Beregning av arealet til en figur avgrenset av en parametrisk definert kurve. Beregning av volumer av rotasjonslegemer ved hjelp av et bestemt integral Rotasjon rundt aksen oy volum

Seksjoner: Matematikk

Leksjonstype: kombinert.

Hensikten med leksjonen: lære å beregne volumene til revolusjonslegemer ved hjelp av integraler.

Oppgaver:

• konsolidere evnen til å identifisere krumlinjede trapeser fra en rekke geometriske figurer og utvikle ferdighetene til å beregne arealene til krumlinjede trapeser;
• bli kjent med konseptet volumetrisk figur;
• lære å beregne volumene til rotasjonslegemer;
• fremme utviklingen av logisk tenkning, kompetent matematisk tale, nøyaktighet ved konstruksjon av tegninger;
• å dyrke interesse for faget, i å operere med matematiske begreper og bilder, å dyrke vilje, selvstendighet og utholdenhet for å oppnå det endelige resultatet.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Hilsen fra gruppa. Formidle leksjonsmålene til elevene.

Speilbilde. Rolig melodi.

– Jeg vil starte dagens leksjon med en lignelse. «Det var en gang en klok mann som visste alt. En mann ville bevise at vismannen ikke vet alt. Han holdt en sommerfugl i håndflatene og spurte: "Fortell meg, vismann, hvilken sommerfugl er i mine hender: død eller levende?" Og han tenker selv: "Hvis den levende sier: Jeg vil drepe henne; den døde vil si: Jeg vil slippe henne løs." Vismannen, etter å ha tenkt seg om, svarte: "Alt i dine hender". (Presentasjon.Lysbilde)

– La oss derfor jobbe fruktbart i dag, tilegne oss et nytt lager av kunnskap, og vi vil bruke de tilegnete ferdighetene og evnene i fremtidens liv og i praktiske aktiviteter. "Alt i dine hender".

II. Repetisjon av tidligere studert materiale.

– La oss huske hovedpunktene i det tidligere studerte materialet. For å gjøre dette, la oss fullføre oppgaven "Eliminér det ekstra ordet."(Lysbilde.)

(Eleven går til I.D. bruker et viskelær for å fjerne det ekstra ordet.)

- Ikke sant "Differensial". Prøv å navngi de resterende ordene med ett vanlig ord. (Integralregning.)

– La oss huske hovedstadiene og konseptene knyttet til integralregning..

"Matematisk gjeng".

Trening. Gjenopprett hullene. (Eleven kommer ut og skriver de nødvendige ordene med en penn.)

– Vi vil høre et sammendrag om anvendelse av integraler senere.

Arbeid i notatbøker.

– Newton-Leibniz-formelen ble utledet av den engelske fysikeren Isaac Newton (1643–1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646–1716). Og dette er ikke overraskende, for matematikk er språket som snakkes av naturen selv.

– La oss vurdere hvordan denne formelen brukes til å løse praktiske problemer.

Eksempel 1: Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: La oss bygge grafer over funksjoner på koordinatplanet . La oss velge området av figuren som må finnes.

III. Lære nytt stoff.

– Vær oppmerksom på skjermen. Hva vises på det første bildet? (Lysbilde) (Figuren viser en flat figur.)

– Hva vises på det andre bildet? Er denne figuren flat? (Lysbilde) (Figuren viser en tredimensjonal figur.)

– I verdensrommet, på jorden og i Hverdagen Vi møter ikke bare flate figurer, men også tredimensjonale, men hvordan kan vi beregne volumet til slike kropper? For eksempel volumet til en planet, komet, meteoritt, etc.

– Folk tenker på volum både når man bygger hus og når man heller vann fra ett kar til et annet. Regler og teknikker for å beregne volumer måtte dukke opp, hvor nøyaktige og rimelige de var er en annen sak.

Melding fra en student. (Tyurina Vera.)

Året 1612 var svært fruktbart for innbyggerne i den østerrikske byen Linz, der den kjente astronomen Johannes Kepler bodde, spesielt for druer. Folk forberedte vintønner og ønsket å vite hvordan de praktisk talt kunne bestemme volumene deres. (lysbilde 2)

– Dermed la Keplers betraktede verk grunnlaget for en hel strøm av forskning som kulminerte i siste fjerdedel av 1600-tallet. design i verkene til I. Newton og G.V. Leibniz av differensial- og integralregning. Fra den tid av tok matematikken til variabler en ledende plass i systemet for matematisk kunnskap.

– I dag skal du og jeg delta i slike praktiske aktiviteter, derfor,

Temaet for leksjonen vår: "Beregne volumene til rotasjonslegemer ved å bruke en bestemt integral." (Lysbilde)

– Du vil lære definisjonen av et rotasjonslegeme ved å fullføre følgende oppgave.

"Labyrint".

Labyrint (gresk ord) betyr å gå under jorden. En labyrint er et intrikat nettverk av stier, passasjer og sammenhengende rom.

Men definisjonen var "ødelagt", og etterlot hint i form av piler.

Trening. Finn en vei ut av den forvirrende situasjonen og skriv ned definisjonen.

Lysbilde. "Kartinstruksjon" Beregning av volum.

Med hjelp bestemt integral du kan beregne volumet til et bestemt legeme, spesielt et rotasjonslegeme.

Et revolusjonslegeme er et legeme som oppnås ved å rotere en buet trapes rundt bunnen (fig. 1, 2)

Volumet til et rotasjonslegeme beregnes ved å bruke en av formlene:

1. rundt OX-aksen.

2. , hvis rotasjonen av en buet trapes rundt aksen til op-ampen.

Hver elev får et instruksjonskort. Læreren legger vekt på hovedpoengene.

– Læreren forklarer løsningene til eksemplene på tavlen.

La oss vurdere et utdrag fra det berømte eventyret av A. S. Pushkin "Fortellingen om tsar Saltan, om hans strålende og mektige sønn prins Guidon Saltanovich og om den vakre prinsesse Svanen" (lysbilde 4):

…..
Og den berusede budbringeren brakte
Samme dag er rekkefølgen som følger:
«Kongen beordrer guttene sine,
Uten å kaste bort tid,
Og dronningen og avkommet
Kast i all hemmelighet ned i vannets avgrunn.»
Det er ingenting å gjøre: gutter,
Bekymring for suverenen
Og til den unge dronningen,
En folkemengde kom til soverommet hennes.
De erklærte kongens vilje -
Hun og sønnen hennes har en ond del,
Vi leser dekretet høyt,
Og dronningen i samme time
De la meg i en tønne med sønnen min,
De tjæret og kjørte bort
Og de slapp meg inn i okiyan -
Dette er hva tsar Saltan beordret.

Hva skal volumet på tønnen være slik at dronningen og sønnen hennes får plass i den?

– Vurder følgende oppgaver

1. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt ordinataksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Svar: 1163 cm 3 .

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere en parabolsk trapes rundt abscisseaksen y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsoliderer nytt materiale

Eksempel 2. Regn ut volumet av kroppen som dannes ved rotasjonen av kronbladet rundt x-aksen y = x 2, y 2 = x.

La oss bygge grafer av funksjonen. y = x 2, y 2 = x. Rute y2 = x konvertere til skjemaet y= .

Vi har V = V 1 – V 2 La oss beregne volumet til hver funksjon

– La oss nå se på tårnet for radiostasjonen i Moskva på Shabolovka, bygget i henhold til designet til den bemerkelsesverdige russiske ingeniøren, æresakademikeren V. G. Shukhov. Den består av deler - rotasjonshyperboloider. Dessuten er hver av dem laget av rette metallstenger som forbinder tilstøtende sirkler (fig. 8, 9).

- La oss vurdere problemet.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere hyperbelbuene rundt sin imaginære akse, som vist i fig. 8, hvor

kube enheter

Gruppeoppgaver. Elevene trekker lodd med oppgaver, tegner tegninger på whatman-papir, og en av grupperepresentantene forsvarer arbeidet.

1. gruppe.

Truffet! Truffet! Nok et slag!
Ballen flyr i mål - BALL!
Og dette er en vannmelonball
Grønn, rund, velsmakende.
Ta en bedre titt - for en ball!
Den er laget av ingenting annet enn sirkler.
Skjær vannmelonen i sirkler
Og smak på dem.

Finn volumet av kroppen oppnådd ved rotasjon rundt OX-aksen til funksjonen begrenset

Feil! Bokmerket er ikke definert.

– Fortell meg hvor vi møter denne figuren?

Hus. oppgave for 1 gruppe. SYLINDER (lysbilde) .

"Sylinder - hva er det?" – Jeg spurte faren min.
Faren lo: Topphatten er en lue.
For å ha en riktig idé,
En sylinder, la oss si, er en blikkboks.
Dampbåtrør - sylinder,
Røret på taket vårt også,

Alle rør ligner på en sylinder.
Og jeg ga et eksempel som dette -
Kaleidoskop Min kjærlighet,
Du kan ikke ta øynene fra ham,
Og det ser også ut som en sylinder.

- Trening. Lekser: tegn graf funksjonen og beregn volumet.

2. gruppe. KJEGLE (lysbilde).

Mamma sa: Og nå
Min historie vil handle om kjeglen.
Stjernekikker i høy hatt
Teller stjernene hele året.
KEGLE - stjernekikkerhatt.
Det er slik han er. Forstått? Det er det.
Mamma sto ved bordet,
Jeg helte olje på flasker.
-Hvor er trakten? Ingen trakt.
Se etter det. Ikke stå på sidelinjen.
- Mamma, jeg gir meg ikke.
Fortell oss mer om kjeglen.
– Trakten er i form av en vannkannekjegle.
Kom igjen, finn henne for meg raskt.
Jeg fant ikke trakten
Men mamma laget en pose,
Jeg surret pappen rundt fingeren
Og hun festet den behendig med en binders.
Oljen renner, mamma er glad,
Kjeglen kom akkurat ut.

Trening. Beregn volumet til et legeme oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen

Hus. oppgave for 2. gruppe. PYRAMIDE(lysbilde).

Jeg så bildet. I dette bildet
Det er en PYRAMIDE i sandørkenen.
Alt i pyramiden er ekstraordinært,
Det er en slags mystikk og mystikk i det.
Og Spasskaya-tårnet på Røde plass
Det er veldig kjent for både barn og voksne.
Hvis du ser på tårnet, ser det vanlig ut,
Hva er på toppen av det? Pyramide!

Trening. Lekser: Tegn graf funksjonen og beregn volumet til pyramiden

– Volumer forskjellige kropper vi beregnet basert på den grunnleggende formelen for volumene av kropper ved å bruke integralet.

Dette er nok en bekreftelse på at det bestemte integralet er et eller annet grunnlag for studiet av matematikk.

– Vel, la oss nå hvile litt.

Finn et par.

Matematisk domino-melodi spiller.

"Veien jeg selv var på jakt etter vil aldri bli glemt..."

Forskningsarbeid. Anvendelse av integralet i økonomi og teknologi.

Tester for sterke elever og matematisk fotball.

Matesimulator.

2. Settet av alle antiderivater av en gitt funksjon kalles

A) en ubestemt integral,

B) funksjon,

B) differensiering.

7. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere rundt abscisseaksen til en krumlinjet trapes avgrenset av linjer:

D/Z. Beregn volumene til revolusjonslegemer.

Speilbilde.

Mottak av refleksjon i formen syncwine(fem linjer).

1. linje – emnenavn (ett substantiv).

2. linje – beskrivelse av emnet med to ord, to adjektiver.

3. linje – beskrivelse av handlingen innenfor dette emnet med tre ord.

Den 4. linjen er en frase på fire ord som viser holdningen til emnet (en hel setning).

Den 5. linjen er et synonym som gjentar essensen av emnet.

1. Volum.
2. Definitiv integrert, integrerbar funksjon.
3. Vi bygger, vi roterer, vi regner.
4. Et legeme oppnådd ved å rotere en buet trapes (rundt basen).
5. Rotasjonslegeme (volumetrisk geometrisk legeme).

Konklusjon (lysbilde).

• En bestemt integral er et visst grunnlag for studiet av matematikk, som gir et uerstattelig bidrag til å løse praktiske problemer.
• Emnet "Integral" viser tydelig sammenhengen mellom matematikk og fysikk, biologi, økonomi og teknologi.
• Utvikling moderne vitenskap er utenkelig uten å bruke integralen. I denne forbindelse er det nødvendig å begynne å studere det innenfor rammen av videregående spesialisert utdanning!

Karaktersetting. (Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam - matematiker, poet, filosof. Han oppmuntrer oss til å være herrer over vår egen skjebne. La oss lytte til et utdrag fra hans arbeid:

Du vil si, dette livet er ett øyeblikk.
Sett pris på det, hent inspirasjon fra det.
Når du bruker det, vil det gå over.
Ikke glem: hun er din skapelse.

Da vi fant ut den geometriske betydningen av et bestemt integral, kom vi opp med en formel som kan brukes til å finne arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av x-aksen og rette linjer x = a, x = b, samt en kontinuerlig (ikke-negativ eller ikke-positiv) funksjon y = f(x). Noen ganger er det mer praktisk å spesifisere funksjonen som begrenser figuren i parametrisk form, dvs. uttrykk den funksjonelle avhengigheten gjennom parameteren t. I dette materialet vil vi vise hvordan du kan finne arealet til en figur hvis den er begrenset av en parametrisk definert kurve.

Etter å ha forklart teorien og utledet formelen, vil vi se på flere typiske eksempler for å finne arealet til slike figurer.

Grunnleggende formel for beregning

La oss anta at vi har en kurvelinjeformet trapes, hvis grenser er de rette linjene x = a, x = b, O x-aksen og en parametrisk definert kurve x = φ (t) y = ψ (t), og funksjonene x = φ (t) og y = ψ (t) er kontinuerlige på intervallet α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definisjon 1

For å beregne arealet til en trapes under slike forhold, må du bruke formelen S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.

Vi utledet det fra formelen for arealet til en krumlinjet trapes S (G) = ∫ a b f (x) d x ved å erstatte x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Definisjon 2

Tar man hensyn til den monotone reduksjonen av funksjonen x = φ (t) på intervallet β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Hvis funksjonen x = φ (t) ikke er en av de grunnleggende elementære, må vi huske de grunnleggende reglene for å øke og redusere en funksjon på et intervall for å bestemme om den vil være økende eller avtagende.

I dette avsnittet vil vi analysere flere problemer ved å bruke formelen utledet ovenfor.

Eksempel 1

Betingelse: finn arealet av figuren dannet av linjen gitt av ligninger på formen x = 2 cos t y = 3 sin t.

Løsning

Vi har parametrisk gitt linje. Grafisk kan den vises som en ellipse med to halvakser 2 og 3. Se illustrasjon:

La oss prøve å finne området 1 4 av den resulterende figuren, som opptar den første kvadranten. Området er i intervallet x ∈ a; b = 0; 2. Deretter multipliserer du den resulterende verdien med 4 og finn arealet av hele figuren.

Her er fremdriften i beregningene våre:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ = 2 cos β 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Med k lik 0 får vi intervallet β; α = 0; π 2. Funksjonen x = φ (t) = 2 cos t vil avta monotont på den (for flere detaljer, se artikkelen om de viktigste elementære funksjonene og deres egenskaper). Dette betyr at du kan bruke formelen for å beregne arealet og finne det bestemte integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Dette betyr at arealet av figuren gitt av den opprinnelige kurven vil være lik S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Svar: S(G) = 6π

La oss klargjøre at når du løste problemet ovenfor, var det mulig å ta ikke bare en fjerdedel av ellipsen, men også dens halvdel - den øvre eller nedre. Den ene halvdelen vil være plassert på intervallet x ∈ a; b = -2; 2. I dette tilfellet vil vi ha:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Dermed, med k lik 0, får vi β; α = 0; π. Funksjonen x = φ (t) = 2 cos t vil avta monotont på dette intervallet.

Etter dette beregner vi arealet av halve ellipsen:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Det er viktig å merke seg at du bare kan ta toppen eller bunnen, men ikke høyre eller venstre.

Du kan lage en parametrisk ligning for en gitt ellipse, hvis sentrum vil være plassert ved origo. Det vil se ut som x = a · cos t y = b · sin t . Fortsetter vi på samme måte som i eksemplet ovenfor, får vi en formel for å beregne arealet av ellipsen S e l og p med a = πab.

Du kan definere en sirkel hvis sentrum er plassert ved origo ved å bruke ligningen x = R · cos t y = R · sin t , der t er en parameter og R er radiusen til denne sirkelen. Hvis vi umiddelbart bruker formelen for arealet av en ellipse, vil vi få en formel som vi kan beregne arealet av en sirkel med radius R: Sk r y r a = πR 2 .

La oss se på ett problem til.

Eksempel 2

Betingelse: finn hva arealet av figuren vil være lik, som er begrenset av en parametrisk definert kurve x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Løsning

La oss umiddelbart klargjøre at denne kurven har formen av en langstrakt astroid. Typisk uttrykkes astroiden ved å bruke en ligning av formen x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

La oss nå se nærmere på hvordan man konstruerer en slik kurve. La oss bygge basert på individuelle punkter. Dette er den vanligste metoden og kan brukes til de fleste oppgaver. Mer komplekse eksempler krever differensialregning for å identifisere en parametrisk definert funksjon.

Vi har x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Disse funksjonene er definert for alle reelle verdier av t. For sin og cos er det kjent at de er periodiske og deres periode er 2 pi. Etter å ha beregnet verdiene til funksjonene x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t for noen t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, får vi poeng x 0; y 0 = (φ (t 0); ψ (t 0)).

La oss lage en tabell over de totale verdiene:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Etter dette, merk de nødvendige punktene på flyet og koble dem med en linje.

Nå må vi finne arealet til den delen av figuren som ligger i det første koordinatkvartalet. For det x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Hvis k er lik 0, får vi intervallet β; α = 0; π 2 , og funksjonen x = φ (t) = 3 cos 3 t vil avta monotont på den. Nå tar vi arealformelen og regner ut:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin = 2 t) d t ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Vi har fått bestemte integraler som kan beregnes ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen. Antiderivater for denne formelen kan bli funnet ved å bruke den tilbakevendende formelen J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , hvor J n (x) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - co t sin 3 t 4 - 3 co t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - co t sin 3 t 4 - 3 co t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 5 π 2 + π sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Vi beregnet arealet av en kvart figur. Det er lik 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Hvis vi multipliserer denne verdien med 4, får vi arealet av hele figuren - 9 π 4.

På nøyaktig samme måte kan vi bevise at arealet av astroiden, gitt av ligningene x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, kan finnes ved formelen S a stroid = 3 πa 2 8 , og arealet av figuren, som er begrenset av linjen x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , beregnes ved hjelp av formelen S = 3 πab 8 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Før vi går videre til formlene for arealet av en revolusjonsflate, vil vi gi en kort formulering av selve revolusjonsoverflaten. En revolusjonsflate, eller, hva er det samme, en overflate av et revolusjonslegeme er en romlig figur dannet ved rotasjon av et segment AB kurve rundt aksen Okse(bilde under).

La oss forestille oss en buet trapes avgrenset ovenfra av det nevnte segmentet av kurven. Et legeme dannet ved å rotere denne trapesen rundt samme akse Okse, og er et rotasjonslegeme. Og arealet av revolusjonsoverflaten eller overflaten til et revolusjonslegeme er dets ytre skall, uten å telle sirklene dannet ved rotasjon rundt aksen til rette linjer x = en Og x = b .

Legg merke til at et omdreiningslegeme og følgelig dets overflate også kan dannes ved å rotere figuren ikke rundt aksen Okse, og rundt aksen Oy.

Beregning av arealet til en omdreiningsflate spesifisert i rektangulære koordinater

La inn rektangulære koordinater på planet likningen y = f(x) en kurve er spesifisert, hvis rotasjon rundt koordinataksen danner et omdreiningslegeme.

Formelen for å beregne overflatearealet av revolusjon er som følger:

(1).

Eksempel 1. Finn overflatearealet til paraboloiden dannet ved rotasjon rundt dens akse Okse bue av en parabel som tilsvarer endringen x fra x= 0 til x = en .

Løsning. La oss uttrykke eksplisitt funksjonen som definerer buen til parabelen:

La oss finne den deriverte av denne funksjonen:

Før du bruker formelen for å finne arealet av en revolusjonsoverflate, la oss skrive den delen av integranden som representerer roten og erstatte den deriverte vi nettopp fant der:

Svar: Lengden på buen til kurven er

.

Eksempel 2. Finn overflatearealet som dannes ved rotasjon rundt en akse Okse astroid.

Løsning. Det er nok å beregne overflatearealet som er et resultat av rotasjonen av en gren av astroiden, lokalisert i første kvartal, og multiplisere den med 2. Fra astroid-ligningen vil vi eksplisitt uttrykke funksjonen som vi må erstatte med formel for å finne overflatearealet av rotasjon:

.

Vi integrerer fra 0 til en:

Beregning av arealet til en omdreiningsflate spesifisert parametrisk

La oss vurdere tilfellet når kurven som danner revolusjonsoverflaten er gitt av parametriske ligninger

Deretter beregnes rotasjonsoverflaten ved hjelp av formelen

(2).

Eksempel 3. Finn arealet av revolusjonsoverflaten dannet ved rotasjon rundt en akse Oy figur avgrenset av en cykloid og en rett linje y = en. Sykloiden er gitt ved parametriske ligninger

Løsning. La oss finne skjæringspunktene til sykloiden og den rette linjen. Sette likhetstegn mellom likningen til en cykloid og likningen til en rett linje y = en, la oss finne

Det følger av dette at grensene for integrering tilsvarer

Nå kan vi bruke formel (2). La oss finne derivater:

La oss skrive det radikale uttrykket i formelen, og erstatte de funnet derivatene:

La oss finne roten til dette uttrykket:

.

La oss erstatte det vi fant med formel (2):

.

La oss gjøre en erstatning:

Og til slutt finner vi

Trigonometriske formler ble brukt til å transformere uttrykk

Svar: Overflatearealet til revolusjonen er .

Beregning av arealet til en omdreiningsflate spesifisert i polare koordinater

La kurven, hvis rotasjon danner overflaten, angis i polare koordinater.

La oss vurdere eksempler på bruken av den resulterende formelen, som lar oss beregne arealene av figurer begrenset av parametrisk spesifiserte linjer.

Eksempel.

Beregn arealet til en figur avgrenset av en linje hvis parametriske ligninger har formen .

Løsning.

I vårt eksempel er den parametrisk definerte linjen en ellipse med halvakser på 2 og 3 enheter. La oss bygge den.

La oss finne området til kvartalet av ellipsen som ligger i første kvadrant. Dette området ligger i intervallet . Vi beregner arealet av hele figuren ved å multiplisere den resulterende verdien med fire.

Hva vi har:

Til k = 0 får vi intervallet . På dette intervallet funksjonen monotont avtagende (se avsnitt). Vi bruker formelen for å beregne arealet og finne det bestemte integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:

Dermed er arealet til den opprinnelige figuren lik .

Kommentar.

Et logisk spørsmål dukker opp: hvorfor tok vi en fjerdedel av ellipsen og ikke halvparten? Det var mulig å se den øvre (eller nedre) halvdelen av figuren. Hun er i intervallet . For denne saken ville vi få

Det vil si at for k = 0 får vi intervallet . På dette intervallet funksjonen monotont avtagende.

Da blir området til halve ellipsen funnet som

Men du vil ikke kunne ta høyre eller venstre halvdel av ellipsen.

Den parametriske representasjonen av en ellipse sentrert ved opprinnelsen og halvaksene a og b har formen . Hvis vi handler på samme måte som i det analyserte eksemplet, får vi formel for å beregne arealet av en ellipse .

En sirkel med senter ved opprinnelsen til radius R spesifiseres gjennom parameteren t av et ligningssystem. Hvis du bruker den resulterende formelen for området til en ellipse, kan du umiddelbart skrive formel for å finne arealet av en sirkel radius R: .

La oss løse et eksempel til.

Eksempel.

Beregn arealet til en figur avgrenset av en kurve spesifisert parametrisk.

Løsning.

Ser vi litt fremover, er kurven en "forlenget" astroid. (Astroid har følgende parametriske representasjon).

La oss dvele i detalj ved konstruksjonen av kurven som avgrenser figuren. Vi skal bygge det punkt for punkt. Vanligvis er en slik konstruksjon tilstrekkelig til å løse de fleste problemer. I mer komplekse tilfeller vil det utvilsomt være nødvendig med en detaljert studie av en parametrisk definert funksjon ved bruk av differensialregning.

I vårt eksempel.

Disse funksjonene er definert for alle reelle verdier av parameteren t, og fra egenskapene til sinus og cosinus vet vi at de er periodiske med en periode på to pi. Dermed beregner funksjonsverdiene for noen (For eksempel ), får vi et sett med punkter .

For enkelhets skyld, la oss sette verdiene i tabellen:

Vi markerer punktene på flyet og kobler dem KONSEKVENT med en linje.

La oss beregne arealet av regionen som ligger i den første koordinatkvadranten. For dette området .

På k=0 får vi intervallet , hvor funksjonen avtar monotont. Vi bruker formelen for å finne området:

Vi beregner de resulterende bestemte integralene ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, og finner antiderivatene for Newton-Leibniz-formelen ved å bruke en tilbakevendende formel av formen , Hvor .

Derfor er arealet av kvartalstallet , da er arealet av hele figuren lik .

På samme måte kan det vises det astroidområdet ligger som , og arealet av figuren avgrenset av linjen beregnes av formelen.