos(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)-\int\left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin{aligned} & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac{\sin(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\cdot \left(x\cdot\frac{\sin(3x+1)}{3}-\int\frac{\sin(3x+1)}{3}dx \right)=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot\int\sin(3x+1)dx=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3}\right)+C=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3}-\frac{5\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C. $$

Ответ : $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C$.

Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во