Sannsynlighet for at en tilfeldig variabel faller inn i et intervall online. Normalfordelingsloven

La oss finne distribusjonsfunksjonen tilfeldig variabel X, underordnet normal lov distribusjoner:

La oss gjøre en endring i integralen og bringe den til skjemaet:

.

Integral er ikke uttrykt gjennom elementære funksjoner, men det kan beregnes gjennom en spesiell funksjonsuttrykk bestemt integral fra uttrykket eller . La oss uttrykke funksjonen gjennom Laplace-funksjonen Ф(х):

.

Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X faller inn i området (α, β) uttrykkes med formelen:

.

Ved å bruke den siste formelen kan du estimere sannsynligheten for avvik for en normal tilfeldig variabel fra dens matematisk forventning til en forhåndsbestemt vilkårlig liten positiv verdi ε:

.

La , deretter og . På t=3 får vi , dvs. hendelsen at avviket til en normalfordelt stokastisk variabel fra den matematiske forventningen vil være mindre er praktisk talt sikkert.

Dette er tre sigma regel: hvis en tilfeldig variabel er fordelt normalt, overstiger ikke den absolutte verdien av avviket til dens verdier fra den matematiske forventningen tre ganger standardavviket.

Oppgave. La diameteren på delen produsert av verkstedet være en tilfeldig variabel fordelt normalt, m = 4,5 cm, cm Finn sannsynligheten for at diameteren til en del tatt tilfeldig avviker fra dens matematiske forventning med ikke mer enn 1 mm.

Løsning. Dette problemet er preget av følgende verdier av parameterne som bestemmer ønsket sannsynlighet: , , F(0,2)=0,0793,

Kontrollspørsmål

1. Hvilken sannsynlighetsfordeling kalles uniform?

2. Hva er formen til fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel jevnt fordelt på intervallet [ EN; b]?

3. Hvordan beregne sannsynligheten for at verdiene til en jevnt fordelt tilfeldig variabel faller innenfor et gitt intervall?

4. Hvordan bestemmes eksponentialfordelingen til en tilfeldig variabel?

5. Hvilken form har fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel fordelt etter eksponentialloven?

6. Hvilken sannsynlighetsfordeling kalles normal?

7. Hvilke egenskaper har normalfordelingstettheten? Hvordan påvirker parametrene til normalfordelingen utseendet til normalfordelingstetthetsgrafen?

8. Hvordan beregne sannsynligheten for at verdiene til en normalfordelt tilfeldig variabel faller innenfor et gitt intervall?

9. Hvordan beregne sannsynligheten for avvik av verdiene til en normalfordelt tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning?

10. Formulere «tre sigma»-regelen?

11. Hva er den matematiske forventningen, spredningen og standardavviket til en tilfeldig variabel fordelt i henhold til en enhetlig lov på segmentet [ EN; b]?

12. Hva er den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en tilfeldig variabel fordelt etter en eksponentiell lov med parameter λ?

13. Hva er den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en tilfeldig variabel fordelt i henhold til en normallov med parametere m Og ?

Testoppgaver

1. Tilfeldig variabel X fordelt jevnt på intervallet [−3, 5]. Finn fordelingstettheten og fordelingsfunksjonen X. Konstruer grafer for begge funksjonene. Finn sannsynlighetene og . Beregn forventet verdi, varians og standardavvik X.

2. Busser på rute nr. 21 kjører jevnlig med 10 minutters mellomrom. En passasjer går av ved et stopp til et tilfeldig tidspunkt. Tenk på en tilfeldig variabel X− tid en passasjer venter på en buss (i minutter). Finn fordelingstettheten og fordelingsfunksjonen X. Konstruer grafer for begge funksjonene. Finn sannsynligheten for at en passasjer ikke må vente mer enn fem minutter på en buss. Finn gjennomsnittlig bussventetid og variansen til bussventetiden.

3. Det er fastslått at reparasjonstiden for en videospiller (i dager) er en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til den eksponentielle loven. Gjennomsnittlig reparasjonstid for en videospiller er 10 dager. Finn fordelingstettheten og fordelingsfunksjonen X. Konstruer grafer for begge funksjonene. Finn sannsynligheten for at det vil ta minst 11 dager å reparere videospilleren.

4. Tegn tetthetsgrafer og fordelingsfunksjoner for en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til normalloven med parametere m= = − 2 og = 0,2.

SKJEMAER FOR SPESIFIKASJON AV DISTRIBUSJONSLOVEN FOR KONTINUERLIG TILFELDIGE VARIABLER

FORMER FOR Å SETTE LOVEN FOR DISTRIBUSJON AV DISKRETE TILFELDIGE VARIABLER

1). Fordelingstabell (rad) - den enkleste formen for å spesifisere loven for distribusjon av diskrete tilfeldige variabler.

Siden tabellen viser alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen.

2). Fordelingspolygon . På grafisk representasjon distribusjonsserier i et rektangulært koordinatsystem, alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen er plottet langs abscisseaksen, og sannsynlighetene som tilsvarer dem er plottet langs ordinataksen. Deretter tegnes punktene og forbindes med rette segmenter. Den resulterende figuren - en distribusjonspolygon - er også en form for å spesifisere distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel.

3). Distribusjonsfunksjon - sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X vil ha en verdi mindre enn en gitt x, dvs.

.

Fra et geometrisk synspunkt kan det betraktes som sannsynligheten for å treffe et tilfeldig punkt X til en del av tallaksen som er plassert til venstre for et fast punkt X.

2) ; ;

Oppgave 2.1. Tilfeldig verdi X- antall treff på skiven med 3 skudd (se oppgave 1.5). Konstruer en distribusjonsserie, en distribusjonspolygon, beregn verdiene til fordelingsfunksjonen og konstruer grafen.

Løsning:

1) Distribusjonsrekke av en tilfeldig variabel X presentert i tabellen

På	,
På	,
På	,
På
på	.

Plotter verdiene på abscisseaksen X, og langs ordinataksen - verdiene og ved å velge en viss skala får vi en graf av fordelingsfunksjonen (fig. 2.2). Fordelingsfunksjonen til en diskret tilfeldig variabel har hopp (diskontinuiteter) på de punktene der den tilfeldige variabelen X tar spesifikke verdier spesifisert i distribusjonstabellen. Summen av alle hopp i fordelingsfunksjonen er lik ett.

Ris. 2.2 - Fordelingsfunksjon av en diskret verdi

1). Distribusjonsfunksjon .

For en kontinuerlig tilfeldig variabel har grafen til fordelingsfunksjonen (fig. 2.3) formen av en jevn kurve.

Egenskaper for distribusjonsfunksjonen:

c) hvis.

Ris. 2.3 - Fordelingsfunksjon kontinuerlig verdi

2). Distribusjonstetthet definert som avledet av fordelingsfunksjonen, dvs.

.

Kurve som viser distribusjonstettheten til en tilfeldig variabel, kalt distribusjonskurve (Fig. 2.4).

Tetthetsegenskaper:

og de. tetthet er en ikke-negativ funksjon;

b), dvs. område begrenset distribusjonskurve og x-aksen er alltid lik 1.

Hvis alle mulige verdier av en tilfeldig variabel X spenner fra en før b, så vil den andre egenskapen til tetthet ha formen:

Ris. 2.4 - Fordelingskurve

I praksis er det ofte nødvendig å vite sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X vil ta en verdi innenfor et område, for eksempel fra a til b. Den nødvendige sannsynligheten for diskret tilfeldig variabel X bestemt av formelen

siden sannsynligheten for en individuell verdi av en kontinuerlig tilfeldig variabel er null: .

Sannsynlighet for å treffe en kontinuerlig tilfeldig variabel X til intervallet (a,b) bestemmes også av uttrykket:

Oppgave 2.3. Tilfeldig verdi X gitt av distribusjonsfunksjonen

Finn tettheten, samt sannsynligheten for at resultatet av testen er en tilfeldig variabel X vil ta verdien i intervallet.

Løsning:

2. Sannsynlighet for å treffe en tilfeldig variabel X i intervallet bestemmes av formelen. Tar og , finner vi

I mange problemer knyttet til normalfordelte tilfeldige variabler er det nødvendig å bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel , underlagt en normallov med parametere, faller på segmentet fra til . For å beregne denne sannsynligheten bruker vi den generelle formelen

hvor er fordelingsfunksjonen til mengden .

La oss finne fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel fordelt etter en normallov med parametere. Fordelingstettheten til verdien er lik:

. (6.3.2)

Herfra finner vi fordelingsfunksjonen

. (6.3.3)

La oss gjøre en endring av variabel i integralet (6.3.3)

og la oss sette det i denne formen:

(6.3.4)

Integralet (6.3.4) uttrykkes ikke gjennom elementære funksjoner, men det kan beregnes gjennom en spesiell funksjon som uttrykker en viss integral av uttrykket eller (det såkalte sannsynlighetsintegralet), som det er satt sammen tabeller for. Det er mange varianter av slike funksjoner, for eksempel:

;

etc. Hvilken av disse funksjonene som skal brukes er en smakssak. Vi vil velge en slik funksjon

. (6.3.5)

Det er lett å se at denne funksjonen ikke er noe annet enn en fordelingsfunksjon for en normalfordelt tilfeldig variabel med parametere.

La oss bli enige om å kalle funksjonen en normalfordelingsfunksjon. Vedlegget (tabell 1) inneholder tabeller over funksjonsverdier.

La oss uttrykke fordelingsfunksjonen (6.3.3) til mengden med parametere og gjennom normalfordelingsfunksjonen. Åpenbart,

. (6.3.6)

La oss nå finne sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller på seksjonen fra til . I henhold til formel (6.3.1)

Dermed uttrykte vi sannsynligheten for at en tilfeldig variabel fordelt i henhold til en normallov med eventuelle parametere kommer inn i en seksjon gjennom standardfordelingsfunksjonen som tilsvarer den enkleste normalloven med parametere 0.1. Legg merke til at argumentene til funksjonen i formel (6.3.7) har en veldig enkel betydning: det er avstanden fra høyre ende av seksjonen til spredningssenteret, uttrykt i standardavvik; - samme avstand for venstre ende av seksjonen, og denne avstanden anses som positiv hvis enden er plassert til høyre for spredningssenteret, og negativ hvis til venstre.

Som enhver distribusjonsfunksjon har funksjonen følgende egenskaper:

3. - ikke-minkende funksjon.

I tillegg, fra symmetrien til normalfordelingen med parametere i forhold til opprinnelsen, følger det at

Ved å bruke denne egenskapen ville det strengt tatt vært mulig å begrense funksjonstabellene til kun positive argumentverdier, men for å unngå en unødvendig operasjon (subtraksjon fra en), gir vedleggstabell 1 verdier for både positive og negative argumenter.

I praksis møter vi ofte problemet med å beregne sannsynligheten for at en normalfordelt stokastisk variabel faller inn i et område som er symmetrisk med hensyn til spredningssenteret. La oss vurdere en slik lengdedel (fig. 6.3.1). La oss beregne sannsynligheten for å treffe dette området ved å bruke formel (6.3.7):

Ved å ta hensyn til egenskapen (6.3.8) til funksjonen og gi venstre side av formel (6.3.9) en mer kompakt form, får vi en formel for sannsynligheten for at en tilfeldig variabel fordelt i henhold til normalloven faller inn i en område symmetrisk med hensyn til spredningssenteret:

. (6.3.10)

La oss løse følgende problem. La oss plotte etterfølgende lengdesegmenter fra spredningssenteret (fig. 6.3.2) og beregne sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i hver av dem. Siden normalkurven er symmetrisk, er det nok å plotte slike segmenter bare i én retning.

Ved å bruke formel (6.3.7) finner vi:

(6.3.11)

Som man kan se fra disse dataene, er sannsynlighetene for å treffe hvert av de følgende segmentene (femte, sjette, etc.) med en nøyaktighet på 0,001 lik null.

Ved å avrunde sannsynlighetene for å komme inn i segmenter til 0,01 (til 1%), får vi tre tall som er enkle å huske:

0,34; 0,14; 0,02.

Summen av disse tre verdiene er 0,5. Dette betyr at for en normalfordelt stokastisk variabel passer all spredning (med en nøyaktighet på brøkdeler av en prosent) innenfor området .

Dette gjør det mulig, med kjennskap til standardavviket og den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel, å grovt angi rekkevidden av dens praktisk mulige verdier. Denne metoden for å estimere rekkevidden av mulige verdier for en tilfeldig variabel er kjent i matematisk statistikk kalt "tre sigma-regelen". Regelen om tre sigma innebærer også en omtrentlig metode for å bestemme standardavviket til en tilfeldig variabel: ta det maksimale praktisk mulige avviket fra gjennomsnittet og del det på tre. Selvfølgelig kan denne grove teknikken bare anbefales hvis det ikke finnes andre, mer nøyaktige metoder for å bestemme.

Eksempel 1. En tilfeldig variabel fordelt etter en normallov representerer en feil ved måling av en viss avstand. Ved måling tillates en systematisk feil i retning av overestimering med 1,2 (m); Standardavviket for målefeilen er 0,8 (m). Finn sannsynligheten for at avviket til den målte verdien fra den sanne verdien ikke vil overstige 1,6 (m) i absolutt verdi.

Løsning. Målefeilen er en tilfeldig variabel underlagt normalloven med parametere og . Vi må finne sannsynligheten for at denne mengden faller på seksjonen fra til . I henhold til formel (6.3.7) har vi:

Ved å bruke funksjonstabellene (vedlegg, tabell 1), finner vi:

; ,

Eksempel 2. Finn samme sannsynlighet som i forrige eksempel, men forutsatt at det ikke er noen systematisk feil.

Løsning. Ved å bruke formel (6.3.10), forutsatt , finner vi:

.

Eksempel 3. Et mål som ser ut som en stripe (motorvei), hvis bredde er 20 m, skytes i retning vinkelrett på motorveien. Sikting utføres langs senterlinjen på motorveien. Standardavviket i skyteretningen er lik m. Det er en systematisk feil i skyteretningen: underskuddet er 3 m. Finn sannsynligheten for å treffe en motorvei med ett skudd.

Side 1
Test 7
Normalfordelingsloven. Sannsynligheten for at en normalfordelt tilfeldig variabel (NDSV) faller inn i et gitt intervall.
Grunnleggende informasjon fra teorien.

Sannsynlighetsfordelingen til en tilfeldig variabel (RV) kalles normal. X, hvis distribusjonstettheten bestemmes av ligningen:

Hvor en– matematisk forventning til SV X; - standardavvik.

Rute
symmetrisk om en vertikal linje
. Jo flere, jo større rekkevidde av kurven
. Funksjonsverdier
finnes i tabellene.

Sannsynligheten for at CB X tar en verdi som tilhører intervallet
:
, Hvor
- Laplace funksjon. Funksjon
bestemt fra tabeller.

På =0 kurve
symmetrisk i forhold til op-amp-aksen er standard (eller standardisert) normalfordeling.

Siden til NRSV er symmetrisk med hensyn til den matematiske forventningen, er det mulig å konstruere den såkalte spredningsskalaen:

Det kan sees at med en sannsynlighet på 0,9973 kan det angis at NRSV vil ta verdier innenfor intervallet
. Denne uttalelsen kalles "Three Sigma Rule" i sannsynlighetsteori.

1. Sammenlign verdiene for to NRSV-kurver.

1)
2)

2. Kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert av s
. Da er den matematiske forventningen til denne normalfordelte tilfeldige variabelen lik:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. NRSV X er gitt av distribusjonstettheten:
.

Forventet verdi og spredningen av denne SV er lik:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. Tre sigma-regelen betyr at:

1) Sannsynlighet for at SV treffer intervallet
, det vil si nær enhet;

2) NRSV kan ikke gå utover
;

3) NRSV-tetthetsgrafen er symmetrisk med hensyn til den matematiske forventningen

5. SV X er normalfordelt med en matematisk forventning lik 5 og standardavvik lik 2 enheter. Uttrykket for distribusjonstettheten til denne NRSV har formen:

1)

2)

3)

6. Den matematiske forventningen og standardavviket til NRSV X er lik 10 og 2. Sannsynligheten for at SV X som et resultat av testen vil ta verdien i intervallet er:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. Delen anses som egnet dersom avviket X av den faktiske størrelsen fra størrelsen på tegningen i absolutt verdi er mindre enn 0,7 mm. Avvik X fra størrelsen på tegningen er NRSV med verdien =0,4 mm. 100 deler produsert; Av disse vil følgende være passende:

1) 92 2) 64 3) 71

8. Den matematiske forventningen og standardavviket til NRSV X er lik 10 og 2. Sannsynligheten for at SV X som et resultat av testen vil ta verdien i intervallet er:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. Feilen X ved å produsere en del er NRSV med verdien en=10 og =0,1. Deretter, med en sannsynlighet på 0,9973, vil intervallet av delstørrelser som er symmetrisk mht. en=10 vil være:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. Vei alle produkter uten systematiske feil. Tilfeldige feil ved X-målinger er underlagt normalloven med verdien =10 g. Sannsynligheten for at veiing vil bli utført med en feil som ikke overstiger 15 g i absolutt verdi er:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. NRSV X har en matematisk forventning en=10 og standardavvik =5. Med en sannsynlighet på 0,9973 vil verdien av X falle inn i intervallet:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. NRSV X har en matematisk forventning en=10. Det er kjent at sannsynligheten for at X faller inn i intervallet er 0,3. Da vil sannsynligheten for at CB X faller inn i intervallet være lik:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. NRSV X har en matematisk forventning en=25. Sannsynligheten for at X faller inn i intervallet er 0,2. Da vil sannsynligheten for at X faller inn i intervallet være lik:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. Romtemperaturen opprettholdes av en varmeovn og har normalfordeling med
Og
. Sannsynligheten for at temperaturen i dette rommet vil være mellom
før
er:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. For en standardisert normalfordeling er verdien:

1) 1 2) 2 3)

16. En empirisk normalfordeling dannes når:

1) det er et stort antall uavhengige tilfeldige årsaker som har omtrent samme statistiske vekt;

2) det er et stort antall tilfeldige variabler som er sterkt avhengige av hverandre;

3) prøvestørrelsen er liten.

1	Betydning bestemmer området for fordelingstetthetskurven i forhold til den matematiske forventningen. For kurve 2 er området større, altså	(2)
2	I samsvar med ligningen for tettheten til NRSV, den matematiske forventningen en=4.	(3)
3	I samsvar med ligningen for tettheten til NRSV har vi: =1; =5, altså .	(1)
4	Svar (1) er riktig.	(1)
5	Uttrykket for NRSV-fordelingstettheten har formen: . Etter betingelse: =2; en =5, det vil si at svar (1) er riktig.	(1)
6	Etter tilstand =10; =2. Intervallet er. Deretter: ; . I henhold til Laplace-funksjonstabellene: ; . Deretter ønsket sannsynlighet:	(2)
7	Etter tilstand: =0; ;=0,4. Dette betyr at intervallet vil være [-0,7; 0,7]. ; . ; Det vil si at av 100 deler er det mest sannsynlig at 92 deler passer.	(1)

8	Etter tilstand: =10 og =2. Intervallet er. Deretter: ; . I henhold til Laplace-funksjonstabellene: ; ;	(1)
9	I et intervall symmetrisk med hensyn til den matematiske forventningen en =10 med sannsynlighet 0,9973, alle deler med dimensjoner lik , det er ; . Dermed:	(1)
10	Etter tilstand ,det er =0, og intervallet vil være [-15;15] Deretter: ; .

Varians av en normal tilfeldig variabel.

Spredning tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til kvadratet til den tilsvarende sentrerte tilfeldige variabelen.

Det karakteriserer graden av spredning av verdiene til en tilfeldig variabel i forhold til dens matematiske forventning, dvs. bredden på verdiområdet.

Beregningsformler:

Variansen kan beregnes gjennom det andre første øyeblikket:

(6.10)

Spredningen av en tilfeldig variabel karakteriserer graden av spredning (spredning) av verdiene til en tilfeldig variabel i forhold til dens matematiske forventning. Variansen til SV (både diskret og kontinuerlig) er en ikke-tilfeldig (konstant) størrelse.

Variansen til den tilfeldige variabelen har dimensjonen til kvadratet til den tilfeldige variabelen. For klarhetens skyld brukes spredningskarakteristikkene med en verdi hvis dimensjon sammenfaller med SV-dimensjonen.

Standardavvik (RMS) NE X kalt karakteristikk

. (6.11)

RMSD måles i de samme fysiske enhetene som SV og karakteriserer bredden av området av SV-verdier.

Dispersjonsegenskaper

Spredning konstant verdi Med lik null.

Bevis: per definisjon av varians

Når lagt til en tilfeldig variabel X ikke-tilfeldig verdi Med dens spredning endres ikke.

D[X+c] = D[X].

Bevis: per definisjon av varians

(6.12)

3. Når du multipliserer en tilfeldig variabel X med et ikke-tilfeldig beløp Med variansen multipliseres med fra 2.

Bevis: per definisjon av varians

. (6.13)

For standardavviket har denne egenskapen formen:

(6.14)

Faktisk, for ½С½>1 har verdien cX mulige verdier (i absolutt verdi) som er større enn verdien X. Følgelig er disse verdiene spredt rundt den matematiske forventningen M[cX] større enn mulige verdier X rundt M[X], dvs. . Hvis 0<½с½<1, то .

Regel 3s. For de fleste verdiene av en tilfeldig variabel overstiger ikke den absolutte verdien av dens avvik fra den matematiske forventningen trippel standardavviket, eller med andre ord, nesten alle verdiene til SV er i intervallet:

[ m - 3s; m + 3 s; ].(6.15)

Sannsynlighet for å falle inn i et gitt intervall av en normal tilfeldig variabel

Som det allerede er fastslått, er sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører intervallet lik et visst integral av distribusjonstettheten, tatt innenfor passende grenser:
.
For en normalfordelt tilfeldig variabel får vi henholdsvis:
.
La oss transformere det siste uttrykket ved å introdusere en ny variabel . Derfor transformeres eksponenten til uttrykket under integralet til:
.
For å erstatte en variabel i et bestemt integral, er det fortsatt nødvendig å erstatte differensialen og grensene for integrasjon, etter å ha uttrykt variabelen fra erstatningsformelen:
;
;
– nedre grense for integrering;
– øvre grense for integrering;
(for å finne grensene for integrasjon over den nye variabelen, ble grensene for integrasjon over den gamle variabelen erstattet med variabelerstatningsformelen).
La oss erstatte alt i den siste formelen for å finne sannsynligheten:


Hvor – Laplace-funksjon.
Konklusjon: sannsynligheten for at en normalfordelt tilfeldig variabel tar en verdi som tilhører intervallet er lik:
,
hvor er den matematiske forventningen og er standardavviket til en gitt tilfeldig variabel.

23. Chi-square, Student og Fisher distribusjoner

Ved bruk av normalfordelingen defineres tre fordelinger som nå ofte brukes i statistisk databehandling. Disse distribusjonene vises mange ganger i senere deler av boken.

Pearson-fordeling (chi - kvadrat) – fordeling av en tilfeldig variabel

hvor er de tilfeldige variablene X 1, X 2, …, X n uavhengig og har samme fordeling N(0,1). I dette tilfellet vil antall termer, dvs. n, kalles "antall frihetsgrader" for kjikvadratfordelingen.

Kikvadratfordelingen brukes ved estimering av varians (ved bruk av et konfidensintervall), ved testing av hypoteser om samsvar, homogenitet, uavhengighet, primært for kvalitative (kategoriserte) variabler som har et begrenset antall verdier, og i mange andre oppgaver med statistiske data analyse.

Fordeling t Elevens t er fordelingen av en tilfeldig variabel

hvor er de tilfeldige variablene U Og X uavhengig, U har en standard normalfordeling N(0,1), og X– chi-fordeling – kvadrat c n grader av frihet. Hvori n kalles "antall frihetsgrader" for Student-fordelingen.

Studentfordelingen ble innført i 1908 av den engelske statistikeren W. Gosset, som jobbet på en ølfabrikk. Probabilistiske og statistiske metoder ble brukt for å ta økonomiske og tekniske beslutninger på denne fabrikken, så ledelsen forbød V. Gosset å publisere vitenskapelige artikler under sitt eget navn. På denne måten ble forretningshemmeligheter og «know-how» i form av sannsynlighets- og statistiske metoder utviklet av V. Gosset beskyttet. Han hadde imidlertid muligheten til å publisere under pseudonymet "Student". Historien til Gosset-Student viser at selv for hundre år siden var ledere i Storbritannia klar over den større økonomiske effektiviteten til probabilistisk-statistiske metoder.

Foreløpig er Student-fordelingen en av de mest kjente distribusjonene som brukes i analyse av virkelige data. Den brukes til å estimere den matematiske forventningen, prognoseverdien og andre egenskaper ved bruk av konfidensintervaller, testing av hypoteser om verdiene til matematiske forventninger, regresjonskoeffisienter, hypoteser om prøvehomogenitet, etc. .