Utledning av formelen for høyden til en rettvinklet trekant. Høyre trekant

Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:

Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!

Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og

Vær oppmerksom! Se hva vi har:

Se hvor kult det er:

La oss nå gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?

Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?

Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:

Sammendrag

La oss kort skrive ned alt vi har lært.

Pythagoras teorem:

Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem

Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din

Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.

Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!

La oss nå koble sammen de merkede prikkene

Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.

Hva er arealet av den større firkanten?

Ikke sant, .

Hva med et mindre område?

Gjerne,.

Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres.

Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.

La oss sette alt sammen nå.

La oss transformere:

Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.

Rettvinklet trekant og trigonometri

For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:

Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen

Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:

Det er veldig behagelig!

Tegn på likhet av rette trekanter

I. På to sider

II. Ved ben og hypotenus

III. Ved hypotenus og spiss vinkel

IV. Langs benet og spiss vinkel

en)

b)

Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:

DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.

Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.

Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter?

Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider.

Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?

Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.

Tegn på likhet med rette trekanter

I. Langs en spiss vinkel

II. På to sider

III. Ved ben og hypotenus

Median i en rettvinklet trekant

Hvorfor er det slik?

I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?

Og hva følger av dette?

Så det viste seg at

1. - median:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.

Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet

Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS senter. Så hva skjedde?

Så la oss starte med dette "foruten ...".

La oss se på og.

Men like trekanter har alle like vinkler!

Det samme kan sies om og

La oss nå tegne det sammen:

Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?

Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.

La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:

For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":

Vel, nå, ved å bruke og kombinere denne kunnskapen med andre, vil du løse ethvert problem med en rettvinklet trekant!

Så la oss bruke likheten: .

Hva vil skje nå?

Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:

Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk.

La oss skrive dem ned igjen

Pythagoras teorem:

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.

Tegn på likhet i rette trekanter:

• på to sider:
• ved ben og hypotenuse: eller
• langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
• langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
• ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.

Tegn på likhet med rette trekanter:

• ett akutt hjørne: eller
• fra proporsjonaliteten til to ben:
• fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant

• Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
• Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
• Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
• Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .

Høyde på en rettvinklet trekant: eller.

I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen: .

Arealet av en rettvinklet trekant:

• via bena:

Eiendom: 1. I enhver rettvinklet trekant deler høyden tatt fra den rette vinkelen (av hypotenusen) den rette trekanten i tre like trekanter.

Eiendom: 2. Høyden på en rettvinklet trekant, senket til hypotenusen, er lik det geometriske gjennomsnittet av projeksjonene av bena på hypotenusen (eller det geometriske gjennomsnittet av de segmentene som høyden deler hypotenusen inn i).

Eiendom: 3. Benet er lik det geometriske gjennomsnittet av hypotenusen og projeksjonen av dette beinet på hypotenusen.

Eiendom: 4. Et ben motsatt en vinkel på 30 grader er lik halvparten av hypotenusen.

Formel 1.

Formel 2., hvor er hypotenusen; , ben.

Eiendom: 5. I en rettvinklet trekant er medianen trukket til hypotenusen lik halvparten av den og lik radiusen til den omskrevne sirkelen.

Egenskap: 6. Forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant:

44. Kosinussetning. Følger: forhold mellom diagonaler og sider av et parallellogram; bestemme typen trekant; formel for å beregne lengden på medianen til en trekant; Beregning av cosinus til en trekantvinkel.

Slutt på arbeidet -

Dette emnet tilhører seksjonen:

Klasse. Kollokvieprogram om grunnleggende planimetri

Egenskap til tilstøtende vinkler.. definisjon av to vinkler som er tilstøtende hvis de har en side til felles og de to andre danner en rett linje.

Hvis du trenger ytterligere materiale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

Høyre trekant- dette er en trekant der en av vinklene er rett, det vil si lik 90 grader.

• Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen (i figuren angitt som c eller AB)
• Siden ved siden av den rette vinkelen kalles beinet. Hver rettvinklet trekant har to ben (i figuren er de utpekt som en og b eller AC og BC)

Formler og egenskaper til en rettvinklet trekant

Formelbetegnelser:

(se bildet over)

a, b- ben i en rettvinklet trekant

c- hypotenusa

α, β - spisse vinkler i en trekant

S- torget

h- høyde senket fra toppunktet i en rett vinkel til hypotenusen

m a en fra motsatt hjørne ( α )

m b- median trukket til siden b fra motsatt hjørne ( β )

m c- median trukket til siden c fra motsatt hjørne ( γ )

I høyre trekant noen av bena er mindre enn hypotenusen(Formel 1 og 2). Denne egenskapen er en konsekvens Pythagoras teorem.

Cosinus for hvilken som helst av de spisse vinklene mindre enn én (Formel 3 og 4). Denne egenskapen følger av den forrige. Siden noen av bena er mindre enn hypotenusen, er forholdet mellom ben og hypotenus alltid mindre enn én.

Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena ( Pythagoras teorem). (Formel 5). Denne egenskapen brukes stadig når man løser problemer.

Arealet av en rettvinklet trekant lik halvparten av produktet av ben (Formel 6)

Summen av kvadratiske medianer til bena er lik fem kvadrater av medianen til hypotenusen og fem kvadrater av hypotenusen delt på fire (formel 7). I tillegg til ovennevnte er det 5 flere formler, så det anbefales at du også leser leksjonen " Median av en rettvinklet trekant", som beskriver egenskapene til medianen mer detaljert.

Høyde av en rettvinklet trekant er lik produktet av bena delt på hypotenusen (formel 8)

Firkantene på bena er omvendt proporsjonale med kvadratet av høyden senket til hypotenusen (formel 9). Denne identiteten er også en av konsekvensene av Pythagoras teorem.

Hypotenuslengde lik diameteren (to radier) til den omskrevne sirkelen (formel 10). Hypotenusen til en rettvinklet trekant er diameteren til den omskrevne sirkelen. Denne egenskapen brukes ofte i problemløsning.

Innskrevet radius V høyre trekant sirkel kan finnes som halvparten av uttrykket inkludert summen av bena til denne trekanten minus lengden på hypotenusen. Eller som produktet av ben delt på summen av alle sidene (omkretsen) av en gitt trekant. (Formel 11)
Sinus av vinkel forhold til det motsatte denne vinkelen ben til hypotenusa(per definisjon av sinus). (Formel 12). Denne egenskapen brukes når du løser problemer. Når du kjenner størrelsen på sidene, kan du finne vinkelen de danner.

Cosinus av vinkel A (α, alfa) i en rettvinklet trekant vil være lik holdning ved siden av denne vinkelen ben til hypotenusa(per definisjon av sinus). (Formel 13)