Hvordan grafer for ulike funksjoner ser ut. Funksjoner og deres grafer

Når du virkelig forstår hva en funksjon er (det kan hende du må lese leksjonen mer enn én gang), vil du være tryggere på å løse problemer med funksjoner.

I denne leksjonen skal vi se på hvordan du løser grunnleggende typer funksjonsproblemer og grafer over funksjoner.

Hvordan få verdien av en funksjon

La oss vurdere oppgaven. Funksjonen er gitt av formelen "y = 2x − 1"

Beregn "y" ved "x = 15"
Finn verdien av "x" der verdien av "y" er lik "−19".

For å beregne "y" for "x = 15", er det nok å erstatte den nødvendige numeriske verdien i funksjonen i stedet for "x".

Løsningsrekorden ser slik ut:

y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29

For å finne "x" fra en kjent "y", må du erstatte en numerisk verdi i stedet for "y" i funksjonsformelen.

Det vil si at nå tvert imot, for å søke etter "x" erstatter vi tallet "−19" i stedet for "y" i funksjonen "y = 2x − 1".

−19 = 2x − 1

Vi har fått en lineær likning med den ukjente "x", som løses i henhold til reglene for løsning av lineære likninger.

Huske!

Ikke glem bæreregelen i ligninger.

Når den overføres fra venstre side av ligningen til høyre (og omvendt), skifter bokstaven eller tallet fortegn til motsatte.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Som med løsningen lineær ligning for å finne det ukjente må du multiplisere både venstre og høyre side til "−1" for å endre fortegn.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Del nå både venstre og høyre side med "2" for å finne "x".

2x = 18 | (: 2)
x=9

Hvordan sjekke om likhet er sann for en funksjon

La oss vurdere oppgaven. Funksjonen er gitt av formelen "f(x) = 2 − 5x".

Er likheten "f(−2) = −18" sann?

For å sjekke om likheten er sann, må du erstatte den numeriske verdien "x = −2" i funksjonen "f(x) = 2 − 5x" og sammenligne den med det du får i beregningene.

Viktig!

Når du erstatter et negativt tall med "x", sørg for å sette det i parentes.

Feil

Ikke sant

Ved å bruke beregninger fikk vi "f(−2) = 12".

Dette betyr at "f(−2) = −18" for funksjonen "f(x) = 2 − 5x" ikke er en ekte likhet.

Hvordan sjekke at et punkt tilhører grafen til en funksjon

Tenk på funksjonen "y = x 2 −5x + 6"

Du må finne ut om punktet med koordinater (1; 2) tilhører grafen til denne funksjonen.

For denne oppgaven er det ikke nødvendig å bygge en graf over den gitte funksjonen.

Huske!

For å finne ut om et punkt tilhører en funksjon, er det nok å erstatte dets koordinater i funksjonen (koordinat langs "Ox"-aksen i stedet for "x" og koordinat langs "Oy"-aksen i stedet for "y").

Hvis mulig ekte likhet, som betyr at punktet tilhører funksjonen.

La oss komme tilbake til oppgaven vår. La oss erstatte koordinatene til punktet (1; 2) med funksjonen "y = x 2 − 5x + 6".

I stedet for "x" erstatter vi "1". I stedet for "y" erstatter vi "2".

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (riktig)

Vi har fått en korrekt likhet, som betyr at punktet med koordinater (1; 2) tilhører den gitte funksjonen.

La oss nå sjekke punktet med koordinater (0; 1). hører hun til
funksjon "y = x 2 − 5x + 6"?

I stedet for "x" erstatter vi "0". I stedet for "y" erstatter vi "1".

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (feil)

I dette tilfellet fikk vi ikke riktig likestilling. Dette betyr at punktet med koordinater (0; 1) ikke tilhører funksjonen "y = x 2 − 5x + 6"

Hvordan få koordinatene til et funksjonspunkt

Du kan ta koordinatene til et punkt fra en hvilken som helst graf for en funksjon. Deretter må du sørge for at når du erstatter koordinater i funksjonsformelen, oppnås riktig likhet.

Tenk på funksjonen "y(x) = −2x + 1". Vi har allerede laget timeplanen i forrige leksjon.

La oss finne på grafen til funksjonen "y(x) = −2x + 1", som er lik "y" for x = 2.

For å gjøre dette, fra verdien "2" på "Ox"-aksen, tegner vi en vinkelrett på grafen til funksjonen. Fra skjæringspunktet mellom perpendikulæren og grafen til funksjonen tegner vi en annen perpendikulær til "Oy"-aksen.

Den resulterende verdien "−3" på "Oy"-aksen vil være den ønskede verdien "y".

La oss sørge for at vi tok koordinatene til punktet riktig for x = 2
i funksjonen "y(x) = −2x + 1".

For å gjøre dette vil vi erstatte x = 2 i funksjonsformelen "y(x) = −2x + 1". Hvis vi tegnet perpendikulæren riktig, skulle vi også ende opp med y = −3.

y(2) = −2 2 + 1 = −4 + 1 = −3

I beregningene fikk vi også y = −3.

Dette betyr at vi korrekt hentet koordinatene fra funksjonsgrafen.

Viktig!

Sørg for å sjekke alle oppnådde koordinater til et punkt fra funksjonsgrafen ved å erstatte "x"-verdiene i funksjonen.

Ved erstatning numerisk verdi"x" inn i funksjonen, skal resultatet være den samme verdien av "y" som du fikk på grafen.

Når du henter koordinatene til punktene fra grafen til en funksjon, er det stor sannsynlighet for at du gjør en feil, fordi Å tegne vinkelrett på aksene gjøres "med øyet".

Bare å erstatte verdier i funksjonsformelen gir nøyaktige resultater.

Prøv først å finne domenet til funksjonen:

Klarte du deg? La oss sammenligne svarene:

Er alt rett? Bra gjort!

La oss nå prøve å finne verdiområdet til funksjonen:

Funnet? La oss sammenligne:

Har det? Bra gjort!

La oss jobbe med grafer igjen, bare nå er det litt mer komplisert - finn både definisjonsdomenet til funksjonen og verdiområdet til funksjonen.

Hvordan finne både domenet og rekkevidden til en funksjon (avansert)

Her er hva som skjedde:

Jeg tror du har funnet ut av grafene. La oss nå prøve å finne definisjonsdomenet til en funksjon i samsvar med formlene (hvis du ikke vet hvordan du gjør dette, les avsnittet om):

Klarte du deg? La oss sjekke svar:

, siden det radikale uttrykket må være større enn eller lik null.
, siden du ikke kan dele med null og det radikale uttrykket ikke kan være negativt.
, siden, henholdsvis for alle.
, siden du ikke kan dele på null.

Men vi har fortsatt ett ubesvart poeng...

Jeg vil gjenta definisjonen en gang til og understreke den:

La du merke til? Ordet "single" er et veldig, veldig viktig element i vår definisjon. Jeg skal prøve å forklare deg det med fingrene.

La oss si at vi har en funksjon definert av en rett linje. . Ved bytter vi denne verdien inn i "regelen" vår og får den. Én verdi tilsvarer én verdi. Vi kan til og med lage en tabell over de forskjellige verdiene og tegne grafen for denne funksjonen for å se selv.

"Se! - du sier, "" forekommer to ganger!" Så kanskje en parabel ikke er en funksjon? Nei det er!

Det faktum at " " vises to ganger er ikke en grunn til å anklage parabelen for tvetydighet!

Faktum er at når vi regnet for, fikk vi én kamp. Og når vi regner med, fikk vi ett spill. Så det stemmer, en parabel er en funksjon. Se på grafen:

Har det? Hvis ikke, så her livseksempel veldig langt fra matematikk!

La oss si at vi har en gruppe søkere som møttes mens de sendte inn dokumenter, som hver fortalte i en samtale hvor han bor:

Enig, det er fullt mulig for flere gutter å bo i en by, men det er umulig for en person å bo i flere byer samtidig. Dette er som en logisk representasjon av vår "parabel" - Flere forskjellige X-er tilsvarer det samme spillet.

La oss nå komme med et eksempel der avhengigheten ikke er en funksjon. La oss si at de samme gutta fortalte oss hvilke spesialiteter de søkte på:

Her har vi en helt annen situasjon: én person kan enkelt sende inn dokumenter for en eller flere retninger. Det er ett element sett settes i korrespondanse flere elementer mengder. Henholdsvis dette er ikke en funksjon.

La oss teste kunnskapen din i praksis.

Bestem ut fra bildene hva som er en funksjon og hva som ikke er det:

Har det? Og her er det svar:

Funksjonen er - B, E.
Funksjonen er ikke - A, B, D, D.

Du spør hvorfor? Ja, her er grunnen:

På alle bilder unntatt I) Og E) Det er flere for en!

Jeg er sikker på at du nå enkelt kan skille en funksjon fra en ikke-funksjon, si hva et argument er og hva en avhengig variabel er, og også bestemme rekkevidden av tillatte verdier for et argument og definisjonsområdet for en funksjon . La oss gå videre til neste avsnitt - hvordan sette en funksjon?

Metoder for å spesifisere en funksjon

Hva tror du ordene betyr? "sett funksjon"? Det er riktig, dette betyr å forklare for alle hvilken funksjon vi snakker om i dette tilfellet. Dessuten, forklar det på en slik måte at alle forstår deg riktig og funksjonsgrafene tegnet av folk basert på forklaringen din er de samme.

Hvordan kan jeg gjøre det? Hvordan stille inn en funksjon? Den enkleste metoden, som allerede har blitt brukt mer enn en gang i denne artikkelen, er ved hjelp av formelen. Vi skriver en formel, og ved å erstatte en verdi i den, beregner vi verdien. Og som du husker, er en formel en lov, en regel som gjør det klart for oss og for en annen person hvordan en X blir til en Y.

Vanligvis er dette akkurat det de gjør - i oppgaver ser vi ferdige funksjoner spesifisert av formler, men det er andre måter å sette en funksjon på som alle glemmer, og derfor spørsmålet "hvordan kan du ellers angi en funksjon?" forvirrer. La oss forstå alt i rekkefølge, og la oss starte med den analytiske metoden.

Analytisk metode for å spesifisere en funksjon

Den analytiske metoden er å spesifisere en funksjon ved hjelp av en formel. Dette er den mest universelle, omfattende og entydige metoden. Hvis du har en formel, så vet du absolutt alt om en funksjon - du kan lage en verditabell fra den, du kan bygge en graf, bestemme hvor funksjonen øker og hvor den synker, generelt sett studere den i sin helhet.

La oss vurdere funksjonen. Hva er forskjellen?

"Hva betyr det?" - du spør. Jeg skal forklare nå.

La meg minne om at i notasjonen kalles uttrykket i parentes et argument. Og dette argumentet kan være et hvilket som helst uttrykk, ikke nødvendigvis enkelt. Følgelig, uansett hva argumentet (uttrykket i parentes) er, vil vi skrive det i stedet i uttrykket.

I vårt eksempel vil det se slik ut:

La oss vurdere en annen oppgave knyttet til den analytiske metoden for å spesifisere en funksjon, som du vil ha på eksamen.

Finn verdien av uttrykket ved.

Jeg er sikker på at du først ble redd når du så et slikt uttrykk, men det er absolutt ingenting skummelt med det!

Alt er det samme som i forrige eksempel: uansett hva argumentet (uttrykket i parentes) er, vil vi skrive det i stedet i uttrykket. For eksempel for en funksjon.

Hva må gjøres i vårt eksempel? I stedet må du skrive, og i stedet -:

forkort det resulterende uttrykket:

Det er alt!

Selvstendig arbeid

Prøv nå å finne betydningen av følgende uttrykk selv:

, Hvis
, Hvis

Klarte du deg? La oss sammenligne våre svar: Vi er vant til at funksjonen har formen

Selv i våre eksempler definerer vi funksjonen på akkurat denne måten, men analytisk er det for eksempel mulig å spesifisere funksjonen i implisitt form.

Prøv å bygge denne funksjonen selv.

Klarte du deg?

Slik bygde jeg det.

Hvilken ligning utledet vi til slutt?

Ikke sant! Lineær, som betyr at grafen vil være en rett linje. La oss lage en tabell for å finne ut hvilke poeng som tilhører linjen vår:

Det var akkurat dette vi snakket om... En tilsvarer flere.

La oss prøve å tegne hva som skjedde:

Er det vi har en funksjon?

Det stemmer, nei! Hvorfor? Prøv å svare på dette spørsmålet ved hjelp av en tegning. Hva fikk du?

"Fordi én verdi tilsvarer flere verdier!"

Hvilken konklusjon kan vi trekke av dette?

Det stemmer, en funksjon kan ikke alltid uttrykkes eksplisitt, og det som er "forkledd" som en funksjon er ikke alltid en funksjon!

Tabellform metode for å spesifisere en funksjon

Som navnet antyder, er denne metoden et enkelt tegn. Ja Ja. Som den du og jeg allerede har laget. For eksempel:

Her la du umiddelbart merke til et mønster - Y-en er tre ganger større enn X-en. Og nå oppgaven å "tenke veldig nøye": tror du at en funksjon gitt i form av en tabell er ekvivalent med en funksjon?

La oss ikke snakke lenge, men la oss tegne!

Så. Vi tegner funksjonen spesifisert av tapetet på følgende måter:

Ser du forskjellen? Det handler ikke bare om de markerte poengene! Ta en nærmere titt:

Har du sett den nå? Når vi definerer en funksjon i tabellform, viser vi på grafen bare de punktene vi har i tabellen og linjen (som i vårt tilfelle) går bare gjennom dem. Når vi definerer en funksjon analytisk, kan vi ta alle poeng, og funksjonen vår er ikke begrenset til dem. Dette er det særegne. Huske!

Grafisk metode for å konstruere en funksjon

Den grafiske metoden for å konstruere en funksjon er ikke mindre praktisk. Vi tegner funksjonen vår, og en annen interessert kan finne hva y er lik ved en viss x og så videre. Grafiske og analytiske metoder er blant de vanligste.

Men her må du huske hva vi snakket om helt i begynnelsen - ikke hver "squiggle" tegnet i koordinatsystemet er en funksjon! Husker du? Bare i tilfelle kopierer jeg her definisjonen av hva en funksjon er:

Som regel nevner folk som regel nøyaktig de tre måtene å spesifisere en funksjon på som vi har diskutert - analytisk (ved hjelp av en formel), tabellform og grafisk, og glemmer helt at en funksjon kan beskrives verbalt. Som dette? Ja, veldig enkelt!

Verbal beskrivelse av funksjonen

Hvordan beskrive en funksjon verbalt? La oss ta vårt nylige eksempel - . Denne funksjonen kan beskrives som "hver reell verdi av x tilsvarer dens trippelverdi." Det er alt. Ikke noe komplisert. Du vil selvfølgelig protestere - "det er så komplekse funksjoner, som rett og slett er umulig å spørre verbalt!» Ja, det finnes slike, men det er funksjoner som er lettere å beskrive verbalt enn å definere med en formel. For eksempel: «hver naturverdi av x tilsvarer forskjellen mellom tallene den består av, og minuenden tas høyeste tall som finnes i nummerposten." La oss nå se på hvordan vår verbale beskrivelse av funksjonen implementeres i praksis:

Det største sifferet i et gitt tall er henholdsvis minuend, da:

Hovedtyper av funksjoner

La oss nå gå videre til den mest interessante delen - la oss se på hovedtypene funksjoner som du har jobbet/jobber med og vil jobbe med i løpet av skole- og høyskolematematikk, det vil si la oss bli kjent med dem, så å si , og gi dem Kort beskrivelse. Les mer om hver funksjon i den tilhørende delen.

Lineær funksjon

En funksjon av formen hvor, er reelle tall.

Grafen til denne funksjonen er en rett linje, så å konstruere en lineær funksjon kommer ned til å finne koordinatene til to punkter.

Plasseringen av den rette linjen på koordinatplanet avhenger av vinkelkoeffisienten.

Omfanget til en funksjon (aka omfanget av gyldige argumentverdier) er .

Verdiområde - .

Kvadratisk funksjon

Funksjon av skjemaet, hvor

Grafen til funksjonen er en parabel; når grenene til parablen er rettet nedover, når grenene er rettet oppover.

Mange egenskaper til en kvadratisk funksjon avhenger av verdien av diskriminanten. Diskriminanten beregnes ved hjelp av formelen

Posisjonen til parablen på koordinatplanet i forhold til verdien og koeffisienten er vist i figuren:

Domene

Verdiområdet avhenger av ekstremumet til den gitte funksjonen (toppunktet til parablen) og koeffisienten (retningen til grenene til parablen)

Omvendt proporsjonalitet

Funksjonen gitt av formelen, hvor

Tallet kalles koeffisienten for invers proporsjonalitet. Avhengig av verdien er grenene til hyperbelen i forskjellige firkanter:

Domene - .

Verdiområde - .

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

1. En funksjon er en regel der hvert element i et sett er knyttet til et enkelt element i settet.

- dette er en formel som angir en funksjon, det vil si avhengigheten av en variabel av en annen;
- variabel verdi, eller argument;
- avhengig mengde - endres når argumentet endres, det vil si i henhold til en spesifikk formel som gjenspeiler avhengigheten til en mengde av en annen.

2. Gyldige argumentverdier, eller domenet til en funksjon, er det som er knyttet til mulighetene som funksjonen gir mening.

3. Funksjonsområde- dette er hvilke verdier det krever, gitt akseptable verdier.

4. Det er 4 måter å angi en funksjon på:

analytisk (ved hjelp av formler);
tabellform;
grafikk
verbal beskrivelse.

5. Hovedtyper av funksjoner:

: , hvor, er reelle tall;
: , Hvor;
: , Hvor.

Kunnskap grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer ikke mindre viktig enn å kunne multiplikasjonstabellene. De er som grunnlaget, alt er basert på dem, alt er bygget fra dem og alt kommer ned til dem.

I denne artikkelen vil vi liste opp alle de viktigste elementære funksjonene, gi grafene deres og gi uten konklusjon eller bevis egenskaper til grunnleggende elementære funksjoner i henhold til ordningen:

oppførsel av en funksjon ved grensene til definisjonsdomenet, vertikale asymptoter (om nødvendig, se artikkelen klassifisering av diskontinuitetspunkter for en funksjon);
partall og oddetall;
intervaller for konveksitet (konveksitet oppover) og konkavitet (konveksitet nedover), bøyningspunkter (om nødvendig, se artikkelen konveksitet til en funksjon, retning av konveksitet, bøyningspunkter, konveksitets- og bøyningsbetingelser);
skrå og horisontale asymptoter;
entall punkter av funksjoner;
spesielle egenskaper til noen funksjoner (for eksempel den minste positive perioden med trigonometriske funksjoner).

Hvis du er interessert i eller, kan du gå til disse delene av teorien.

Grunnleggende elementære funksjoner er: konstant funksjon (konstant), n-te rot, potensfunksjon, eksponentiell, logaritmisk funksjon, trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Permanent funksjon.

En konstant funksjon er definert på settet av alle reelle tall av formelen , hvor C er et reelt tall. En konstantfunksjon assosierer hver reelle verdi av den uavhengige variabelen x med samme verdi av den avhengige variabelen y - verdien C. En konstantfunksjon kalles også en konstant.

Grafen til en konstant funksjon er en rett linje parallelt med x-aksen og som går gjennom punktet med koordinater (0,C). Som et eksempel vil vi vise grafer over konstantfunksjonene y=5, y=-2 og, som i figuren under tilsvarer henholdsvis de svarte, røde og blå linjene.

Egenskaper til en konstant funksjon.

Domene: hele settet med reelle tall.
Konstantfunksjonen er jevn.
Verdiområde: sett bestående av entall MED .
En konstant funksjon er ikke-økende og ikke-minskende (det er derfor den er konstant).
Det gir ingen mening å snakke om konveksitet og konkavitet av en konstant.
Det er ingen asymptoter.
Funksjonen går gjennom punktet (0,C) til koordinatplanet.

Rot av n. grad.

La oss vurdere den grunnleggende elementære funksjonen, som er gitt av formelen , hvor n – naturlig tall, større enn én.

Roten av n-te grad, n er et partall.

La oss starte med den n-te rotfunksjonen for jevne verdier av roteksponenten n.

Som et eksempel, her er et bilde med bilder av funksjonsgrafer og , de tilsvarer svarte, røde og blå linjer.

Grafene for rotfunksjoner med jevne grader har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for jevn n.

Den n-te roten, n er et oddetall.

Den n-te rotfunksjonen med en oddetallseksponent n er definert på hele settet med reelle tall. For eksempel, her er funksjonsgrafene og , de tilsvarer svarte, røde og blå kurver.

For andre oddeverdier av roteksponenten vil funksjonsgrafene ha et lignende utseende.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for odde-n.

Power funksjon.

Potensfunksjonen er gitt av en formel av formen.

La oss vurdere formen til grafer for en potensfunksjon og egenskapene til en potensfunksjon avhengig av verdien til eksponenten.

La oss starte med en potensfunksjon med en heltallseksponent a. I dette tilfellet avhenger utseendet til grafene til maktfunksjoner og egenskapene til funksjonene av eksponentens jevnhet eller oddelighet, så vel som fortegn. Derfor vurderer vi først potensfunksjoner for odde positive verdier av eksponenten a, deretter for partall positive eksponenter, deretter for odde negative eksponenter, og til slutt, for partall negativ a.

Egenskapene til potensfunksjoner med brøk- og irrasjonelle eksponenter (så vel som typen grafer for slike potensfunksjoner) avhenger av verdien av eksponenten a. Vi vil vurdere dem for det første for en fra null til én, for det andre for en større enn én, for det tredje for en fra minus én til null, for det fjerde for en mindre enn minus én.

På slutten av denne delen vil vi for fullstendighets skyld beskrive en potensfunksjon med null eksponent.

Potensfunksjon med oddetall positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent, det vil si med a = 1,3,5,....

Figuren nedenfor viser grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje, – grønn linje. For a=1 har vi lineær funksjon y=x.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent.

Power funksjon med jevn positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent, det vil si for a = 2,4,6,....

Som et eksempel gir vi grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje. For a=2 har vi kvadratisk funksjon, hvis graf er kvadratisk parabel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent.

Potensfunksjon med oddetall negativ eksponent.

Se på grafene til potensfunksjonen for odde negative verdier av eksponenten, det vil si for a = -1, -3, -5, ....

Figuren viser grafer over potensfunksjoner som eksempler - svart linje, - blå linje, - rød linje, - grønn linje. For a=-1 har vi omvendt proporsjonalitet, hvis graf er hyperbel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall negativ eksponent.

Potensfunksjon med til og med negativ eksponent.

La oss gå videre til strømfunksjonen for a=-2,-4,-6,….

Figuren viser grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn negativ eksponent.

En potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent hvis verdi er større enn null og mindre enn én.

Merk! Hvis a er en positiv brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til potensfunksjonen er intervallet. Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil betrakte settet som domenene for definisjon av potensfunksjoner med positive brøkeksponenter. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss vurdere en potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafer av potensfunksjoner for a=11/12 (svart linje), a=5/7 (rød linje), (blå linje), a=2/5 (grønn linje).

En potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent større enn én.

La oss vurdere en potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafer av potensfunksjoner gitt av formlene (hhv. svarte, røde, blå og grønne linjer).

For andre verdier av eksponenten a, vil grafene til funksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper for strømfunksjonen ved .

En potensfunksjon med en reell eksponent som er større enn minus én og mindre enn null.

Merk! Hvis a er en negativ brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til en potensfunksjon er intervallet . Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil vurdere definisjonsdomenene for potensfunksjoner med brøkdeler negative eksponenter som henholdsvis et sett. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss gå videre til kraftfunksjonen, kgd.

For å ha en god ide om formen til grafer av potensfunksjoner for , gir vi eksempler på grafer av funksjoner (hhv. svarte, røde, blå og grønne kurver).

Egenskaper til en potensfunksjon med eksponent a, .

En potensfunksjon med en ikke-heltalls reell eksponent som er mindre enn minus én.

La oss gi eksempler på grafer av potensfunksjoner for , de er avbildet med henholdsvis svarte, røde, blå og grønne linjer.

Egenskaper til en potensfunksjon med en ikke-heltall negativ eksponent mindre enn minus én.

Når a = 0, har vi en funksjon - dette er en rett linje som punktet (0;1) er ekskludert fra (det ble avtalt å ikke tillegge uttrykket 0 0 noen betydning).

Eksponentiell funksjon.

En av de viktigste elementære funksjonene er eksponentialfunksjonen.

Grafen til eksponentialfunksjonen, hvor og har forskjellige former avhengig av verdien av grunntallet a. La oss finne ut av dette.

Tenk først på tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen tar en verdi fra null til én, det vil si .

Som et eksempel presenterer vi grafer av eksponentialfunksjonen for a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – rød linje. Grafene til eksponentialfunksjonen har et lignende utseende for andre verdier av basen fra intervallet.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base mindre enn én.

La oss gå videre til tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen er større enn én, det vil si .

Som en illustrasjon presenterer vi grafer av eksponentielle funksjoner - blå linje og - rød linje. For andre verdier av basen større enn én, vil grafene til eksponentialfunksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base større enn én.

Logaritmisk funksjon.

Den neste grunnleggende elementære funksjonen er den logaritmiske funksjonen, der , . Den logaritmiske funksjonen er definert bare for positive verdier av argumentet, det vil si for .

Grafen til en logaritmisk funksjon har forskjellige former avhengig av verdien av grunntallet a.

La oss starte med saken når .

Som et eksempel presenterer vi grafer for den logaritmiske funksjonen for a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – rød linje. For andre verdier av basen som ikke overstiger én, vil grafene til den logaritmiske funksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper for en logaritmisk funksjon med en base mindre enn én.

La oss gå videre til tilfellet når basen til den logaritmiske funksjonen er større enn én ().

La oss vise grafer av logaritmiske funksjoner - blå linje, - rød linje. For andre verdier av basen større enn én, vil grafene til den logaritmiske funksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper for en logaritmisk funksjon med en base større enn én.

Trigonometriske funksjoner, deres egenskaper og grafer.

Alle trigonometriske funksjoner (sinus, cosinus, tangens og cotangens) tilhører de grunnleggende elementære funksjonene. Nå skal vi se på grafene deres og liste opp egenskapene deres.

Trigonometriske funksjoner har konseptet Frekvens(gjentakelse av funksjonsverdier for forskjellige argumentverdier som skiller seg fra hverandre med perioden , hvor T er perioden), er derfor et element lagt til listen over egenskaper til trigonometriske funksjoner "minste positive periode". For hver trigonometriske funksjon vil vi også indikere verdiene til argumentet der den tilsvarende funksjonen forsvinner.

La oss nå behandle alle trigonometriske funksjoner i rekkefølge.

Sinusfunksjon y = sin(x) .

La oss tegne en graf av sinusfunksjonen, den kalles en "sinusbølge".

Egenskaper til sinusfunksjonen y = sinx.

Cosinusfunksjon y = cos(x) .

Grafen til cosinusfunksjonen (kalt "cosinus") ser slik ut:

Egenskaper til cosinusfunksjonen y = cosx.

Tangentfunksjon y = tan(x) .

Grafen til tangentfunksjonen (kalt "tangentoid") ser slik ut:

Egenskaper til tangentfunksjonen y = tanx.

Kotangensfunksjon y = ctg(x) .

La oss tegne en graf av cotangentfunksjonen (den kalles "cotangentoid"):

Egenskaper til cotangensfunksjonen y = ctgx.

Inverse trigonometriske funksjoner, deres egenskaper og grafer.

De inverse trigonometriske funksjonene (arc sinus, arc cosinus, arc tangens og arc cotangens) er de grunnleggende elementære funksjonene. Ofte, på grunn av prefikset "bue", kalles inverse trigonometriske funksjoner buefunksjoner. Nå skal vi se på grafene deres og liste opp egenskapene deres.

Arcsinusfunksjon y = arcsin(x) .

La oss plotte arcsine-funksjonen:

Egenskaper til arccotangensfunksjonen y = arcctg(x) .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. generelle utdanningsinstitusjoner.
Vygodsky M.Ya. Håndbok i elementær matematikk.
Novoselov S.I. Algebra og elementære funksjoner.
Tumanov S.I. Elementær algebra. En manual for selvopplæring.

Grunnleggende elementære funksjoner, deres iboende egenskaper og korresponderende grafer er en av de grunnleggende matematiske kunnskaper, tilsvarende betydningen multiplikasjonstabellen. Elementære funksjoner er grunnlaget, støtten for studiet av alle teoretiske problemstillinger.

Artikkelen nedenfor gir nøkkelmateriale om emnet grunnleggende elementære funksjoner. Vi vil introdusere begreper, gi dem definisjoner; La oss studere hver type elementære funksjoner i detalj og analysere egenskapene deres.

Følgende typer grunnleggende elementære funksjoner skilles ut:

Definisjon 1

konstant funksjon (konstant);
nte rot;
makt funksjon;
eksponentiell funksjon;
logaritmisk funksjon;
trigonometriske funksjoner;
broderlige trigonometriske funksjoner.

En konstantfunksjon er definert av formelen: y = C (C er et visst reelt tall) og har også et navn: konstant. Denne funksjonen bestemmer korrespondansen mellom en hvilken som helst reell verdi av den uavhengige variabelen x til samme verdi av variabelen y - verdien av C.

Grafen til en konstant er en rett linje som er parallell med abscisseaksen og går gjennom et punkt som har koordinater (0, C). For klarhets skyld presenterer vi grafer av konstante funksjoner y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (angitt i henholdsvis svart, rød og blå farger på tegningen).

Definisjon 2

Denne elementære funksjonen er definert av formelen y = x n (n er et naturlig tall større enn én).

La oss vurdere to varianter av funksjonen.

n-te rot, n – partall

For klarhets skyld indikerer vi en tegning som viser grafer for slike funksjoner: y = x, y = x 4 og y = x8. Disse funksjonene er fargekodet: henholdsvis svart, rød og blå.

Grafene til en funksjon med jevn grad har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Definisjon 3

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et partall

definisjonsdomene – settet av alle ikke-negative reelle tall [ 0 , + ∞) ;
når x = 0, funksjon y = x n har en verdi lik null;
gitt funksjon-funksjon generelt syn(er verken partall eller oddetall);
område: [ 0 , + ∞) ;
denne funksjonen y = x n med jevne roteksponenter øker gjennom hele definisjonsdomenet;
funksjonen har en konveksitet med en oppadgående retning gjennom hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
grafen til funksjonen for jevn n går gjennom punktene (0; 0) og (1; 1).

n-te rot, n – oddetall

En slik funksjon er definert på hele settet med reelle tall. For klarhet, vurder grafene til funksjonene y = x 3, y = x 5 og x 9. På tegningen er de indikert med farger: svart, rød og Blå farge og henholdsvis kurver.

Andre oddeverdier av roteksponenten til funksjonen y = x n vil gi en graf av lignende type.

Definisjon 4

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et oddetall

definisjonsdomene – settet av alle reelle tall;
denne funksjonen er rar;
verdiområde - settet med alle reelle tall;
funksjonen y = x n for odde roteksponenter øker over hele definisjonsdomenet;
funksjonen har konkavitet på intervallet (- ∞ ; 0 ] og konveksitet på intervallet [ 0 , + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0);
det er ingen asymptoter;
Grafen til funksjonen for oddetall n går gjennom punktene (- 1 ; - 1), (0 ; 0) og (1 ; 1).

Power funksjon

Definisjon 5

Potensfunksjonen er definert av formelen y = x a.

Utseendet til grafene og egenskapene til funksjonen avhenger av verdien til eksponenten.

når en potensfunksjon har en heltallseksponent a, så avhenger typen graf for potensfunksjonen og dens egenskaper av om eksponenten er partall eller oddetall, samt hvilket fortegn eksponenten har. La oss vurdere alle disse spesielle tilfellene mer detaljert nedenfor;
eksponenten kan være brøkdel eller irrasjonell - avhengig av dette varierer også typen grafer og funksjonens egenskaper. Vi vil analysere spesielle tilfeller ved å sette flere betingelser: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
en potensfunksjon kan ha en null-eksponent; vi vil også analysere dette tilfellet mer detaljert nedenfor.

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et oddetall, for eksempel, a = 1, 3, 5...

For klarhet angir vi grafene til slike potensfunksjoner: y = x (grafisk farge svart), y = x 3 (blå farge på grafen), y = x 5 (rød farge på grafen), y = x 7 (grafisk farge grønn). Når a = 1, får vi den lineære funksjonen y = x.

Definisjon 6

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall positiv

funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) (unntatt den lineære funksjonen);
bøyningspunktet har koordinater (0 ; 0) (unntatt lineær funksjon);
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et partall positivt tall, for eksempel, a = 2, 4, 6...

For klarhet angir vi grafene for slike potensfunksjoner: y = x 2 (grafisk farge svart), y = x 4 (blå farge på grafen), y = x 8 (rød farge på grafen). Når a = 2, får vi en kvadratisk funksjon, hvis graf er en kvadratisk parabel.

Definisjon 7

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten til og med er positiv:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
avtagende for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på potensfunksjonsgrafer y = x a når a er et negativt oddetall: y = x - 9 (grafisk farge svart); y = x - 5 (blå farge på grafen); y = x - 3 (rød farge på grafen); y = x - 1 (grafisk farge grønn). Når a = - 1, får vi invers proporsjonalitet, grafen som er en hyperbel.

Definisjon 8

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall negativ:

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 1, - 3, - 5, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

område: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funksjonen er oddetall fordi y (- x) = - y (x);
funksjonen er avtagende for x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0) og konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, når a = - 1, - 3, - 5, . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på grafer for potensfunksjonen y = x a når a er et partall negativt tall: y = x - 8 (grafisk farge svart); y = x - 4 (blå farge på grafen); y = x - 2 (rød farge på grafen).

Definisjon 9

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er til og med negativ:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 2, - 4, - 6, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

funksjonen er partall fordi y(-x) = y(x);
funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; 0) og avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har konkavitet ved x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0, fordi:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 når a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Helt fra begynnelsen, vær oppmerksom på følgende aspekt: i tilfellet når a er en positiv brøk med en oddetall, tar noen forfattere intervallet - ∞ som definisjonsdomene for denne potensfunksjonen; + ∞ , som angir at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For øyeblikket DEFINERER IKKE forfatterne av mange pedagogiske publikasjoner om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner, der eksponenten er en brøkdel med en odde nevner for negative verdier av argumentet. Videre vil vi holde oss til nøyaktig denne posisjonen: vi tar settet [ 0 ; + ∞). Anbefaling til elever: finn ut lærerens syn på dette punktet for å unngå uenighet.

Så la oss se på strømfunksjonen y = x a , når eksponenten er et rasjonelt eller irrasjonelt tall, forutsatt at 0< a < 1 .

La oss illustrere potensfunksjonene med grafer y = x a når a = 11 12 (grafisk farge svart); a = 5 7 (rød farge på grafen); a = 1 3 (blå farge på grafen); a = 2 5 (grønn farge på grafen).

Andre verdier av eksponenten a (forutsatt 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definisjon 10

Egenskaper for kraftfunksjonen ved 0< a < 1:

område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen er konveks for x ∈ (0 ; + ∞);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når eksponenten er et ikke-heltallsrasjonalt eller irrasjonelt tall, forutsatt at a > 1.

La oss illustrere potensfunksjonen med grafer y = x a under gitte forhold ved å bruke følgende funksjoner som eksempel: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (svart, rød, blå, grønn farge på grafene, henholdsvis).

Andre verdier av eksponenten a, gitt a > 1, vil gi en lignende graf.

Definisjon 11

Egenskaper til strømfunksjonen for en > 1:

definisjonsdomene: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) (når 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
passeringspunkter for funksjonen: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Vær oppmerksom på at når a er en negativ brøk med en odde nevner, er det i verkene til noen forfattere en oppfatning at definisjonsdomenet i dette tilfellet er intervallet - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) med forbehold om at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For tiden forfatterne undervisningsmateriell i algebra og analyseprinsipper IKKE BESTEM potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøk med en oddetall for negative verdier av argumentet. Videre følger vi nøyaktig dette synet: vi tar mengden (0 ; + ∞) som domene for definisjon av potensfunksjoner med negative brøkeksponenter. Anbefaling til elevene: Klargjør lærerens visjon på dette tidspunktet for å unngå uenigheter.

La oss fortsette emnet og analysere kraftfunksjonen y = x a gitt: - 1< a < 0 .

La oss presentere en tegning av grafer for følgende funksjoner: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (svart, rød, blå, grønn farge av linjene, henholdsvis).

Definisjon 12

Egenskaper for strømfunksjonen ved - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ 0 ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
det er ingen bøyningspunkter;

Tegningen under viser grafer av potensfunksjoner y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (hhv. svarte, røde, blå, grønne farger på kurvene).

Definisjon 13

Egenskaper til kraftfunksjonen for en< - 1:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen er avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0;
overgangspunkt for funksjonen: (1; 1) .

Når a = 0 og x ≠ 0, får vi funksjonen y = x 0 = 1, som definerer linjen som punktet (0; 1) ekskluderes fra (det ble avtalt at uttrykket 0 0 ikke vil gis noen betydning ).

Eksponentialfunksjonen har formen y = a x, hvor a > 0 og a ≠ 1, og grafen til denne funksjonen ser annerledes ut basert på verdien av grunntallet a. La oss vurdere spesielle tilfeller.

La oss først se på situasjonen når basen til eksponentialfunksjonen har en verdi fra null til én (0< a < 1) . Et godt eksempel er grafene for funksjoner for a = 1 2 (blå farge på kurven) og a = 5 6 (rød farge på kurven).

Grafene til eksponentialfunksjonen vil ha et lignende utseende for andre verdier av basen under betingelsen 0< a < 1 .

Definisjon 14

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er mindre enn én:

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er mindre enn én, avtar over hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til + ∞;

Tenk nå på tilfellet når basisen til eksponentialfunksjonen er større enn én (a > 1).

La oss illustrere dette spesielle tilfellet med en graf av eksponentielle funksjoner y = 3 2 x (blå farge på kurven) og y = e x (rød farge på grafen).

Andre verdier av basen, større enheter, vil gi et lignende utseende som grafen til eksponentialfunksjonen.

Definisjon 15

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er større enn én:

definisjonsdomene – hele settet med reelle tall;
område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er større enn én øker som x ∈ - ∞; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet ved x ∈ - ∞; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til - ∞;
passasjepunkt for funksjonen: (0; 1) .

Den logaritmiske funksjonen har formen y = log a (x), hvor a > 0, a ≠ 1.

En slik funksjon er kun definert for positive verdier av argumentet: for x ∈ 0; + ∞ .

Grafen til en logaritmisk funksjon har et annet utseende, basert på verdien av grunntallet a.

La oss først vurdere situasjonen når 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Andre verdier av basen, ikke større enheter, vil gi en lignende type graf.

Definisjon 16

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er mindre enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til +∞;
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
logaritmisk
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss nå se på det spesielle tilfellet når basen til den logaritmiske funksjonen er større enn én: a > 1 . Tegningen under viser grafer av logaritmiske funksjoner y = log 3 2 x og y = ln x (henholdsvis blå og røde farger på grafene).

Andre verdier av basen større enn én vil gi en lignende type graf.

Definisjon 17

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er større enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til - ∞ ;
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ (hele settet med reelle tall);
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
den logaritmiske funksjonen øker for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen er konveks for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
passasjepunkt for funksjonen: (1; 0) .

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens og cotangens. La oss se på egenskapene til hver av dem og den tilhørende grafikken.

Generelt er alle trigonometriske funksjoner preget av egenskapen periodisitet, dvs. når verdiene til funksjonene gjentas for forskjellige verdier av argumentet, forskjellig fra hverandre med perioden f (x + T) = f (x) (T er perioden). Dermed legges elementet "minste positive periode" til listen over egenskaper til trigonometriske funksjoner. I tillegg vil vi indikere verdiene til argumentet der den tilsvarende funksjonen blir null.

Sinusfunksjon: y = sin(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en sinusbølge.

Definisjon 18

Egenskaper til sinusfunksjonen:

definisjonsdomene: hele settet med reelle tall x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funksjonen forsvinner når x = π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
funksjonen øker for x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinusfunksjonen har lokale maksima i punktene π 2 + 2 π · k; 1 og lokale minima ved punktene - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusfunksjonen er konkav når x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og konveks når x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
det er ingen asymptoter.

Cosinus funksjon: y = cos(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cosinusbølge.

Definisjon 19

Egenskaper for cosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
minste positive periode: T = 2 π;
verdiområde: y ∈ - 1 ; 1 ;
denne funksjonen er partall, siden y (- x) = y (x);
funksjonen øker for x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
cosinusfunksjonen har lokale maksima i punktene 2 π · k ; 1, k ∈ Z og lokale minima i punktene π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
cosinusfunksjonen er konkav når x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z og konveks når x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
det er ingen asymptoter.

Tangentfunksjon: y = t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles tangent.

Definisjon 20

Egenskaper til tangentfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
Oppførselen til tangentfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dermed er de rette linjene x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;
funksjonen forsvinner når x = π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker som - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangentfunksjonen er konkav for x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z og konveks for x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π · k ; 0, k ∈ Z;

Cotangens funksjon: y = c t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cotangentoid. .

Definisjon 21

Egenskaper til cotangensfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ (π · k ; π + π · k) , hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);

Oppførselen til cotangensfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dermed er de rette linjene x = π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;

minste positive periode: T = π;
funksjonen forsvinner når x = π 2 + π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen er avtagende for x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
cotangensfunksjonen er konkav for x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z og konveks for x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Det er ingen skrå eller horisontale asymptoter.

De inverse trigonometriske funksjonene er arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Ofte, på grunn av tilstedeværelsen av prefikset "bue" i navnet, kalles inverse trigonometriske funksjoner buefunksjoner .

Arc sinus funksjon: y = a r c sin (x)

Definisjon 22

Egenskaper til arcsine-funksjonen:

denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
arcsine-funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; 1 og konveksitet for x ∈ - 1 ; 0 ;
bøyningspunkter har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
det er ingen asymptoter.

Arc cosinus funksjon: y = a r c cos (x)

Definisjon 23

Egenskaper til buekosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - 1 ; 1 ;
område: y ∈ 0 ; π;
denne funksjonen er av en generell form (verken partall eller oddetall);
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
buekosinusfunksjonen har en konkavitet ved x ∈ - 1; 0 og konveksitet for x ∈ 0; 1 ;
bøyningspunkter har koordinater 0; π 2;
det er ingen asymptoter.

Buetangensfunksjon: y = a r c t g (x)

Definisjon 24

Egenskaper til arctangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
verdiområde: y ∈ - π 2 ; π 2;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker over hele definisjonsdomenet;
den arctangent funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konveksitet for x ∈ [ 0 ; + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
horisontale asymptoter er rette linjer y = - π 2 som x → - ∞ og y = π 2 som x → + ∞ (i figuren er asymptotene grønne linjer).

Arc tangens funksjon: y = a r c c t g (x)

Definisjon 25

Egenskaper til arccotangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
område: y ∈ (0; π) ;
denne funksjonen er av en generell form;
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
bue-cotangens-funksjonen har en konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) og konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
bøyningspunktet har koordinater 0; π 2;
horisontale asymptoter er rette linjer y = π ved x → - ∞ (grønn linje på tegningen) og y = 0 ved x → + ∞.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter